一个简单的指数函数公理化框架

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英文标题：
《A simple framework for the axiomatization of exponential and
  quasi-hyperbolic discounting》
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作者：
Nina Anchugina
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  The main goal of this paper is to investigate which normative requirements, or axioms, lead to exponential and quasi-hyperbolic forms of discounting. Exponential discounting has a well-established axiomatic foundation originally developed by Koopmans (1960, 1972) and Koopmans et al. (1964) with subsequent contributions by several other authors, including Bleichrodt et al. (2008). The papers by Hayashi (2003) and Olea and Strzalecki (2014) axiomatize quasi-hyperbolic discounting. The main contribution of this paper is to provide an alternative foundation for exponential and quasi-hyperbolic discounting, with simple, transparent axioms and relatively straightforward proofs. Using techniques by Fishburn (1982) and Harvey (1986), we show that Anscombe and Aumann\'s (1963) version of Subjective Expected Utility theory can be readily adapted to axiomatize the aforementioned types of discounting, in both finite and infinite horizon settings.
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中文摘要：
本文的主要目的是研究哪些规范性要求或公理导致指数和准双曲形式的折扣。指数折扣有一个公认的公理基础，最初由Koopmans（1960、1972）和Koopmans等人（1964）开发，随后由其他几位作者（包括Bleichrodt等人（2008））提供。Hayashi（2003）和Olea and Strzalecki（2014）的论文将准双曲贴现公理化。本文的主要贡献是为指数贴现和拟双曲贴现提供了一个替代基础，提供了简单、透明的公理和相对简单的证明。利用Fishburn（1982）和Harvey（1986）的技术，我们证明了Anscombe和Aumann（1963）版本的主观预期效用理论可以很容易地适用于上述类型的折扣公理化，无论是在有限的还是无限的范围内。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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PDF下载：
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关键词：Contribution Quantitative Requirements Exponential QUANTITATIV

指数型和拟双曲型话语公理化的一个简单框架*本文的主要目的是研究哪些规范性要求或公理导致指数和准双曲形式的贴现。指数折扣法有一个公认的公理框架，最初由库普曼斯（1960年、1972年）和库普曼斯等人（1964年）提出，随后还有其他几位作者，包括布莱克罗特等人（2008年）的贡献。Hayashi（2003）和Olea and Strzalecki（2014）的论文将准双曲贴现公理化。本文的主要贡献是为指数和拟双曲线分解提供了一个可供选择的基础，提供了简单、透明的公理和相对简单的证明。利用Fishburn（1982年）和Harvey（1986年）的技术，我们解释了Ans combe和Aumann（1963年）版本的主观预期效用理论如何在有限和有限的环境中，容易地适用于上述类型的贴现。关键词：公理化；指数折扣；准双曲贴现；Anscombe-Aumann模型。JEL分类：D90。1引言跨期决策的公理基础是经济学中的一个基本问题，并引起了相当大的研究兴趣。尽管*新西兰奥克兰奥克兰大学数学系；电子邮件：n。anchugina@auckland.ac.nzfact到目前为止，文献中已经出现了许多可能的贴现方式，主要使用了两种类型：指数贴现（Samuelson（1937年）首次引入）和准双曲线贴现（Phelps和Pollak，1968年；Laibson，1997年）。

需要回答的重要问题是，哪些公理允许我们说，决策者的偏好可以用具有指数或拟双曲贴现函数的贴现效用模型来表示？现有的跨期决策公理系统解决了这个问题。这些系统大致可分为两大类：偏好确定性消费流的系统和偏好随机消费流的系统。第一组是该领域的领先方法，包括指数函数和准双曲函数。在这个框架中，消费集被赋予拓扑结构，而Debreu（19 60）的加法表示定理是一个关键的数学工具。库普曼斯关于确定性消费流指数折扣的结果（库普曼斯，1960年，1972年；库普曼斯等人，1964年）仍然是最著名的。Bleichrodt等人（2008年）提出了Koopmans r esult的修订公式，使用了偏好的替代条件。Harvey（1986）也提出了类似的方法。Fishburn和Rubinstein（1982）提出了单日期时间段特例指数折扣的公理化基础。据我们所知，在非随机框架下，准双曲贴现仅由Olea和Strzalecki（2014）公理化。Buildingon Bleichrodt等人（2008年），他们提供了三套可选的公理。第6节将更详细地讨论Olea和Strzalecki的公理化。上述所有公理化系统都是针对有限的消费流制定的。Fine horizon案很少被讨论。然而，对于指数折扣，可以在Fishburn（1970）中找到。第二组xiomat ic系统考虑随机消费流。

为了获得加法形式，使用冯·诺依曼和摩根斯坦（vNM）（1947）的基本表示理论。Epstein（1983）给出了这种指数贴现方法的应用。消费流被认为是一系列运动的结果。Hayashi（2003）对拟双曲贴现的假设建立了onEpstein（1983）的公理系统。Hayashi和Epstein都对有限随机消费流的偏好进行了公理化。在本文中，我们研究了消费彩票流的偏好，即在每个时段都有彩票的情况。换句话说，我们将爱泼斯坦和林芝的框架限制为产品措施。这个框架允许我们应用Anscombe和Aumann（1963）的主观预期效用理论的结果。这种方法的主要优点是，它提供了一个以更简单的方式构造所讨论的折扣函数形式的机会。重要的是，目前的工作建立了指数和准双曲线贴现的统一处理方法。Fishburn（1982）和Harvey（1986）是技术灵感的主要来源，我们的方法需要相对简单的公理，并有助于进行相对简单的证明。2初步假设决策者的目标可以用备选方案集Xn上的偏好顺序表示，其中n可以是∞. 将这些替代品视为日期流，时间段为t∈ {1,2，…，n}。我们认为一个效用函数U:Xn→ R代表这个优先顺序，对于所有x，y∈ Xn，x<y当且仅当U（x）≥ U（y）。我们假设X是一个混合集。

也就是说，f或每x，y∈ Xλ∈ [0,1]，存在xλy∈ X满足：ox1y=X，oXλy=y（1- λ） x，o（xuy）λy=x（λu）y。由于x是一个混合集，因此在以下混合操作下，可以很容易地看到该集x是一个混合集：xλy=（xλy，…，xnλyn），其中x，y∈ Xnandλ∈ [0, 1 ].效用函数u:X→ R被称为混合线性（或仅线性，不可能出现混淆）如果对于每个x，y∈ 我们有u（Xλy）=λu（X）+（1）- λ） 每λ的u（y）∈ [0, 1].还应该提到的是，我们的设置考虑了离散的时间空间。例如，在Fishburn和Rubinstein（1982）的上述论文中，以及Loewenstein和Prelec（1992）提出的双曲贴现的广义模型中，可以找到一个连续的时间框架。Harvey（1986）分析了具有连续时间空间的时间结果的离散序列。X上的二元关系<以通常的方式在X上产生二元关系（也表示为<）：对于任何X，y∈ 当且仅当（X，X，…，X）<（y，y，…，y）时，偏好X<y成立。对于某些非常数U:x，函数U称为贴现效用函数ifU（x）=nXt=1D（t）U（xt）→ R和一些D:N→ R与D（1）=1。函数D称为折扣函数。如果u是线性的（并且是非恒定的），那么函数u被称为贴现期望效用函数。时间偏好建模中常用的贴现函数有两种：o指数贴现：D（t）=δt-1，其中δ∈ (0 , 1).o 准双曲贴现：D（t）=1如果t=1，βδt-1如果≥ 2.有些人∈ （0,1）和β∈ （0,1）.拟双曲贴现的重要特征是它的显示偏差。

当前偏差意味着将两个消费流从当前（t=1）推迟到近期（t=2），可以改变决策者在这些消费流之间的参考。Chark等人（20-15）最近的实验结果表明，决策者在不久的将来会越来越不耐烦，尽管他们会以恒定的速度对遥远的未来打折扣。在其他情况下，当前偏差可能会在当前时刻（t=1）延伸到不远的将来t>2，并且从某个时期t开始有一个恒定的贴现系数。这进一步推广了拟双曲线贴现，我们称之为半双曲线贴现：D（t）=1如果t=1，t-1Yi=1βiδ，如果1<t≤ T、 δT-TT-如果t>t，1Yi=1βiδ。我们用SH（t）表示这个贴现函数（对于给定的δ，β，…，βt）-1).这种形式的折扣之前曾被应用于消费储蓄问题中决策者的时间偏好建模（Young，2007）。OurSH（T）规范与Olea和Strzalecki（2014）中使用的半双曲线分解概念并不完全相同。他们将该术语应用于满足D（t）=δt的任何贴现函数-TD（T）表示所有T>T（表示部分T）。该类包括SH（T），但范围更广。Hayashi（2003）早些时候提出了推广准双曲贴现的可能性。他提出的贴现函数的形式是：D（t）=1如果t=1，t-1Yi=1β′iif 1<t≤ T、 δT-TT-1Yi=1β′iif t>t。用Δβt=β′t代替所有t≤ T- 1不难看出半双曲线贴现SH（T）与Hayashi（2003）提出的形式一致。值得一提的是，他没有提供这种折扣形式的公理化，但指出这种情况有点复杂。

然而，在我们的框架中，半双曲线贴现的公理化可以作为拟双曲线贴现公理化的一个相对直接的扩展。Chark等人（2015年）关于扩展当前偏差的证据表明，对SH（T）中的系数有以下限制：β<β<…<βT-1.在我们的SH（T）版本中，我们将施加较弱的要求≤ β≤. . . ≤ βT-1和βt∈ （0，1）对于所有t≤ T- 1和δ∈ (0, 1). 施加这些限制会带来一些好处，因为可以立即看出，指数折扣和拟双曲折扣是半双曲折扣的特例：SH（1）是指数折扣函数，而SSH（2）是拟双曲折扣函数。3 AA表示我们说，如果每个x，y的偏好顺序<是Anscombe和Aumann（AA）表示∈ Xn:x<y当且仅当nxt=1wtu（xt）≥nXt=1wtu（yt），其中u:X→ R是非常数、线性和wt≥ 每个t至少有0个wt>0。我们还说这对（u，w）提供了一个AA代表。获得指数或准超对数形式折扣的一个先决条件是可加性可分性。在奖券优先流的框架下，Anscombe和Aumann（1963）定理提供了当n<∞.Anscombe和Aumann将他们的结果表述为行为，而不是时间流。在这里，世界的状态被时间段所取代。3.1有限情形（n<∞)对于n<∞ 以下公理对于AareRepresentation是必要且有效的：公理F1。（弱序）。<是Xn上的弱命令。公理F2。（非同寻常）。存在一些a，b∈ X使得（a，a，…，a） （b，b，…，b）。公理F3。（混合独立性）。x<y当且仅当xλz<yλz前λ∈ （0，1）和每x，y，z∈ Xn。公理F4。

（混合物连续性）。每x，y，z∈ xn集{α：xαz<y}和{β：y<xβz}是单位区间的闭子集。公理F5。（单调性）。每x，y∈ Xnif xt<yt对于每个t然后x<y.定理1（AA）。Xn上的首选项<满足公理F1-F5当且仅当Xn上的<存在AA表示时。如果（u，w）和（u′，w′）都为Xn上的<提供了AA表示，那么对于某些a>0和某些B，u=Au′+B，对于某些C>0，w=Cw′。通过结合Fishburn（1982）和Ryan（2009）中的论点，可以很容易地构造一般混合集环境的定理证明。显然，这里的关键公理是独立的条件。这是一个强有力的公理，它规定了一个加法结构。3.2在特定情况下（n=∞)Anscombe和Aumann的结果可以推广到有限的情况。Fishburn（1982）给出了一个可能的扩展。然而，我们给出了一个稍加修改的版本，其中包含了哈维（1986）的观点。修理一些x∈ X.我们在本文件其余部分中引用了相同的X。如果消费流x=（x，…，xT，x，x，…）存在，则称之为最终常数。请注意，与Bleichrodt等人（2008年）和Olea和Strzalecki（2014年）中使用的这一定义存在差异，其中xcan可以是任意的。L et Xt是长度为T的最终恒定消费流的集合。将llT上集合Xt的并集表示为X*. 让X**成为X的联盟*以及所有源源不断的溪流。看到X和*, 十、** 十、∞是混合套装。我们必须指出，固定X服务于两个目的：首先，陈述收敛公理是有益的；其次，它允许我们定义X类*以一种使其成为通常定义的类的严格子集的方式，对最终恒定流进行分类。

因为有些公理只限制了对X的偏好**这第二个方面带来了一些优势。公理I1。（弱序）。<是X上的弱序∞.公理I2。（非同寻常）。存在一些a，b∈ 这样的 十、 b、 公理I2暗示xis是关于偏好的内点。它限制了<和固定元素x的选择。公理I3。（混合独立性）。x<y当且仅当xλz<yλz前λ∈ （0，1）和每x，y，z∈ 十、**.公理I4。（混合物连续性）。每x，z∈ 十、**而且每一次∈ 十、∞集合{α：xαz<y}和{β：y<xβz}是单位区间的闭子集。公理15。（单调性）。每x，y∈ 十、∞: 如果xt<yt，则对于每t t henx<y，我们应用了一个较弱版本的monoto nicity公理，与Fishburn使用的周期间单调性相比。然而，Axiom I5无法获得AA表示。对于下一个公理的陈述，我们需要引入一些符号。设[a]k=（x，…，x，a，x，…）哪里∈ X在KTH位置。使用这个符号，我们陈述了以下公理：公理I6。（趋同）。每x=（x，x，…）∈ 十、∞, 每x+，x-∈X和每k:o如果[X+]k [xk]T存在于此+≥ 使x 4 x+k，T为所有T≥ T+，其中x+k，T=（x，x，…，xk-1，x+，xk+1，xT，x，x，…）如果[x]-]K [xk]T存在于此-≥ k以至于x<x-k、 T所有T≥ T-,x在哪里-k、 T=（x，x，…，xk）-1，x-, xk+1，xT，x，x，…）。我们的收敛公理与Fishburn使用的公理B6不同：公理B6。对某些人来说∈ 十、 每X，y∈ 十、∞每λ∈ （0,1）：o如果x y、 然后存在这样的T（x，…，xn，^x，^x，…）xλyf表示所有n≥ T；o如果x y、 然后存在这样的T（x，…，xn，^x，^x，…）所有n的4 xλy≥ T相反，Axiom I6采纳了Harvey（1986）的观点。

公理I6对于我们的目的来说更具吸引力，因为它不仅保证了AAS的收敛性。值得一提的是，Fishburn对收敛公理B6的动机似乎是在行为的c上下文中设计出来的（Fishburn，1982年，第113页）。然而，在世界各国被解读为时间段的背景下，这变得非常自然。表示，但也允许我们放松两个公理，混合独立性和混合连续性，它们不再需要在所有X上的HOLD∞.因此，我们得到以下表示：定理2（在有限AA中）。X上的偏好∞满足公理I1-I6当且仅当X上存在<的AA表示∞. If（u，w）和（u′，w′）都提供了X上<on的AA表示∞, 对于一些A>0和一些B，u=Au′+B，对于一些C>0，w=Cw′。定理2的证明见附录。它结合了Fishburn（1982年）、Harvey（1986年）和Ryan（2009年）中的论点要素。4贴现效用：净成本（n<∞)4.1指数折扣如果存在一个非常数函数u:X，则称偏好<在Xnis上由指数折扣效用函数表示→ Rand a参数δ∈ （0，1）使得u（x）=nXt=1δt-1u（xt）。如果u是线性的（并且是非常数的），那么我们说这对（u，δ）提供了一个经验单一折扣的预期效用表示。基于定理1，很容易得到这样的表示。为了做到这一点，需要调整非平凡性和两个额外的公理——不耐烦性和平稳性。公理F2′。（第1阶段的重要性）。存在一些a，b∈ X和somex∈ 确认（a，x，…，xn） （b，x，…，xn）。公理F6。（不耐烦）。a，b∈ 如果a b、 那么对于所有x∈ Xn（a，b，x，…，Xn） （b，a，x，…，xn）。公理F7。（平稳性）。偏好（a，x，…，xn）<（a，y。