一个简单的指数函数公理化框架

从{1}期间的确定性结果。为了获得拟双曲贴现，应满足另外两个德布鲁型独立条件：o周期{2,3}的随机结果与周期{1}和{4，…}的确定性结果的独立性随机输出的独立性出现在{3,4，…}从{1,2}期间的确定性结果。很容易看出，适用于非随机消费流的这些公理与Bleichrodt等人（2008年）和Olea和Strzalecki（2014年）中使用的Debreu型独立条件类似。总之，要得到指数形式和拟双曲形式的折扣函数的折扣效用表示，必须假设可分离性。混合独立公理似乎是一个强有力的假设，然而，它给出了所需的可分性，而不需要额外的德布鲁类型独立条件。7附录：定理2的证明。公理的必要性很容易验证。因此，我们将重点关注效率的证明。第一步。将Fishburn（1982）的定理1应用于混合集X，从公理I1、I3、I4可以看出，存在一个线性效用函数U，保持X上的阶（直到正有效变换为止是唯一的）。标准化u，使u（x）=0。注意，通过非平凡性，u（x）位于非退化区间u（x）的内部。通过将每个时期的结果替换为其效用值，将流转换为其效用向量。确定以下顺序：（v，v，…）<*（u，u，…）<=> 存在x，y∈ 十、∞对于每个t，x<y，u（xt）=vt，u（yt）=ut。由于单调性假设，即如果xi~ x′ithen（x，…，xi，…）~（x，…，x′i，…）。

.).优先顺序<*继承了<.的弱序、混合独立性和混合连续性的性质。注意u（X）∞是取凸组合的标准操作下的混合集：如果v，u∈u（X）∞然后nVλu=λv+（1- λ） u代表每λ∈ (0, 1).因此，根据Fishburn（1982）的定理1，我们得到了一个线性表示u:u（X）∞→ R、 其中，U在正有效变换中是唯一的。因此v<*u当且仅当u（v）≥ U（U）。第二步。标准化U，使U（0，0，…）=U（0）=0。因为0在u（X）的内部，而对于任何v，u（vλ0）=λu（v）∈ R∞对于每个λ∈ （0,1），我们可以假设U定义在R上∞.U的混合线性意味着R上U的标准线性∞. 为了证明这一点，我们需要证明，对于任何k，U（kv）=kU（v），对于任何U，v，U（v+U）=U（v）+U（U）∈ R∞.作为u（X）∞是取凸组合下的一个混合集，U（vk0）=U（kv+（1）- k） 0）=U（kv）=kU（v）对于任何k∈ (0, 1). 如果k>1，那么U（v）=U（kkv）=kU（kv）。将这个方程的两部分乘以k，我们得到所有k>1的U（kv）=kU（v）。因此，对于任何k>0的情况，U（kv）=kU（v）。为了证明U（v+U）=U（v）+U（U），考虑混合物vu。根据U的混合线性，我们有：U（vu）=U（v）+U（U）=（U（v）+U（U））。（6） 另一方面，vu=v+u=（v+u）。因此，U（vu）=U（v+u）=比较（6）和（7）我们得出结论：U（v+U）=U（v）+U（U）。最后，请注意U（0）=U（v+(-v） ）=U（v）+U(-v） =0，因此U(-v） =-U（v）。因此，如果k<0，那么U（kv）=-库(-v） =kU（v）。对于每个T，考虑函数f:RT→ 定义如下：f（v，…，vT）=U（v，…，vT，0，0，…）。该函数在RTA上是线性的，它满足f（0）=0，因此，f（v，…，vT）=TXt=1wTtvt，其中wT=（wT，…，wTT）。由一对一wTt≥ 0代表所有t≤ T注意wTt=U（[1]t），其中[1]是周期t中有1，其他地方有0的向量。

因此，对于任何T和T′，wTt=wT′T。因此有一个矢量∈ R∞使U（v，…，vT，0，0，…）=∞Xt=1wtvt表示任何（v，…，vT）∈回顾vt=u（xt）我们得到u（u（x），u（xT），0，0，…）=TXt=1wtu（xt）表示所有x∈ 十、*.因此，对于每一个x，y∈ 十、*我们有x<y当且仅当xt=1wtu（xt）≥TXt=1wtu（yt）。通过稍微滥用符号，重新定义U，以便：U（x，…，xT，x，x，…）=TXt=1wtu（xt）表示所有x∈ 十、*.因此U（x）=∞Xt=1wtu（Xt）表示X上的首选项*.第三步。接下来，我们展示U（x，x，…）收敛于任意（x，x，…）。定义：X∞→ R如下所示：UT（x）=TXt=1ut（xt），其中UT（xt）=wtu（xt）。考虑函数U，U，…，的顺序，UT。根据Cauchy准则，在x上定义了一系列函数UT（x）∞儿子X∞当a和仅当对于任意ε>0和任意x∈ 十、∞不存在∈ N如此| UN（x）- 任意N，M的UM（x）|<ε≥ T修理一些x∈ 十、∞ε>0。假设对于一些k，可以选择x+，x-使[x+]k [xk]k [x]-]k、 在第2步中，首选项[x+]k [xk]k [x]-]kimplies表示wk>0。因此，由于u是一个连续函数，假设uk（x+）是不失一般性的- 英国（xk）<ε/2和英国（xk）- 英国（x）-) < ε/2.它允许英国（x+）- 英国（x）-) < ε、 或英国（x）-) - 英国（x+）>-ε. 根据公理I6，存在T+和T-令人满意的k≤ min{T-, T+}这样x+k，N<x<x-k、 M，无论如何≥ T+，M≥ T-.让我们*= max{T-, T+}。有必要证明| UN（x）-任意N，M的UM（x）|<ε≥ T*. 如果N=M，结果显然是正确的。如果n6=M，则假定N>M是不失一般性的。

用加法表示：U（x+k，N）≥ U（x）-k、 M）。Expandinguk（x+）+NXt=1，t6=kut（xt）≥ 英国（x）-) +MXt=1，t6=kut（xt）。通过重新排列这种不平等性nxt=M+1ut（xt）≥ 英国（x）-) - 英国（x+）>-ε.As N>M≥ T*U（x+k，M）也是真的≥ U（x）-k、 N），henceNXt=M+1ut（xt）≤ 英国（x+）- 英国（x）-) < ε.请注意，nxt=M+1ut（xt）=UN（x）- 嗯（x）。因此，|UN（x）-UM（x）|<ε，由此可知，U（x）根据柯西准则收敛。假设现在不可能找到[x+]k [xk]k [x]-]K对于某些x+，x-∈ X.如果wt=0 f或全部t，则结果微不足道。假设对于某些t，wt>0，那么对于wt>0的每个周期t，我们都有xt∈ Xe≡ {z∈ X:z<z\'代表所有z\'\'∈ X或z′<z代表所有z′的∈ 十} 。对于某些λ∈ （0，1）将xt替换为每个t的混合物xtλxF。调用结果流x*. ThenUT（x）-UT（x）*) =TXt=1ut（xt）-TXt=1ut（xtλx）=（1-λ） TXt=1ut（xt）=（1-λ） UT（x）。通过重新排列这个方程，可以得出UT（x*) = λUT（x）。根据前面的参数UT（x*) 因此，UT（x）收敛。第四步。证明U（x）代表x上的顺序∞. 假设x<y，其中x，y∈ 十、∞. 如果对于某些k，j，则有可能找到x+，y-这样的t hat[x+]k [xk]和[y]-]J [yj]j，然后[x+λxk]k [xk]k每λ∈ （0,1）和[y]-uyj]j [yj]每微克∈ (0, 1 ) . 让x*= x+λxk和y*= Y-对于某些λ，uyj∈ (0, 1). 表示*k、 N=（x，…，xk）-1，x*, xk+1，xN，x，x，…），安迪*j、 M=（y，…，yj）-1，y*, yj+1，yM，x，x，…）。然后根据公理I6，存在T-, T+这样的x*k、 N<x<y<y*j、 最惠国待遇≥ T+和所有M≥ T-. 自从x*k、 N<y*j、 Mand U代表X上的<*我们有：U（x）*k、 N）≥ U（y）*j、 M）。第三步我们知道U（x，…，xk-1，x*, xk+1…）安度（y，…，yj）-1，y*, yj+1，…）收敛，soU（x，…，xk）-1，x*, xk+1，…）≥ U（y，…，yj）-1，y*, yj+1，…）。还记得x吗*= x+λxk和y*= Y-对于某些λ∈ （0,1）和一些u∈ (0, 1) .

由于λ和u是任意的，因此U（x）≥ U（y）。如果无法找到x+，y-使[x+]k [xk]和[y]-]J [yj]j，则所有t的wt=0，在这种情况下，U（x）=U（y）；或xt<z′表示所有z′∈ X和wt>0的所有t，在这种情况下，U（X）≥ U（y）；或者z′<yt表示所有的z′∈ X和wt>0的所有t，在这种情况下，U（X）≥ U（y）。值得注意的是，as x<y意味着U（x）≥ U（y），那么，根据公理i2，至少一个t的wt>0∞t=1wt>0。正常化1/P∞t=1wt，我们可以假设∞t=1wt=1。接下来，假设U（x）≥ U（y）。假设有可能找到k和x+，x-∈ X等于X+k，N<X<X-k、 对于某些固定N.通过混合连续性，集合{α：x+k，Nαx-k、 N<x}是闭合的。通过假设x+k，N<x，因此α=1包含在集合中。类似地，集合{β：x<x+k，Nβx-k、 N}已关闭。事实上，β=0属于这个集合，因为x<x-k、 N.因此，由于这两个集合都是闭合的、非空的，并且对于单位间隔而言，它们的intersection是非空的。因此，存在λ，使得x~ x+k，Nλx-k、 注意x+k，Nλx-k、 N=（x，…，xk）-1，x+λx-, xk+1，xN，x，x，…）。Letx+λx-= 十、*. 定义x*k、 N=（x，…，xk）-1，x*, xk+1，xN，x，x，…）。因此，如果存在周期k，j和结果x+，x-, y+，y-∈ X使得X+k，N<X<X-k、 Nand y+j，M<y<y-j、 对于一些N和一些M，我们可以找到λ，u∈ [0,1]这样x~ 十、*k、 南迪~ Y*j、 M=（y，…，yj）-1，y*, yj+1，yM，x，x，…），y在哪里*= y+uy-. 我们已经证明，如果x<y，那么U（x）≥ U（y）。来自x~ 十、*k、 Nand y~ Y*j、 因此，麻省理工学院得出如下结论：U（x*k、 N）=U（x）和U（y）*j、 M）=U（y）。因此，假设U（x）≥ U（y）我们得到：U（x）*k、 N）≥ U（y）*j、 M）。回想一下，U是X上的保序函数*.

因此，x*k、 N<y*j、 M.从x开始~ 十、*k、 Nand y~ Y*j、 假设现在不存在这样的k，j或结果x+，x-, y+，y-例如x+k，N<x<x-k、 Nand y+j，M<y<y-j、 然后，使用公理I6，我们可以得出∈ 对于WT>0或yt的每个t，Xe∈ 对于wt>0的每一个t。假设只有一个上限绑定到偏好；i、 e.，Xe≡ {z∈ X:z<z′对于每个z′而言∈ 十} 。然后U（x）≥ U（y）的意思是∈ xewt>0时。因此，U（x）=U（x），其中x=（x，x，…）还有x∈ Xe。因此，当只有一个下界，即x时，x<y是单调的∈ Xe≡ {z∈ X:z′<每个z′的z∈ 十} ，论点是相似的。接下来，假设X是上下有界的偏好，即存在X，X∈ x<x<x每x∈ 假设U（X）≥ U（y）。我们需要证明x<y。通过单调性和连续性，存在λ，u∈ [0,1]这样x~ xλx和y~ xux.根据假设u（x）≥ U（y）和U代表恒定流上的优先顺序，我们有U（xλx）≥ U（xux）。通过重新排列这个不等式（λ-u）（U（x）-U（x）），并使用U（x）>U（x）得出λ≥ u. 因此，作为x~ xλx安迪~xux和λ≥ u，我们得出结论，x<y。因此（w，u）是<。第五步。wt的唯一性。假设（w′，u′）是另一个AA表示。然后，对于任何t，我们都有wt>0当且仅当w′t>0。考虑所有常数程序的集合{x∈ 十、∞: x=（a，a，…），哪里∈ 十} ，这是一套混合物。将（w′，u′）和（w，u）应用于这个集合，我们得出结论：u（a）>u（b）当且仅当u′（a）>u′（b）对于每个a，b∈ 十、

根据定理1Fishburn（1982），它意味着对于一些A>0和一些B，u=Au′+B。因此，∞Xt=1wtu（Xt）≥∞Xt=1wtu（yt）当且仅当∞Xt=1w′tu（Xt）≥∞Xt=1w′tu（yt）。对于t 6=s的任意t，s和任意x′，x′∈ 十、 让[X′，X′t，s注意流，其中X′在tth位置，X′在sth位置，并在此处。修正t，swith wt>0和ws>0。使用非平凡性，选择一些x+，x-∈ 例如+ 十、-. 定义x=[x+，x+]t，s，y=[x+，x-]t、 s，z=[x-, 十、-]t、 从AA代表处可以看出： Y z、 通过A表示的连续性，存在λ∈ （0，1）使y~ xλz.将AareRepresentation应用于y~ xλz我们得到了wtu（x+）+wsu（x-) = λ（wt+ws）u（x+）（1- λ） （wt+ws）u（x-).因此（1）- λ） wt=λws。同样地，（1）- λ） w′t=λw′s。因此，wt/ws=w′t/w′s。由于这对任何t，s都是正确的，因此对于某些C>0，我们得到w=Cw′。感谢我的共同主管Matthew Ryan提供了周到的建议和支持。我感谢阿尔卡迪·斯林科和西蒙·格兰特的有益讨论。我还要感谢澳大利亚国立大学在撰写这篇论文时的热情好客。澳大利亚国立大学、奥克兰大学的研讨会p参与者以及奥克兰理工大学数学科学研讨会（2014年）、数学社会科学中心暑期工作坊（2014年）、逻辑、博弈论、，感谢中央研究院“社会选择8”和“第八届泛太平洋博弈论大会”（2015）。感谢奥克兰大学的资助。参考桑科姆，F.J.，和奥曼，R.J.（1963）。对主观概率的定义。《数理统计年鉴》，34（1），199-205。布莱克罗特，H.，罗德，K.I.M.，和瓦克尔，P.P.（2008）。

库普曼一直在寻找跨期cho冰：一种简化和推广。《数学心理学杂志》，52（6），341-347。查克，R.，周，S.H.，和钟，S.（2015）。扩展现在偏差：一项直接实验测试。《理论与决策》，79（1），151-165。德布鲁，G.（1960）。基数效用理论中的拓扑方法。在K.J.Arrow、S.Karlin和P.Suppes（编辑）的《社会科学中的数学方法》（第16-26页）。加利福尼亚州斯坦德：斯坦福大学出版社。爱泼斯坦，L.G.（1983）。平稳基数效用与不确定性下的最优增长。经济理论杂志，3 1（1），13 3-152。菲什伯恩，P.C.（1970年）。决策的效用理论。纽约：威利。菲什伯恩，P.C.（1982）。预期效用的基础。多德雷赫特：ReidelPublishing Co.Fishburn，P.C.和Rubinstein，A.（1982年）。时间偏好。《国际经济评论》，23（3），677-694。吉尔博亚，I.，和施梅德勒，D.（1989年）。Maxmin预期效用与非唯一先验。《数学经济学杂志》，18（2），141-153。戈尔曼·W·M.（1968）。效用函数的结构。《经济研究综述》，35（4），36 7–390。J.-M.格兰蒙特（1972）。von NeumannMorgenstern效用的连续性性质。经济理论杂志，4（1），45-57。格兰特·S.和范赞特·T.（2009）。期望效用理论。在P.阿南德、P.帕塔纳克和C.帕普（编著）中，《理性和社会选择手册》（第21-68页）。牛津大学出版社。居尔·F.（1992）。具有有限状态数的萨维奇定理。经济理论杂志，57（1），99-110。哈维·C·M.（1986）。有限期规划的价值函数。管理科学，3 2（9），11 23–1139。Hayashi，T.（2003）。准平稳基数效用和当前偏差。《经济理论杂志》，112（2），343-352。库普曼斯，T.C.（1960年）。平稳有序的效用和不耐烦。《计量经济学》，28（2），287-309。库普曼斯，T.C。

(1972). 随时间变化的偏好顺序表示。在C.B.McGuire和R.Radner（编辑）的《决策与组织》（第79-100页）。阿姆斯特丹：北荷兰。库普曼斯，T.C.，戴蒙德，P.A.，威廉姆森，R.E.（1964）。静态效用和时间视角。计量经济学，32（1/2），82-100。莱布森，D.（1997）。金蛋和夸张的折扣。《经济学季刊》，112（2），443-477。洛文斯坦，G.和Prelec，D。(1992). 阿诺玛在于跨期选择：证据和解释。《经济学季刊》，107（2），573-597。Olea，J.L.M.和Strzalecki，T.（2014）。拟双曲贴现的公理化和度量。《经济学季刊》，1 29（3），1449-1499。菲尔普斯，E.S.，和波拉克，R.A.（1968）。第二大国民储蓄和博弈均衡增长。《经济研究评论》，35（2），185-199。瑞安·M·J.（2009）。SEU的推广：一些非标准模型的几何之旅。《牛津经济论文》，61（2），327-354。萨缪尔森，P.A.（1937年）。关于效用度量的注记。经济研究综述，4（2），155-161。萨维奇，我。J.（1954年）。统计学的基础。纽约：约翰·威利父子。冯·诺依曼，J.和莫根斯坦，O.（1947）。博弈论与经济行为。普林斯顿：普林斯顿大学出版社。Wakai，K.（2009）。效用平滑模型。《计量经济学》，76（1），137-153。杨，E.R.（2007）。广义拟几何折扣。《经济学快报》，96（3），343–35 0。