关于Skorokhod嵌入和局部时间鲁棒套期保值的一些结果

实际上，它（形式上）遵循Dambis-Dubins-Schwartz定理，即pu（F（LT））=supτ∈TuEF（LBτ）Iu（F（LT））=infτ∈TuEF（LBτ）, （1） 何处（LBt）t≥0是布朗运动（Bt）t的零点的当地时间≥0和Tu是SEP溶液的集合，即停止时间τ，使得bτ：=（Bt∧τ） t≥0是一致可积的，Bτ~ u.更多细节请参见Galichon、Henry Labord\'ere和Touzi[11]以及Guo、Tan和Touzi[22]。这里，公式（1）直接搜索SEP的解决方案，该解决方案最大化或最小化了支付函数定义的标准。众所周知，如果F是凸（或凹）函数，则最优解的形式为τ：=infnt>0:Bt/∈φ-（LBt），φ+（LBt）o、 对于某些单调函数φ±：R+→ R±。这一结果最早是在Vallois[4]中获得的，他给出了函数φ的明确构造。然后，考克斯、霍布森和奥布尔奥伊[8]从一个精心挑选的不平等中找到了它。最近，Beiglb¨ock、Cox和Huesmann[23]根据其单调性原理推导出了它，该原理通过几何支撑表征了SEP的最优解。然而，如果给定一系列停止时间（τt）t≥以至于→ τ是连续且递增的，我们有（Lτt）t≥0=（Lt）t≥0其中（~Lt）t≥0表示进程（Xτt）t的xo处的本地时间≥0.关于Skorokhod嵌入和鲁棒套期保值的一些结果（φ+，φ）的局部时间显式计算-) 这种方法无法提供。关于单调性原理，参见alsoGuo、Tan和Touzi[24]。3鲁棒套期保值问题的解决方案使用随机控制方法，我们在本节中重现了鲁棒超边缘问题的结果——优化器和对偶性——获得了inCox、Hobson和Obl\'oj[8]。此外，我们还给出了鲁棒子边问题的相应结果。

在本节中，为了清晰起见，我们取X=0，并在函数F和边缘u的以下假设下工作。特别是，与[8]相比，我们不需要假设F是非减量的。假设3.1 F:R+→ R是一个Lipschitz凸函数。假设3.2u为中心概率分布，质量为零。3.1稳健的超边缘问题在本节中，在假设3.1和3.2下，我们提供了Uu（F（LT））的最佳混合策略以及Pu（F（LT））的最佳度量，并且我们表明不存在对偶间隙，即Pu（F（LT））=Uu（F（LT））。其关键思想是，对于任何合适的单调函数对（φ+，φ-), 我们可以构建一个超级复制策略(, H） =(φ±，Hφ±）。最优性结果来自Vallois给出的嵌入分布u14的一对函数。Julien Claisse等人假设3.3φ+：]0，∞[ -→ ]0, ∞[（分别为φ-:]0, ∞[ -→ ] - ∞, 0[）是连续且不减少（或不增加）的，因此γ（0+）=0和γ(∞) = ∞ 其中，对于所有l>0，γ（l）：=Zlφ+（m）-φ-（m）马克。让我们用ψ±表示φ±的右连续逆。我们还定义了函数A±：R+→ R通孔（φ+，φ-) byA±（l）：=A±（0）+Zldzφ±（z）eγ（z）z∞泽-γ（m）F（dm），（2）A±（0）：=±F（0）±Z∞E-γ（m）F（dm）。（3） 在本文中，所考虑的衍生产品都是分布意义上的，只要可能，我们就为这种分布选择一个“好”的代表。特别是，在上面的公式中，Fand Fstand表示F的右导数和Lebesgue-Stieltjes测度相对于透视的关系，因为F是一个凸函数，所以对其进行了很好的定义。3.1.1准确定不等式我们首先展示一个准确定不等式，这是我们分析的关键步骤。这意味着，为了构建超级复制策略，必须考虑一对（φ+，φ-) 满足假设3.3。

一旦我们找到一对最佳组合，二元性和最优性就会随之而来，如下一节所示。在假设3.1和3.3下，关于Skorokhod嵌入和鲁棒套期保值的一些结果，如下不等式holdszttdXt+H（XT）≥ F（LT），P- a、 s.为所有人P∈ P、 （4）在哪里t:=A+（Lt）1{Xt>0}- A.-（Lt）1{Xt≤0}，尽管如此∈ [0，T]，（5）H（±x）：=F（0）+Z±xA±（ψ±（y））dy，对于所有x≥ 0.（6）备注3.1半静态策略的推导(, H） 第3.3节通过随机控制方法执行。在给出命题3.1的证明之前，我们证明了拟sure不等式给出了Uu（F（LT））的上界。推论3.1在假设3.1和3.3下，对于任何中心概率测度u，Pu（F（LT））≤ Uu（F（LT））≤ u（H）。根据命题3.1，证明H∈ L（u）和 ∈ Hu。正如下面引理3.1所证明的，映射A±是有界的。特别是，他有界，因此是u（|H |）<∞. 此外 是有界限的 ∈ H.仍需证明局部鞅（RtsdXs）t≥0是一个超级艺术家。准确定不等式（4）意味着对于所有P∈ Pu，ZtSDX≥ -C（Lt+| Xt |）表示所有t∈ [0，T]，P- a、 美国，16 Julien Claisse等人，其中C:=kFk∞∨kHk∞. 表示Mt:=RtsdXsand Nt:=C（Lt+|Xt |）。给定（τn）n∈Na减少（Mt）t的停止时间序列≥0，然后是Fatou引理≤ t、 E[Mt+Nt | Fs]≤ Ms+lim infn→∞E[NτN∧t | Fs]。（7） 此外，很明显，（Nt）t≥0是一个非负的子鞅，因此它保持0≤ NτN∧T≤ E[Nt | Fτn∧t] 。特别是序列（NτN∧t） n∈Nis一致可积。因此，从（7）可以立即得出（Mt）t≥0是一个超级艺术家。本节的其余部分将用于证明命题3.1。

我们从建立一个技术引理开始。引理3.1用命题3.1的符号表示，映射A±在R+上一致有界，它适用于所有l>0，（A+（l）- A.-（l） ）=F（l）+eγ（l）Z∞乐-γ（m）F（dm），（8）H（φ+（l））- A+（l）φ+（l）=H（φ-（l） )- A.-（l） φ-（l） 。（9） 让我们从证明开始。我们首先观察到（A+（l）- A.-（l） ）=（A+（0）- A.-（0））+Zlγ（z）eγ（z）z∞泽-γ（m）F（dm）dz。此外，Fubini-Tonelli定理还得到了zlγ（z）eγ（z）Zlze-γ（m）F（dm）dz=F（l）- F（0）-兹尔-γ（m）F（dm）。关于Skorokhod嵌入和局部时间鲁棒套期保值的一些结果如下。（ii）接下来让我们证明A+是有界的。显然，A+（0）≤ A+（l）≤ A+（l）- A.-（l） +A-(0).此外，我们有f（0）≤ A+（0）=-A.-(0) ≤ F(∞),2F（l）≤ A+（l）- A.-（l）≤ 2F(∞),第二行从（8）开始。我们推导出kA+k∞≤ 3kFk∞.类似地，它也支持kA-K∞≤ 3kFk∞.（iii）现在让我们转向（9）的证明。通过变量的变化，我们得到h（φ+（l））- H（φ+（0））=Zφ+（l）φ+（0）A+（ψ+（y））dy=Z[0，l]A+（m）φ+（dm）。此外，部件集成（参见Bogachev[25，Ex.5.8.112]）yieldsthatZ[0，l]A+（m）φ+（dm）=A+（l）φ+（l）- A+（0）φ+（0）-ZlA+（m）φ+（m）dm。进一步使用H（0）=H（φ+（0））- A+（0）φ+（0），我们得到h（φ+（l））- A+（l）φ+（l）=H（0）-Zleγ（z）z∞泽-γ（m）F（dm）dz。（10） 类似地，H（φ-（l） )-A.-（l） φ-（l） 与上面的r.h.s.一致，这结束了证明。utProof（命题3.1）让我们定义u:R×R+→ Rbyu（x，l）：=-A+（l）x++A-（l） x-+ A+（l）φ+（l）- H（φ+（l））+F（l）。18 Julien Claisse等人（i）我们首先证明u（x，l）≥ F（l）-H（x）表示所有x∈ R、 l≥ 0.显然，H对R+的限制-) 是一个凸函数，我们有limx↑φ±（l）H（x）≤ A±（l）≤ 利克斯↓φ±（l）H（x）。因此，它保持sh（x）≥ A+（l）（x）- φ+（l））+H（φ+（l）），对于所有x≥ 0，l≥ 这就产生了u（x，l）≥ F（l）- H（x）表示所有x≥ 0，l≥ 0

同样，我们有h（x）≥ A.-（l） （十）- φ-（l） ）+H（φ-（l） ），为所有x≤ 0，l≥ 进一步使用（9），我们得出结论u（x，l）≥ F（l）- H（x）表示所有x≤ 0，l≥ 0.（ii）让我们接下来展示u（XT，LT）=ZTtdXt，P- a、 s.为所有人P∈ P.依次使用It^o-Tanaka公式和关系式（8），我们得出- A+（LT）X+T+A-（Lt）X-T=ZTtdXt-ZLT（A+（l）- A.-（l） ）dl=ZTtdXt- F（LT）+F（0）-ZLTeγ（l）Z∞乐-γ（m）F（dm）dl。我们推断u（XT，LT）=ZTtdXt+A+（LT）φ+（LT）- H（φ+（LT））+F（0）-ZLTeγ（l）Z∞乐-γ（m）F（dm）dl。使用（10）可立即获得所需的结果。关于Skorokhod嵌入和局部时间鲁棒套期保值的一些结果（iii）我们得出如下证明：F（LT）- H（XT）≤ u（XT，LT）=ZTtdXt，其中第一个不平等来自上述第（i）部分。utRemark 3.2我们参考第3.3节，全面介绍了促使我们在命题3.1.3.1.2的证明中考虑函数u的论点。从推论3.1的角度来看，一旦我们找到合适的一对（φu+，φu+），对偶就实现了-) 这样相应的静态策略Hu满足关系u（Hu）=Pu（F（LT））。在本节中，我们使用Vallois的解决方案来构建这样一对，并为Uu（F（LT））和Pu（F（LT））提供优化器。我们首先陈述一个由Vallois提出的建议，该建议根据当地时间为SEP提供了解决方案。回想一下（Bt）t≥0和（LBt）t≥0分别表示aBrownian运动及其在零处的本地时间。命题3.2在假设3.2下，存在一对（φu+，φu-) 满足假设3.3，使得停止时间τu：=inft>0:Bt/∈φu-（LBt），φu+（LBt）提供SEP的解决方案，即Bτu：=（Bτu∧t） t≥0是一致可积的且Bτu~ u.证据我们参考Vallois[3]或Cox、Hobson和Obl\'oj[8]作为证据。ut20 Julien Claisse等评论3.3如果u允许正密度u（x）w.r.t。

Lebesgue测量值保持φu0±（dl）=1- u[φu-（l） ，φu+（l）]2φu±（l）u（φu±（l））[0，∞[（l）dl.如果我们进一步假设μ是对称的，那么φu±=±φu和ψu（x）=Zxyu（y）u（[y，∞【疯狂实战】【疯狂实战】【疯狂实战】【疯狂实战】【疯狂实战】【疯狂实战】【疯狂实战】【疯狂实战】≥ 其中ψu表示φu的倒数。以下定理是本节的主要结果，表明空气（φu+，φu-) Vallois给出了bothUu（F（LT））和Pu（F（LT））的对偶性和优化器。定理3.1在假设3.1和3.2下，不存在二元间隙，即Pu（F（LT））=Uu（F（LT））=u（Hu），其中Hu由（6）从（φu+，φu）构造-). 此外，对于Pu（F（LT））存在一个优化因子Pu，例如ztutdXt+Hu（XT）=F（LT），Pu- a、 （11）过程在哪里u由（5）和（φu+，φu）表示-).证明（i）我们首先为优化器Pu构建一个候选。用Pu表示过程定律Z=（Zt）0≤T≤Tgiven byZt:=Bτu∧tT-t所有t∈ [0，T]。关于Skorokhod嵌入和当地时间21的鲁棒套期保值的一些结果过程Z显然是一个连续鞅w.r.t。它的自然滤波使得ZT~ u. 换句话说，概率度量Pu属于Pu。（ii）现在让我们转向（11）的证明。我们定义uu：R×R+→ R byuu（x，l）：=-Au+（l）x++Au-（l） x-+ Au+（l）φu+（l）- Hu（φu+（l））+F（l）。式中，u±由（2）-（3）和（φu+，φu）给出-). 由于局部时间在时间变化下是不变的，我们有XT=φu+（LT）1{XT>0}+φu-（LT）1{XT<0}，Pu- a、 注意，根据假设3.2，Pu（XT=0）=u（{0}）=0。因此，对于XT<0的情况使用（9），它保持suu（XT，LT）=F（LT）- H（XT），Pu- a、 此外，命题3.1证明的第（ii）部分确保uu（XT，LT）=ZTutdXt，Pu- a、 注意这对（φu+，φu-) 根据命题3.2，满足假设3.3。（iii）总之，仍需证明EPu[F（LT）]=u（Hu）。这可以通过（11）中的期望和下面的引理3.2来实现。

utLemma 3.2用定理3.1的符号表示，它保持sepu“ZTutdXt#=0.22 Julien Claisse等人证明该结果是Cox、Hobson和Obl\'oj[8]中引理2.1的轻微扩展。这个证明依赖于类似的论点，为了保证完整性，我们在这里重复这些论点。利用局部时间在时间变化下的不变性，我们首先观察到期望结果相当于“Zτu”Au+（磅）1{Bs>0}+Au-（LBs）1{Bs≤0}dBs#=0。为了清楚起见，我们省略了符号中的索引u，并在其余的证明中表示L而不是Lb。设σn:=inf{t≥ 0:| Bt |≥ n} ，ρm:=inf{t≥ 0:Lt≥ m} ，τn，m:=τ∧ σn∧ ρ和τn:=τ∧ σn.我们也认为mt:=ZtA+（Ls）1{Bs>0}+A-（Ls）1{Bs≤0}星展银行≥ 0.根据田中的公式，可以得出mt=A+（Lt）B+t- A.-（Lt）B-T-Zt（A+（Ls）- A.-（Ls）dLs。我们推导出停止的局部鞅Mτn是有界的。因此，它是一致可积鞅，我们有Zτn，mA+（Ls）- A.-（Ls）dLs= EhA+（Lτn，m）B+τn，m- A.-（Lτn，m）B-τn，mi=EA+（Lτn）B+τn- A.-（Lτn）B-τn{τn<ρm},其中，最后一个等式由Bρm=0得出。结果就是这样Zτn，m（A+（Ls）- A+（0））- （A）-（Ls）- A.-(0))dLs= E（A+（Lτn）- A+（0））B+τn- （A）-（Lτn）- A.-（0）B-τn{τn<ρm}.利用单调收敛定理，当m趋于一致时，我们得到了关于Skorokhod嵌入和局部时间鲁棒套期保值的一些结果Zτn（A+（Ls）- A+（0））- （A）-（Ls）- A.-(0))dLs= E（A+（Lτn）- A+（0））B+τn- （A）-（Lτn）- A.-（0）B-τn.然后，当n趋于一致时，l.h.s.再次通过单调收敛定理收敛，toEZτ（A+（Ls）- A+（0））- （A）-（Ls）- A.-(0))dLs.对于r.h.s.，使用A±有界和（B±t∧τ） t≥0是一致可积的，它收敛于（A+（Lτ）- A+（0））B+τ- （A）-（Lτ）- A.-（0）B-τ< ∞.因此，我们ZτA+（Ls）- A.-（Ls）dLs= EA+（Lτ）B+τ- A.-（Lτ）B-τ,双方都是有限的。证据到此为止。

ut3。2.稳健副标题问题在本节中，我们讨论稳健副标题问题。也就是说，我们推导了无套利区间的下界和相应的最优策略。这些结果对文献来说是新的。我们的想法是按照第3.1节的思路进行，但要扭转函数φ+和φ的单调性假设-.24 Julien Claisse等人假设3.4φ+：]0，∞[ -→ ]0, ∞[（分别为φ-:]0, ∞[ -→ ] - ∞, 0[）是右连续和非递增（分别为非递减）。如第2.3节所述，我们用ψ±表示φ±和γ（l）的右连续逆：=Zlφ+（m）-φ-（m）dm，对于所有l>0。我们还定义了新功能A±：R+→ R通孔（φ+，φ-) byA±（l）：=±F(∞) -Z∞ldzφ±（z）eγ（z）z∞泽-γ（m）F（dm）。（12） 3.2.1拟确定不等式我们首先展示对应于次边缘问题的拟确定不等式。再加上Vallois向SEP提供的第二个解决方案，这就引出了稳健副标题问题的解决方案。命题3.3在假设3.1和3.4下，以下不等式成立tdXt+H（XT）≤ F（LT），P- a、 s.为所有人P∈ P、 （13）在哪里t:=A+（Lt）1{Xt>0}- A.-（Lt）1{Xt≤0}，尽管如此∈ [0，T]，（14）H（±x）：=H（0）+Z±xA±（ψ±（y））dy，对于所有x≥ 0，（15）H（0）：=F（0）-Z∞eγ（z）z∞泽-γ（m）F（dm）dz。（16） 在假设3.1和3.4下，关于Skorokhod嵌入和鲁棒套期保值与当地时间25推论3.2的一些结果，对于任何中心概率测度u，Iu（F（LT））≥ Du（F（LT））≥ u（H）。推论3.2的证明与推论3.1的证明相同。

然而，准确定不等式（13）的证明并不完全直接，因此我们在下面提供一些细节。（命题3.3的）证明让我们首先证明我们有（A+（l）- A.-（l） ）=F（l）+eγ（l）Z∞乐-γ（m）F（dm），H（φ+（l））- A+（l）φ+（l）=H（φ-（l） )- A.-（l） φ-（l） 。第一个恒等式源自Fubini Tonelli定理，如引理3.1中的（8）。对于第二个，通过变量的变化和部分积分，我们得到了h（φ）+(∞)) - H（φ+（l））=Z]l，∞[A+（m）φ+（dm）=A+(∞)φ+(∞) - A+（l）φ+（l）-Z∞leγ（z）z∞泽-γ（m）F（dm）dy.进一步使用H（0）=H（φ+(∞)) - A+(∞)φ+(∞), 我们得到了h（φ+（l））- A+（l）φ+（l）=F（0）-Zleγ（z）z∞泽-γ（m）F（dm）dy.同样，我们可以证明H（φ-（l） )- A.-（l） φ-（l） 与上面的r.h.s.一致。接下来的证明是重复命题3.1的论点，使用H对R+的限制（分别是R-) 现在是凹的。ut26 Julien Claisse等人3.2.2最优性和二元性使用Vallois提供的SEP的另一种解决方案，我们推导出二元性，并为Du（F（LT））和Iu（F（LT））提供优化器。命题3.4在假设3.2下，存在一对（φu+，φu-) 满足假设3.4，使得Bτu=（Bτu∧t） t≥0是一致可积的，bτu~ u，其中τu：=inft>0:Bt/∈]φu-（LBt），φu+（LBt）[.我们参考瓦洛伊斯[4]的证据。utTheorem 3.2在假设3.1和3.2下，不存在二元间隙，即iu（F（LT））=Du（F（LT））=u（Hu），其中Hu由（φu+，φu）的（15）-（16）构成-). 此外，对于Iu（F（LT））存在一个优化器Pu，例如ztutdXt+Hu（XT）=F（LT），Pu- a、 在美国，这个过程在哪里u由（14）和（φu+，φu）表示-).这个结果的证明与定理3.1的证明相同。备注3.4可以在OREM 3.2中删除u在零处没有质量的假设。在这种情况下，φ可以达到零，我们可以假设w.l.o.g.ψ+（0）=ψ-(0).

然后我们需要通过替换上限来稍微修改A±的定义∞ 在积分项中使用ψ+（0）。关于Skorokhod嵌入和局部时间273.3鲁棒套期保值的一些结果关于随机控制方法，如前所述，第3.1节的结果可在Cox、Hobsonand和Obl\'oj[8]中找到。这里真正的新奇之处来自我们基于随机控制理论的方法。在本节中，我们将对导致我们考虑准确定不等式（4）的争论给出一些见解。我们首先观察pu（F（LT））=supP∈品脱∈L（u）EP[F（LT）- H（XT）]+u（H）≤ infH∈L（u）supP∈PEP[F（LT）- H（XT）]+u（H）此外，Dambis-Dubins-Schwarz定理（形式上）暗示pu（F（LT））≤ infH∈L（u）supτ∈TEF（LBτ）- H（Bτ）+ u（H）其中T是停止时间τ的集合，使得Bτ是一个统一可积鞅。受Galichon、Henry Labord`ere和Touzi[11]的启发，我们研究了上述r.h.s.上的问题，因为它被证明相当于鲁棒超边缘问题。不管怎样∈ L（u），我们考虑最优停止问题u（x，L）：=supτ∈德克萨斯州F（LBτ）- H（Bτ）,其中，Ex表示条件期望运算符E·|B=x，LB=l.使用形式表示dLBt=δ（Bt）dt，其中δ表示Diracdelta函数，对应于该最优停止问题的Hamilton-Jacobi-Bellman（简称HJB）方程形式上读取为asmaxF-H-五、xxv+δ（x）吕= 0.（17）28 Julien Claisse等人。我们寻找公式V（x，l）的解=a（l）x++b（l）x-+ c（l），if（x，l）∈ D、 F（l）- H（x），否则，其中D:={（x，l）；x∈]φ-（l） 为了简单起见，我们假设φ±是严格单调的，使得φ±（0）=0和φ±(∞) = ±∞ 所有涉及的函数都是平滑的，可以进行下面的计算。两次w.r.t.差异。