熵测度变换

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英文标题：
《The Entropic Measure Transform》
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作者：
Renjie Wang, Cody Hyndman and Anastasis Kratsios
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We introduce the entropic measure transform (EMT) problem for a general process and prove the existence of a unique optimal measure characterizing the solution. The density process of the optimal measure is characterized using a semimartingale BSDE under general conditions. The EMT is used to reinterpret the conditional entropic risk-measure and to obtain a convenient formula for the conditional expectation of a process which admits an affine representation under a related measure. The entropic measure transform is then used provide a new characterization of defaultable bond prices, forward prices, and futures prices when the asset is driven by a jump diffusion. The characterization of these pricing problems in terms of the EMT provides economic interpretations as a maximization of returns subject to a penalty for removing financial risk as expressed through the aggregate relative entropy. The EMT is shown to extend the optimal stochastic control characterization of default-free bond prices of Gombani and Runggaldier (Math. Financ. 23(4):659-686, 2013). These methods are illustrated numerically with an example in the defaultable bond setting.
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中文摘要：
我们引入了一般过程的熵测度变换（EMT）问题，并证明了该问题解的唯一最优测度的存在性。在一般条件下，利用半鞅BSDE刻画了最优测度的密度过程。EMT被用来重新解释条件熵风险测度，并获得一个方便的公式，用于在相关测度下允许仿射表示的过程的条件期望。然后，当资产受到跳跃扩散的驱动时，熵测度变换用于提供可违约债券价格、远期价格和期货价格的新特征。根据EMT对这些定价问题的描述提供了一种经济解释，即收益最大化，并受到通过总相对熵表示的消除金融风险的惩罚。EMT扩展了Gombani和Runggaldier无违约债券价格的最优随机控制特征（Math.Financ.23（4）：659-6862013）。这些方法通过默认键设置中的一个示例进行了数值说明。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> The_Entropic_Measure_Transform.pdf (428.82 KB)

2022-5-9 12:35:14 上传

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关键词：Mathematical Presentation Optimization Differential Applications

王仁杰的熵测度*科迪·海德曼*Anastasis KRATSIOS+2019年2月20日摘要我们介绍了一个一般过程的熵测度变换（EMT）问题，并证明了描述该解的唯一最优测度的存在性。在一般条件下，利用半鞅BSDE刻画了最优测度的密度过程。EMT用于重新解释条件熵风险度量，并为允许在相关度量下进行有效表示的过程的条件期望获得一个方便的公式。然后，当资产受到跳跃差异驱动时，熵测度变换可用于提供可违约债券价格、远期价格和期货价格的新特征。EMT对这些定价问题的描述提供了一种经济解释，即收益最大化，受到通过总相对熵表示的消除金融风险的惩罚。EMT扩展了Gombani和Runggaldier违约自由债券价格的最优随机控制特征（Math.Financ.23（4）：659-6862013）。这些方法通过默认键设置中的一个示例进行了数值说明。关键词：相对熵；自由能；可违约债券价格；期货价格；远期价格；一个任期结构；二次项结构；正倒向随机微分方程；最优随机控制。数学学科分类（2010）：91G30、91G40、91G80、60H20、60H30、93E20*加拿大魁北克省蒙特勒尔市迈松纽韦大道1455号康科迪亚大学数学与统计系H3G 1M8。电子邮件：cody。hyndman@concordia.ca+瑞士苏黎世苏黎世ETH苏黎世数学系。ORCID ID:0000-0001-6791-3371。

电子邮件：阿纳斯塔西斯。kratsios@math.ethz.chThis这项研究得到了加拿大自然科学和工程研究委员会（NSERC）的支持。作者要感谢W.Runggaldier教授（Padova）对本文早期版本的有益评论。Wang，Hyndman和Kratsios熵测度转换20191年2月20日简介基于基础短期利率过程r（t）的零息债券定价问题∈ R+是金融数学中一个基本而重要的话题。在风险中性措施下，已经提出了各种r（t）模型。单因素模型使用瞬时s pot率r（t）作为基本状态变量，如Vascek（1977）和Cox等人（1985）。短期利率取决于多维因素过程的多因素模型包括Longstaff和Schwartz（1992）、Hull和White（1994）以及Duffee和Kan（1996）的模型。有几种方法可以描述债券价格。在无套利市场中，债券价格可以被视为一个称为期限结构方程的偏微分方程的解（见Bj"ork（2004年，命题21.2）），或者通过Feynman-Kac公式联系起来，使用风险中性估值（见Bj"ork（2004年，命题21.3））。最近研究了其他方法，包括随机流量法（seeElliott and van der Hoek（2001）、Hyndman and Zhou（2015）和Hyndman（2009））、前后向随机微分方程法（Seehydman（2007、2009）和Hyndman and Zhou（2015）），以及冈巴尼和龙加尔迪耶（2013）的最优随机控制方法。Gombani和R unggaldier（2013）通过将期限结构方程转化为等效的Hamilton-Jacobi-Bellman方程，将无违约债券的定价问题与最优随机控制（OSC）问题联系起来。

受Gombani和Runggaldier（2013）以及相对熵概念的启发，我们提出了一个熵测度变换（EMT）问题，其价值函数与债券价格有关。我们探讨了EMT问题和OSC问题之间的等价性。与OSC问题相比，EMT问题的一个优点是可以直接扩展到带跳跃的模型，甚至可以扩展到可违约债券的模型。EMT问题还从财务角度解释了定价问题，即收益最大化受到量化财务风险的熵惩罚项的影响。我们证明了EMT问题的最优测度和价值过程完全可以用一个正反向随机微分方程（FBSDE）来描述。此外，如果相关FBSDE允许显式解，熵测度变换有一个表达式。从熵测度的显式表示中，我们注意到解决EMT问题的测度与使用债券价格作为数值的鞅测度或前向测度一致。这些联系提供了一些见解，可以解释为什么亨德曼（2009）的FBSDE方法中采用的前向度量转换是有效的。在有效期限结构模型（ATSMs）和QTSMs的框架下，Hyndman（2009）和Hyndman and Zhou（2015）为相关的FBSDE提供了明确的解决方案。论文的其余部分组织如下。在第二节中，全面介绍了熵测度变换（EMT）问题，并用一个向后半鞅来解决和刻画该问题。第3节介绍了EMT、条件风险度量和有效流程之间的联系。

利用EMT，可以使用熵测度变换简单地计算出一个特定等价测度下的一个有效过程的条件期望。在第4节中，熵测度变换应用于定价问题，从无违约零息债券开始，然后扩展到可违约零息债券，最后应用于期货和远期价格。在所有这些情况下，表征最优测度的向后半鞅被简化为FBSDE，其解由Wang、Hyndman和Kratsios熵测度变换给出。2019年2月20日，Riccati方程。我们还建立了债券定价的OSC问题和ETM问题之间的等价关系。第5节包含在可违约债券情况下实施该方法的数值说明。第6节结束，附录讨论了某些Riccati方程的可解性。2熵测度变换在本节中，我们介绍概率测度的熵测度变换，并描述如何计算它。让P(Ohm) 是关于P的绝对连续的概率测度集吗(Ohm, F） 。以下定义将Dai Pra等人（1996年）给出的自由能和相对熵的经典定义推广到包含过滤定义2.1的聚合或动态版本。为了P∈ P(Ohm) 一个FT可测量的随机变量，相对于P，εt，t（~n）的总自由能由εt，t（~n）=ln（EP[e|FT]），t定义∈ [0，T]。（2.1）定义2.2。除了P，考虑另一个Q∈ P(Ohm). 假设Q对P isdQdP的Radon-nikodymp导数Fs=Γs，0≤ s≤ T

（2.2）那么，对于t∈ [0，T]，Q相对于P的总相对熵定义为asHt，T（Q | P）=（EQhlnΓTΓT|如果ΓTΓs∈ L（P）+∞ 否则（2.3）聚合自由能和聚合相对熵之间的对偶关系依赖于以下一组度量。对于t∈ [0，T]，且对于每一个P-a.s.正且一致可积（P，Ft）-鞅∧T，满足（i）Ehlimt7→∞∧ti=1，（ii）比亚迪定义的测量值PPdP=limt7→∞λ相当于P。我们可以定义一系列概率测度Pt（λ） P(Ohm) 从p到时间t，它们是不可区分的∈ P(Ohm)Q~ P、 dPdQ英尺=dQdP英尺-1(T∈ [0, ∞)) 和dqdpFs=λs(s∈ [0，t]）。（2.4）定义2.3（φ兼容）。给定一个FT可测量的随机变量φ，如果满足以下条件，则FT可预测过程θ称为φ兼容：Wang、Hyndman和Kratsios熵测度变换1991年2月20日。θ是P-a.s.阳性，2。EPeθtφ英尺是一个一致可积（P，Ft）-鞅，对于每个t∈ [0，T]。与Dai Pra等人（1996）相似，以下命题揭示了聚集自由能和聚集相对熵之间的二元关系。提议2.4。对于t∈ [0，T]和任何FT-可测随机变量φ和任何非负可预测过程θT，αT，如果θtisφ兼容，则以下公式成立：- εt，t（θtφ-αt+ln（λt））=θtinfQ∈Pt（λ）情商-φ+αtθt英尺+θtHt，T（Q | P）. （2.5）在P由氡-尼科德姆导数测定数据处理FT=eθtφEP[eθtφ|FT]。（2.6）证据。首先假设θt=1 P-a.s.如方程（2.2）中我们假设的qdpFs=Γs，0≤ s≤ T.由于φ·ΓTΓ是可测的（Jacod和Shiryaev，2003，定理3.8），并且假设以下广义Bayes公式适用于SDPDQ英尺=dQdP英尺-1对于每个t≥ 0，implethateqφΓtΓt英尺= EPφΓtΓtΓtΓt英尺= EP[φ| Ft]。

（2.7）因此对于任何FT可测随机变量φ和任何Q∈ Pt（λ）以下可逆性Stract-Bayes公式holdsEP[φ| Ft]=等式φΓtΓt英尺. （2.8）自-ln（·）是一个凸函数，詹森不等式暗示-εt，t（φ）=-ln（EQheφΓtΓtFti）≤情商[-φ| Ft]+EQhlnΓTΓTFti=EQ[-φ| Ft]+Ht，T（Q | P）。（2.9）安萨茨，ΓTΓT=eφEP[eφ| Ft]。（2.10）可以用等式（2.9）进行验证。因为每s≤ 方程（2.10）表示Γt=eφ∧tEP[eφ| Ft]。Wang，Hyndman和Kratsios熵测度变换，2019年2月20日这建立了θt=1的情况。在一般情况下，设φ为FT可测量的随机变量。那么φ，θt~n是FT可测量的。因此，第一部分意味着-εt，t（φ）=-εt，t（θt~n- αt）=infQ∈Pt（λ）{EQ[-θt|Ft]+Ht，t（Q | P）}（2.11）=infQ∈Pt（λ）θt{EQ[-ν+αtθt | Ft]+θtHt，t（Q | P）}，（2.12），其中最后一行来自以下事实：θ和α皮重Ft是可预测的，不会进入优化。此外，由于P-a.s.取（0，∞). 最后，将∧t保留在期望值之外，并注意到ln（∧t）是P-a.s.定义良好的，因为∧t>0，P-a、 s.给出了方程（2.6）的存在性。方程式（2.6）中定义的过程实际上是一个定义密度很低的过程，因为定义2中描述了θt的消耗。3（i-ii），当s从左边接近时，EP[eθs|Fs]EP[eθt|Ft]收敛到方程（2.6）的右边。唯一性由损失函数θt{EQ的凸性保证[-关于Q.definition 2.5（熵测度变换），φ+αtθt | Ft]+θtHt，t（Q | P）}。P的函数(Ohm) 将任意概率测度P映射到测度P定义为等式（2.5）的（唯一）极小值，称为熵测度变换。密度过程dP | FTA用一个解耦的前后半鞅给出了一个方便的描述。

我们回顾了一些定义，并定义了一些符号，以陈述本文的下一个和中心定理。设mpm表示初始状态为0的平方可积（Ft，P）鞅集。对于MP的任何子集A，稳定子空间S（A）是M的最小线性子空间，包含A和~M∈ S（A）~M∈ S（A）=>Zφd~M。此外，我们将用M（A）表示(Ohm, 每米∈ S（A）是平方可积鞅。定理2.6。设P是Pt（1）中的概率测度，M，Mnbe是（P，Ft）-鞅的正交集，XTbe是（P，Ft）-平方可积随机变量。如果P是M（M，…，Mn）的极值点，如果S（M，…，Mn）包含所有常数，如果对于每个S∈ [t，t]下半鞅倒向随机微分方程存在一个解-自然对数EP提取财政司司长=XT-nXi=1ZTsZiu-dMiu+nXi=1ZTs（Zis）d[Mi]s-TXu≥sEP提取傅-nXi=1Ziu-缪！，（2.13）Wang，Hyndman和Kratsios熵测度变换2019年2月20日然后密度过程被测量数据处理Fs的特征是dp数据处理Fs=exp-nXi=1ZTsZiu-dMiu+nXi=1ZTs（Zis）d[Mi]s！×exp-TXu≥sEP提取傅-nXi=1Ziu-缪！. （2.14）证据。对于s∈ [t，t]，让我们-Y，lnEP提取财政司司长, thene-Ys=EP提取财政司司长. （2.15）定义ηs，EP提取财政司司长; 注意η是Doob（P，Fs）-鞅。由于P是极值M（M，…，Mn），S（M，…，Mn）包含所有常数，那么中心定理mofjacod和Yor（1977）暗示MP=S（M，…，Mn）。特别是，{Mi}ni=1具有可预测的表示属性。因此，存在P-a.s.唯一的平方可积过程φIs，每个φIs都是不可预测的，因此ηs=η+nXi=1ZsφiudMiu。（2.16）自e-Xt是P-a.s.正，然后ηsis P-a.s.严格正。因此，对于每个i=1，n、 过程Zis，φ的定义很好。

因此，方程（2.16）可以改写为ηs=η+nXi=1Zsηszismiu。（2.17）自Ys=-ln（ηs），然后是广义It^o引理（Cohen and Elliott，2015，Theorem14.2.1），方程（2.17），以及i6=j时的Mito mji的正交性，这意味着ys=Y+nXi=1Zsηu-齐奥-ηu-德米-nXi=1Zsηs（Zis）ηsd[Mi]s-TX0≤U于-nXi=1ηu-ηu-!=Y+nXi=1ZsZiu-德米尔-nXi=1Zs（Zis）d[Mi]s-TX0≤U于-nXi=1Ziu-缪！。（2.18）因为ηT=E提取英尺= 分机，然后是s∈ [0，T]，等式（2.18）让位于下面的半鞅BSDEYs=XT- Y-nXi=1ZTsZiu-dMiu+nXi=1ZTs（Zis）d[Mi]s（2.19）-TXu≥s于-nXi=1Ziu-缪！。（2.20）Wang，Hyndman和Kratsios熵测度从P∈ Pt（1），我们注意到等式（2.6）意味着ηt=1；thusYt=0。此外，Ys=-自然对数EP提取财政司司长, 因此，方程式（2.20）可改写为-自然对数EP提取财政司司长- XT=-nXi=1ZTsZiu-dMiu+nXi=1ZTs（Zis）d[Mi]s-TXu≥s于-nXi=1Ziu-缪！。（2.21）取方程（2.21）两侧的指数，并注意到extep[eXT|Fs]是方程（2.6）的右侧，得到方程（2.13）和（2.14）。熵测度变换、聚合相对熵、有效过程和风险测度之间的关系将在下一节讨论。3与风险度量和有效过程的联系有效过程是一大类具有许多理想性质的可处理随机过程。例如，Inuchiero（2011）利用广义Riccati方程描述了过程的矩母函数，随后inGonon和Teichman（2018）开发了高精度近似滤波方法。在下一节中，EMT被用来获得一个方便的闭式表达式，用于一个函数过程的条件期望，它允许一个辅助等式测度下的函数表示为P。

随后连接到熵风险度量。3.1有效过程累积量的表征支持XT是一个时间齐次马尔可夫过程，其中分别存在C和Cn值函数p和q，因此XT的特征函数可以写成Phehu，XTiXt=xi=exp（p（t，u）+hq（t，u），Xti）。（3.1）根据Keller Restel和Mayerhofer（2015），我们做出以下假设。假设3.1。每一个u，x∈ RnExPehu，Xti< ∞.根据假设3。Keller-Ressel和Mayerhofer（2015）证明了以下广义Riccati方程具有唯一（实）极小解Pt（t，y）=F（q（t，u））；p（0，y）=0（3.2）Qt（t，y）=R（q（t，u））；q（0，y）=y，（3.3）Wang，Hyndman和Kratsios熵测度变换，2019年2月20日∈ [0，T]，其中函数F和R在Keller Ressel和Mayerhofer（2015）中定义。此外，还证明了唯一极小解（p，q）刻画了xt，通过hehu，XTi的矩Xt=xi=exp（p（t，u）+hq（t，u），Xti）。提议3.2。设Q是一个等价于P的测度，其EMT为P，即isQ= P、 （3.4）其中XT是一个R值的有效过程，满足假设3。1.那么XT的期望可以用ep[XT | Ft]=p（T）来表示- t、 1）+hq（t- t、 1），Xti+Ht，t（P | Q）。（3.5）证据。设（p，q）是方程（3.3）的Riccati系统在q下的最小解。因此，（Keller Ressel和Mayerhofer，2015，推论2.16）意味着对于每x∈ Rn，θ∈ R、 u∈ Sn和t∈ [0，T]它遵循以弗θhu，XTiFti=exp（p（T- t、 θ·u）+hq（t- t、 θ·u），Xti）。（3.6）对于θ6=0，结合方程（3.6）和（2.5）yieldsp（T- t、 u）+hq（t- t、 u），Xti=p（t-t、 θ·u）+hq（t- t、 θ·u），Xtiθ=EP[hu，XTi | Ft]-θHt，T（P|P） 。