一类非线性核的随机控制及其应用

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英文标题：
《Stochastic control for a class of nonlinear kernels and applications》
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作者：
Dylan Possama\\\"i and Xiaolu Tan and Chao Zhou
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We consider a stochastic control problem for a class of nonlinear kernels. More precisely, our problem of interest consists in the optimisation, over a set of possibly non-dominated probability measures, of solutions of backward stochastic differential equations (BSDEs). Since BSDEs are nonlinear generalisations of the traditional (linear) expectations, this problem can be understood as stochastic control of a family of nonlinear expectations, or equivalently of nonlinear kernels. Our first main contribution is to prove a dynamic programming principle for this control problem in an abstract setting, which we then use to provide a semi-martingale characterisation of the value function. We next explore several applications of our results. We first obtain a wellposedness result for second order BSDEs (as introduced in [86]) which does not require any regularity assumption on the terminal condition and the generator. Then we prove a nonlinear optional decomposition in a robust setting, extending recent results of [71], which we then use to obtain a super-hedging duality in uncertain, incomplete and nonlinear financial markets. Finally, we relate, under additional regularity assumptions, the value function to a viscosity solution of an appropriate path-dependent partial differential equation (PPDE).
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中文摘要：
我们考虑一类非线性核的随机控制问题。更准确地说，我们感兴趣的问题在于优化倒向随机微分方程（BSDE）的解，通过一组可能非支配的概率测度。由于BSDE是传统（线性）期望的非线性推广，该问题可以理解为一系列非线性期望的随机控制，或等效的非线性核。我们的第一个主要贡献是在一个抽象的环境中证明这个控制问题的动态规划原理，然后我们用它来提供值函数的半鞅特征。接下来，我们将探讨我们的结果的几个应用。我们首先得到了二阶BSDE（如[86]中介绍的）的适定性结果，它不需要对终端条件和生成器进行任何正则性假设。然后，我们证明了稳健环境下的非线性可选分解，扩展了[71]的最新结果，然后我们利用这些结果在不确定、不完全和非线性金融市场中获得了超套期对偶。最后，在额外的正则性假设下，我们将值函数与适当的路径相关偏微分方程（PPDE）的粘性解联系起来。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Stochastic_control_for_a_class_of_nonlinear_kernels_and_applications.pdf (502.89 KB)

2022-5-9 10:14:10 上传

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关键词：随机控制 非线性 Differential Applications Expectations

一类非线性核函数的随机控制及其应用*谭小璐+潮州2017年7月28日摘要我们考虑一类非线性核的随机控制问题。更准确地说，我们感兴趣的问题在于，在一组可能非支配的概率测度上，对倒向随机微分方程（BSDE）的解进行优化。由于BSDE是传统（线性）期望的非线性推广，这个问题可以理解为一系列非线性实验的随机控制，或等价于非线性核的随机控制。我们的第一个主要贡献是在bs域环境中证明该控制问题的动态编程原理，然后使用该原理提供值函数的asemi-鞅特征。接下来我们将探讨我们的结果的各种应用。我们首先得到了二阶BSDE（如[86]中所述）的适定性结果，它不需要对终端条件和生成器进行任何正则性假设。然后，我们在稳健的s-集中证明了一个非线性的期权分解，扩展了[71]的最新结果，然后我们利用这个结果在不确定、不完全和非线性的金融市场中获得了一个超套期对偶。最后，在其他正则性假设下，我们将值函数与适当路径依赖的部分微分方程（PPDE）的粘度解联系起来。关键词：随机控制，可测选择，非线性核，二阶BSDE，路径依赖型偏微分方程，鲁棒超级混合MSC 2000主题分类：60H10；60H301简介动态规划原理（简称DPP）自20世纪70年代开始应用以来，一直是控制理论中的主要工具。

非正式地说，这个原则简单地说，全局优化问题可以分为一系列局部优化问题。尽管这一原则非常直观，但其严格的公正性已被证明是一个令人惊讶的难题。因此，对于随机控制问题，动态规划原理是*巴黎大学——巴黎理工学院研究大学道普·海恩，法国巴黎，法国塞雷梅德，75016，possamai@ceremade.dauphine.fr+巴黎大学——巴黎理工大学多芬分校，法国巴黎塞雷梅德国家研究院，75016，tan@ceremade.dauphine.fr新加坡国立大学数学系，matzc@nus.edu.sggenerally基于控制关于条件和串联的稳定性，以及一个可测量的选择参数，粗略地说，它允许证明相关值函数的可测量性，以及通过“粘贴”构造几乎最优的控制。这正是Bertsekas和Shreve[6]以及Dellacherie[25]针对离散时间随机控制问题所采用的方法。在连续的时间里，对动态规划原理的全面研究仍然比较难以捉摸。

因此，El Karoui在[34]中建立了连续时间环境下最优停止问题的动态规划原理，关键是利用了停止时间的强稳定性，以及在这种情况下可以避免可测量选择论证的事实，因为本质上确界的超限时间可以用可数随机变量族上的上确界来近似。后来，对于一般受控马尔科夫过程（连续时间）问题，El Karoui、HuuNguyen和Jeanblanc[36]提供了一个框架，通过将控制解释为正则轨道空间上的概率测度，利用可测选择定理推导出动态规划原理（参见[36]中的定理6.2、6.3和6.4）。推导DPP的另一种常用方法是，在附加假设下，通过证明值函数的先验规律性，绕过可测量选择论证。这是弗莱明和索纳[43]以及布沙尔和图齐[15]的所谓弱势民进党所采取的策略，后来布沙尔和努茨[10,12]和布沙尔[10,12]扩大了这一策略，Moreau和Nutz[9]研究了具有状态约束的最优控制问题，以及不同的问题（参见Dumitrescu、Quenez和Sulem[30]，了解BSDES上的联合停止-控制问题）。这种弱DPP的主要动机之一是，它通常足以将值函数描述为关联的Hamilton–Jacobi–Bellman偏微分方程（PDE）的粘性解。我们还要提到Bay raktar和s^irbu开发的所谓随机Perron方法，参见[4,5]，该方法允许马尔可夫问题在不使用DPP的情况下获得值函数的粘性解特征，然后将后者证明为后验概率。

最近，受新兴稳健金融理论的推动，Nutz等人[67,73]给出了一个框架，该框架允许证明次线性预期（或相当于非马尔可夫随机控制问题）的动态规划原理，其中的基本论点与[36]中的论点相近，尽管该陈述更现代、更具教育性且更容易理解。ElKaroui和Tan[41,42]也在比之前的参考文献更一般的背景下研究了连续时间的问题，但仍然基于与[36]和[67]相同的论点。然而，所有的ab ove工作只考虑了需要被定性为次线性的情况。事实上，所考虑的控制问题通常包括最大化对控制集的期望。尽管如此，在阿吉文概率空间上所谓的非线性预期（也就是说，作用于随机变量的算子保留了预期的所有属性，但保持了线性）现在已经有了很长的历史，无论是从经济学中使用的容量理论，还是将不满足冯·诺依曼和摩根斯坦通常公理的经济主体的偏好公理化，或是来自开创性的g-彭[76]介绍的期望值（orBSDEs）。

在继续之前，让我们回顾一下，在一个带有布朗运动W的概率空间的简单设置中，通过其（完成的）自然过滤，找到了一个具有生成器g和终端条件ξ的BSDE的解∈ FTA是指找到一对F-逐步可测量的过程（Y，Z），使得yt=ξ-ZTtgs（Ys，Zs）ds-ZTtZs·dWs，t∈ [0，T]，a.s.从随机控制的角度来看，这一理论特别有吸引力，因为它被构造为过滤（或时间）一致的，也就是说，它的条件版本满足与线性预期类似的塔特性，这本身就是一种动态编程原理。此外，Coquet等人[19]已经证明，满足适当控制属性的本质上是过滤一致的非线性预期可以用BSDE表示（我们请读者参考[50]和[18]了解该结果的最新扩展）。因此，我们在本文第2节中的第一个贡献是推广可测量选择参数，以在非线性期望（或核）的最优s-to快速控制的背景下推导动态规划原理，该非线性期望（或核）可以用BSDE表示（如上所述，这不是一个严格的假设）。我们强调，suchan扩展肯定不是直接的。事实上，在线性期望的背景下，有一个非常成熟的理论研究给定映射的可测性属性如何受到其与所谓随机核的积分的影响（粗略地说，在我们的背景下，人们可以将其视为条件期望的常规版本，例如[6，第7章]）。例如，将Borel映射与Borel随机核进行积分可以保持Borel可测性。

然而，在BSDE的情况下，必须对非线性随机核进行积分，就我们所知，不存在这种可测性理论。此外，我们还得到了控制问题的值函数的s emi-鞅分解。这是第三节的目标。现在让我们解释一下我们研究这个问题的动机来自哪里。研究BSDE受控系统的问题并不新鲜。例如，El Karoui and Quenez[39,40]和Hamadène and Lepeltier[47]（另见[38]和其中的参考文献）指出，只有通过受控BSDE族才能表示漂移控制的随机控制问题（其本身可以由具有凸生成器的唯一BSDE来表示）。最近，出于获得完全非线性随机微分方程的概率表示的动机，Soner、Touzi和Zhang[86,87]（另见早期著作[16]和[85]）引入了一种二阶BSDE（s hort的2BSDE），其解实际上可以写成一个上确界，覆盖一系列非支配概率测度（不像[40]中的家族是支配的），标准的BSDE。因此，2BSDE正好属于我们要研究的一类问题，即非线性核的随机控制。[86,87]的作者设法获得了动态规划原理，但在终端条件和BSDE生成器上的强连续性假设w.r.t.ω下，获得了相应随机控制问题的值函数的半鞅分解，从而确保了相关2BSDE的适定性。同样，这些正则性假设是为了先验地获得值函数的连续性，这允许完全避免使用可测选择定理。

从那时起，2BSDE理论得到了扩展，允许更一般的生成器、过滤和约束（见[53、54、63、65、79、81]），但在规律性假设方面没有取得任何进展。然而，事实证明，2BSDE（例如参见[66]）为研究所谓的金融泡沫问题提供了一个特别好的框架，该框架由[2,61]引入，并由[27]在更严格的环境中引入。然而，规律性假设对该理论的潜在应用范围造成了很大的限制。我们还想提到彭[78]提出的一个相关理论，该理论是围绕G的概念发展起来的-期望，这导致了G-BSDEs（见[48,49]）。他们不是在一个固定的概率空间中工作，该空间包含与控制相对应的不同概率度量，而是直接在一个次线性期望空间中工作，在该空间中，规范过程已经将不同的度量合并在一起，而不必参考概率设置。尽管他们的证明方法不同，因为他们主要使用PDE参数来构造马尔科夫案例中的解决方案，然后是闭包参数，最终的对象非常接近2BSDE，在规则性方面有类似的限制。此外，他们使用的偏微分方程方法不可能与没有任何规律性的理论兼容，因为他们认为偏微分方程至少需要有一个连续解。

另一方面，2BSDE的概率方法更有希望，因为如[73]所示，在线性预期的情况下（即BSDE的生成器为0），只要假设终端条件（Borel）是可测量的，就可以很好地定义一切。第三种理论与2BSDE有着深刻的联系，即完全非线性路径依赖型偏微分方程（简称PPDE）的粘性解，Ekren、Keller、Touzi和Zhang[31,32,33]最近介绍了这一理论。事实上，他们证明了一个2BSDE的解，在一个生成器和一个终端条件一致连续（ω）的情况下，只不过是一个特定PPDE的粘度解，这使得之前的2BSDE理论成为PPDE理论的一个特例。因此，本文的第二个贡献是，我们展示了（一个合适的版本）我们已经获得的值函数。动态规划原理提供了一个2BSDE的解，而不需要任何正则性假设，这是PPDE理论无法涵盖的情况。这就解决了存在性问题，而对于anyp>1，wetackle则通过对解的先验估计来解决唯一性问题。我们强调，在我们考虑的非常一般的情况下，经典的预处理方法失败了（特别是因为我们处理的过滤通常不是准左连续的），并且估计结果来自我们在随附的论文[14]中证明的一般结果。特别是，我们的适定性结果直接包含了BSDEs理论作为特例，这对于[86]的2BSDEs或G-BSDE（事实上，首先必须证明aLusin型结果，该结果表明，固定P的Lp（P）范数的一致连续随机变量空间的闭包实际上是整个空间）。

此外，我们可以考虑的概率测度的类别比之前文献中考虑的要普遍得多，即使考虑到扩散系数的退化。这是第四节的主题。本文的其余部分主要关注之前理论的应用。首先，在第5节中，我们使用我们之前的结果来获得一个非线性和稳健的推广，称为超鞅的可选反演（更多细节参见[40,57]和第5节中给出的其他参考文献），这在文献中是新的。这使得我们可以在一个额外的假设下引入一个新的解决方案概念，即我们创造的饱和2BSDE，该假设说明度量族已经足够丰富了。这种新公式的优点是，它允许我们摆脱通常出现在2BSDE定义中的正交鞅（更多细节请参见定义4.1和5.2）。这在某些应用中尤其重要，例如参见[22]。然后，我们给出了非线性和不完全金融市场中未定权益稳健定价的对偶结果。最后，在第6节中，我们回顾了当我们在额外的规律性假设下工作时，2BSDE和PPDE之间的联系。与[32]相比，我们的结果可以适应退化差异。最后，我们想强调一个事实，即我们的新结果具有更深远的应用，而不仅仅是数学上的扩展。