熵测度变换

（3.7）设置u=1=θ，结合方程式（3.7）、方程式3.4和方程式（2.5）得出方程式（3.5）。3.2与条件熵风险的关系风险规避水平θ>0的条件熵风险度量，用ρentt表示，θ，是一个研究充分的动态凸风险度量。通过ρentt、θ（X）、θln定义合适的随机变量（详细信息见Seedtelefsen和Scandolo（2005））以弗-θX | Fti.理论2。14，命题2.4和（Jacod和Shiryaev，2003，定理3.8），给出了通过公式ρentt，θt（XT）=EP明确计算FT可测随机变量的条件熵风险的方法[XT | Ft]-Ht，T（P|P） θt，（3.8），其中风险规避水平θ与XT兼容。风险规避水平的可预测性被解释为随着新信息的到来而调整风险规避的能力。方程（3.8）可以解释为，在P. 通过术语Ht，T（P|P） 。下一节将探讨熵测度变换的财务解释。这些例子将集中于利率的期限结构、可违约债券、期货价格和远期价格。Wang、Hyndman和Kratsios熵测度变换1994年2月20日定价vi a熵测度变换我们首先探索orem（2.6）在数学金融中的联系和应用。具体而言，我们考虑债券定价、期货价格和远期价格的应用。我们首先探讨了熵测度变换与债券定价的关系。4.1可违约债券价格的短期利率模型T>0，即投资期限，P是短期利率的鞅度量，使用货币市场账户作为数值。

短期利率将被建模为r（Xt），其中ris是从Rnto（0，∞) Fs适应因子dxs=f（s，Xs-)ds+g（s，Xs）-)dWPs+zNP（ds，dz），（4.1），其中wp是一个n维（F，P）-布朗运动，其中随机测度NPisan是一个具有补偿器η（ds，dz）=v（dz）λ（Xs）的Rn值随机测度-)ds，其中v（·）是Rn上的一个度量，λ（·）是从Rn到R指定的一个函数。补偿随机度量是NP（dt，dz）=NP（dt，dz）- v（dz）λ（Xt）-)dt。。（4.2）无违约零息债券在时间t的价格∈ [0，T]由p（T，T）=EPhe给出-RTtr（Xs）dsFti；T≥ T≥ 0.（4.3）我们考虑到期时承诺支付1美元的可违约零息债券，并表示时间t的价格∈ [0，T]乘以D（T，T）。与无违约债券不同，可违约债券（如公司债券）的发行人可能会在到期前违约，在这种情况下，债券持有人将不会收到承诺的全额付款，而是收回付款。如果违约发生在债券到期之前，根据偿还付款的时间和金额，有不同的偿还方案（见比耶莱斯基和鲁特科夫斯基（2002年，第1.1.1节）和奥尔特曼等人（2004年））。例如，如果在违约情况下，债券面值的固定部分在到期时支付给债券持有人，则债券在到期时具有随机支付效应T=1{τ>T}+η1{τ≤T}其中τ是默认时间。如果在违约时支付了债券价值违约前市场价值的固定部分，那么债券的等价随机支付isCT=1{τ>T}+ηP（τ-, T）eRTτrvdv{τ≤T}。违约时间τ也进行了不同的建模。根据结构信用风险模型Originating with Merton（1974），公司债券的违约发生在公司债券的价值达到某个较低的阈值时。

简化形式的信用风险模型，如杜菲和辛格尔顿（1999），假设违约是由外部违约过程驱动的。Wang，Hyndman和Kratsios熵测度转换2019年2月20日由于回收方案不是本文主要关注的问题，我们通常将用随机支付效应表示可违约债券的等价支付，并假设价格由（s ee Du ffee and Singleton（1999））D（t，t）=EPhe给出-RTtr（Xv）dv·CTFti，（4.4），其中CTI是一个FT可测量的随机变量，取值为[0,1]。在极端情况下，完全违约的CT=0，即债券持有人在违约时无法获得任何回报，债券变得一文不值。在本文中，我们假设P（CT=0）=0，排除了完全违约的发生。稍后我们将解释为什么我们必须做出这个技术假设。如果我们假设P（CT=1）=1，那么我们的模型中就包含了无违约债券的另一种极端情况。如果P（CT=1）=1，则默认自由情况由等式（4.4）得出。定理2.6和等式（4.1）直接暗示可违约债券价格D（t，t）由以下EMT问题表征。推论4.1。在方程（4.1）和（4.3）描述的建模方案下，零息债券的价格isD（t，t）=expEPZTtr（徐）杜- ln（CT）英尺κt，（4.5）κt，expEPZTtZvZ′vdv-ZTtZvdWPv英尺,其中，Zt通过解耦的FBSDEXs=Xt+Zstf（v，Xv）定义-)ds+Zstg（v，Xv）-)dWPv+ZstZRnzNP（dv，dz），（4.6）Ys=-ln（CT）+ztsr（Xv）-) -ZRn（例如（v，z）- 1） v（dz）λ（Xv）-) -ZvZ′vodv（4.7）+ZTsZvdWPv+ZTsZRnG（v，z）NP（dv，dz），Ys，lnnEP[e]-这里，熵测度变换，P对于P，由dq给出数据处理FT=exp-ZTtZvZ′vdv+ZTtZvdWPv-zTZrNλ（Xv）-)（例如（v，z）- 1） v（dz）dv+ZTtZRnG（v，z）NP（dv，dz）. （4.8）证据。

将反向方程（2.13）、方程（4.2）和SDE（4.1）结合起来，形成方程（4.6）的解耦FBSDE。Wang，Hyndman和Kratsios熵测度变换2019年2月20日备注4.2。假设一个金融代理支付c在t时间购买一个单位的债券，并收到CTat到期日的付款。在时间段[t，t]内投资的内部对数回报率为γ=LNTC。超过无风险利率的超额收益率γ由γ=γ给出-ZTtr（Xv）dv，用于衡量投资绩效。注意，在可违约债券价格设置中，P的熵测度变换等价于nd（t，t）c=- infQ∈Pt（1）情商[-γ| Ft]+Ht，T（P|P）= supQ∈Pt（1）等式[|γ|英尺]- Ht，T（P|P）. （4.9）总相对熵Ht，T（P|P） 式（4.9）中，可以解释为在我们的模型框架内消除由市场风险（波动性风险）和信用风险组成的金融风险的惩罚。等式（4.9）的右侧使投资的超额（经风险调整的）回报最大化，这等于等式（4.9）左侧给出的等效瞬时回报。我们将分别讨论ATSMs和QTSMS情况下FBSDE（4.6）-（4.7）的显式解。与Hyndman（2009）和Hyndman and Zhou（2015）所考虑的因素相比，违约的可能性导致了一个额外组成部分的解决方案。4.1.1与ATSMI的不可违约债券案例在带跳跃的ATSMs框架内，我们对FBSDE（4.6）-（4.7）的系数做出如下规定（i）f（s，x）=Ax B（ii）g（s，x）=Sdiag√αi+βix（iii）r（x）=r′x+k（iv）λ（x）=L′x+lw其中A是标量的（n×n）-矩阵，B、r和L是（n×1）-向量，对于每个i∈ {1，…，n}每个i的αi标量∈ {1，…，n}βi=（βi1，…，βin）是（1×n）-向量，S是非奇异（n×n）-矩阵，k和l是标量。

然后FBSDE（4.6）-（4.7）变成x=Xt+ZstAXv-+ Bdv+ZstSdiagpαi+βiXv-dWPv+ZstZRnzNP（dv，dz），（4.10）Ys=ZTsnZRn（例如（v，z）- 1） v（dz）L\'-R′十五--ZRn（例如（v，z）- 1） v（dz）l+k-ZvZ′vodv+ZTsZvdWPv+ZTsZRnG（v，z）NP（dv，dz）。（4.11）Wang，Hyndman和Kratsios熵测度变换2019年2月20日，我们将通过应用类似于Hyndman（2009）的技术，给出FBSDE（4.10）-（4.11）的显式解，该技术扩展了马和勇（1999）的线性FBSDE方法。在以下命题的陈述中，正如在yndman（2009）中，我们将采用b"ork和Landén（2002）的符号来编写对称（n×n）矩阵kj的diag（αi+βix）S′=k+nXj=1kjxj，其中xjis是向量x的第j个元素∈ D.定义（n×n）矩阵K，给定（1×n）行向量y，n×n矩阵β（y）由K确定=kk。。。千牛和β（y）=y1×n··01×n1×ny。。。。。。。。。1×n·y分别地定理4.3。如果Riccati方程˙Us+UsA+UsK′[β（Us）]+hZRn（eUsz- 1） v（dz）iL′- R′=0，t∈ [0，T]（4.12）UT=0，（4.13）在区间[0，T]上允许唯一有界解U（·），然后FBSDE（4.10）-（4.11）允许唯一解，并且（Y，Z，G）在X的项s中有显式表达式，如下所示=-（UsXs+ps），（4.14）Zs=UsSdiag（pαi+βiXs-), （4.15）G（s，z）=Usz，（4.16），其中由Ps给出的Ps=-中兴通讯K- lZRn（eUvz）- 1） v（dz）-乌夫库夫- 中波紫外线dv（4.17）证明。我们首先证明了解耦的FBSDE（4.10）-（4.11）允许一个唯一的解（X，Y，Z，G）。SDE（4.10）提供了一个独特的解决方案。正如XSK所知，我们考虑单个BSDE（4.11）。如果我们让y=e-Ys，~Zs=-~Ys·Zs，~G（z，s）=-~Ys（1）- 例如（s，z）），BSDE（4.11）变为Ys=1+ZTsnZRn（例如（v，z）- 1） v（dz）L\'- R′十五--ZRn（例如（v，z）- 1） v（dz）l+ko＠Yvdv+ZTs＠ZvdWPv+ZTsZRn＠G（v，z）＠NP（dv，dz）。（4.18）Wang，Hyndman和Kratsios熵测度变换，2019年2月20日。通过德隆（2013年，定理3.1.1），我们知道BSDE（4.18）允许一个唯一解（~Y，~Z，~G）。

因此，FBSDE（4.10）-（4.11）允许一个唯一的解（X，Y，Z，G）。为了证明（Y，Z，G）的显式表达式，我们需要证明等式（4.14）-（4.16）给出的（Y，Z，G）满足BSDE（4.11）。将其公式应用于函数φ（s，x）=-（Usx+ps），其中USI是Riccati方程（4.12）和PSSaties方程（4.17）的解。LetYs=φ（s，Xs），其中Xs由方程（4.10）给出，那么我们有- Ys=-中兴通讯˙UvXv-+ 紫外线（AXv）-+ B） +kU′v+K′[β（Uv）]Xv-dv-ZTsUvSdiag（pαi+βiXv）dWPv-中兴通讯K- lZRn（eUvz）- 1） v（dz）-乌夫库夫- 中波紫外线dv-ZTsZRnUvz*NP（dv，dz）=-中兴通讯˙Uv+UvA+UvK′[β（Uv）]+hZRn（eUvz- 1） v（dz）iL′- R′Xv+hR′Xv-+ k+UvK′[β（Uv）]′Xv-+ 乌夫库夫我dv+ZTshZRn（eUvz）- 1） v（dz）i（L′Xv-+ l）dv-nUvSdiag（pαi+βiXv）-)odWPv-ZTsZRnUvzNP（dv，dz）（4.19）将方程（4.14）-（4.16）代入方程（4.19），我们得到y=YT+ZTs（R′Xv-+ k+ZvZ′v）dv-ZTsZRn（L′Xv）-+ l）例如（v，z）- 1.v（dz）dv+ZTsZvdWPv+ZTsZRnG（s，z）NP（ds，dz）通过（4.13）和（4.17）的边界条件，我们得到：-（UTXT+pT）=0。因此，Ys=ZTs（R′Xv-+ k+ZvZ′v）dv-ZTsZRn（L′Xv）-+ l）例如（v，z）- 1.v（dz）dv+ZTsZvdWPv+ZTsZRnG（v，z）NP（dv，dz），因此（Y，z，G）由等式（4.14）-（4.16）给出，满足BSDE（4.11）。备注4。4.关于（4.12）中形式的Riccati方程的完整讨论可参见Induffee等人（2003年，第6节）。Wang，Hyndman和Kratsios熵测度变换，20194.1.2 ATSM框架下无跳跃的默认情况下，FBSDE（4.6）-（4.7）变为Xt+Zst（AXv+B）dv+ZstSdiagpαi+βiXvdWPv（4.20）Ys=-ln CT+ZTs（R′Xv+k-ZvZ′v）dv+ZTsZvdWPv（4.21）下面的结果可以被看作是对yndman（2009，定理3.2）的一个推广，通过合并一个随机终端条件来表示违约情况下的恢复量。定理4.5。

如果Riccati方程˙Us+UsA+UsK′[β（Us）]- R′=0，s∈ [0，T]（4.22）UT=0（4.23）允许唯一有界解U（·）∈ Rn在区间[0，T]上，则FBSDE（4.20）-（4.21）允许一个唯一的解，且解（Y，Z）有明确的表达式，表示为XYs=-（UsXs+ps）和（4.24）Zs=UsSdiag（pαi+βiXs）+Zs，（4.25），其中（ps，Zs）求解以下bsdep=-在CT上-中兴通讯K-乌夫库夫- UvB+zvz′vdv-ZTszvdWPv。（4.26）证据。我们首先证明了解耦的FBSDE（4.20）-（4.21）允许一个唯一的解（X，Y，Z）。在我们的假设下，SDE（4.20）承认了一个独特的解决方案。给定Xs，我们考虑BSDE（4.21）。如果我们让y=e-Ys，~Zs=-~Ys·Zs，BSDE（4.21）变为~Yt=CT+ZTtR′Xs+k~Ysds+ZTt ~ZsdWPs。（4.27）很明显，BSDE（4.21）允许一个唯一的解决方案（Y，Z），因此FBSDE（4.20）-（4.21）允许一个唯一的解决方案（X，Y，Z）。使用同样的技术，我们也可以证明BSDE（4.26）允许一个唯一解（p，z）。为了证明（Y，Z）的显式表示，我们需要证明等式（4.24）-（4.25）给出的（Y，Z）满足BSDE（4.21）。将其公式应用于函数φ（s，x，p）=-（Usx+p），其中Usis是（4.22）的解决方案。设Ys=φ（s，Xs，ps），其中Xs由（4.20）给出，psWang，Hyndman和Kratsios熵测度变换为2019年2月20日的satis（4.26）。那么我们就有了-˙UsXs+Us（AXs+B+kU′s+K′[β（Us）]Xs+Sdiag（pαi+βiXs）z′sds- UsSdiag（pαi+βiXs）dWPs-K-UskU\'s- UsB+zszds- zsdWPs=-˙美国+美国+UsK′[β（美国）]- R′Xs+hR′Xs+k+UsK′[β（Us）]Xs+UskU′s+2UsSdiag（pαi+βiXs）z′s+zsz′s我ds-nUsSdiag（pαi+βiXs）+zsodWPs。

（4.28）将等式（4.22）和（4.25）代入等式（4.28），我们得到：-（R′Xs+k+ZsZ′s）ds- 由方程（4.24）-（4.25）定义的ZsdWPsThus（Ys，Zs）满足度Ys=YT+ZTs（R′Xv+k+ZvZ′v）dv+ztszvdwpvb通过方程（4.23）和（4.26）中的边界条件我们得到：-因此，ln-ctys=-ln CT+ZTs（R′Xv+k-ZvZ′v）dv+ZTsZvdWPv。备注4.6。Riccati方程（4.22）解的存在性和唯一性isshown i nduffee等人（2003年，第6节），其中考虑了一类广义Riccati方程。请注意，FBSDE（4.24）-（4.25）的（Y，Z）表示并不完全明确，因为Zt一词将由二次BSDE（4.26）确定。幸运的是，我们可以将二次型BSDE（4.26）转换为线性BSDE，方法是≈pt=e-然后BSDE（4.26）变为pt=CT+ZTt（k-UskU\'s- UsB）~psds+ZTt ~zsdWPs。（4.29）在P（CT=0）>0的排除情况下，则（4.29）将是具有奇异终端条件的BSDE。通过一个特定的默认机制和恢复模式进一步指定CTDE，线性BSDE（4.29）可以解析或数值求解。有一篇关于BSDE数值解格式的扩展文献，我们将不讨论。然而，理论4。5.将求解耦合非线性FBSDE（4.20）（4.21）的过程简化为求解Riccati方程（4.22）和线性BSDE（4.29）。Wang，Hyndman和Kratsios熵测度变换，20194.1.3有QTSM和无跳跃的默认情况在无跳跃的QTSM框架中，FBSDE（4.6）-（4.7）变为x=Xt+ZstAXv+Bdv+Zst∑dWPv（4.30）Ys=-ln CT+ZTs（X′vQXv+R′Xv+k-Z′vZv）dv+ZTsZvdWPv。（4.31）与ATSMs的情况一样，我们获得了以下定理中所述的FBSDE（4.30）-（4.31）的部分显式解。我们省略了这个证明，因为它类似于定理4的证明。5.定理4.7。

如果Riccati方程˙qs+qsA+A′qs+（q′s+qs）∑∑（q′s+qs）- Q=0n×n，s∈ [0，T]（4.32）˙us+usA+B′（q′s+qs）+us∑′（q′s+qs）- R′=01×n，s∈ [0，T]（4.33）qT=0n×n，uT=01×n（4.34）在[0，T]上承认唯一的有界解q（·），u（·），那么FBSDE（4.30）-（4.31）承认唯一的解并且（Y，Z）以X的形式显式表示，如下所示：-（X′sqsXs+utXs+ps），（4.35）Zs=X\'s（qs+q\'s）+us∑+zs，（4.36），其中（ps，zs）解出以下bsdep=-在CT上-中兴通讯K- 中波紫外线-tr（qv+q′v）∑∑-uv∑∑u′v+zvz′vdv-ZTszvdWPv。（4.37）通过与ATSM相同的技术，我们改变变量ps=e-ps，~zs=~ps·zs，这样BSDE（4.37）就可以得到线性BSDE ~ps=CT+ZTs（k- 中波紫外线-tr（qv+q′v）∑∑′）~pvdv+ZTs~zvdWPv。（4.38）上述BSDE的形式与BSDE（4.29）的形式相同，也可以通过分析或数值求解。备注4.8。解耦的Riccati方程（4.32）-（4.34）与LQ控制问题密切相关。Riccati方程（4.32）-（4.34）解的存在性和唯一性已在Yndman和Zhou（2015）中讨论过。我们在附录中根据冈巴尼和龙格尔迪耶（2013）的结果提供了类似的证据。Wang，Hyndman和Kratsios熵测度变换，20194年2月20日。1.4带跳的QTSMs和跳的不可违约情况在带跳的QTSMs框架中，我们做出以下规定（i）f（s，x）=Ax+B（ii）g（s，x）=∑（iii）r（x）=x′Qx+r′x+k（iv）λx）=x′Lx+lw其中A是标量、B、r和Lare（n×1）列向量的（n×n）矩阵，Q，∑andLare n×n s对称正半有限矩阵，k和l是标量。

然后FBSDE（4.6）-（4.7）变为comesxs=Xt+ZstAXv-+ Bdv+Zst∑dWPv+ZstZRnzNP（dv，dz）（4.39）Ys=ZTs（X′v-QXv-+ R′Xv-+ k+ZvZ′v）dv+ZTsZvdWPv-ZTsZRn（X′v-LXv-+ 十五-+ L）例如（v，z）- 1.v（dz）dv+ZTsZRnG（v，z）NP（dv，dz）。（4.40）类似于带跳跃的ATSMs中的结果，我们得到了以下fBSDE（4.39）-（4.40）的显式解。定理4.9。如果Riccati方程˙qs+qsA+A′qs+（q′s+qs）∑′（q′s+qs）+hZRn（ez′qsz+usz-1） v（dz）iL′- Q=0n×n，（4.41）˙us+usA+B′（Q′s+qs）+us∑′（Q′s+qs）+hZRn（ez′qsz+usz）- 1） v（dz）iL′- R′=01×n，（4.42）qT=0，uT=0（4.43）允许区间[0，T]上的唯一有界解q（·），u（·），那么FBSDE（4.39）-（4.40）允许唯一解，并且（Y，Z，G）在X的项s中有显式表达式，如下所示：-（X′sqsXs+usXs+ps），Zs=X\'t-（qs+q+us）∑，and g（s，z）=z′qsz+usz，其中由ps给出的p=-中兴通讯K- LhZRn（ez′qvz+uvz）- 1） v（dz）i- 中波紫外线-tr（qv+q′v）∑∑-uv∑′u′vdv。我们省略了定理的证明。9，因为它类似于定理4.3的证明。我们现在考虑期货和远期价格的EMT问题。Wang、Hyndman和Kratsios熵测度转换1994年2月20日。2期货和远期价格采用等式（4.1）给出的因子过程X不仅驱动短期利率，还驱动arisky资产价格。我们假设风险资产价格是因素的函数，对于某些函数S（·，·）：[0，∞) ×Rn→ (0, ∞).