一个简单的指数函数公理化框架

，yn）仅当（x，…，xn，a）<（y，…，yn，a）对每一个a∈ X和y∈ Xn。不难看出，每个周期t的本质都来自周期1的专业性和平稳性公理。现在可以说明以下结果：定理3（指数折扣）。当且仅当Xn上的<存在指数折扣指数期望效用表示时，Xn上的<偏好满足公理F1、F2′、F3-F7。如果（u，δ）和（u′，δ′）都为Xn上的<on提供了指数折扣预期效用表示，那么对于某些A>0和某些B，u=Au′+B，δ=δ′。证据很容易证明这些公理是由表示所隐含的。相反，假设公理成立。注意，非平凡性来自周期1的本质性和单调性。根据定理1，我们知道，<有一个AA表示（u，w）。Xn上的定义-1如下所示：（x，…，xn）-1） <\'（y，…，yn）-1) <=> （x，x，…，xn）-1） <（x，y，…，yn）-1).然后<\'表示为：U′（x）=wu（x）+……+wnu（xn-1).接下来，对Xn进行定义-1如下所示：（x，…，xn）-1） <\'\'（y，…，yn）-1) <=> （x，…，xn）-1，x）<（y，…，yn-1，x）。然后<′表示为：U′′（x）=wu（x）+…+wn-1u（xn-1).根据统计数据，这些偏好相当于（<\'≡<′′) 有两种不同的AA表示法（U′和U′）。优先顺序<\'≡<′′满足Xn上的AA公理-1.回想一下，WT在一定程度上是独一无二的。因此，对于某些δ>0的情况，wt+1=δwt，其结果是wn=δwn-1=δwn-2= . . . = δn-行波管=…=δn-1w。由于所有周期都是必要的，因此在不丧失一般性的情况下，设置w=1。然后我们得到<on Xn:U（x）=nXt=1δt的以下表达式-1u（xt），其中δ>0。因为缺乏耐心：如果 b、 然后（a，b，x，…，xn） （b，a，x。

，xn）。从这个表达式可以得出：u（a）+δu（b）>u（b）+δu（a），或者，等价地，（1）- δ） （u（a）- u（b））>0。当u（a）>u（b）时，可以得出δ∈ (0, 1).假设（u，δ）和（u′，δ′）都为Xn上的<提供了经验折扣指数效用表示。由于（u，δ）和（u′，δ′）都提供了A的AA表示，因此对于一些A>0和一些B，u=Au′+B，还有一些C>0，使得δt-1=C（δ′）t-对于所有t.取t=1，我们得到C=1，因此δ=δ′。4.2如果存在非常数函数u:X，则半双曲折扣偏好为SH（t）折扣效用表示→ R和参数β≤ β≤ . . . ≤βT-1和βt∈ （0，1）对于所有t≤ T- 1和δ∈ （0，1）使得以下函数表示<:U（x）=U（x）+βδU（x）+ββδU（x）+β··βT-2δT-2u（xT）-1） +β··βT-1nXt=TδT-1u（xt）。如果u是线性的（非常数），那么函数u被称为SH（T）贴现期望效用表示。在这种情况下，我们说（u，β，δ）提供了一个SH（T）贴现预期效用表示，其中β=（β，β，…，βT）-1).为了获得这种形式的折扣，需要对公理集进行一些修改。应使用更强的本质条件：公理F2′。（句点1，…，T的重要性）。存在一些a，b∈ x和一些x∈ 假设每t=1，T:（x，x，…，xt）-1，a，xt+1，xn） （x，x，…，xt）-1，b，xt+1，xn）。不耐烦公理，用于保证δ∈ （0，1），应在周期T和T+1中说明：公理F6′。（不耐烦）。每a，b∈ 如果a b、 然后是everyx∈ Xn:（x，…，xT）-1，a，b，xT+2，xn） （x，…，xT）-1，b，a，xT+2，xn）。广义化需要将平稳性公理从周期T放宽为平稳性公理。公理F7′。

（T周期的平稳性）。偏好（x，…，xT）-1，a，xT+1，xn）<（x，…，xT-1，a，yT+1，yn）当且仅当（x，…，xT）成立-1，xT+1，xn，a）<（x，…，xT-1，yT+1，yn，a）对于每一个a∈ X和每个X∈ Xn。需要添加早期偏差公理，以便在任何周期{t，t+1}之间出现当前偏差，其中t≤ T公理F8。（早期偏差）对于每个a、b、c、d∈ X以至于 c、 b d、 福尔x∈ X和每个t≤ 如果（x，…，xt）-1，a，b，xt+2，xn）~ （x，…，xt）-1，c，d，xt+2，然后（x，…，xt）-2，a，b，xt+2，xn，xt-1） <（x，…，xt）-2，c，d，xt+2，xn，xt-1).早期的偏见公理也被称为扩展的现在的偏见公理。定理4（半双曲贴现）。Xn上的偏好满足公理F1、F2′、F3、F4、F5、F6′、F7′、F8，当且仅当Xn上存在灰（T）折扣预期效用表示时。如果（u，β，δ）和（u′，β′，δ′）都为Xn上的<提供了SH（T）贴现预期效用表示，那么对于一些A>0和一些B，u=Au′+B，以及δ=δ′，β=β′。证据可以很容易地看出，这些公理是由代表所暗示的。假设公理成立。至于定理3，AareRepresentation的条件是满足的，因此，<具有AA表示（w，u）。Xn上的定义-助教如下：（x，…，xn）-T） <\'（y，…，yn）-（T）<=>（x，…，x，x，…，xn）-T） <（x，…，x，y，…，yn）-T） 。然后<′表示为：U′（x）=wT+1u（x）+……+wnu（xn-T） 。接下来，对Xn进行定义-助教如下：（x，…，xn）-T） <\'\'（y，…，yn）-（T）<=>（x，…，x，x，…，xn）-T、 x）<（x，…，x，y，…，yn-T、 x）。然后<′表示为：U′′（x）=wTu（x）+。

+wn-1u（xn-T） 。根据t周期的平稳性，偏好是等价的（<\'≡<′′) 有两种不同的AA表示法（U′和U′）。优先顺序<\'≡<′′满足Xn上的AA公理-T.回想一下，WT在一定程度上是独一无二的。因此，对于所有t（从公理F2′和公理F7′）来说，本质是成立的，对于某些δ>0，我们有wt+1=δwt，Hencewn=δwn-1=δwn-2= . . . = δn-行波管=…=δn-行波管。因此，wt=δt-TWT适用于所有≥ T+1。因此，我们得到<:U（x）=wu（x）+…+wT-1u（xT）-1） +wTnXt=TδT-屠（xt）。由于第一阶段的重要性和u到a的唯一性转换：^u（x）=u（x）+wwu（x）++wT-1wu（xT）-1） +wTwnXt=TδT-屠（xt）。注意ww=ww·ww，···，wTw=wtwtwt-1·wT-1wT-2· . . . ·栈单。让γt-1=wtwt-1对于所有t≤ T因此，ww=γ，ww=γγ，···，wTw=γγ。γT-1.用这种表示法：^U（x）=U（x）+γU（x）+…+γ··γT-2u（xT）-1） +γ··γT-1nXt=TδT-屠（xt）。有必要证明γt-1=βt-带βt的1δ-1.∈ （0，1）对于所有t≤ T假设t=t。选择a、b、c、d∈ X使得u（b）<u（d），u（a）>u（c）和γ··γT-1u（a）+γ·T-1δu（b）=γ···γT-1u（c）+γ·T-1δu（d）。（1） 由于每个周期的重要性都得到满足，我们可以重新排列方程式（1）：δ=u（a）- u（c）u（d）- u（b）。（2） 从（1）也可以得出（x，…，xT）-1，a，b，xT+2，xn）~ （x，…，xT）-1，c，d，xT+2，因此，根据早期的偏见公理：（x，…，xT）-2，a，b，xT+2，xn，xT-1） <（x，…，xT）-2，c，d，xT+2，xn，xT-1).由此我们得到：γ··γT-2u（a）+γ··γT-1u（b）≥ γ··γT-2u（c）+γ··γT-1u（d）。由于每个周期的本质条件都满足，我们可以重新安排这个不等式：γT-1.≤u（a）- u（c）u（d）- u（b）。

（3） 通过比较（2）和（3），我们得出结论：≥ γT-因此，γt-1=βT-1δ，其中βT-1.∈ （0，1）。类似地，假设t=t- 1.选择a′、b′、c′、d′∈ X使得u（b′）<u（d′）和u（a′）>u（c′）。利用当前偏差公理和每个周期的本质性，我们得到了γT-1=u（a′）- u（c′）u（d′）- u（b′，（4）和γT-2.≤u（a′）- u（c′）u（d′）- u（b′）。（5） 由m（4）和（5）可知，γT-2.≤ γT-1.因此，γT-2=β′T-2γT-1，其中β′T-2.∈ （0,1）。回想一下γT-1=βT-1δ. 因此，γT-2=β′T-2βT-1δ=βT-2δ，其中βT-2=β′T-2βT-1和βT-2.∈ （0,1]均为β′T-2.∈ （0,1]和βT-1.∈（0,1）。还要注意βT-2.≤ βT-1.对t<t重复使用早期偏差公理-1我们得到γt-1=βt-带βt的1δ-1.∈ （0，1）对于所有t≤ T和β≤ β≤ . . . ≤ βT-因此，^U（x）=U（x）+βδU（x）+βββδU（x）+β··βT-2δT-2u（xT）-1） +β··βT-1nXt=TδT-1u（xt）。为了证明δ∈ （0,1）不耐烦公理应该适用。每一天∈ 如果a b、 然后每x∈ Xn（x，…，xT）-1，a，b，xT+2，xn） （x，…，xT）-1，b，a，xT+2，xn）。然后是β··βT-1δT-1u（a）+β·T-1δTu（b）>β···βT-1δT-1u（b）+β·T-1δTu（a）。因此，由于每个时期的重要性：（1）- δ） （u（a）- u（b））>0。因此，δ∈ (0, 1).假设（u，β，δ）和（u′，β′，δ′）都提供了<on Xn的SH（T）贴现预期效用表示。设D（t）和D′（t）分别是给定β，δ和β′，δ′的半双曲折扣函数。因为（u，β，δ）和（u′，β′，δ′）都提供了一个表示f，或者，对于一些A>0和一些B，u=Au′+B，这里有一些C>0，使得对于所有t，D（t）=C·D′（t）。取t=1，我们得到C=1，因此，lettingt=2，3，我们得到所有T的βTδ=β′Tδ′≤ T最后，让t=t+1得出δ=δ′的结论。

因此，β=β′.5贴现效用：在有限的情况下（n=∞)5.1指数折扣基于对有限消费流偏好的AA表示（定理2），通过加强非平凡性（公理I2）和添加适当的平稳性公理，可以获得指数形式的折扣函数。不需要急躁公理，因为收敛（公理I6）起着重要作用。公理I2′。（第1阶段的重要性）。存在一些a，b∈ X以至于[a] 十、 [b] 。公理17。（平稳性）。偏好（a，x，x，…）（a，y，y，…）当且仅当（x，x，…）<（y，y，…）每a∈ X和y∈ 十、∞.定理5（指数贴现）。X上的偏好∞满足性I1，I2′，I3-I7当且仅当X上存在指数折扣指数期望效用表示∞. 如果（u，δ）和（u′，δ′）都提供了X上<的指数折扣预期效用表示∞, 对于一些A>0和一些B，u=Au′+B，δ=δ′。证据公理的必要性很简单。效率的证明遵循定理3的证明步骤，n=∞. 将定理2应用于满足平稳性公理的偏好，我们得到了如下表示：U（x）=∞Xt=1δt-1u（xt），其中δ>0和x∈ 十、∞.接下来，不再像在有限情况下那样使用不耐烦公理，而是应用收敛公理。以恒定流a=（a，a，…）为例，因此u（a）6=0。然后，U（a）=∞Xt=1δt-1u（a）=u（a）∞Xt=1δt-我们知道U（a）应该通过定理2收敛。因此δ<1。唯一性声明的证明类似于定理3.5.2半双曲线贴现半双曲线贴现的推广，其中n=∞ 我很容易得到。公理I2′。（句点1，…，T的重要性）。对于一些a，b∈ 我们有 十、 [b] t每t=1。

T广义化需要将平稳性公理从周期T放宽为平稳性公理。公理I7′。（T时期的统计数据）。偏好（x，…，xT）-1，a，xT+1，…）（x，…，xT）-1，a，yT+1，…）当且仅当（x，…，xT）成立-1，xT+1，…）<（x，…，xT）-1，yT+1，…）每a∈ 十、 每X∈ 十、∞.在有限的情况下，早期偏差公理的加入允许{t，t+1}之间存在偏差，其中t≤ T公理18。（早期偏差）对于每个a、b、c、d∈ X以至于 c、 b d、 对于所有x∈ 十、∞每一个t≤ Tif（x，…，xt）-1，a，b，xt+2，…）~ （x，…，xt）-1，c，d，xt+2，…），然后（x，…，xt）-2，a，b，xt+2，…）（x，…，xt）-2，c，d，xt+2，…）。定理6（半双曲贴现）。X上的偏好∞满足公理I1，I2′，I3-I6，I7′，I8当且仅当存在<on Xn的SH（T）折扣期望效用表示。如果（u，β，δ）和（u′，β′，δ′）都为Xn上的<提供了SH（T）贴现预期效用表示，那么对于一些A>0和一些B，u=Au′+B，以及δ=δ′，β=β′。证据这些公理的必要性显然是由代表性所暗示的。效率的证明类似于有限的情况。应用定理2和周期T的平稳性，我们得到了表示形式：U（x）=wu（x）+…+wT-1u（xT）-1） +wT∞Xt=TδT-屠（xt）。接下来，除以w>0并引入符号WTWT-1=γt-1> 0，其中t≤ T，表示为^U（x）=U（x）+γU（x）+…+γ··γT-2u（xT）-1） +γ··γT-1.∞Xt=TδT-屠（xt）。我们反复使用每个周期的本质和早期偏差公理，证明了γt-1=βt-带βt的1δ-1.∈ （0，1）对于所有t≤ T和β≤ β≤ . . . ≤ βT-因此，^U（x）=U（x）+βδU（x）+βββδU（x）+β··βT-2δT-2u（xT）-1） +β··βT-1.∞Xt=TδT-1u（xt）。最后，为了证明δ∈ （0，1），取恒定流a=（a，a。

，使u（a）6=0。那么，^U（a）=U（a）+βδU（a）+…+β··βT-2δT-2u（a）+β·T-1.∞Xt=TδT-1u（a）=u（a）1+βδ+…+β··βT-2δT-2+β··βT-1.∞Xt=TδT-1.由定理2可知，^U（a）收敛，因此δ<1。唯一性声明的证明类似于定理4.6讨论不同作者提出的指数和拟双曲折扣的若干公理化。事实上，所有的公理化都使用不同的假设，从一种类型的折扣到另一种类型的折扣没有直接的转换。在本文中，我们提供了一种获得时间可分贴现效用表示的替代方法，表明Anscombe和Aumann的结果可以作为有限和有限时间范围内指数和拟双曲贴现公理化的共同背景。此外，我们还证明了拟双曲折扣的公理化可以很容易地推广到H（T）。我们的设置的一个关键特征是混合集合结构f orX和混合独立条件的使用。然而，一个重要的问题是，在时间偏好背景下，混合独立性是否具有规范性，因为状态是相互排斥的，而时间段则不是。值得一提的是，Wakai（2008）也使用了AA框架的时间解释来公理化整个不同类别的偏好，这些偏好表现出随着时间的推移平均传播好坏结果的愿望。在时间偏好模型中，通常使用点独立的条件来建立加性可分性。给予 T，其中T={1，…，n}，和x，y∈ Xn，定义如下：（xAy）这是xtif t∈ A还有其他方面。

优先顺序<满足everyA的共同独立性 对于每一个x，x′，y，y′∈ Xn:xAy<x′Ay当且仅当xAy′<x′Ay′。Debreu（1960）使用联合独立性来获得额外的可分离表示，因此我们有时将其称为Debreu类型的独立条件。众所周知，混合独立性意味着联合独立性（Grant和Van Zandt，2009），但联合独立性（以及其他一些可能的条件）是否意味着混合独立性尚待确定。事实上，我们不是第一个在时间偏好的背景下使用混合型独立条件的人。Wakai（2008）也这样做，尽管他使用了Gilboa和Schmeidler（1989）提出的较弱的持续独立形式。混合独立条件的一个版本也可以在野蛮环境（Savage，1954年）中进行计算，没有客观概率，如Gul（1992年）所述。Olea和Strzalecki（2014）在准双曲分解的一个公理化中，正是使用了这种混合独立性。每x，y∈ 让我们为（X，y，y，…）写（X，y）∈ 十、∞.设m（x，y）表示一些c∈ X（X，y）~ （c，c）。对于任何流（x，x）和（z，z），消费流（m（x，z），m（x，z））被称为（x，x）和（z，z）的主观混合物。Olea和Strzalecki对混合独立公理（他们的公理I2）的版本如下：对于everyx，x，y，y，z，z∈ 如果（X，X）<（y，y），那么（m（X，z），m（X，z））<（m（y，z），m（y，z））和（m（z，X），m（z，X））<（m（z，y），m（z，y））。换句话说，如果消费流（x，x）比消费流（y，y）更受欢迎，那么主观地将每个消费流与（z，z）混合不会影响偏好。在准双曲折扣的公理化过程中，Olea和Strzalecki调用了它们的混合独立条件（公理12）以及Debreu型独立条件。

当且仅当u（x）时，lat t er用于获得形式x<y的表示+∞Xt=2δt-1v（xt）≥ u（y）+∞Xt=2δt-1v（yt），然后他们的公理12被用来确保v=βu。Hayashi（2003）和Epstein（1983）考虑了相对于lotteriesover消费流的偏好。在他们的框架X中∞在上面指出的非随机性集合中，n个周期的混合独立性意味着n个周期的联合独立性。因此，这就提出了一个明显的问题，即是否有可能使用s主观性混合独立公理的n周期版本，在不需要Debreu类型独立条件的情况下获得可分时的折扣效用表示。消费流，其中X需要是一个紧连通的可分离度量空间。表示定义在X上的Borelσ-代数的概率测度集∞像（十）∞). 值得注意的是，我们的设置是Hayashi和Epstein设置对产品度量的限制，即（十）∞ （十）∞). Hayashi和Epstein的公理化系统基于预期效用理论的假设。连续且有界的vNM效用指数U的存在性：（十）∞) → R是公理之一。Grandmont（1972）提供了一系列必要且有效的条件，包括通常的vNM独立条件（十）∞): 每x，y，z∈ （十）∞) 还有任何α∈ [0,1]，x~ y表示αx+（1）- α） z~ αy+（1）- α） z.显然，这种独立性条件不足以提供时间段的联合独立性，这就是为什么需要额外的可分离性假设。指数贴现还需要两个德布鲁型独立条件：o周期{1,2}内随机结果与{3,4，…}内确定性结果的独立性随机输出的独立性在{2,3。