熵测度变换

例如，S（·，·）可以通过（S，x）=eA′sx+hs来指定，我们称之为有效价格模型（APM），或者（S，x）=ex′Bsx+a′sx+hs，我们称之为二次价格模型（QPM），其中Bs:[0，T]→ Rn×n，As:[0，T]→Rn，hs:[0，T]→ R.我们接下来考虑风险资产的期货和远期合约，并将期货价格和远期价格与EMT问题联系起来。4.3期货价格风险资产S的期货价格由g（t，t）=EP[S（t，XT）|Ft]，（4.44）在t时给出，表示到期日t，并让dXs=f（s，Xs）ds+g（s，Xs）dWPsVGt，T=infQG∈Pt（1）EQG[-ln S（T，XT）|Ft]+Ht，T（QG | P）.（4.45）根据命题2。4 EMT问题（4.45）的解由最优测度qg给出, 这是由dqg决定的数据处理FT=S（T，XT）EP[S（T，XT）|FT]，（4.46）VGt，T=-ln{EP[S（T，XT）|Ft]}。（4.47）等式（4.47）将EMT问题（4.45）与期货价格asVGt联系起来，T=-lng（t，t）。这种关系允许我们给出以下财务解释。备注4.10。假设金融代理人在时间t持有天空资产S期货合约的多头头寸，期货价格为c。如果风险资产在交易时间t有价格S（t，XT），通过在整个时间段[t，t]内按市值计价，投资的对数回报率为γ=lnS（t，XT）c.Wang，Hyndman，&Kratsios熵测度转换2月20日，2019年，EMT问题（4.45）等价于tolnG（t，t）c=supQ∈Pt（1）EQG[γ|英尺]- Ht，T（QG | P）. （4.48）等式（4.48）的右侧使QG下的对数收益γ最大*期货合约中有一个非对称惩罚条款，用于消除标的风险资产的波动风险导致的市场风险。根据理论2。6.测量P其特征是以下解耦FBSDEXs=Xt+Zstf（v，Xv）dv+Zstg（v，Xv）dWPv，（4.49）Ys=-ln[S（T，XT）]-ZTsZvZ′vdv+ZTtZvdWPv。

（4.50）Ys，lnnEP[e-RTtr（Xu）du·CT | Fs]o.如果上述FBSDE允许一个解三（X，Y，Z），那么值函数和测量定义为vgt，T=Yt，dQG数据处理FT=e-RTtZvZ′vdv+RTtZvdWPv。Hyndman（2009）和Hyndman and Zhou（2015）分别在ATSMs和QTSMs的框架下研究了FBSDE（4.49）-（4.50）的问题，并给出了明确的解决方案。接下来我们考虑风险资产的远期合约。4.4远期价格风险资产的远期价格S由F（t，t）=EP[e]给出-RTtr（Xv）dvS（T，XT）| Ft]P（T，T），（4.51）在时间T为到期日T。为了确保远期价格不仅仅等于期货价格，我们假设利率过程是随机的，影响利率的因素不独立于影响基础资产价格的因素。此外，为了排除等式（4.51）的分子在假设资产支付s-tochastic股息或便利收益时降低为标的资产价格的情况。与第4节中EMT问题的推导类似，我们让φ=（ln S（T，XT）-RTtrvdv），并将远期价格与以下EMT问题关联dXs=f（s，Xs）ds+g（s，Xs）dWPsVFt，T=infQF∈Pt（1）EQF- ln S（T，XT）+ZTtrvdv |英尺+ Ht，T（QF | P）.（4.52）Wang，Hyndman和Kratsios熵测度变换2019年2月20日通过命题2.4，EMT问题（4.52）的解由最优测度qf给出, 这由DQF决定数据处理FT=S（T，XT）e-RTtrvdvEP[S（T，XT）e-RTtrvdv | Ft]，（4.53）和vft给出的最优值函数，T=-自然对数EP[e-RTtr（Xv）dvS（T，XT）| Ft]. （4.54）等式（4.54）将EMT问题（4.52）与远期价格asVFt联系起来，T=-自然对数F（t，t）P（t，t）.因此，我们对EMT问题有以下财务解释（4.52）。备注4.11。假设一名财务代理人签订了一份远期协议，以在时间T接收资产，但在时间T支付c。

在到期时间T时，代理人收到S（T，XT），并且在时间段[T，T]内投资的对数回报率为γ=lnS（T，XT）c。超过无风险利率的超额回报率γ由γ=γ给出-ZTtr（Xv）dv。然后EMT问题（4.52）等价于tolnF（t，t）P（t，t）c=supQF∈Pt（1）EQF[|γ|英尺]- Ht，T（QF | P）. （4.55）与债券和期货合同的EMT问题的财务解释类似，等式（4.55）m的右侧最大化了QF下的超额收益γ*具有一个entropype术语，用于消除远期承诺价值的市场风险，因为决定利率和潜在波动性的因素过程的波动风险。使用定理2。6.我们通过FBSDEXs=Xt+Zstf（v，Xv）dv+Zstg（v，Xv）dWPv（4.56）Ys=-ln[S（T，XT）]+ZTs[r（Xv）-ZvZ′v]dv+ZTsZvdWPv（4.57）如果上述FBSDE允许一个解三（X，Y，Z），那么EMT的值函数和最佳度量可以表示为vft，T=Yt，dQF数据处理FT=e-RTtZvZ′vdv+RTtZvdWPv。Wang，Hyndman和Kratsios熵测度变换2019年2月20日Hyndman（2009）和Hyndman和Zhou（2015）也分别在ATSMs和QTSMs的框架下研究了FBSDE（4.56）-（4.57），并给出了明确的解决方案。与OSC方法相比，EMT方法在因素过程的动力学方面似乎更灵活。在下一节中，我们将扩展EMT方法，以包括使用OSC方法很难纳入的因素。下一节将熵测度变换问题与Gombani和Runggaldier（2013）提出的最优随机控制问题进行比较。

研究发现，在利益期限结构的范围内，这两种方法之间存在等价性。4.5债券定价FollowingGombani和Runggaldier（2013）中的EMT问题和OSC问题之间的等价性，在我们在上一节中建立的相同一般框架下考虑了债券定价问题。为了避免混淆，我们在Gombani和Runggaldier（2013）的上下文中用xs表示因子过程。此外，假设＠x用于解决SDEd＠x=f（s，~Xs）+g（s，~Xs）u\'sds+g（s，~Xs）dWPs；Xt=x.（4.58），因此在时间t时，无违约债券的价格，用P（t，t，x）表示，由P（t，t，x）=EP[e给出-RTtrvdv | Ft]=EP[e-RTtrvdv | Xt=x]。假设P（t，t，x）∈ C1,2，P（t，t，x）诱导的期限结构无套利的一个有效条件是P（t，t，x）满足以下偏微分方程（见比约克（2004年，命题21.2））tP（t，t，x）+f′（t，x）xP（t，t，x）+trg′（t，x）xxP（t，t，x）g（t，x）- P（t，t，x）r（t，x）=0P（t，t，x）=1。（4.59）Gombani和R unggaldier（2013）将方程（4.59）转换为等效的Hamilton-JacobiBellman方程，该方程对应于以下最优随机控制（OSC）问题。问题4.12。关于过滤概率空间(Ohm, F、 {Fs，0≤ s≤ 式（4.64）给出了马尔可夫过程。设U为容许控制集，则对于任何控制U∈ U和t∈ [0，T]，考虑一个形式为<<Jt，T（u）=Et，xP的性能标准>>Jt，T（u）ZTtuvu′v+r（~Xv）dv, （4.60）式中，Et，xp表示给定的条件期望Xt=x。最优控制问题是wt，T=infu∈UJt，T（U）。王、海德曼和克拉西奥熵测度变换2月。

2019年，Gombani和R unggaldier（2013）在违约自由债券的价格和OSC问题之间建立了联系4。12通过显示p（t，t，x）=e-Wt，T（x）。接下来，我们将探讨EMT问题和OSC问题之间的等价关系。任何问题∈ Pt（1），Radon-Nikodym衍生过程的形式如下：数据处理Fs=（1,0）≤ s≤ t、 ∧s，t<s≤ 其中∧是从T到T的（F，P）-鞅。由于∧sis几乎肯定是正的，根据鞅表示定理，存在一个F-可预测（1×n）-向量过程u，使得dp数据处理Fs=e-Rstuvu′vdv+RstuvdWPv，t<s≤ T（4.61），其中u是F-可预测（1×n）-向量过程。在本节的剩余部分中，我们使用与等式（4.61）中密度过程相关的概率度量。然后，根据Girsanov定理，过程wqus定义为wqus=WPs-Zstu′vdv，t<s≤ 这是在Qu下的布朗运动。然后我们计算Qu相对于pex的相对熵，用u表示如下，T（Qu | P）=eq[ln（dQudP）| Ft]=eq[-ZTtuvu′vdv+ZTtuvdWPv|英尺]=相等[ZTtuvu′vdv+ZTtZvdWQuv|Ft]=eq[ZTtuvu\'vdv | Ft]。（4.62）将方程（4.62）中相对熵的显式表达式替换为jt，T（Q）=EQhZTtr（Xv）dvFti+Ht，T（P|P） ，（4.63）我们将EMT问题重申为以下问题4.13。关于过滤概率空间(Ohm, F、 {Fs，0≤ s≤ T}，P）假设factorprocess（Xs，0≤ s≤ T）由dxs=f（s，Xs）ds+g（s，Xs）dWPs给出。（4.64）找到最佳测量值Q∈ Pt（1）使得vt，T=Jt，T（Q) = infQu∈Pt（1）EQuhZTtr（Xv）+uvu′vdvi。（4.65）Wang，Hyndman和Kratsios熵测度变换，2019年2月20日在OSC问题4.12中，控制过程u改变了x的分布。在ETT问题4中。13.XSI的分布受从P到QU的度量变换的影响。

请注意，方程（4.58）和方程（4.64）在不同的度量下遵循相同形式的SDE，换句话说，在P下，u控制过程XS的分布与在Qu下的过程XSD的分布相同。因此，对于OSC问题中的每个容许控制u，性能函数为Jt，T（u），在性能函数Jt，T（Qu）和Jt，T（u）=Jt，T（Qu）的情况下，存在相应的度量Quin theEMT问题。所以最优控制u也对应于熵测度变换Q= 曲. 从这个意义上讲，OSC问题相当于EMT问题。例4.14。现在我们比较了在QTSM框架下的EMT问题和OS C问题，其中A是标量的（n×n）矩阵，B和r是（n×1）列向量，Q和∑是n×n对称正半限定矩阵，k是标量。OSC问题4。12变成dXs=AXs+B+∑u′sds+∑dWPs，Vt，T=infu∈UJt，T（U）=infu∈UEt，x[ZTt~X′vQXv+R′Xv+k+uvu′vdv]。（4.66）OSC问题4。66实际上是一个线性二次高斯（LQG）控制问题反馈形式的sis（seeGombani和Runggaldier（2013年，提案3.4））us=u（s，~Xs）=X′s（qs+q′s）+vs∑，t≤ s≤ T（4.67）的值函数Wt，T（x）由Wt，T（x）=x′qtx+vtx+pt（4.68）给出，其中qs，vs，pss满足以下ODE系统˙qs+A′qs+qsA- 2qs∑∑′qs+Q=0˙vs+vsA+2B′Q\'s- 2vs∑′q′s+R=0˙ps+vsB+tr（∑′qs∑）-v∑′v′s+k=0qT=0，vT=0，pT=0。（4.69）在QTSMs框架下，EMT问题具体如下：dXs=AXs+Bds+∑dWPs，Vt，T=infQ∈Pt（1）EQ[ZTtX′vQXv+R′Xv+kdv | Ft]+Ht，T（P|P） 。（4.70）Wang、Hyndman和Kratsios熵测度变换2月。

20，2019从推论4.1中，我们知道EMT问题（4.70）完全是通过相关的fbsdexs=Xt+Zst表征的AXv+B+∑Z′vdv+Zst∑dWPv（4.71）Ys=ZTs（X′vQXv+R′Xv+k-Z′vZv）dv+ZTsZvdWPv。（4.72）值函数由vt给出，T=Yt，（4.73），熵测度变换由dq确定数据处理FT=e-RTtZvZ′vdv+RTtZvdWPv。（4.74）Hyndman和Zhou（2015）证明了FBSDE（4.71）-（4.72）允许唯一解（X，Y，Z），并且（Y，Z）具有XYs=X′sqsXs+vsXs+ps，Zs的显式表达式=X′s（qs+q′s）+vs∑，其中qs、vs、pss满足相同的ODE系统（4.69）。毫不奇怪，Girsanov内核支持从P到Q的转换与最优控制u相同, i、 e.Zs=us、 它们给出了相同的值函数Vt，T=Wt，T。在可违约债券的设定中考虑了EMT方法的数值实现示例。5数值说明我们考虑一个一维因子过程X满足dxt=（aXt+b）dt+σpα+βXvdWPt。利率由r（Xt）=RXt+k给出。我们假设基础公司价值V satifiesvt=Vexp{Zt（r（Xv）-σV）dv+σVWPt}。如果值过程V在某个水平κV以下交叉，即τ：=inf{t，则触发默认值≥ 0，Vt≤ κV}。（5.1）Wang，Hyndman和Kratsios熵测度变换，2019年2月20日，然后随机支付效应由ct=ξ·1τ给出≤T+1τ>T其中ξ是违约情况下的恢复率。可违约债券的价格由比亚迪（t，t）=EP[e给出-RTt（RXv+k）dv·CT | Ft]。相关EMT问题的解决方案的特点是FBSDEXt=X+Zt（aXv+b）dv+Ztσpα+βXvdWPv（5.2）Yt=-ln CT+ZTt（RXv+k-Zv）dv+ztzvdwpv。

（5.3）对于FBSDE（5.2）-（5.3）Yt=-（UtXt+pt），（5.4）Zt=σUt（pα+βXt）+qt，（5.5），其中，我们将Riccati方程˙Ut+aUt+βσUt进行了拟合- R=0，t∈ [0，T]（5.6）UT=0，（5.7）和（p，q）求解BSDEpt=-在CT上-ZTtK-ασUv- bUv-qvdv-ZTtqvdWPv。（5.8）可违约债券价格可以用asD（t，t）=exp表示{-Yt}。（5.9）最优测度Q的总相对熵关于P，由ht，T（Q）给出|P） =EQ[ZTtZvdv |英尺]。我们引入下面的命题，它给出了一类特殊的二次BSDE的显式解。提议5.1。关于概率空间(Ohm, F、 {Ft，t≥ 0}，P，考虑以下BSDEyt=ξ-ZTt（z′szs+gs）ds-ZTtzsdWPs，其中（yt，zt）∈ R×Rn，ξ是实值FT可测随机变量，GT是满足EP[sup0]的实值FTA适应过程≤T≤T|gt|]<∞. 然后可以显式表示为asyt=-ln{EP[e-ξ| Ft]}-Ztgsds。Wang，Hyndman和Kratsios熵测度变换2019年2月20日证明。进行指数变换yt=e-yt，根据公式Ytsatiesyt=e-ξ+ZTtgsysds+ZTtyszsdWPs。定义伴随过程xs=eRstgudu，s≥ t、 请注意，xt=1，并将其应用于xs·~ysfrom t to t，to find ~~yt=xTe-ξ+ZTtysxszsdWPs=eRTtgsds-ξ+ZTtyseRstguduzsdWPs。（5.10）对（5.10）两边的ftt取条件期望，我们得到yt=EPT[eRTtgsds-ξ| Ft]=eRTtgsdsEP[e-ξ| Ft]。最后我们有了-lnyt=-ln{EP[e-ξ| Ft]}-Ztgsds。备注5.2。Kobylanski（2000）证明了一般二次BSDE解的存在唯一性。命题（5.1）只是一个特例，在这个特例中我们可以给出明确的解决方案。将提案5.1应用于BSDE（5.8），我们可以明确表示：-ln{EP[CT|Ft]}-ZtK-乌夫库夫- 中波紫外线dv。（5.11）然而，我们没有过程qt的明确表达式。或者，我们可以用数值方法求解BSDE（5.8）。

我们可以将二次BSDE（5.8）转换为等效的线性BSDE，方法是定义pt=e-pt，~qt=~pt·qt，因此BSDE（5.8）相当于~pt=CT+ZTt（k-ασUs- 总线）~psds+ZTt ~qsdWs。（5.12）Wang，Hyndman和Kratsios熵测度变换，2019年2月20日，我们通过考虑以下离散化BSDEptm+1=ptm来近似BSDE（5.12）的解- （k）-ασUtm- bUtm）~ptmT- ~qtmWPtm，t≤ 商标≤ tM，~ptM=CT。离散化的BSDE可以使用以下递归方案求解（seeGobet al.（2005））~qtm=tE[ptm+1WPtm | Ftm]，ptm=E[ptm+1 | Ftm]1- （k）-ασUtm- （但是）t、 我们通过Gobet等人（2005）提出的蒙特卡罗回归方法估计条件期望。通过[0，T]上的时间离散，我们使用Euler格式生成用Xtm近似的正向过程Xtin（5.2）的路径。我们用Riccati方程（5.6）的数值解表示。然后估算可违约债券价格（ttm，T）≈ exp（UtmXtm+ptm）。最优测度Q的总相对熵关于P，估计为asHtm，T（Q|P） =EQ[Xt≤商标≤TσUtmpα+βXtm+qtmt |英尺]。考虑参数a=-1 × 10-2，b=1×10-5, σ = 7.4 × 10-3，R=1，k=0，T=1，V=20，σV=0.2，κ=0.8，ξ（回收率）是[0.4,0.6]上的统一随机变量。图1显示了已实现利率过程的一个示例路径。图2显示了当价值过程跨越违约壁垒时，违约发生在到期日T之前的情况。图2还显示了可违约债券价格的演变。违约时间之前，可违约债券价格的影响更大，这不仅受价值过程和违约障碍之间的距离影响，还受到期时间的影响。违约时间后的可违约债券价格几乎不变，这取决于回收率。

最后，图显示了聚合相对熵过程H（t，t）。与价格过程类似，由于违约时间的不确定性，聚合相对熵过程在违约前的影响更大。违约后，由于违约后的主要不确定性来自利率过程，与违约风险相比可以忽略不计，因此总体相对熵几乎呈线性下降至零。图3说明了到期前不发生违约的情况。违约债券价格在期限[0，T]的早期强烈波动，然后在时间接近到期时收敛到1，而不发生违约。6结论在本文中，我们引入并解决了命题2.4中的熵测度变换问题。最优测度P的密度过程的一般特征, wasWang、Hyndman和Kratsios熵测度变换2月20日，10.10.10.10.10.10.10.10.10.0 0 0.10.10.0 0.0 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.3.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.5.5.5价值过程过程价值过程价值过程价值过程价值过程价值过程价值过程过程默认的默认巴利利基0 0 0 0 0 0.1 0.0 0 0 0.0 0.0 0.0 0 0.0 0.0.0.0.0.0.0 0.0 0.0.0.0.0.0 0 0.0.0.0.2 0.2 0.0.0.0.0 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0 0.0.0.0.0.0.0.0 0 0 0 0.0.0 0.0.60.8动态熵流程图2:defaultWang、Hyndman和Kratsios熵测度变换的实现2月20日，2019time0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 117.518.519.520.5价值过程价值过程默认屏障0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.40.50.60.70.80.9可违约债券价格Time0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.20.40.60.8熵过程图3：以马尔代尔定理2.6为特征的无违约实现。