洗衣机销售的基础

例如，给定集合[m]，空子集[m]int o inon的分区数为惯性矩.由于斯特林数的性质，通常会递归定义第二类斯特林数[24]：惯性矩= 我M-1i+M-1i-1.基本情况M= 1和嗯= 1.最后，嗯+我= 对于任何i>0的情况，均为0。例如，=N{1, 2}, {3},{1, 3}, {2},{1}, {2, 3}o= 3.下一个经典等式计算从[n]个元素到[m]个元素的函数数，m≥ n、 mn=nXi=1镍mi（1）用引理1表示为[n]元素的非空i划分数和i划分的满射数。定理2（[18,20]）考虑一年中的n天和两组明显标记的iiduniform随机变量，所有变量的范围为[n]：g随机变量为女孩，b随机变量为男孩。那么B（n，B，g）是至少一个女孩和至少一个男孩生日碰撞的概率，B（n，B，g）=1-nb+ggXi=1（n- i） bgi镍。下一个引理来自[18,25]。引理2（[18,25]）考虑一年中有n天，两组明显的带标签的iidrandom变量，所有变量的范围都是[n]：g随机变量是女孩，b随机变量是男孩s。那么b（n，b，g）是至少一个女孩和至少一个男孩生日碰撞的概率，b（n，b，g）=1-nb+ggXi=1bXj=1北京gini+j.2.1 Wash sale示例1：当天购买和销售考虑一个组合∏={a，···，ak}，其中ai:k≥ 我≥ 1是我在∏持有的资产（证券）。当天营业结束时l, 以投资组合∏为例l= {a1，l, ··· , ak，l} 资产i在∏中的市场价值l是| ai，l| 以及∏的总值l是|∏l| =Pki=1 | ai，l|. 就在每个纳税年度开始之前，资产i的市值为| ai，0 |，而∏的总市值为|∏|。

假设每项资产都具有足够的流动性，这样我们的购买或销售不会影响其市场价格。假设投资组合∏在一个日历年的营业日内有T个总iid统一和随机交易。假设在交易年开始前，交易费用按资产权重分配，即从投资组合中每项资产的初始权重开始计算。因此，就在第一个交易日之前，在没有其他信息的情况下，资产ai预计将在一年内进行t（i）=t | ai，0 |∏交易。以t（i）交易为例，定义独立的RADEMacheradom变量η，···，ηt（i），代表投资组合中i类资产部分的买卖∏：ηj=+1如果交易j是购买资产i-1如果交易j是资产出售ifor j:t（i）≥ J≥ 1.也就是说，b独立的Rademacher随机变量，其中ηj=+1代表购买（男孩），g随机变量，其中eηj=-1名代表销售（g als）。应用切尔诺夫界[39，App endix a]的合适版本，其中IP[ηj=+1]=IP[ηj=-1] =，然后对于任何c>0IPη+··+ηt（i）> C< E-c/（2t（i））。例如，以c=1，t为例- g|≤ 当t（i）getslarge时，1的概率很高。当然，随着t（i）的增长，洗衣机销售的可能性增加。也就是说，我们对{0，1}结果使用伯努利随机变量，对{0，1}结果使用Rademacher{-1，+1}结果。随着交易总数的增长，买卖总数预计将趋于一致。然而，在这个过程中，购买或销售的数量可能并不平衡[2,40]。在资产类别aiare:t（i）102050E中，考虑到t（i）总交易额，选择购买和销售数量相同的概率-1/（2t（i））0.951 0.975 0.983 0.987 0.990假设h是第一天总交易t（i）的一半，即h← t（i）/2。

假设∈ {252365}交易日给出了单一资产类型的同一天女孩-男孩生日碰撞的概率为：h1 5 10 15 20 25 30 35B（252，h，h）0.0040 0.0946 0.3280 0.5909 0.7957 0.9162 0.9717 0.9921B（365，h，h）0.0027 0.0663 0.2399 0.4605 0.6660 0.8196 0.9150 0.9650实际上，B（252，13，13）=0.4891和B（252，14，14，0.5410）。因此，考虑到同一资产类型在n=252天内的买卖数量相等，14个女孩和14个男孩是第一个发生（当天）男孩-女孩生日碰撞的可能性大于50%的情况。假设port folio∏已经拥有这一单一资产类型，那么男孩女孩冲突只是洗衣服销售的必要条件。生日碰撞必须伴随着亏损出售和在30个日历日内回购基本相同的证券。3一般清洗销售此处给出了清洗销售的必要条件，其中购买和销售在±d个日历日内。因为在±d birt hday碰撞前后，在保持基本相同的投资组合的同时，购买和销售并不亏损。定义7（男孩女孩±d个生日）考虑一年中有n天，跨度为±d天，以及两组明显标记的iid均匀随机变量，所有变量的范围均为e[n]：g随机变量为女孩，b随机变量为男孩。当Bd（n，g，b）是至少一个女孩和一个男孩被映射到彼此少于d天的概率。例如，从n，d和k=g+b和g=b开始，然后是arg水貂Bd（n，k，k）≥给出了k，所以有可能≥所以至少有一个女孩和一个男孩有±d-生日碰撞。下一个结果基于[16]、[20]、[18]和[25]。定理3考虑一年中有n天，跨度为±d天，以及两组不同标号的iid均匀随机变量，所有变量的范围均为[n]：g随机变量为女孩，b随机变量为男孩。

当Bd（n，g，b）是至少一个女孩和一个男孩发生±d次生日碰撞的概率，并且：Bd（n，g，b）=1-nb+gbXi=1gXj=1毕gj（n）- （i+j）- 1） （d）- 1） ）i+j证明：这个证明计算了没有男孩女孩的概率。也就是说，1减去没有男孩女孩±d生日碰撞的概率。这给出了至少一个男孩女孩±d生日碰撞的概率。给定n天，a±d跨度，iid均匀随机变量分为g（女孩）随机变量和b（男孩）随机变量。然后，b和g变量对[n]的无约束映射总数为nb+g，分母位于双和前面。如果任意数量的男孩生日相同，或者任意数量的女孩生日相同，则Bd（n，g，b）值不受影响。老鼠她的Bd（n，g，b）受到男孩女孩碰撞的影响。因此，考虑b男孩和g女孩的划分。为了防止女孩的分区和男孩的分区碰撞到相同范围的±d个跨度，计算这些i和j非空分区可能映射的位置数，以便不存在±d>1的碰撞。引理1有（n- （i+j）- 1） （d）- 1） ）i+j=N- （i+j）- 1） （d）- 1） i+j（i+j）！（2） i的集合[n]的内射函数∈ [b] 男孩和j系列∈ [g] 有（i+j）的女孩-1） （d）块- 1） 没有男孩或女孩的连续日子。现在，考虑将i和j分区放置在（n）中不同的位置-（i+j）- 1） （d）- 1） ）i+j函数映射到[n]。i分区o f[b]，其中每个分区位于不同的位置，j分区o f[g]，其中每个分区也位于不同的位置，通过等式2。

也就是说，考虑到我∈ [b] 还有j∈ [g] ，然后是产品毕gj是男孩到i个非空分区的内射映射的总数，与女孩到j个非空分区的内射映射的数目无关。这就完成了证明。3.1清洗销售示例2:d=±30个日历日，使用与第2.1小节中之前清洗销售示例相同的设置开始。设h为第i天交易总量t（i）的一半，即h← t（i）/2。假设∈ {252365}交易日和d=±30个日历日给出了GIRL boy±30天生日的概率——单一资产类型的碰撞为：H1234B（252，h，h）0.220 0.819 0.994 0.9999 8B（365，h，h）0.1550.667 0.953 0.99840仅考虑单一资产类型。这些概率背后的直觉是直截了当的。例如，考虑n=365天，为了避免男女冲突，每个女孩和男孩必须在第二天前后与另一性别分开至少30天。所以365天可能会被分为大约60天的六个区块。4对于美国税收计算，可将净售和整体资本收益以及基本资本收益或资本损失四舍五入至最接近的整数。前提是所有交易都是四舍五入的。四舍五入降低了美分部分等于或低于5美分的放弃。四舍五入在收益的美元比例中增加一美元，其美分部分大于50美分，同时降低百分比。损失也是如此。收益和损失必须四舍五入，否则必须四舍五入。所以，从现在开始，让所有的收益或损失都是整数。对长期资本收益和损失进行汇总，同时对短期资本收益和损失进行汇总。

在纳税年度结束时，将长期和短期合计加在一起，以获得税收的最终资本收益或损失。这里的重点是可能会影响销售的资本资产的资本收益或损失。洗车销售是亏损，但亏损可能会带来麻烦。期权及其相关保费的研究是经典的[10]，我们在这里不讨论它。因此，期权溢价被忽略了。在投资组合中，个人资本收益值和个人资本损失值通常是不同的。虽然罕见，但相同的资本收益和资本损失是可能的。对于使用期权构建的投资组合，相同的资本收益或损失是可能的。我们忽略了期权溢价。也就是说，资产购买可以通过行使现金覆盖的美式看跌期权进行。此外，资产出售也可以通过行使美式有担保看涨期权来完成。在这些情况下，当期权变成货币时，投资组合经理无法控制资产的出售或购买，也无法控制此类交易的时间。参见图1。多数情况下，看跌期权或看涨期权的执行价格是离散增量。例如，许多看跌期权和看涨期权的执行价以5美元或10美元为增量。假设投资组合只使用美式期权。许多资产收益和损失的金额可能相同。当然，这取决于隐藏位置的大小或写入的选项数。到期日相同且标的资产规模相同的期权可能具有非常不同的价值[10]。在这种基于期权的投资组合中，假设统一、独立和随机的资本损失和资本损失。

这可以用Littlewood-O fford问题来模拟。日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期日期在dasset上以100美元的成交价和90美元的成交价触发销售，并给出90美元的资本金，如果在30天内对10美元的dloss进行了兑现，则这是一个洗衣服的销售。图1：美式选项的潜在洗衣服销售定义8是经典的，可以在[6,41]等文章中找到广泛的讨论。它直接基于[4,6,41]定义8（Littlewood-O fford问题）。整数Littlewood和O fford问题被赋予一个整数多集V={V，V，·vn}，其中≥ 1.我∈ [n] 和sv=ξv+ξv+···+ξnvnso每个ξiis使得IP[ξi=-1] =IP[ξi=+1]=，fori∈ [n] 那么maxx是什么∈ZZIP[Sv=x]？假设收益和损失的概率相等且无漂移[10]。给定一个整数多重集V={V，V，··，vn}so vi≥ 1.我∈ [n] 。多组V代表资本损失和资本损失。资本收益和资本损失都来自销售。随机变量ξi∈ {+1, -1} 确定VIL是资本收益还是资本损失。所有变量均为正值，因为所有Rademacher变量都具有范围{-1、+1}，另见[5]和[40]。在一个纳税年度内，总资本收益或损失isSv=ξv+ξv+·ξnvn。在Littlewood-O fford问题的这个版本的最优解中，[5]显示了n元多集V={1,1，··，1}ha s maxx∈ZZ{IP[Sv=x]}=O√N.下一个引理的证明紧跟在给定拉德马赫随机变量的扩张线性之后。

例如，参见[39]。引理3考虑任意整数多集V={V，V，··，vn}，其中vi≥ 1.我∈ [n] 随机变量Sv=ξv+ξv+···+ξnvn，其中IP[ξi=-1] =IP[ξi=+1]=，对于所有i∈ [n] ，那么IE[Sv]=0。对于任何Rademacher随机变量ξi，它必须是IE[ξi]=0和IE[ξi]=1。Sinceviis常数σξivi=IE[ξivi]- IE[ξivi]=vi。因此，下一个定理的证明如下，因为独立随机变量和的方差就是方差之和。定理4考虑任意非负整数v向量v和随机变量Sv=ξv+ξv+·ξ+ξnvn，其中IP[ξi=-1] =IP[ξi=+1]=，对于所有i∈ [n] ，然后是[Sv]=v+v+···+vn和σSv=pv+v+··+vn。因此，当V={1,1，···，1}和| V |=n时，整数Littlewood-O-offord问题的最小方差σSv正好出现，我∈ [n] 是allRademacher随机变量，然后是IPx∈ZZ[Sv=x]被最大化为O（1）/√n） σSv=√n、 定理4暗示了下一个推论。推论1假设1=v=v=····=VN和Sv=ξv+ξv+····+ξNVN其中[ξi=-1] =IP[ξi=+1]=，对于所有i∈ [n] ，则Sv的标准偏差为σSv=√n、 推论1强调了一个例外情况，即所有资本收益和资本存量相同。清洗销售要求损失和收益基本上来自相同的安全性。定理4的普遍性也证明了巨大的差异。考虑集合V={2，2，·，2n-1} 然后根据定理4，σSv=Pn-1i=02i=2n-1.由于和是几何级数，所以最后一个等式成立。定义9（一个集合或多个集合V的不同和）考虑一个集合或多个集合V={V，V，·ξ，vn}a，并让列表中的每个元素H=H^ξ1,1，^ξ2,1，·ξn，1i和H=H^ξ1,2，^ξ2,2，从{-1, +1}.

V，sv，1=^ξ1,1v+^ξ2,1v+·^ξn，1vnsv，2=^ξ1,2v+^ξ2,2v+·^ξn，2vn的两个和是不同的，因为有一些^ξi，16=^ξi，2∈ [n] 。给定任意多组正整数V={V，V，···，vn}，将所有2n个不同的和枚举为sv[1]≥ sv[2]≥ ··· ≥ 例如，sv[2n]参见图2。给定任意一组正整数V={V，V，··，vn}，其中2n个不同的和都不加在同一个值上，则给出sv[1]>sv[2]>·sv[2n]。[5]的一个重要观察结果是，对于任何固定和s，值s+viands-由2vi提供。接下来，这个观察被用来显示集合V={2，2，··，2n-1} 没有添加到相同值的不同总和。特别是，取任意具有相关固定值^ξi，1的不同总和sv，1和sv，2∈ {-1，+1}和^ξi，2∈ {-1，+1}，分别代表∈ [n] 。假设有一个矛盾，sv，1=sv，2。根据厄尔多斯的观测结果，sv，1和sv，2的值可以写成sv，1=2n- 1.- 2 mW，其中m=Pi∈二、-1 ANDI={i:^ξi，1=-1}和同样的sv，2=2n- 1.- 2 mW，其中m=Pi∈二、-1和I={I:^ξI，2=-1}，尽管我∈ [n] 。最后，二进制y-numberrepresentations的唯一性意味着m=m，而这反过来意味着对于所有i，1=2∈ [n] 。

实际上，sv，1和sv，2的和是相等的，这就产生了矛盾。因此，集合V={2，2，··，2n-1} 满足下一个定理的前提。定理5在所有不同的正整数集合中，没有两个不同的对同一个v值求和，集合v={2,2，··，2n-1} 有一个最小和sv=v+v+···+vn=n- 1.证明：为了矛盾起见，假设sv=v+v+·vn<2n-1对于一组不同的正整数V={V，V，···，vn}，其中没有两个差加在同一个值上。以2n个不同和的下一个枚举为例，sv[1]>sv[2]>·sv[2n]，根据我们的假设，是2n- 2.≥ sv[1]和sv[2n]≥ -2n+2，所以sv[1]- sv[2n]≤ 2n+1- 4.设{sv，1，sv，2} {sv[1]，sv[2]，···，sv[2n]}其中，和sv，1有固定值sh=h^ξ1,1，^ξ2,1，···，^ξn，1i的列表，因此sv，1=hv，v，···，vni·h，其中·是向量点积。同样地，总和sv，2具有固定值h^ξ1,2，^ξ2,2，···，^ξn，2i的列表。任意两个不同和sv的差，1- sv，2必须为偶数，因为任何值^ξi，1∈ {-1，+1}和^ξi，2∈ {-1，+1}，对我来说∈ [n] 是这样的，^ξi，1-^ξi，2∈ { 0, -2，+2}，givingsv，1- sv，2=nXi=1vi^ξi，1-^ξi，2这一定是公平的。从sv[1]到sv[2n]包含2n-1.间隔。因为所有的sv[i]，因为∈ [2n]是不同的，它们的差异必须是相同的[1]-sv[2n]跨度至少为2（2n- 1） =2n+1- 2.也就是sv[1]- sv[2n]≥ 2n+1- 2.这与假设sv[1]相矛盾- sv[2n]≤ 2n+1- 4.完成证明。给定一组不同的正整数V，其中| V |=n，定理5表明maxx∈ZZ{IP[Sv=x]}≤n、 因此，在V的所有不同总和增加不同价值的情况下，消除洗牌损失可能会产生非常大的影响。特别是，多重集V={1，1，··，1}具有最大的损失sv[2n]=-n、 其中定理5表示sv={2,2，··，2n-1} 损失最大的sv[2n]=-2n+1。