最优投资组合清算与动态均值-方差准则

因此，C~η（t）xT- t+O（t- t） ，f~η（t）xT- t+O（t- t） ，t- T→ 0.我们寻找PDE的候选解，其形式为c=xD（t）+βE（t）+xβF（t）+xG（t）+βH（t）+I（t），F=xL（t）+βM（t）+xβN（t）+xO（t）+βP（t）+Q（t）。（31）我们将（31）插入（29）（30）并获得一个ODE系统。-dDdt=-ηD+μσ（1+N）+μσN，D~ηT-t、 t→ T-dEdt=-2θE-4ηF+4u（σ+σ）M，E（T）=0，-dFdt=-θ - θF-ηDF+4μσ（1+N）M+4μσMN，F（T）=0，-dGdt=-ηDG+2u（σ+σ）NP，G（T）=0，-dHdt=-θH-2ηF G+4u（σ+σ）MP，H（T）=0，-dIdt=（σ+σ）E-4ηG+u（σ+σ）P，I（T）=0，-dLdt=ηD-ηDL，L~ηT-t、 t→ T-dMdt=4ηF- 2θM-2ηF N，M（T）=0，-dNdt=-θ+ηDF- θN-η（DN+FL），N（T）=0，-dOdt=η（DG）- 做- GL），O（T）=0，-dPdt=-θP+2η（fg）- 福- GN），P（T）=0，-dQdt=4ηG- （σ+σ）M-2ηGO，Q（T）=0。（32）从（32）中，我们可以发现G，O，P的解是微不足道的，即G=O=P=0。因此，最佳策略变为*=2η（2Dx+Fβ），只引起D和F。因此，（32）可以减少到（33），这给出了最佳策略。-dDdt=-ηD+μσ（1+N）+μσN，D~ηT-t、 t→ T-dFdt=-θ - θF-ηDF+4μσ（1+N）M+4μσMN，F（T）=0，-dLdt=ηD-ηDL，L~ηT-t、 t→ T-dMdt=4ηF- 2θM-2ηF N，M（T）=0，-dNdt=-θ+ηDF- θN-η（DN+FL），N（T）=0。（33）综上所述，最优策略由Γ给出*（t，X（t），β（t））=2η（t）（2D（t）X（t）+F（t）β（t））。例1如果我们设置θ=0，那么这个模型就简化为基本模型。从（32）中，如果θ=0，即F=M=N=0，则可以找到F，M，N的解。

因此-dDdt=-ηD+μσ，D~ηT-t、 t→ T-dLdt=ηD-ηDL，L~ηT-t、 t→ T.如果我们限制σ和η为常数，我们得到，D（T）=qμησcothsμση（T）- （t）,然后呢*（t，X（t））=X（t）sμσηcothsμση（T）- （t）.4随机流动性和波动性在本节中，我们考虑基本模型中的流动性影响η（t）和σ（t）依赖于交易头寸X（t）和代表“市场状态”的自变量ξ（t），即dξ（t）=aξ（t）dt+bξ（t）dB（t），其中aξ和bξ是t的已知函数，b是独立于W的布朗运动。与前面章节相对应的推导得出了价值函数J（t）=J（ξ（t），X（t），t）=Et（Y*（T））+uV艺术（Y）*（T））=Y（T）+C（T），其中C（T）=C（ξ（T），X（T），T）。我们也有*（T））=Y（T）+f（T），其中f（T）=f（ξ（T），X（T），T）=EtZTtη（t）（η）*（t） ）dt. （34）命题3关于最优交易问题的HJB方程由0=Cξbξ+Cξaξ+Ct+min~n{ηΓ给出- Cx~n}+uσx+ubξfξ，（35），其中最小值为clea rl y~n*=Cx2η和f满足度0=η（η）*)+fξbξ+fξaξ- fx~n*+ ft.（36）证明：像往常一样，我们有0=minаEt（dY（t）+dC（t））+uV art（dY（t）+df（t））。使用It^o引理，在插入X（t）=X，ξ（t）=ξ，0=min~n{ηΓdt+Cξbξdt+Cξaξdt后- Cx~ndt+Ctdt+uV art（σxdW+σfξbξdB）}=min~n{ηΓdt+Cξbξdt+Cξaξdt- Cxνdt+Ctdt+uσxdt+ufξbξ}，因此（35）如下，最优策略由Γ给出*=Cx2η。再加上下面的第（34）、（36）条。因此，C和f的两个偏微分方程可以导出为f ollows0=Cξξbξ+Cξaξ+Ct-Cx4η+uσx+ufξbξ，（37）0=Cx4η+fξbξ+fξaξ-Cxfx2η+ft.（38）很难找到偏微分方程系统的显式解决方案，但在某些假设下，我们仍然可以找到一个。例2这里我们提供了一个捕捉随机波动性和时变流动性影响的例子，其中我们假设σ（t）=qξ（t）X（t）/（t-t） 。Blais和Protter（2010）使用滴答数据检验供给曲线的结构。

他们发现，对于高流动性股票，供给曲线实际上是线性的，其斜率随时间而变化。他们的经验分析还表明，坡度变化不大。这支持我们使用时变流动性影响η（t）。实证调查（Jones，Kaul and Lipson（1994））显示，交易规模、交易量和股票波动性之间存在显著的正相关关系。如果从时间t到t，股票的流动性主要由交易者提供。流动性的波动性和速度之间存在正相关关系。流动性的平均速度固定在0到T之间，即x/T。因此，时间t的波动率与流动性从t到t的平均速度之间存在负相关，即X（t）/（t- t） 。

这证明了我们的假设σ（t）=qξ（t）X（t）/（t-t） 。我们寻找一种形式的解：C=xD（t）+ξE（t）+xξF（t）+xG（t）+ξH（t）+I（t），F=xL（t）+ξM（t）+xξN（t）+xO（t）+ξP（t）+Q（t），（39）带C~η（t）xT- t+O（t- t） ，f~η（t）xT- t+O（t- t） ，t- T→ 因此，我们得到了一个常微分方程组。-dDdt=-ηD+ubξN，D~ηT-t、 t→ T-dEdt=-4ηF+4ubξM，E（T）=0，-dFdt=-ηDF+4ubξMN+u（T- t） ，F（t）=0，-dGdt=-ηDG+2ubξNP+aξF，G（T）=0，-dHdt=-2ηF G+4ubξMP+2aξE，H（T）=0，-dIdt=bξE-4ηG+ubξP+aξH，I（T）=0，-dLdt=ηD-ηDL，L~ηT-t、 t→ T-dMdt=4ηF-2ηF N，M（T）=0，-dNdt=ηDF-η（DN+FL），N（T）=0，-dOdt=η（DG）- 做- GL）+aξN，O（T）=0，-dPdt=2η（F G- 福- gn）+2aξM，P（T）=0，-dQdt=4ηG-2ηGO+aξP+bξM，Q（T）=0。（40）最优策略变为Γ*（t，X（t），ξ（t））=2η（t）（2D（t）X（t）+F（t）ξ（t）+G（t））。图1：基本模型中的交易策略，具有不同的波动性和流动性值影响0.5 1 1.5 2 2.5 3 3 3.5 4 4.5 502046080米交易速度σ=0.2，η=0.1σ=0.2，η=0.5（a）0 0.5 1 1 1.5 2.5 3 3 3.5 4 4 4.5 5050100150200米交易速度σ=0.5，η=0.1σ=0.5，η=0.5（b）5本节中的数值说明，我们用动态均值-方差准则给出了三个定量交易模型的数值例子。我们的交易目标是在一周内（5个工作日，即T=5）购买10 0股股票（x=100），我们设置参数u=1。图1给出了基本模型中的交易策略，该模型具有不同的可变价值和流动性影响。在图2中，我们展示了股票价格和定价信号的四条模拟路径上的交易策略。

为简单起见，我们假设时变参数为常数，并将各种参数的值总结为S=100美元，σ=σ=0.5，η=0.1。图（2a）、（2c）、（2e）给出了α=102美元时的交易速度，θ=0.2，图（2b）、（2d）、（2f）给出了α=98美元时的交易速度，θ=0.2，图（3a）、（3c）、（3e）给出了α=102美元时的交易速度，图（3b）、（3d）、（3f）给出了α=102美元时的交易速度，θ=0.05。当θ=0时，随机信号模型退化为基本模型。图3显示了随机波动率模型中的交易策略（示例1）。为了简单起见，我们假设aξ和bξ是常数，我们将参数值总结如下：aξ=0，bξ=0.1，η=0.1，ξ=1，S=$100。图2：随机定价信号的交易策略（I）01 2 3 4 5101.2101.4101.6101.8102102.2102.4102.6102.8103103.2时间信号（a）01 2 3 4 59797.297.497.697.89898.298.4信号（b）01 2 4 599.299.699.8100100.2100.6100.8101时间股价（c）01 2 3 4 59797.59898.59898.5100.5-2002040608010120140时间交易速度（e）0 1 2 3 4 5-20020406080100120交易策略（f）图3：随机定价信号的交易策略（II）01 2 3 4 5101.5102102.5103103.5104时间信号（a）01 2 3 4 59797.297.497.697.89898.298.4时间信号（b）01 2 3 4 5100100.2100.4100.6100.8101101.4101.6101.8时间股价（c）01 2 3 4 59999.299.699.699.8100100.4时间股价（d）01-2002040608010120140160时间交易速度（e）01 2 3 4 5050100150时间交易速度（f）图4：随机波动率模型中的交易策略01 2 3 4 50.80.850.90.9511.051.11.15时间市场状态（a）01 2 3 4 5-10010203040506070时间交易速度（b）6结论在本文中，我们考虑了动态均值方差准则下的定量交易问题，并在三个进口蚂蚁模型中得到了时间一致性解。

我们给出了在任意时刻重新考虑均值方差问题下的最优策略。当引入随机m定价信号时，我们还制定了明确的交易策略。在考虑随机流动性和波动性时，我们给出了精确的HJB方程。通过实证研究，得到了给定结构下随机波动率模型的显式解。参考文献[1]R.Almgren（2012），《具有随机流动性和波动性的最优交易》，暹罗J.金融数学。，3, 163-181.[2] R.Almgren和N.Chriss（2000），投资组合交易的最佳执行，J.风险，3,5-39。[3] S.Basak a和G.Chabakauri（2010），动态平均方差资产配置，修订版。《金融》，232970-3016。[4] M.Blais和P.Protter（2010），通过账面数据分析流动性风险的供给曲线，Int.J.Theor。阿普尔。《金融》，13821-838。[5] M.Carhart（1997），关于共同基金业绩的持续性，J.Finance，52,57-82。[6] M.Christiansen和M.Ste ffeensen（2013），《消费和投资的确定性均方差》，随机：概率和随机过程国际期刊，85（4），620-636。[7] E.Fama和K.French（1993），股票和债券收益中的常见风险因素，金融经济学杂志，33，3-56。[8] I.Kharroubi和H.Pham（2010），具有执行成本和风险的最优投资组合清算，暹罗J.金融数学。，1, 897-931.[9] R.Korn，具有非负财富过程的L-对冲的一些应用，应用。数学财务部。4(1) (1 997), 64-79.[10] R.K orn和S.Trautmann（1995），最终财富约束下的连续时间投资组合优化，Z.Oper。第42（1）号决议，第69-92条。[11] C.M.Jones，G.Kaul和M.L.Lipson（1994），《交易、交易量和波动性》，修订版。F财政部。螺柱。，7, 63 1-651.[12] C.G。拉穆鲁和W.D。

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