一类非线性核的随机控制及其应用

第一个是关于(Ohm, FXT，P）w.r.t过滤FX，PYs=ξ（X·）-ZTsfr、 X·∧r、 年（ba1/2r）Zr，bar，bPr博士-ZTsZr·dXc公关公司P-ZTsdMr，（2.4）一个解决方案是一个三元组（YPs、ZPs、MPs）∈[t，t]∈ Dpt，ω（FX，P+，P）×Hpt，ω（FX，P+，P）×Mpt，ω（FX，P+，P）满足（2.4）。请注意，在放大图中，布朗运动B独立于X，因此上面的BSDE（2.4）相当于BSDE（2.1）（请参见下面的引理2.2以获得精确的陈述和解释）。然后，我们在放大的空间中引入第二个BSDE(Ohm, FT，P），w.r.t.过滤F，eYs=ξ（X·）-ZTsfr、 X·∧r、 eYr（ba1/2r）eZr，bar，bPr博士-ZTseZr·ba1/2rdWPrP-ZTsdfMr，（2.5）一个解是一个三元组（eYPs，eZPs，fMPs）∈[t，t]∈ Dpt，ω（FP+，P）×Hpt，ω（FP+，P）×Mpt，ω（FP+，P）满足（2.5）。引理2.2。Let（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, P∈ P（t，ω）和P:=P P、 那么三个BSDE（2.1）、（2.4）和（2.5）中的每一个都有一个唯一的解，分别用（Y，Z，M）表示，Y、 Z，M和（eY，eZ，fM）。此外，它们的解在某种意义上是一致的，即存在一些函数ψ：=（ψY，ψZ，ψM）：[t，t]×Ohm -→ R×Rd×R，使得ψYandψMare F+-逐步测量和P-a、 s.cádlág，ψZis F-预测表，andYs=ψYs，Zr=ψZr，bardr- a、 e.在[t，s]上，Ms=ψMs，对于所有s∈ [t，t]，P- a、 s.，Ys=eYs=ψYs（X·），Zr=eZr=ψZr（X·），bardr- a、 e.在[t，s]上，Ms=fMs=ψMs（X·），对于所有s∈ [t，t]，P- a、 美国证据。（i） （2.5）解的存在唯一性是一个经典结果，我们可以参考[14]中的定理4.1。这样就足以证明三个BSDE在声明中给出的意义上共享相同的解决方案。在不丧失一般性的情况下，我们假设以下t=0。（ii）我们接下来证明（2.4）和（2.5）在(Ohm, FPT，P）。请注意，（2.4）的解决方案显然是（1.2）对（2.5）的解决方案。

然后我们证明（2.5）的解也是（2.4）的解。让ζ：Ohm -→ R是外汇，PT-可测量的随机变量，允许一个唯一的鞅表示ζ=EP[ζ]+ZTZζs·dXc，Ps+ZTMζs，（2.6）w.r.t.过滤FX，P+。由于B在放大的空间中独立于X，并且X在这两个空间中加入了相同的半鞅三元组特征，所以上述表示（2.6）w.r.t.FX，P+与w.r.t.FP+相同，它们在aP之前都是唯一的-转瞬即逝的场景。现在请记住，BSDE（2.5）的解实际上是作为上述鞅表示的迭代获得的（例如，参见下面的第2.2.2节）。因此，（2.5）的解显然是（2.4）的解。（iii）我们现在证明（Y，Z，M）到（2.4）的解诱导到（2.1）的解。注意Y和m是FX，P+-可选，Z是FX，P+-可预测的，那么（参见[87]中的引理2.4和[26]中的定理IV.78和注释IV.74）存在一个泛函（ψY，ψZ，ψM）：[0，T]×Ohm -→ R×Rd×RsuchψYandψMare FX+-逐步可测量和P-a、 s.cádlág，ψZis FX-可预测，对于所有t∈ [0，T]，P- a、 s.定义（ψY，0（ω），ψZ，0（ω），ψM，0（ω））：=（ψY（ω，0），ψZ（ω，0），ψM（ω，0）），其中0表示所有t∈ [0，T]。因为（ψY，ψZ，ψM）是FX-函数（ψY，0，ψZ，0，ψM，0）是逐步可测的-逐步可测量，很容易看出它们提供了一个版本的解决方案（2.1）(Ohm, FPT，P）。（iv）最后，假设（Y，Z，M）是（2.1）的解，那么有一个函数（ψY，ψZ，ψM）：[0，T]×Ohm -→ R×Rd×R使得ψYandψMare F+-逐步测量和P- a、 s.cádlág，ψZis F-可预测，对于所有t，Yt=ψt，Zt=ψZt，Mt=ψMt∈ [0，T]，P- a、 美国。

SinceP:=P P、 很容易看出（ψY，ψZ，ψM）是引理中所需的泛函。引理2.2的主要兴趣在于，当我们研究BSDE（2.1）时，它允许我们与BSDE（2.5）等价地工作，在BSDE（2.5）中，布朗运动显式地出现。在使用线性化参数时，这对我们来说尤为重要。事实上，在这种类型的论证中，通常会引入一个与P等价的新概率测度。但如果我们使用公式（2.1），则必须在新概率测度的Radon–Nykodym密度中明确显示ba的倒数。由于在我们的设置中并不总是定义这样一个逆，因此我们利用扩大的空间公式来绕过这个问题。2.2.2 BSDE（2.1）解的迭代构造在为OREM 2.1中控制问题的动态规划原理的证明做准备时，让我们首先回顾BSDE（2.1）解的YP部分在s一些概率P下的经典构造∈ P（t，ω）表示Picard迭代。让我们首先定义一下≥ 0ξm:=（ξ）∧ m）∨ (-m） ，fm（t，ω，y，z，a，b）：=（f（t，ω，y，z，a，b）∧ m）∨ (- m） 。（i） 首先，让YP，0，ms≡ 0和ZP，0，ms≡ 0，对所有人来说∈ [t，t]。（ii）给定一个F族+-逐步可测量的过程YP，n，ms，ZP，n，mss∈[t，t]，我们letYP，n+1，ms:=EPξm-ZTsfm（r，X）·∧r、 YP，n，mr，（ba1/2r）ZP，n，mr，bar，bPr）博士财政司司长, P-a、 s.（2.7）（iii）赋予YP，n+1，mbe权利——持续修改YP，n+1，由YP，n+1，ms定义的YP，n+1，mde:=lim supQR↓sYP，n+1，mr，P- a、 s.（2.8）（iv）注意，YP，n+1，mis是P下的半鞅。让hYP，n+1，m，XiPbe是P下过程YP，n+1，mand X的可预测二次协变量。definezp，n+1，ms:=ba⊕s林素福ε↓0hYP，n+1，m，XiPs- hYP，n+1，m，XiPs-εε.

（2.9）（v）注意序列（YP，n，m）n≥0是范数k（Y，Z）kα=EP的柯西序列中兴通讯αs | Ys | ds+ EP中兴αs（ba1/2s）Zsds,足够大的地方。事实上，这是BSDE经典估计的结果，我们参考了[14]的第4节。然后取一些合适的子序列（nP，mk）k≥1.我们可以定义，ms:=lim supk→∞YP，nP，mk，ms.（vi）最后，我们可以再次使用[14]中给出的估计值（再次参见第4节）来表明序列（YP，m）m≥0是Dp（FP+，P）中的一个柯西序列，因此通过取一次可测子序列（mPk）k≥1.我们可以确定BSDE asYPs的解决方案：=lim supk→∞YP，mPks。（2.10）请注意，[14]的结果适用于放大空间中形式为（2.5）的BSDE。然而，这意味着在原始空间中的收敛结果是相同的。2.2.3关于迭代的可测性问题，在这里，我们表明，第2.2.2节中的迭代可以以可测的方式进行，即参考概率测度P，这允许我们使用可测选择定理来推导动态规划原理。引理2.3。设P是M（P，ω，t）7中的可测集-→ HPt（ω）是一个可测函数，使得对于所有的P∈ P、 HPis右连续，F+-适应和a（P，FP+）-半鞅。然后有一个可测函数（P，ω，t）7-→ hHiPt（ω）使得对于所有的P∈ P、 HHIPSRIGHT–连续，F+-改编与FP+-可预测，dhHiP·是半鞅hpp证明下的可预测二次变化。（i） 每n≥ 1.我们定义了以下随机时间序列τP，n（ω）：=0，ω∈ Ohm ,τP，ni+1（ω）：=infnt≥ τP，ni（ω），HPt（ω）- HPτP，ni（ω）≥ 2.-不∧ T、 ω∈ Ohm, 我≥ 0.（2.11）我们注意到τP，都是F+-自HPR正确后的停止时间-连续andF+-改编。然后我们定义[HP]·（ω）：=lim supn→+∞xi≥0HPτP，ni+1∧·(ω) - HPτP，ni∧·(ω).

（2.12）很明显，（P，ω，t）7-→ [HP]t（ω）是一个可测函数，对于所有P∈ P、 [HP]是非递减的，F+-改编与FP+-可选择的然后，Karandikar[52]认为[HP]与半鞅在P下的二次变化相吻合。此外，通过在有理时间瞬间上取其右极限，我们可以选择[HP]是右连续的。（ii）最后，使用Neufeld和Nutz[68]的第5.1条，我们可以构造满足所需条件的processhHiPt（ω）。请注意，上述构造也可以通过极化识别hHP，1，HP，2iP对可预测的二次协变量hHP，1，HP，2iP进行定义：=hHP，1+HP，2iP- hHP，1- 惠普，2iP, （2.13）对于满足引理2.3条件的所有可测函数HP，1t（ω）和HP，2t（ω）。Wenow表明，第2.2.2节中的迭代可以以可测量的方式进行w.r.t.P，这为定理2.1的证明提供了一个关键步骤。引理2.4。设m，n>0为固定值，设（s，ω，P）7-→ （YP，n，ms（ω），ZP，n，ms（ω））是一个可测映射，使得对于每一个P∈ Pt，YP，n，mis right–连续，F+-改编与FP+-可选，ZP，n，mis F+-改编与FP+-可预测的我们可以选择一个可测量的映射（s，ω，P）7-→YP，n，ms（ω），ZP，n，ms（ω）s、 t.每P∈ Pt，YP，n+1，右偏-连续，F+-改编和FP+-可选，ZP，n+1，mis F+-改编与FP+-可预测的证据（i） 首先，使用Neufeld和Nutz[68]的引理3.1，有一个由（2.7）定义的（YP，n+1，m）版本，例如（P，ω）7-→YP，n+1，msis B 财政司司长-可测量的每一个s∈ [t，t]。（ii）接下来，我们注意到，沿着可数序列取极限并不会失去可测性。

然后，对于（YP，n+1，m）的上述版本，很明显，（2.8）定义的族（YP，n+1，ms（ω））在（s，ω，P）中是可测量的，并且对于所有P∈ Pt、YP、n+1、mis F+-改编和FP+-可选择的（iii）然后使用引理2.3以及（2.13）中二次协变量的定义，得出一个可测函数（s，ω，P）7-→ hYP，n+1，m，XiPs（ω），这样对于每一个P∈ Pt，hYP，n+1，m，XiPis右-连续，F+-适应并符合P.（iv）下YP、n+1和X的可预测二次协变量。最后，与上述版本的hYP，n+1，m，XiP, 很明显，（2.9）定义的族（ZP，n+1，ms（ω））在（s，ω，P）和每个P中都是可测量的∈ Pt，ZP，n+1，mis F+-改编和FP+-可预测的引理2.5。每P∈ Pt，有一个右-续，FP+-鞅MP，n+1，P下的morthogonalto X，这样P- a、 s.YP，n+1，mt=ξm-ZTtfm（s，X）·∧s、 YP，n，ms（ba1/2s）ZP，n，ms，bas，bPs）ds-ZTtdMP，n+1，毫秒-ZTtZP，n+1，ms·dXc，PsP.（2.14）证据。利用Doob的上交不等式，极限limr↓sYP，n+1，MRP-几乎可以肯定，每一个P∈ Pt。换句话说，YP，n+1，mis是半鞅YP，n+1，m的右连续修改的一个版本。使用鞅表示，可以得出右连续，FP+-鞅MP，n+1，P下的morthogonal到X，和一个FP+-可预测过程bzp，n+1，msuch thatYP，n+1，mt=ξm-ZTtfm（s，X）·∧s、 YP，n，ms（ba1/2s）ZP，n，ms，bas，bPs）ds-ZTtdMP，n+1，毫秒-ZTtbZP，n+1，ms·dXc，PsP.尤其是bZP，n+1，msatis fieshyp，n+1，m，Xc，Pit=ZtbasbZP，n+1，msds，P- a、 此外，根据ZP的定义，n+1，min（2.9），一个hasZtbasZP，n+1，msds=hYP，n+1，m，Xc，Pit=ztbaszp，n+1，msds，P- a、 接下来就是ZT（ba1/2s）（ZP，n+1，毫秒）-bZP，n+1，毫秒）ds=Zt（ZP，n+1，ms-bZP，n+1，毫秒）bas（ZP，n+1，ms）-bZP，n+1，ms）ds=0，P- a、 因此（2.14）是正确的。引理2.6。

有子序列族（nP，mk，k≥ 1） 和（mPi，我≥ 1） 使得极限YPs（ω）=limi→∞林克→∞YP，nP，mk，MPI所有人的性别歧视者∈ [t，t]，P-几乎可以肯定，对每个人来说∈ Pt和（s，ω，P）7-→ YPs（ω）是一个可测函数。此外，YPDE为每个P提供了BSDE（2.1）的解决方案∈ Pt。证据根据（1.4）中的条件，（YP，n，m，ZP，n，m）n≥1在（P，β）下提供Picard迭代-标准值，对于足够大的β>0（参见[14]第4节），定义为|||||P，β：=EP“supt≤s≤Teβs |~ns |#。因此，YP，n，mconverges（在（P，β）下）-正常）到某个过程YP，mas n-→ ∞, 它解决了BSDE（2.1）的截断终端条件ξ和截断发电机fm。此外，根据[14]第4节（再次参见脚注2）中的估计，（YP，m）m≥1是Dpt中的Cauchysequence，ω（FP+，P）。然后使用[68]中的引理3.2，我们可以找到两个子序列族（nP，mk，k≥ 1，P∈ Pt）和（mPi，i）≥ 1，P∈ Pt）满足要求的性能。2.2.4定理2的证明结束。现在我们可以完成定理2.1中动态规划的证明。首先，让我们为BSDE（2.1）提供一处塔楼物业。引理2.7。Let（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, P∈ P（t，ω），τ是F-[t，t]和[t]中的停止时间取值YP，ZP，MP是P下BSDE（2.1）的一个解，然后一个hasYPt（T，ξ）=YPtτ、 YPτ= 埃及τ、 EPYPτFτ, P- a、 美国证据。（i） 给出解决方案YP，ZP，MP到P w.r.t下的BSDE（2.1），过滤FP+=（FPs+）t≤s≤T、 一则hasYPt=YPτ-Zτtfs、 X·∧s、 YPs（ba1/2s）ZPs、bas、bPsds-ZτtZPs·dXc，PsP-ZτtdMPs，P- a、 通过采用条件期望w.r.t。

FPτ在P下，它的结果是- a、 美国，YPt=EPYPτFPτ+Zτtfs、 X·∧s、 YPs（ba1/2s）ZPs、bas、bPsds-ZτtZPs·dXc，PsP-ZτtdfMPs，我们再次提醒读者，首先应将[14]的结果应用于放大空间中相应的Picard迭代f（2.5），然后使用引理2.2返回原始空间。式中，fmpτ：=EPMPτFPτ, 当s<τ时，和Fmps:=mpsW。通过识别，我们推断出Fmpτ=MPτ+EPYPτFτ- YPτ。此外，很明显，FMP∈ Mpt（FP+，P）和fmpis与P下的连续鞅X正交。（ii）现在让我们考虑带生成元f和终端条件EP的BSDEYPτFPτ, 关于[t，τ]。通过BSDE解的唯一性，可以得出YPt（T，ξ）=YPtτ、 YPτ= 埃及τ、 EPYPτFτ, P- a、 美国证据。【定理2.1的证明】（i）首先，通过假设1.1中的第（iii）项，可以清楚地看出bYt（ω）=bYt（ωt）∧·). 此外，由于（t，ω，P）7-→ YPt（ω）是一个从[0，T]×开始的Borel可测映射Ohmx Mto Rby引理2.6，图[[P]]也是[0，T]×中可测的BorelOhm假设1.1，可测选择定理得出（t，ω）7-→bYt（ω）是B（[0，T]） 英尺-普遍可测量（或更精确地说，上半解析，参见Bertsekas和Shreve[6]的命题7.47或Dellacherie和Meyer[26]的定理III.82（第161页）。（ii）现在，使用可测量选择参数，DPP以及比τ的可积性是比较原理和BSDE（2.1）稳定性的直接结果。首先，对于每一个P∈ P（t，ω）和ε>0，使用可测选择定理（参见[6]中的命题7.50或[26]中的定理III.82），可以选择一系列概率测度（Qεw）w∈Ohm以至于W7-→ Qεwis Fτ-可测量，对于P- a、 e.w∈ Ohm,Qεw∈ P（τ（w），w）和byτ（w）（w）- ε ≤ 等式εwYQεwτ（w）（T，ξ）≤通过τ（w）（w）。

（2.15）然后我们可以确定串联概率Pε：=PτQε，根据假设1.1（v），Pε∈ P（t，ω）。注意，P和Pε在Fτ上重合，因此EPε也重合YPετFτ∈ Lpt，ω（Fτ，P）。根据（2.15）中的不等式，EP按τP< ∞.此外，利用引理A.1中BSDE（2.1）解的稳定性（连同引理2.2），它遵循BYT（ω）≥ εYPεt= εYPεt（τ，YPετ）= EP埃及τ、 εYPετFτ≥ EPYPt（τ，乘以τ）- Cε，对于一些与ε无关的常数C>0。通过ε>0和p的任意性∈ P（t，ω），我们可以得出这样的结论：byt（ω）≥ 晚餐∈P（t，ω）EPYPt（τ，乘以τ）.最后，对于每一个P∈ P（t，ω），我们有YPt（t，ξ）=YPtτ、 YPτ= 埃及τ、 EPYPτFτ, P- a、 它遵循BSDE（2.1）的比较原理（参见附录中的引理a.3和引理2.2），即BYT（ω）：=supP∈P（t，ω）EPYPt（T，ξ）= 晚餐∈P（t，ω）EPhYPtτ、 EPYPτFτ我≤ 晚餐∈P（t，ω）EPYPt（τ，乘以τ）.因此，我们得出结论。2.2.5进一步讨论请注意，证明BYT（ω）可测性的基本论点是以可测的方式构造关于不同概率的BSDE解。然后，动态规划原理直接来源于可测选择定理，以及BSDE的比较和稳定性。这种通用方法不限于使用Lipschitz生成器的BSDE。实际上，任何可由Lipschitz BSDE的可数序列逼近的BSDE的解都直接继承了可测性。更准确地说，我们有以下主张，也适用于BSDEs的特定超级解决方案（有关精确定义，请参见[38]第2.3节）。提议2.1。假设YP是BSDE的（最小）超级解决方案的第一个组成部分，该解决方案具有非Lipschitz生成器。

我们有（i）i如果有一个族（YP，n），它对应于Li pschitzBSDEs族的第一个组成部分，以及一个子序列（nPk）k族≥如此，第7页-→ nPkis（Borel）可测量，Yp=limk→∞YP，nPk。然后（s，ω，P）7-→ EPYPs是一个可测映射，和（t，ω）7-→bYt（ω）是B（[0，T]） 英尺-普遍可测量。（ii）此外，如果Ypschitz的（可能是非-Lipschitz）BSDE允许比较原则和稳定性结果w.r.t.其终端条件，那么对于所有（t，ω）∈ [0，T]×Ohm 安德夫-停止时间τ取[t，t]中的值，我们有byt（ω）=supP∈P（t，ω）EPhYPtτ、 按τi、 特别是，该结果可应用于线性增长的盲源分离装置[60]，y方向上一般增长的盲源分离装置[75]，二次盲源分离装置[3,55,56]，无限视界盲源分离装置[24]，反射盲源分离装置[37]，约束盲源分离装置[20,77]（仅适用于点（i）），。。。备注2.2。在假设1.1中，终端条件ξ：Ohm -→ R被认为是可测量的，与受控扩散/跳跃过程问题（其中ξ仅被认为是上半解析的，参见[67]或[41]）中的结果相比，这更具限制性。然而，这种Borel可测性条件在我们的BSDE环境中至关重要。例如，当f（t，ω，y，z，a，b）=| z |时，我们知道BSDE（2.1）的解由in f | P给出∈~PE~P[ξ]对于某一类~P的概率测度等价于P。