一类非线性核的随机控制及其应用

然而，众所周知，上半解析性质通过取上确界而不是取内确界是稳定的。3.值函数的路径正则化在本节中，我们将（2.3）中定义的值函数的cádlág修改描述为任意P下的半鞅∈ Pand给出了它的半鞅分解。特别是，这种cádlág修改将允许我们构建第4节中定义的二阶B的解决方案。回想一下，根据定理2.1，在假设1.1下，对于任何F-停止时间τ≥ σ乘以σ（ω）（ω）=supP∈P（σ（ω），ω）EPhYPσ（ω）τ、 按τi、 （3.1）此外，我们还有σ（ω）（ω）=supP∈P（σ（ω），ω）EP菲普Pσ（ω）τ、 按τi、 （3.2）其中Pσ（ω）τ、 按τ等于YPσ（ω）τ、 按τ但在扩大的空间上，回忆（2.5）和引理2.2。下面的技术引理可以通过简单地获取相应BSDE的条件期望来正式获得。然而，这引发了关于可忽略集合和条件概率测度的微妙问题。因此，我们请读者参考[17]了解确切的细节。引理3.1。假设1.1成立。那么对于任何P∈ P、 对于任何F- 这是第一次≤ σ ≤ τ ≤ T，我们有epσ（ω）ωPheYPσ（ω）ωPσ（ω）（τ，由τ）i=EP菲普Pσ（τ，乘以τ）Fσi（ω，ω′），P P- a、 e.（ω，ω′）∈Ohm,EPσ（ω）ωhYPσ（ω）ωσ（ω）（τ，bYτ）i=EPhYPσ（τ，bYτ）Fσi（ω），对于P- a、 e.ω∈ Ohm.接下来，让我们用σ（ω）来说明（3.1）和（3.2）的下列直接后果≥ EPhYPσ（ω）τ、 按τi、 任何P∈ P（σ（ω），ω），（3.3）乘以σ（ω）≥ EP菲普Pσ（ω）τ、 按τi、 任何P∈ P（σ（ω），ω）。（3.4）利用这些不等式，我们可以证明一个向下交叉的不等式forbY，它确保了By在P之外允许右极限和左极限-极地设置。

回想一下bfps（y，z）：=f（s，X）·∧s、 y，z，bas，bPs），bfP，0s:=f（s，X）·∧s、 0，0，bas，bPs）。设J:=（τn）n∈Nbe F的一个可数族-停止时间取[0，T]中的值，使得对于任何（i，j）∈ N、 一个有τi或τi≤ 每ω的τj∈ Ohm, 或τi≥ 每ω的τj∈ Ohm. 让a<b和jn J是一个有限子集（Jn={0≤ τ≤ · · · ≤ τn≤ T}）。我们用Dba（by，Jn）表示过程（τk）1的下穿次数≤K≤n从b到a。然后我们定义ba（bY，J）：=sup{Dba（bY，Jn）：Jn J、 JN是一个有限的集合。下面的引理与[13]的引理A.1中证明的相关结果非常接近。然而，sincebY并不完全是一个EbfP-超级鞅在他们的术语中，我们给出了一个简短的证明。引理3.2。修理一些P∈ 让假设1.1成立。用L表示发电机f的Lipschitz常数。然后，对于所有的a<b，都存在一个概率测度eq，等价于top P、 这样Eqhdba（bY，J）i≤eLTb- aEQheLT（作者：∧ B- （a）- E-LT（比亚迪）∧ B- a） ++eLT（比亚迪）∧ B- （a）-+埃尔茨bfPs（a，0）ds.此外，在P-极地设置，我们有Limr∈Q∩（t，t），r↓tbYr（ω）=limr∈Q∩（t，t），r↓tbYr（ω），andlimr∈Q∩（t，t），r↑tbYr（ω）=limr∈Q∩（t，t），r↑tbYr（ω）。证据在不丧失普遍性的情况下，我们总是可以证明0和T属于J，b>a=0。设Jn={τ，τ，···，τn}，0=τ<τ<···<τn=T。然后我们考虑任何i=1，n、 还有ω∈ Ohm, 放大空间中的以下BSDE位于τi下方-1（ω）ω：=Pτi-1(ω)ω Pon[τi-1，τi]eYi，Pτi-1（ω）ωt:=由τi-ZτitbfPτi-1（ω）ω，0s+λiseYi，Pτi-1（ω）ωs+η为·（ba1/2s）eZi，Pτi-1（ω）ωsds-ZτiteZi，Pτi-1（ω）ωs·ba1/2sdWPτi-1（ω）ωs-ZτitdfMi，Pτi-1（ω）ωs，Pτi-1(ω)ω- a、 其中λi和ηi是出现在BF线性化中的两个有界过程（回忆假设1.1（i））。

然后我们考虑线性BSDE，也在放大的空间yi，Pτi上-1（ω）ωt:=由τi-ZτitbfPτi-1（ω）ω，0s+ λisYi，Pτi-1（ω）ωs+η为·（ba1/2s）Zi，Pτi-1（ω）ωsds-ZτitZi，Pτi-1（ω）ωs·ba1/2sdWPτi-1（ω）ωs-ZτitdMi，Pτi-1（ω）ωs，Pτi-1(ω)ω- a、 这是直接的，即yi，Pτi-1（ω）ωτi-1=EPτi-1（ω）ω“LτibYτieRτiτi-1λisds-Zτiτi-1eRsτi-1λirdrbfPτi-1（ω）ω，0sds！F+τi-1#，式中lt:=EZtτi-1η为·dWPτi-1（ω）ωs！，T∈ [τi-1，τi]。根据假设1.1（iv），对于P- a、 e.ω∈ Ohm, Pτi-1(ω)ω∈ P（τi）-1(ω), ω). 因此，根据下面引理A.3和（3.2）中提到的BSDE的比较原理，很明显EPτi-1（ω）ω“LτibYτieRτiτi-1λisds-Zτiτi-1eRsτi-1λirdrbfPτi-1（ω）ω，0sds#≤τi-1(ω).但是，根据r.p.c.d.的定义，这意味着EQ“由τieRτiτi-1λisds-Zτiτi-1eRsτi-1λirdrbfPτi-1（·）·，0sdsFτi-1#≤τi-1，P P- a、 在美国，概率度量等于P 由DQDP定义 P:=EZtτi-1η是·dWPs！，T∈ [τi-1，τi]。设λs:=Pni=1λ为τi-1，τi）（s），则离散过程（Vτi）为0≤我≤由vτi定义：=由τieRτiλsds定义-ZτieRsλrdrbfP，0s和随机分析中通常的情况一样，对于任何局部鞅M，我们用E（M）表示它的Doléans–D ade exponential。这是一个Q-相对于F的超鞅。然后，可以精确地获得向下交叉的控制，如[13]中引理A.1的证明。事实上，我们可以观察到，超鞅的原始镇-交叉不等式（参见[29，p.446]）不需要过滤来满足美国的假设。现在我们证明引理的第二部分。我们定义了s et∑：={ω∈ Ohm s、 t.bY·（ω）无权- 还是离开-在某一点上沿着有理数的极限}。我们认为∑是一个P-极地设置。的确，假设存在P∈ 使P（∑）>0。那么，∑对于任何ω都是非空的∈ ∑，pathbY·（ω）有，例如，没有权利-沿某点t的理论极限∈ [0，T]。

因此，我们可以找到两个有理数a，b，limr∈Q∩（t，t），r↓tbYr（ω）<a<b<limr∈Q∩（t，t），r↓tbYr（ω），区间[a，b]上路径·（ω）的向下交叉次数Dba（bY，J）（ω）等于+∞. 然而，上面证明的下交叉不等式表明Dba（bY，J）isQ- a、 美国，因此P- a、 s.（见引理2.1），fifine，对于任何一对（a，b）。这意味着一个矛盾，因为我们假设P（∑）>0。因此，在P-极性集∑，对吗- 然后离开-沿着理性的限制。我们下一步为所有人定义（t，ω）∈ [0，T）×OhmbY+t:=limr∈Q∩（t，t），r↓tbYr，（3.5）和BY+T:=YT。通过引理3.2，通过+t=limr∈Q∩（t，t），r↓tbYr，在P之外-我们推断出，by+是P之外的cád-极地设置。因此，对于任何t∈ [0，T]，按定义FP+T-可测量的，我们推断by+实际上是FP+-可选择的我们的下一个结果是（3.3）tobY+。引理3。3.假设1.1成立。那么对于任何0≤ s≤ T≤ T和P∈ P、 我们有+t∈ Lp（FP+t，P）和BY+s≥ YPs（t，bY+t），P- a、 美国证据。（i） 让P∈ P、 （sn）n≥1是一个有理数的等式↓ t、 我们注意到了-→由+t，P- a、 此外，使用相同的条件论元和不等式（2.15），以及引理a.1（回忆引理2.2和条件（1.4））的估计，我们可以看到（bYsn）n≥1在Lp（FP+T，P）中一致有界。I t后面跟着+t∈ Lp（FP+T，P）。（ii）固定一些（s，t，ω）∈ [0，T]×[s，T]×Ohm 还有一些P∈ P.让rn∈ Q∩ （s，T），rn↓ s·安德恩∈ Q∩ （t，t），rn↓ t、 通过（3.3），我们得到了任意m，n≥ 1安第普∈ P（rn，ω）bYrn（ω）≥ EePhYePrnrm，bYrmi、 特别是，由于假设1.1（iv），P- a、 e.ω∈ Ohm, 我们有拜恩（ω）≥ EPrnωYPrnωrnrm，bYrm= EPhYPrnrm，bYrmFrni（ω），（3.6），其中我们使用了引理3.1。从定义上讲，我们有→+∞bYrn=bY+s，P- a、 下一步，我们要展示Ephyprnrm，bYrmFrni-→N→+∞YPsrm，bYrm, 对于范数k·kLs，ω。

（3.7）事实上，我们有EPhYPrnrm，bYrmFrni- YPsrm，bYrmi=EPhEPhYPrnrm，bYrm- YPsrm，bYrmFrni我≤ 以弗所伊普恩rm，bYrm- YPsrm，bYrmFrnii=EPh伊普恩rm，bYrm- YPsrm，bYrmi、 自伊普恩以来rm，bYrm是cádlág，我们知道YPrnrm，bYrm收敛，P- a、 从美国到YPsrm，bYrm,当n走向+∞. 此外，通过引理A.1（以及引理2.2）的估计，上述期望中的量在Lp（FP，+，P）中是一致有界的，因此通过de la Vallée–Poussin准则（因为P>1）形成了一个均匀可积族。因此，（3.7）中的期望收敛是支配收敛定理的简单结果。因此，如果必要的话，取一个子序列，（3.6）的右边是P- a、 sto YPsrm，bYrm当n走向+∞, 这样我们就有了BY+s≥ YPsrm，bYrm, P- a、 下一步，我们通过BSDEsYPs的动态规划rm，bYrm- YPst、 bY+t= YPsrm，bYrm- YPsrm，bY+t+ YPst、 埃及rm，bY+t- YPst、 bY+t.右侧的第一个差异收敛到0，P- a、 再次感谢对引理a.1（以及引理2.2）的估计和对BY+的定义。至于第二个差异，同样的估计表明它是由EP控制的bY+t- 埃及rm，bY+t~p财政司司长+,对于一些人来说，这个词是p- a、 s（至少沿子序列）到0，m到+∞引理A.2（以及引理2.2）也给出了证明。下一个引理遵循cádlág超鞅的可选抽样定理的经典证明，并将之前的结果推广到停止时间。引理3.4。假设1.1成立。然后是一个y F+-停车次数0≤ σ ≤ τ ≤ T，任何P∈ P、 我们有+τ∈ Lp（FP+T，P）和by+σ≥ YPσ（τ，bY+τ），P- a、 特别是，by+是cádlág，P-q、 美国证据。（i） 让P∈ P、 τ是F+-停止时间，我们可以通过序列ofF来近似τ-停止时间（τn）n≥那么τn↓ τ、 P- a、 美国。

再次使用引理A.1中的估计以及引理3.3证明的步骤（i）中的相同参数，可以得出以下结论：∈ Lp（FP+T，P）。（ii）首先假设σ取有限个值{t，…，tn}，且τ是确定性的。那么，我们有任何P∈ PbY+σ=nXi=1bY+ti{σ=ti}≥nXi=1YPti（τ，bY+τ）1{σ=ti}=YPσ（τ，bY+τ），P- a、 s.接下来假设τ和σ都取有限个值{t，…，tn}。我们有类似的ypσ（τ，bY+τ）=nXi=1YPσ（ti，bY+ti）1{τ=ti}≤nXi=1bY+σ{τ=ti}=bY+σ，P- a、 如果σ是一般的，我们总是可以通过F的递减序列从上面接近它+-停止时间（σn）n≥1仅获取有限数量的值。上述结果直接表明，由+σn∧τ≥ YPσn∧τ（τ，bY+τ），P- a、 然后，我们可以使用bY+和YP（τ，bY+τ）的右连续性，让n进入+∞ 由+σ得到≥ YPσ（τ，bY+τ），P- a、 最后，让我们取一个总的停止时间τ。我们再一次用F的递减序列来近似它-停止时间（τn）n≥1仅获取有限数量的值。因此，我们有+σ≥ YPσ（τn，bY+τn），P- a、 s.右侧的项收敛（如有必要，沿子序列收敛）P-a、 通过引理a.2（连同引理2.2）将s.转化为YPσ（τ，bY+τ）。这仍然是值得证明的-P之外的限制-极地设置。修理一些P∈ P.遵循引理3.2证明中的相同论点，我们可以证明，对于某些概率测度q相当于P Pand一些有界过程λ，Vt:=bYteRtλsds-ZteRsλudubfP，0sds是一个右连续（Q，F+）-超级鞅在q sincebY和bfp下一致可积，0在Lp（FT，P）中一致有界 P） 因此，对于某些1<P<P的情况，在L)P（FT，Q）中。因此，对于任何增加的序列ofF+-停止时间（ρn）n≥0取[0，T]中的值，序列（等式[Vρn]）n≥0是非递增的，并允许有限制。

根据[26]中的定理VI-48和andRemark VI-50（f），我们推导出V和thusbY+，允许向左-aQ之外的限制-可忽略（因此P-可忽略的引理2.1）集。此外，上述情况意味着setnω∈ Ohm :bY+（ω）左-limitso是P的补码-极坐标系，结束了证明。我们的下一个结果表明，BY+满足表示公式。这种表述对于证明第4.4节中二阶BSDE解的存在性至关重要。我们首先定义以下概率测度子集。给定（t，ω）∈ [0，T]×Ohm 过滤系数X=（Xs）t≤s≤T、 定义，ω（s，P，X）：=nP′∈ P（t，ω），P′=P。（3.8）当t=0时，我们用P（s，P，X）表示P0，ω（s，P，X）。引理3.5。假设1。1.正确。那么对于任何F-停车次数0≤ σ ≤ τ ≤ T，对于任何0≤ T≤ T，任何P∈ P、 我们有σ=ess supPP′的∈P（σ，P，F）EP′hYP′σ（τ，bYτ）Fσi，P- a、 s.，andbY+t=ess supPP\'∈P（t，P，F+）YP′t（t，ξ），P- a、 美国证据。我们从第一个等式开始。根据定义和引理3.1，对于任何P′∈ P（σ，P，F）我们有σ≥ EP′hYP′σ（τ，bYτ）Fσi，P′- a、 但是，由于不平等的双方都不平等-可测且P′与Fσ上的P一致（通过普适完成的唯一性，与FUσ上的P一致），上述也适用于P- a、 我们用σ来推导≥ ess supPP\'∈P（σ，P，F）EP′hYP′σ（τ，bYτ）Fσi，P- a、 接下来，注意引理2.6和2.7，（t，ω，Q）7-→ 情商YQt（T，ξ）波雷尔是可测量的。RecallthatbYt（ω）=supP∈P（t，ω）EPYPt（T，ξ）. 在定理2.1的证明中，可测选择定理（参见[6]中的命题7.47）表明，对于每一个ε>0，都有一系列概率测度（Qεw）w∈Ohm以至于W7-→ Qεwis Fσ可测，P- a、 e。

W∈ Ohm,通过σ（w）（w）≤ 等式εwYQεwσ（w）（T，ξ）+ ε=等式εwYQεwσ（w）（τ，YQετ）+ ε ≤ 等式εwYQεwσ（w）（τ，bYτ）+ ε、 现在让我们定义串联概率Pε：=PσQε·因此Pε∈ P（σ，P，F），然后是引理3.1，然后是σ≤ EPεhYPεσ（τ，由τ）Fσi+ε≤ ess supPP\'∈P（σ，P，F）EP′hYP′σ（τ，bYτ）Fσi+ε，P- a、 因此，我们通过ε>0的任意性来证明第一个等式。现在让我们证明第二个等式。让rn∈ Q∩ （t，t），rn↓ T

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