耦合和连接函数的邀请：及其在多传感器中的应用

对任何人来说≥ 3和任何u∈ [0，1]n，有一个n维的C（u）=Wn（u）的P（依赖于u）。有关证据，请参见Nelsen（2006），第48页。以下著名理论奠定了许多后续研究的基础（有关证明，请参见Nelsen，2006，定理2.10.9）。定理14（斯卡拉定理，1959年）。设F（x，…，xn）是一个n元分布函数，其边距为F（x），Fn（xn）；然后存在ann copula C:[0，1]n-→ [0,1]满足F（x，…，xn）=C（F（x），Fn（xn）），（x，…xn）∈ 注册护士。如果所有单变量边距F，如果是连续的，那么copula是唯一的。否则，C在RanF×RanF×。兰芬。如果F-1.F-1求边距的分位数函数，然后求任意（u，…，un）∈ [0,1]nC（u，…，un）=F（F-1（u），F-1n（un））。边缘离散的连接词也已被定义，但它们的处理不那么直接（有关综述，请参阅Pfeifer和Neˇslehov\'a，2004）。Sklar的定理表明，在基础随机变量的严格递增变换下，copula保持不变。通过分别选择边缘分布和合适的copula，可以构造大范围的多元分布。例15。（二元指数）对于δ>0，分布f（x，y）=exp{-[e]-x+e-Y- （eδx+eδy）-1/δ]}, -∞ < x、 y，<+∞,带边距F（x）=exp{-E-x} F（y）=exp{-E-y} 对应于可可豆（u，v）=uv exp{[(- 日志（u）-δ+(- 日志v）-δ]-1/δ}，一类二元极值copula的例子，其特征是c（ut，vt）=Ct（u，v），对于所有t>0.3.2。如果与Copula C相关的概率测度是绝对连续的（相对于[0,1]n上的Lebesgue测度），那么就存在Copula密度C:[0,1]n-→ [0, ∞] 几乎所有地方都是独一无二的，比如C（u。

，un）=uZ···unZc（v，…，vn）dvn。dv，u，联合国∈ [0, 1].这样一个绝对连续的copula是n倍可微的和c（u，…，un）=u··联合国军司令部，联合国∈ [0, 1].例如，独立copula是绝对连续的，密度等于1：∏（u，…，un）=nYk=1uk=uZ···unZ1 dvn。dv。当分布密度F（x，x）存在时，不同的产量sf（x，x）=F（x）F（x）c（F（x），F（x））。这个方程显示了当c与1不同时，独立性是如何被copula密度“扭曲”的。此外，如果X=X：f1 | 2（X | X）=c（F（X），F（X））F（X）（6），这将产生X的条件密度表达式。这是最近一种从成对依赖关系构建高维依赖结构的重要方法（“vine copulas”）的起点。注意，维度n的多元密度可以分解如下，这里以n=3为例：f（x，x，x）=f3 | 12（x | x，x）f2 | 1（x | x）f（x）。将方程式6中的分解应用于方程式6中的方程式6中的每一项这些条款的每一项，将方程式6中的分解应用于每一项这些条款的每一项的收益率，f2 124\\124\\124\\124\\124\\124\\124124124124\\124\\124\\\\\\124\\\\124\\\\124\\\\\\124\\\\\\\\xx x x）x）x（x）x）F（x）x）F（x）F（x）F（x）F（x）F（x）F（x）F（x）x）F（x）f124\\124\\124124\\124\\\\（F（x），F（x））（无条件对）×c13 | 2（F1 | 2（x | x），f3 | 2（x | x））（条件对）。为了可视化这种结构，特别是对于较大的n，我们定义了一系列树（非循环无向图），图2中描述了它的一个简单版本。图2：方程式7中分解的图示。图中的一条线对应于连接两个分布的copula的索引，在上图中是无条件的，在下图中是有条件的。3.3. 生存copula，余copula，对偶和对角部分copula只要描述一个随机向量（X。

，Xn）通过其生存分布，即^F（x，…，Xn）=P（x>x，…，Xn>Xn），可以引入它的生存copula，使得Sklar理论的类似物成立，其中^F（x，…，Xn）=^C（^F（x），^Fn（xn）），其中^Fi，i=1，xn是边际生存分布。在连续情况下，copula与其生存copula之间存在一对一的对应关系。对于n=2，此isC（u，u）=^C（1- u、 一,- u） +u+u- 1.对于一般情况，我们参考（Mai and Scherer，2012，第20-21页）。另外两个与连接函数和生存连接函数密切相关的函数在响应时间建模环境中很有用。copula C的对偶函数是由C（u，v）=u+v定义的函数- C（u，v）和co copula是函数C*由C定义*（u，v）=1- C（1）- u、 一,- v） 。这两者都不是一个普遍现象，但当C是一对随机变量X和Y的（连续）copula时，copula和co copula的对偶分别表示涉及X和Y的事件的概率：~C（FX（X），FY（Y））=P（X）≤ x还是Y≤ y） andC*(1 - 外汇（x），1- FY（y））=P（X>X或y>y）。最后，对于标准均匀随机变量U，与对应的copula C（u，…，un）相比，其诊断部分定义为δC（u）=C（u，…，u）。Durante和Sempi（2016，第69页）陈述了函数δ[0,1]的必要条件和有效条件→ [0，1]是somecopula的对角线部分。3.4. 具有奇异分量的copula如果与copula C相关联的概率测度具有奇异分量，那么copula也具有奇异分量，该奇异分量通常可以通过发现点（u，…，un）检测到∈ [0,1]n，其中copula的某些（现有）偏导数有一个不连续点。一个标准的例子是共单调性copulaMn（u，…，un）=min（u，…，un），其中偏导数有一个不连续点；ukMn（u。

，联合国）=1，如果英国<英国-英国+1，如果uk>min（u，…uk），则为0-英国+1，联合国）。与Mn（u，…，un）相关的概率测度将所有质量分配给单位n立方[0，1]n的对角线（“完美正相关性”）。3.5。Copulas和极值依赖在这里，我们更仔细地看看Copulas与随机依赖的关系。对于n=2，定理12简化为例子16（Fr’echet-Hoe fff-ding copula）。设C（u，v）为2-copula；那么，对于u，v∈ [0,1]，W（u，v）≡ 最大{u+v- 1, 0} ≤ C（u，v）≤ min{u，v}≡ M（u，v），M和W也是连接词，即上下两个Fr’echet-hoeff-ding连接词。我们已经看到（例10和11）随机向量（U，U）和（U，1）的二元分布函数- U） ，其中U是标准均匀随机变量。在这种情况下，我们说M（共单调copula）描述了完全正相关，W（反单调copula）描述了完全负相关。对于联合分布为copula M的U和V标准均匀随机变量，则P（U=V）=1；如果copula是W，那么P（U+V=1）=1。如果X和Y是具有联合分布函数H（X，Y）和保证金FX（X）和FY（Y）的随机变量，那么很容易证明（例如Joe，2015，第47页），对于所有X，Y∈ R、 最大{FX（x）+FY（y）- 1, 0} ≤ H（x，y）≤ 最小{FX（x），FY（y）}（8）F-（x，y）=max{FX（x）+FY（y）- 1，0}分别称为下限，F+（x，y）=min{FX（x），FY（y）}分别称为上限Fr\'echet-hoeffing-bound，简称Fr\'echet-bound。当随机变量X和Y的联合分布H等于其Fr’echet-hoeffing界限时，它们能说些什么呢？如果fx和fy都是连续的，那么根据Sklar定理，对应于H的copula是唯一的，Fr’echet界F+和F-分别代表完美的正相关性和负相关性。

在离散情况下，边界有时也可以表示完全依赖，但不具有任何普遍性（见Joe，2015年的示例2.9）。相关性的线性度量最广为人知和使用的相关性度量是皮尔逊的线性相关性，ρ（X，Y）=Cov（X，Y）pVar（X）Var（X）。给定有限的方差，它是一种线性相关性的度量，取值范围为[-1, 1]. 除了需要有限的方差外，ρ在总体环境中的一个明显缺点是它取决于边缘分布；因此，在严格增加变量的非线性变换下，它不是不变的，而copula是不变的。Embrechts等人（2002年）提到了处理线性相关性时的两个“陷阱”：（1）假设边际分布和相关性决定联合分布，以及（2）假设给定边际分布FX和FY，两者之间的所有线性相关-1和1可以通过X和Y的联合分布的适当规定来实现。copula文献中两种假设的反例（例如，Joe，2015；Embrechts等人，2003，2002；Nelsen，2006）。提案17（霍夫丁，1940年）。设X和Y具有有限（非零）方差，且具有未指定的依赖结构。然后1。可能的线性相关性集是一个闭合区间[ρmin，ρmax]，对于极值相关性ρmin<0<ρmaxholds；2.当且仅当X和yar是反单调的，得到了极值相关ρ=ρminis；ρ=ρmax当且仅当X和Y是共单调的。3.ρmin=-1当且仅当X和-Y为同一类型且ρmax=1if，且仅当X和Y为同一类型时（如果我们能找到a>0和b，则X和Y为同一类型）∈ 所以Y=daX+b）。Embrechts等人，2002年（p。

24）首先回顾Fr’echet Hoe ffing界限（方程式8），F-= 最大{FX（x）+FY（y）- 1, 0} ≤ H（x，y）≤ min{FX（x），FY（y）}=F+。将上界和下界插入霍夫丁的身份（如Shea，1983）Cov（X，Y）=+∞Z-∞+∞Z-∞[H（x，y）- FX（x）FY（y）]dx-dy（9）立即给出了一组可能的相关性（见Embrechts等人，2002年，（同上）以获得命题的完整证明）。与0≤ λ ≤ 1，混合物λF-+ (1 - λ） F+具有相关性ρ=λρmin+（1- λ） ρmaxand可用于构造边缘为fx和fy且具有任意相关性ρ的联合分布∈ [ρmin，ρmax]。最后，下面的例子表明，小的（线性）相关性不能被解释为意味着随机变量之间的弱相关性。例18（Embrechts等人（2002））。设X为对数正态分布（0，1），Y为对数正态分布（0，σ），σ>0。请注意，虽然logx和logy是相同的，但X和Y不是相同的类型。从命题17中，我们得到ρmin=e-σ- 1p（e）- 1） （e）σ- 1） ρmax=eσ- 1p（e）- 1） （e）σ- 1).让σ→ ∞, 两种相关性都收敛到零。因此，有可能存在一个随机向量（X，Y），其中相关系数几乎为零，即使X和Y是共单调或反单调的，因此具有可能的最强依赖性。3.7. 基于Copula的依赖性度量当线性相关系数不合适或具有误导性时，有几种替代方法。两个重要的是肯德尔·斯塔和斯皮尔曼的rho。对于向量（X，Y），肯德尔的τ定义为τ（X，Y）=P[（X-~X）（Y）-~Y）>0]- P[（X-~X）（Y）-~Y）<0]，其中（~X，~Y）是（X，Y）的独立副本。因此肯德尔的τ是简单的一致概率减去不一致概率。

当（X，Y）与copula C连续时，可以证明τ（X，Y）=τC=4ZZ[0,1]C（u，v）dC（u，v）- 1.注意，上面的积分可以解释为标准均匀随机变量U和V的函数C（U，V）的期望值，其联合分布为C，即τC=4E[C（U，V）]- 1.在三个已知的二元分布函数的情况下，Kendall的τ给出了相容的必要条件，即三元分布函数与给定的二元边值的存在性。具体而言，提案19。（乔，1997年，第76页）让F∈ G（F，F，F）是一类边缘为F，F，fan且假设Fjk，j<k的三元分布是连续的。设τjk=τkjbe为Fjk的肯德尔τ的值，j6=k。然后不等式-1+|τij+τjk |≤ τik≤ 1.- |τij- τjk |对（1，2，3）的所有置换（i，j，k）都成立，且边界是尖锐的。因此，如果上述不等式对某些（i，j，k）不成立，那么三个二元边值是不相容的。锐度来自特殊的三元正态情形：二元正态的肯德尔τ为τ=（2/π）弧sin（ρ），因此不等式变为- cos（π（τ+τ））≤ sin（πτ）≤ cos（π（τ）- τ） ，其中（i，j，k）=（1，2，3）。现在让我们来看看斯皮尔曼的rho。对于三个独立向量（X，Y），（X，Y）和（X，Y）具有共同的联合分布H（其边缘为F和G），斯皮尔曼的ρ定义为ρ（X，Y）=3{P[（X- 十） （Y）- Y） >0]- P[（X- 十） （Y）- Y） <0]}。注意，（X，Y）和（X，Y）是一对具有相同边缘的向量，但是（X，Y）具有分布函数H，而（X，Y）的分量是独立的。

对于具有copula C的X和Y连续，可以证明（Nelsen，2006）ρ（X，Y）=ρC=12ZZ[0,1]uv-dC（u，v）- 3.此外，斯皮尔曼的ρ与随机变量U=F（X）和V=G（Y）之间的线性相关系数相同：ρ（X，Y）=ρC=12e[UV]- 3=E[UV]- 1/41/12=E[UV]- E[U]E[V]pVar[U]pVar[V]。最后，肯德尔的头和斯皮尔曼的rho之间的关系早就被研究过了。已经证明（例如Kruskal，1958年）总是-1.≤ 3τ - 2ρ ≤ 其中τ是肯德尔的τ，ρ是斯皮尔曼的ρ。4.示例应用：多传感器建模虽然这里讨论的应用指的是多传感器建模的上下文，但在信息处理在两个或多个通道中进行的任何上下文中（例如引言中提到的visualsearch范式），通常都可以找到类似的示例。此外，我们在介绍多传感器应用时并不力求详尽，也不试图深入研究它们。

相反，我们的目标是鼓励在心理学、神经科学和相关领域迅速获得重要性的领域开展进一步的工作。在多感官范式的行为版本中，有人区分了两种不同的条件：单峰条件：呈现单一模式（视觉、听觉、触觉）的刺激，并要求参与者（i）在检测到刺激（反应时任务）后尽快做出反应（例如，按下按钮或眼球运动），或（ii）指示是否检测到该模态的刺激（检测任务）。双模态或三模态条件：来自两个或三个模态的刺激（几乎）同时呈现，参与者（i）被要求在检测到任何模态的散光时尽快做出反应（冗余信号RT任务），或（ii）指示是否检测到任何模态的刺激（冗余信号检测任务），T作为视觉、听觉或触觉刺激呈现的单峰语境。同样地，VA表示双峰（视觉-听觉）环境等。对于每个刺激或跨峰刺激组合，我们观察代表任何给定试验中测量的反应时间的随机变量样本。设FV（t）、FA（t）、FV A（t）分别表示当呈现特定刺激（组合）时，单峰视觉、听觉或视觉听觉环境中反应时间的（理论）分布函数。类似地，我们定义了检测任务中指标函数的概率：pV=P（检测| V）、pA=P（检测| a）和pV a=P（检测| V a）。为了简单起见，我们编写FV（t）等，而不是FV（t）。注意，从建模的角度来看，每个上下文V、a或varefer都指向不同的样本空间和σ-代数。

因此，在这些不同条件下，（反应时间）随机变量之间不一定存在概率耦合。通常没有明确说明的一个常见假设是，视觉和听觉RT之间确实存在耦合，例如，耦合的边缘，即二元分布^HV A，等于分布Fv和FA。假设存在这种耦合，多传感器模型应明确FV与二元分布^HV a的关系。原则上，这可以通过经验进行检验。然而，在上面描述的多传感器RT范式中，^HV AAR的边缘是不可观察的，只有RTs在双峰上下文中的分布函数FV A是可观察的。因此，测试耦合的存在需要额外假设^HV AandFV Aare如何相关。研究最多的模型是所谓的种族模型。例20（竞赛模型）。设V和A为单峰条件V和A下的随机反应时间，分布函数分别为FV（t）和FA（t）。假设存在耦合，即二元分布函数^HV Afor（^V，^a），使得V=d^V和a=d^a；假设双峰RT由两个峰之间竞争的“赢家”决定：FV A（t）=P（^V）≤ t或^A≤ t） 然后FV A（t）=FV（t）+FA（t）-^HV A（t，t）。（10） 函数^HV A（s，t）=C（FV（s），FA（t））显然是一个copula函数，根据sklar定理，假设连续单峰分布函数，它是唯一的。此外，我们有上下Fr′echet连接词（例16），这样max{FV（s）+FA（t）- 1, 0} ≤^HV A（s，t）≤ min{FV（s），FA（t）}。