耦合和连接函数的邀请：及其在多传感器中的应用

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英文标题：
《An invitation to coupling and copulas: with applications to multisensory
  modeling》
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作者：
Hans Colonius
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  This paper presents an introduction to the stochastic concepts of \\emph{coupling} and \\emph{copula}. Coupling means the construction of a joint distribution of two or more random variables that need not be defined on one and the same probability space, whereas a copula is a function that joins a multivariate distribution to its one-dimensional margins. Their role in stochastic modeling is illustrated by examples from multisensory perception. Pointers to more advanced and recent treatments are provided.
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中文摘要：
本文介绍了\\emph{coupling}和\\emph{copula}的随机概念。耦合是指两个或多个随机变量的联合分布的构造，这些随机变量不需要在同一个概率空间中定义，而copula是一个函数，它将多元分布与其一维边界连接起来。多传感器感知的例子说明了它们在随机建模中的作用。提供了更先进和最新的治疗方法。
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分类信息：

一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Methodology        方法论
分类描述：Design, Surveys, Model Selection, Multiple Testing, Multivariate Methods, Signal and Image Processing, Time Series, Smoothing, Spatial Statistics, Survival Analysis, Nonparametric and Semiparametric Methods
设计，调查，模型选择，多重检验，多元方法，信号和图像处理，时间序列，平滑，空间统计，生存分析，非参数和半参数方法
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一级分类：Quantitative Biology        数量生物学
二级分类：Quantitative Methods        定量方法
分类描述：All experimental, numerical, statistical and mathematical contributions of value to biology
对生物学价值的所有实验、数值、统计和数学贡献
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> An_invitation_to_coupling_and_copulas:_with_applications_to_multisensory_modeling.pdf (441.87 KB)

2022-5-9 12:23:02 上传

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关键词：传感器 Quantitative Applications Multivariate distribution

耦合和copula的邀请：本文介绍耦合和copula的随机概念，并将其应用于奥尔登堡的汉斯大学的多传感器建模。耦合是指两个或多个随机变量的联合分布的构造，这些随机变量不需要在同一概率空间中定义，而copula是将多变量分布与其一维边界连接起来的函数。它们在随机建模中的作用通过多传感器感知的例子来说明。提供了更先进和最新的治疗方法。1.引言耦合和copula的概念指的是概率论和统计学的两个相关领域，到目前为止，它们对数学心理学的重要性可能被忽视。本文对这两个概念进行了初步的、非严格的介绍。此外，还介绍了这两个概念在多传感器环境中的应用。简言之，耦合意味着构建两个或多个随机变量的联合分布，网址：www.uni-oldenburg。de/en/hans colonius/（hans colonius）电子邮件地址：hans。colonius@uni-奥尔登堡。2021年7月5日提交给《数学心理学杂志》模板的dePreprint不需要在同一个概率空间上定义，而copula是一个将多元分布与其一维边缘连接起来的函数。经验心理学数据通常是在各种实验条件下收集的，例如反应时（RT）实验中的速度与准确度指令，视觉搜索范式中不同数量的目标和非目标，或检测任务中的点击和假警报。在任何特定条件下收集的数据都被认为是关于潜在概率（样本）空间的一些随机变量的实现。

请注意，在不同条件下观察到的随机变量之间没有随机关联的原则性方法：例如，在有n个目标Tn的条件下找到目标的观察时间与有n+1个目标Tn+1的条件下的观察时间。原因很简单，Tn和Tn+1不能在同一试验中观察到，也就是说，它们不是指在同一概率空间中定义的（基本）结果。这并不排除在这两种情况下对平均数据进行数值比较，甚至不排除整个分布函数；然而，任何统计假设，例如关于Tn和Tn+1之间的相关性，都是无效的。另一方面，耦合结构可以实现这一点。例如，如下所示，我们可以将关于两个RT分布的排序的陈述（这两个分布完全是先验非随机相关的）转化为关于公共概率空间上相应随机变量的逐点排序的陈述。然而，特定耦合结构的选择有点随意，根据建模者的具体目标，可能或多或少有用。应该指出的是，耦合是E.N.Dzhafarovand同事（Dzhafarov和Kujala，在出版社）开发的“情境性”总体框架中的一个关键概念。近年来，copula的概念在包括金融在内的多个统计领域引起了极大的兴趣，主要原因如下（见Joe，2015）：它允许人们（i）以“无标度”的方式研究随机相关性的结构，即独立于特定的边际分布，（ii）构造具有特定性质的多元分布族。

在最后一节中，我们将演示如何使用copulascan来测试多传感器集成的模型，并得出在给定上下文中发生的多传感器集成量的度量。2.耦合我们从几个常见的定义开始。设X和Y为概率空间上定义的随机变量(Ohm, F、 P），其值在（R，B，P）中。随机变量的“相等”可以用不同的方式来解释。随机变量X和Y在分布上是相等的，但它们受相同的概率度量控制：X=dY<==> P（X）∈ A） =P（Y）∈ A） 毕竟∈ B.X和Y在点上相等，但它们在几乎所有基本事件上都一致：Xa。s、 =Y<==> P（{ω| X（ω）=Y（ω）}）=1。如果没有另外说明，本节中关于联轴器的大部分材料取自Thrisson（2000）的专著。这里，a.s.代表“几乎肯定”。设X为分布函数为F（X）的实值随机变量。然后将X的分位数函数定义为q（u）=F-1（u）=inf{x | F（x）≥ u} ，0≤ U≤ 1.（1）每-∞ < x<+∞ 0<u<1，我们有f（x）≥ u当且仅当Q（u）≤ x、 因此，如果存在满足F（x）=u的x，则F（Q（u））=u，且Q（u）是满足F（x）=u的x的最小值。如果F（x）是连续且严格增加的，则Q（u）是唯一值x，使得F（x）=u。此外，如果u是标准均匀随机变量（即定义在[0，1]），则x=Q（u）的分布函数为F（x）；因此，任何分布函数都可以被认为是由Q（u）变换的均匀分布所产生的。定义和示例提醒读者：我们按顺序列举定义、定理和示例，因此定义1后面跟着示例2，依此类推。定义1。

随机变量集合{Xi，i]的耦合∈ 一} 是一个联合分布的随机变量族（^Xi:I）∈ 一） 使得^Xi=dXi，I∈ 一、 注意，^Xineed的联合分布与Xi的联合分布不同；事实上，Ximay甚至没有联合分布，因为它们不需要在公共概率空间中定义。然而，这个家庭（^Xi:i）∈ 一） 具有联合分布，其边际等于单个变量的分布。个人^Xi也称为Xi的副本。例2（耦合两个伯努利随机变量）。设Xp，Xqbe为伯努利随机变量，即P（Xp=1）=P和P（Xp=0）=1- p、 与Xqde的定义类似。假设p<q；我们可以将xp和Xqasfollows结合起来：假设U是[0,1]上的均匀随机变量，即0≤ a<b≤ 1，P（a<U≤ b） =b- a、 定义^Xp=1，如果0<U≤ P如果p<U，则为0≤ 1.^Xq=1，如果0<U≤ Q0，如果q<U≤ 1.那么U是^xp和^Xq的共同随机性来源。此外，^Xp=dXpand^Xq=dXq，Cov（^Xp，^Xq）=p（1- q） 。（^Xp，^Xq）的联合分布如表1所示，如图1所示。下面是一个简单但有点基本的耦合：示例3（分位数耦合）。设X为分布函数为F的随机变量，即P（X）≤ x） =F（x），x∈ R.表1：两个伯努利随机变量的联合分布。^Xq0 10 1- q q- 第一页- p^Xp1 0 p p1- 图1：两个伯努利随机变量的联合分布[0，1]上的U是均匀随机变量。然后，对于随机变量^X=F-1（U），P（^X）≤ x） =P（F）-1（U）≤ x） =P（U）≤ F（x））=F（x），x∈ R、 也就是说，^X是X的副本，^X=dX。因此，让F在所有分布函数类上运行（使用相同的U），会产生所有不同分布的随机变量的耦合，即分位数耦合。

我们可以证明分位数耦合由正相关的随机变量组成。2.2. Strassen定理、耦合事件不等式和最大耦合分位数耦合的一个重要应用是将随机变量之间的随机序简化为逐点（a.s.）序：设X和X分别为具有分布函数F和G的随机变量。如果存在X和X的耦合（^X，^X），则^X在点方向上受^X支配，即^X≤^X（几乎肯定），然后{^X≤ x} {^X≤ x} ，这意味着p（^x≤ 十）≥ P（^X≤ x） ，和thusF（x）≥ G（x），x∈ 然后X被称为X:X随机支配（或在分布上支配）≤dX。但有人可以证明（Thrisson，2000，第4页），另一个方向也是如此：随机控制意味着逐点控制。因此，我们有一个（简单的）斯特拉森定理（斯特拉森，1965）：定理4（斯特拉森，1965）。设X和Xbe为随机变量。然后≤dXif，且仅当存在X和X的耦合（^X，^X）且a.s.^X≤^X.以下问题是许多可从耦合参数获得的收敛和近似结果的起点。设X和Xbetwo为分布不一致的随机变量。如何构造X和X的耦合（^X，^X），使得P（^X=^X）最大程度地跨越所有可能的耦合？在这里，我们遵循Thrisson（2000）中稍微更一般的公式，但仅限于离散变量的情况（连续情况完全类似）。定义5。假设（^Xi:i）∈ 一） 是Xi、I的耦合∈ 一、 让C成为一个事件，如果它发生了，那么所有的^Xicoincide，也就是C {^Xi=^Xj，对于所有的i，j∈ 一} 。这种事件称为耦合事件。假设一个有限或可数集合E中的所有Xitake值，其中P（Xi=x）=pi（x）表示x∈ E

尽管如此，j∈ 我和x∈ E、 我们显然有P（^Xi=x，C）=P（^Xj=x，C）≤ pj（x），因此对于所有我∈ 我和x∈ E、 P（^Xi=x，C）≤ infj∈Ipj（x）。对x求和∈ E产生基本的耦合事件不等式：P（C）≤Xx∈Einfj∈Ipi（x）。（2） 作为一个例子，再次考虑两个离散随机变量X和X的耦合情况（^X，^X），并设置C={^X=^X}。然后（^X=^X）≤Xxmin{P（X=X），P（X=X）}。（3） 有趣的是，事实证明，至少在原则上，人们总是可以构造一个耦合，使得上面的耦合事件不等式（2）保持恒等式。这种耦合称为极大耦合，称为极大耦合。提议6。（最大耦合）假设Xi，i∈ 一、 离散随机变量取有限或可数集合E中的值。然后存在最大耦合，即与耦合事件C的耦合，使得P（C）=Xx∈埃因菲∈Ipi（x）。证据Putc:=Xx∈埃因菲∈Ipi（x）（最大耦合概率）。如果c=0，则取^xi独立，c=. 如果c=1，则取^Xiidenticaland c=Ohm, 样本空间。

对于0<c<1，这些耦合按如下方式混合：设J，V和Wi，i∈ 一、 是独立的随机变量，使得J是伯努利分布的，P（J=1）=c，对于x∈ E、 P（V=x）=infi∈Ipi（x）cP（Wi=x）=pi（x）- cp（V=x）1- c、 定义，对于每个i∈ 一、 ^Xi=五、 如果J=1，Wi，如果J=0。（4） 然后P（^Xi=x）=P（V=x）P（J=1）+P（Wi=x）P（J=0）=P（Xi=x）。因此，Xi的^Xiare a耦合，C={J=1}是一个耦合事件，并且它具有所需的值C。Xi的表示（4）称为分裂表示。我们总结了对耦合的处理，并对最大耦合的主题进行了变化：给定两个随机变量，当应用适当的耦合使它们尽可能接近相同时，它们之间的紧密性度量是什么？两个概率分布u和ν之间的总变化距离Ohm 定义为- νkT V:=maxAOhm|u（A）- ν（A）|，对于所有Borel集A。因此，u和ν之间的距离是两个分布分配给单个事件的概率之间的最大差异。利用耦合不等式，可以证明ku- νkT V=inf{P（X 6=Y）|（X，Y）是u和ν的耦合。（5） 类似于前一证明中的拆分表示法确保可以构造联轴器，从而获得最大值（见Levinet al.，2008，第50–52页）。CopulasFrech’et（1951）研究了以下问题，在这里针对二元情况进行了阐述：给定两个随机变量X和Y的分布函数FX和FY定义在同一概率空间上，那么对于边缘为FX和FY的二元分布函数的G类（FX，FY），可以说些什么？显然，类G（FX，FY）是非空的，因为它包含x和Y独立的情况。设F（x，y）是（x，y）的联合分布函数。

对于每一对实数（x，y），我们可以关联三个数字：FX（x）、FY（y）和F（x，y）。请注意，这些数字都位于区间[0,1]。换句话说，每对（x，y）实数被映射到单位平方[0，1]×[0，1]中的一个点（FX（x），FY（y）），这个有序的配对圈对应于[0，1]中的一个数字F（x，y）。（x，y）7→ （外汇（x）、财年（y））7→ F（x，y）=C（FX（x），FY（y）），R×R-→ [0,1]×[0,1]C-→ [0，1]那么映射C是一个copula的例子（它将二元分布与其边缘“耦合”）。定义、示例和Sklar理论对任何有限维n的直接定义如下：定义7。函数C:[0，1]n-→ 如果存在概率空间，则[0,1]称为n维alcopula(Ohm, F、 P）支持标准均匀随机变量（U，…，Un）的向量，使得c（U，…，Un）=P（U≤ U联合国≤ 联合国，联合国∈ [0, 1].显然，任何copula都是一个分布函数。基于分布函数可以被描述为满足特定条件的函数，而无需参考概率空间这一事实，copula有一种替代的分析定义。定义8。n维copula C是单位n立方[0,1]上的函数，它满足以下性质：1。C的范围是单位间隔[0,1]；2.对于[0，1]中至少有一个坐标为零（接地）的所有u，C（u）为零；3.C（u）=uk，如果u的所有坐标都是1，除了k-坐标；4.C是n-增加的，也就是说，每增加一个a≤ [0,1]n中的b(≤ 定义成分）C分配给n盒[a，b]=[a，b]×·····×[an，bn]的体积为非负。我们可以证明，地基性和n-增长特性足以定义适当的分布函数。

此外，copula是一致连续的，其所有偏导数几乎无处不在，这是一个非常有用的性质，尤其是在计算机模拟中（有关证明，请参见Durante和Sempi，2016）。下面是一个非常简单的copula：示例9（独立copula）。对于独立的标准uniformrandom变量U，Unand U=（U，…，Un）P（U）≤ u） =C（u，…，un）=nYi=1是一个copula，称为独立copula。还有另外两个特别重要的连接词：例10（共名连接词）。对于均匀分布在[0,1]上的U，考虑随机向量U=（U，…，U）。那么，对于任何你∈ [0,1]n，P（U）≤ u） =P（u）≤ min{u，…，un}）=min{u，…，un}是一个copula，称为共单调copula。例11（反单调copula）。对于均匀分布在[0，1]上的U，考虑随机向量U=（U，1- U） 。那么，对于任何你∈[0,1]，P（U）≤ u） =P（u）≤ u、 一,- U≤ u） =max{0，u+u- 1} 是一个copula，叫做反单调copula。共单调copula通常被表示为asMn（u，…，un）=min{u，…，un}，也被称为上Fr′echet-hoeffing-bound copula。类似地，函数wn（u，…，un）=max{u+…+un- （n）- 1） 当n=2时，0}被称为下Fr′echet-Hoe-fff-ding-bound copula，但当n>2时，它不是一个常用的连接词。后一种说法的原因是WNN≥3通常不是适当的分配函数（见下文第3.5节）。重要的是，任何copula都遵守Fr’echet-hoeffing界限：定理12（Frech’et（1951））。如果C是任意n维copula，那么∈ [0,1]n，Wn（u）≤ C（u）≤ 锰（u）。证据：参见例如杜兰特和塞姆皮（2016），第27页。虽然Fr’echet Hoe offing lower wn从来不是n的连接词≥ 3，它是以下意义上的最佳可能下界：定理13。