最优投资组合清算与动态均值-方差准则

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英文标题：
《Optimal Portfolio Liquidation and Dynamic Mean-variance Criterion》
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作者：
Jia-Wen Gu and Mogens Steffensen
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  In this paper, we consider the optimal portfolio liquidation problem under the dynamic mean-variance criterion and derive time-consistent solutions in three important models. We give adapted optimal strategies under a reconsidered mean-variance subject at any point in time. We get explicit trading strategies in the basic model and when random pricing signals are incorporated. When we consider stochastic liquidity and volatility, we construct a generalized HJB equation under general assumptions for the parameters. We obtain an explicit solution in stochastic volatility model with a given structure supported by empirical studies.
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中文摘要：
在本文中，我们考虑了动态均值-方差准则下的最优投资组合清算问题，并在三个重要模型中得到了时间一致性解。在重新考虑均值-方差问题的情况下，我们给出了在任意时刻的自适应最优策略。在基本模型中，当引入随机定价信号时，我们得到了明确的交易策略。当我们考虑随机流动性和波动性时，我们在参数的一般假设下构造了一个广义HJB方程。通过实证研究，我们在给定结构的随机波动率模型中得到了一个显式解。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> Optimal_Portfolio_Liquidation_and_Dynamic_Mean-variance_Criterion.pdf (518.72 KB)

2022-5-9 10:19:28 上传

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关键词：投资组合 Quantitative liquidation Assumptions agent-based

最优投资组合清算与动态均值方差准则贾文谷*Mogens Ste ffe ensen+2015年11月2日摘要在本文中，我们考虑了动态均值-方差准则下的最优投资组合清算问题，并在三个重要模型中导出了时间一致性解。在重新考虑均值方差的情况下，我们给出了在任意时间点的自适应最优策略。在基本模型中，当引入随机定价信号时，我们得到了明确的交易策略。当我们考虑随机流动性和波动性时，我们在参数的一般假设下构造了一个广义HJB方程。通过实证研究，我们在给定结构的随机波动率模型中得到了一个显式解。1简介由于金融机构和对冲基金通常使用定量交易，交易规模通常较大，可能涉及数十万股股票和其他证券的买卖。然而，个人投资者也普遍使用定量交易。股票和其他资产类别的代理算法交易的一个基本部分是交易安排。给定一个交易目标，即在固定时间之前必须购买或出售的股票数量，交易计划意味着计划从交易开始到地平线之间的每一时刻将购买或出售多少股票。这样做是为了优化执行质量的某些度量，通常是相对于一些基准价格的最终平均执行价格。Almgren和Chriss（2000年）考虑了portfo lio交易的执行，目的是将波动风险和交易成本的组合降至最低*丹麦哥本哈根哥本哈根大学数学科学系。

（电子邮件：卡曼）。jwgu@gmail.com).+丹麦哥本哈根大学数学科学系。（电邮：mogens@math.ku.dk).永久和暂时的市场影响。Kharroubi和Huy^en Pham（2010）在一本限价订单书中研究了有限期限内的最优投资组合清算问题，分别采用买卖价差和临时市场价格影响惩罚快速执行交易。Almgren（2012）考虑了当市场流动性和波动性随时间变化较大时，均值-方差最优代理执行策略的问题。他根据这些参数满足的随机过程的特定假设，根据“小影响近似”构造了一个HJB方程。Markowitz（1952）的均值-方差分析长期以来被认为是现代投资组合理论的基石。在Korn和Tr autmann（1995）、Korn（1997）和Zhou和Li（2000）中，通过将动态均值方差优化形式化地与二次效用联系起来，重新获得了关注。同样的问题被归类为预承诺的平均方差优化（详情见Christiansen和Ste ffeensen（2013））。最近，Basak和Chabakauri（2010）重新引起了人们的注意，他们对周和L i（2000）假设的预先承诺（以时间0-预期值作为二次效用的目标）提出了质疑。他们解决了所谓的老练投资者的问题，他们更新了他的非线性均值-方差目标，并考虑了未来的更新，时间一致性。本文将动态均值-方差准则应用于最优交易问题。在本文中，我们考虑了动态均值方差准则下的定量交易问题，并在三个重要模型中得到了时间一致性解。本文从多个方面对定量交易文献做出了贡献。

首先，我们解决了动态均值-方差定量交易问题，得到了时间一致性解。我们给出了在任意时刻重新考虑均值-方差问题下的最优策略。以前的文献似乎只给出了预承诺和确定性控制解决方案。Almgren（2012）给出了基本模型中的交易策略，其中是固定的，而不是自适应的。其次，我们确定了随机定价信号的显式解。一个随机的定价信号，收集了指数数据、交易价格、公开和私人市场事件的信息，可以被视为股票走势的指标。文献中提出了各种方法来研究定价信号。文献介绍推迟到第3节。本文推导了当随机定价信号被假定为一个离散过程时的交易策略。第三，我们考虑了随机波动和流动性影响情况下的交易策略。我们允许流动性和波动性在时间上随机变化，确定的交易策略适用于市场状态。我们给出了随机波动率和流动性影响模型中的广义HJBEquation，而早期研究采用了“小影响近似”（Almgren（2012））。在给定结构的随机波动率模型中，我们得到了一个显式解，并进行了实证研究。本文其余部分的结构如下。在第2节中，我们给出了Almgen（2012）第1节中采用的基本模型中的交易策略。在第三节中，当Random定价标志着重新合并时，给出了最优策略。在第4节中，我们考虑了随机波动率和流动性模型。结论见第5节。2基本模型在本节中，我们考虑阿尔姆格伦（2012）采用的基本模型。

在该模型中，股票的价格由SDE控制，dS（t）=σ（t）dW（t），（1）其中σ（t）是股票随时间变化的波动率，W（t）是标准布朗运动。每笔交易中实际收到的价格为S（t）=S（t）+η（t）Γ（t），其中η（t）是临时市场影响的系数，也是时变的，而Γ是购买的速率。假设波动率和影响函数σ（t）和η（t）是t的连续函数，以说明交易的季节性。交易员从时间t=0开始，购买目标为x股，必须在时间t=t前完成。在时间t尚未购买的股票数量是轨迹X（t），其中X（0）=X，X（t）=0。因此Γ（t）=-dX（t）dt。（2） 交易成本是购买x股所支付的总美元减去初始市场价值：C=ZT~S（t）ν（t）dt- xS（0）。通过分段积分，我们改写了c=ZTη（t）ν（t）dt+ZTσ（t）X（t）dW（t）。（3） 我们用动态均值-方差准则min~n（s）：t确定最优轨道≤s≤TEt（C）+uV艺术（C）。这是Basak和Chabakuri（2010）最新提出的，他们提出了动态平均方差标准，挑战Kor n（1997）和Zhou和Li（2000）假设的承诺前平均方差。Basak和Chabakuri（2010）将这一标准用于所谓的成熟投资者的集合分配问题，他们更新了自己的非线性方差目标，并持续考虑了未来的更新。为了解决最优交易问题，我们定义了一个过程Y byY（0）=0，dY（t）=η（t）ν（t）dt+σ（t）X（t）dW（t），（4），使得C=Y（t）。我们的目标是≤s≤TEt（Y（T））+uV艺术（Y（T））。通过（4），我们知道Et（Y（T））+uV art（Y（T））=Y（T）+Et（RTtσ（s）X（s）dW（s）+RTtη（s）ν（s）ds）+uV art（RTtσ（s）X（s）dW（s）+RTtη（s）ν（s）ds）（5）假设我们得到了一个最优的交易策略*（s） ，t≤ s≤ T和相应的Y值*.

价值函数定义为：J（t）=J（S（t），X（t），Y（t），t）=Et（Y*（T））+uV艺术（Y）*（T））。（6） 注意到根据总方差定律*（T））=Et（V art+τ（Y）*（T））+V艺术（Et+τ（Y）*（T）））。（7） 将（7）插入（6），我们得到j（t）=minν（s）：t≤s≤t+τEt（J（t+τ））+uV art（Et+τ（Y*（T）））。（8） 从（4）开始，我们知道*（T））=Y（T）+f（T），（9）其中f（T）=EtZTtη（η）*（s） ）ds. （10） 此外，我们还知道j（t）=Y（t）+C（t），（11）其中C（t）=C（S（t），X（t），t）=EtRTtη（s）（η）*（s） ）ds+σ（s）X*（s） 德国西部(s)+uV艺术RTtη（s）（η）*（s） ）ds+σ（s）X*（s） 德国西部(s)（12） 不依赖于Y（t）。命题1关于最优交易问题的HJB方程由0=Cssσ+Ct+min~n{η- 其中最小值为clea rl y~n*=Cx2η和f满足度0=η（η）*)+fssσ- fx~n*+ ft.（14）证明：结合（8）、（9）和（11），我们得到了0=min~nEt（dY（t）+dC（t））+uV art（dY（t）+df（t））。使用It^o引理，（2），（4），插入X（t）=X，s（t）=s，0=minν{ηνdt+Cssσdt后- Cx~ndt+Cdt+uV art（σxdW+σfsdW）}=min~n{ηΓdt+Cssσdt- Cx~ndt+Ctdt+μσ（x+fs）dt}，因此（13）如下，最优策略由Γ给出*=Cx2η。连同（10）、（14）如下。因此，C和f的两个偏微分方程可以导出为f ollows0=Csσ+Ct-Cx4η+μσ（x+fs），（15）0=Cx4η+fssσ-Cxfx2η+ft.（16）从（5）中，我们可以看到opt ima l策略*（s） 不依赖于Y（t）和s（t）来表示s≥ t、 所以呢*（s） 仅取决于X（s）和s。组合（2），ν*是一个确定性控制，而X是一个确定性过程。因此，（15）降低到0=uσx+Ct-Cx4η。（17） PDE（17）的初始数据f是一个局部渐近条件。

考虑（12），即将到期的T，具有dW的T项变得可以忽略不计，那么我们必须在线性T上清算- t） 因此函数C具有局部行为C~η（t）xT- t+O（t- t） ，t- T→ 0.我们寻找HJB的候选解决方案，其形式为C=xL（t）。插入HJB，我们看到L应该满足ODE：0=uσ（t）+L′（t）-L（t）η（t）与L~η（t）t- t+O（t- t） ，t- T→ 0.最优策略由Γ给出*（t，X（t））=η（t）X（t）L（t）。如果我们将η和θt限制为常数，那么L（t）=pμησcothsμση（t- t） ！。最优策略可以表示为Γ*（t，X（t））=X（t）sμσηcothsμση（t）- t） ！。这与Almgren（2012）得出的策略相同。然而，重要的是要认识到问题的表述是不同的。Almgren（2012）为经典均值-方差问题找到了最佳确定性策略，而我们为均值-方差问题的时间一致性公式找到了最佳随机策略。由于最佳策略是确定性的，所以时间一致性不能区分这两个问题，而且这两个策略是一致的。然而，当我们继续从信号、波动性和流动性中添加随机性时，这种巧合就消失了，因为我们的战略生态适应并具体反映了问题公式的时间一致性。3随机定价信号当包含随机定价信号时，我们考虑均值-方差最优代理执行策略的交易问题。随机定价信号收集指数数据、交易量以及公开和私人市场事件的信息，可以被视为股票运动的指标。各种研究工作都考虑到了价格信号，以支持和预测交易者的限价和市场订单安排策略。

有兴趣的读者请参考米尔格罗姆和斯托克（1982）和索米宁（2001）。有随机定价信号的模型由于两个原因提高了交易量。首先，定价信号的加入将股票回报与市场回报联系起来。人们可以通过调查资产回报和市场因素之间的统计和正常关系来识别定价信号。理解股票回报和市场回报之间关系的一些显著例子包括夏普（1964年）的坎普模型、法玛（Fama）和弗伦奇（1993年）的共同风险因素模型、卡哈特（1997年）的扩展四因素模型以及拉莫鲁克斯（Lamoureux）和拉斯特罗斯（1990年）的加什模型。其次，该模型回应了这样一种信念：极端的价格波动是由暂时的流动性短缺和操纵引起的，随后会出现价格反转，这与市场行为是一致的。在我们的模型中，价格反转被描述为一个速率为θ（t）的回复过程。r andom定价信号结合的另一个例子是配对交易。该策略监控可口可乐（KO）和百事可乐（PEP）这两种历史相关证券的表现。当两种证券之间的相关性暂时减弱时，即一只股票上涨，另一只股票下跌，两种证券的交易将是做空表现优异的股票，做多表现不佳的股票，押注两者之间的“价差”最终会趋同（见Mudchanatongsuk et al.（2008））。

我们的方法可以通过调查这对股票的平均股票移动，并在平均方差标准下找到最优的交易策略来识别定价信号。更具体地说，股票价格由SDE决定：dS（t）=θ（t）（α（t）- S（t）dt+σ（t）dW（t），dα（t）=σ（t）dW（t），（18）其中α（t）是一个随机定价信号，θ（t）是冲击消散和变量回归信号的速率，σ（t）是股票的波动性，W（t）和W（t）是独立的标准布朗运动。我们假设θ（t）、η（t）、σ（t）和σ（t）是连续时变的，以说明交易的季节性。交易成本是购买X股所支付的总美元减去其初始市场价值：C=RTS（t）ν（t）dt- xS（0）=RTθ（t）X（t）（α（t）- S（t）dt+RTη（t）ν（t）dt+RTσ（t）X（t）dW（t）。我们用动态均值-方差准则min~n（s）：t确定最优轨道≤s≤TEt（C）+uV艺术（C）。现在，我们按照上一节介绍的方法，定义一个过程Y asY（0）=0，dY（t）=η（t）ν（t）dt+θ（t）X（t）（α（t）- 我们的目标是≤s≤TEt（Y（T））+uV艺术（Y（T））。假设我们得到了一个最优的交易策略*（s） ，t≤ s≤ T和相应的Y值*. 价值函数定义为：J（t）=J（S（t），α（t），X（t），Y（t），t）=Et（Y*（T））+uV艺术（Y）*（T））。（20） 根据总方差定律，我们得到j（t）=minν（s）：t≤s≤t+τEt（J（t+τ））+uV art（Et+τ（Y*（T）））。从19开始，我们知道*（T））=Y（T）+f（T），（22）其中f（T）=EtZTtθ（s）（α（s）- S（S））X*（s） ds+η（s）（η）*（s） ）ds. （23）此外，我们还知道j（t）=Y（t）+C（t），（24）其中C（t）=C（S（t），α（t），X（t），t）=EtRTtθ（s）（α（s）- S（S））X*（s） ds+η（s）（η）*（s） ）ds+σ（s）X*（s） 德国西部(s)+uV艺术RTtθ（s）（α（s）- S（S））X*（s） ds+η（s）（η）*（s） ）ds+σ（s）X*（s） 德国西部(s),不依赖于Y（t）。

接下来，我们通过定义一个新变量来降低HJB的维数：β（t）=S（t）- α（t），股票价格和可观测信号之间的差异。我们可以很容易地看到函数f（t）和C（t）只依赖于β（t）、X（t）、t和dy（t）=-θ（t）β（t）X（t）dt+η（t）ν（t）dt+σ（t）X（t）dW（t），（25）dβ（t）=-θ（t）β（t）dt+σ（t）dW（t）- σ（t）dW（t）。（26）命题2关于随机信号最优交易问题的HJB方程由0=-θxβ- Cβθβ+Cβββ（σ+σ）+Ct+minγ{ηγ- Cx~n}+μσ（x+fβ）+μσfβ（27），其中最小值为*=Cx2η和f满足度0=-θxβ+η（η）*)- fβθβ+fββ（σ+σ）- fx~n*+ ft.（28）证明：结合（21）、（22）和（24），我们得到了0=minγEt（dY（t）+dC（t））+uV art（dY（t）+df（t））。使用It^o引理，（2），（25），（26），插入X（t）=X，β（t）=β，0=min~n{-θxβdt+ηνdt- Cβθβdt+Cββ（σ+σ）dt- Cxγdt+Ctdt+uV art（σxdW+σfβdW）- σfβdW）}=min~n{-θxβdt+ηνdt- Cβθβdt+Cββ（σ+σ）dt- Cx~ndt+Ctdt+μσ（x+fβ）dt+μσfβdt}，因此（27）如下，最优策略由Γ给出*=Cx2η。连同（23）、（28）如下。因此，C和f的两个偏微分方程可以导出为f ollows0=-θxβ- Cβθβ+Cββ（σ+σ）+Ct-Cx4η+μσ（x+fβ）+μσfβ。(29)0 = -θxβ+c4η- fβθβ+fββ（σ+σ）-Cxfx2η+ft.（30）类似于基本模型中的局部渐近条件，接近到期时，必须在线性轨道上清算。