关于Skorokhod嵌入和局部时间鲁棒套期保值的一些结果

tox创建了一个delta函数δ（x），它抵消了δ（x）项中出现的delta函数如果-b=-2c。然后我们在边界处施加连续性和光滑条件D:v（φ±（l），l）=F（l）- H（φ±（l））和xv（φ±（l），l）=-H（φ±（l））。我们推导出v（x，l）=-H（φ+（l））x++H（φ-（l） ）x-+ H（φ+（l））φ+（l）- H（φ+（l））+F（l），对于所有（x，l）∈ D.此外，函数H必须满足以下常微分方程组：H（φ+）φ+- H（φ+）=H（φ-)φ-- H（φ）-),H（φ+）- H（φ）-)= F+H（φ+）φ+φ+。这个常微分方程组可以显式求解，它刻画了Ho φ±asin（2）直到一个常数，使得（H（0+）- H（0-)) = F（0）+Z∞E-γ（m）F（m）dm。当选取H（0）=F（0）时，关于Skorokhod嵌入和局部时间为29h的鲁棒套期保值的一些结果由（6）给出。相反，如果Fis是凸的，H在R+上也是凸的（分别是R-). 根据命题3.1证明的第（i）部分，v满足变分不等式（17）。此外，我们观察到（17）的另一个解由u（x，l）给出：-H（φ+（l））x++H（φ-（l） ）x-+ H（φ+（l））φ+（l）- H（φ+（l））+F（l），对于所有（x，l）∈ R×R+。然后，给出变分PDE（17）的任何解w，可以直接通过启发式方法导出一个拟确定不等式。实际上，使用形式表示dLt=δ（Xt）dhXit，它^o的公式得出了所有P∈ P、 F（LT）- H（XT）≤ w（下，下）≤ZTxw（Xs，Ls）dXs，P- a、 特别是，如果w与u重合，我们恢复了准确定不等式（4）。此外，如果我们用P表示*（Bτ）的分布∧tT-t） t∈[0，T]式中τ：=infT≥ 0:Bt/∈φ-（LBt），φ+（LBt）,我们获得（LT）- H（XT）=u（XT，LT）=ZT徐（Xs，Ls）dXs，P*- a、 s.4两个边缘Skorokhod嵌入问题在本节中，我们提供了一个新的解决方案，作为Vallois嵌入的扩展。

设u=（u，u）为中心孔雀，即u和u为中心概率分布，使得u（f）≤ u（f）30 Julien Claisse等所有f:R→ R凸。我们的目标是基于本地时间构造一对停止规则，以便≤ τu，Bτu~ u，Bτu~ μ和Bτμ可统一积分。自然的想法是将Vallois嵌入对应于u和u。然而，这些停车时间通常没有规定，因此我们需要更加小心。出于技术原因，我们对边缘做出以下假设。假设4.1u=（u，u）是一个居中的孔雀，使得u和u是对称的，并等同于勒贝格度量。4.1构造对于第一次停止时间，我们采用Vallois[3]给出的嵌入u的解决方案，即τu：=infnt>0:|Bt |≥ φu（Lt）o，其中φu：R+→ R+是ψu（x）的倒数：=Zxyu（y）u（[y，∞【疯狂实战】【疯狂实战】【疯狂实战】【疯狂实战】【疯狂实战】【疯狂实战】【疯狂实战】【疯狂实战】≥ 0.（18）对于第二次停止时间，我们寻找一个递增函数φu：R+→ R+使得τu：=infnt≥ τu：|Bt |≥ φu（Lt）o.注意τu≤ 定义为τu。特别是，如果在非空间隔上φu<φu，则可能发生|Bt |≥ φu（Lt）对于某些t<τu。与之前一样，φu是关于Skorokhod嵌入的一些结果，以及通过其逆ψu定义的当地时间31的稳健对冲。让我们表示x:=infx>0:Zxyu（y）u（[y，∞[）dy>ψu（x）.然后我们设置ψu（x）=Zxyu（y）u（[y，∞【疯狂实战】【疯狂实战】【疯狂实战】【疯狂实战】【疯狂实战】【疯狂实战】【疯狂实战】【疯狂实战】∈ [0，x]。（19） 为了确保x>0，我们需要假设Δu：=u- u≤ 0在0的高度上。如果x=∞, 施工结束了。这与Vallois嵌件有序的情况相对应。

否则，我们通过归纳如下：（i）如果x2i-1< ∞, 我们表示x2i:=inf（x>x2i）-1：ψu（x2i）-1） +Zxx2i-1yδu（y）δu（[y，∞[）dy<ψu（x））。然后我们设置所有x∈]x2i-1，x2i]，ψu（x）=ψu（x2i-1） +Zxx2i-1yδu（y）δu（[y，∞[）dy；（20）（ii）如果x2i<∞, 我们表示x2i+1:=infx>x2i:ψu（x2i）+Zxx2iyu（y）u（[y，∞[）dy>ψu（x）.然后我们准备好所有的x∈]x2i，x2i+1]，ψu（x）=ψu（x2i）+Zxx2iyu（y）u（[y，∞[）dy.（21）为了确保ψ被很好地定义并增加，我们需要做出以下假设。特别是，下面的第（iii）点确保xi<xi+1和limi→∞xi=∞.32 Julien Claisse等人假设4.2（i）1≤ 0和Δu6≡ 在0的邻域上为0；（ii）只要ψu<ψu，Δu>0；（iii）xi=∞ 对一些人来说，我≥ 1.定理4.1在假设4.1和4.2下，如果ψu由（19）-（21）给出，那么Bτu是一致可积的，Bτu是一致可积的~ u.下一节将对此结果进行验证。请注意，假设4.2的（i）点和（ii）点在一定程度上都是必要条件，以确保存在一个递增函数ψu，该函数求解上述两个边际SEP。更多详情请参见下面的备注4.1。这表明我们需要放松ψu的单调性假设，以便迭代Vallois嵌入到更大类别的边缘。

然而，我们的方法不允许在这种一般设置下计算函数ψu。4.2定理4.1的证明让我们从一个技术引理开始，这是下面定理4.1和定理5.1证明的关键步骤。引理4.1设φ±如假设3.3所示，并表示τ：=inf{t>0:Bt/∈ ]φ-（Lt），φ+（Lt）[}。对于任何f:R×R+→ R的界为l7→ f（φ±（l），l）是有界变差，它适用于所有l≥ 0，x∈]φ-（l） ，φ+（l）[，Ex，l[f（Bτ，lτ）]=f（φ+（l），l）- c（l）φ+（l）x+-f（φ）-（l） ，l）- c（l）φ-（l） x-+ c（l），关于Skorokhod嵌入和局部时间为33ex的鲁棒套期保值的一些结果，其中Lde注意到条件期望算子E[·| B=x，l=l]和c（l）=Eγ（l）Z∞Lf（φ+（m），m）φ+（m）-f（φ）-（m） ，m）φ-（m）E-γ（m）dm。证明Let（Mt）t≥0是mt=f（φ+（Lt），Lt）给出的过程- c（Lt）φ+（Lt）B+t-f（φ）-（左，右）- c（Lt）φ-（Lt）B-t+c（Lt）。通过应用It^o-Tanaka公式并使用进一步的C（l）+f（φ+（l），l）- c（l）φ+（l）-f（φ）-（l） ，l）- c（l）φ-（l）= 0，我们推导出mt=M+Ztf（φ+（Ls），Ls）- c（Ls）φ+（Ls）{Bs>0}dBs+Ztf（φ-（Ls，Ls）- c（Ls）φ-（Ls）{Bs≤0}dBs。因此，过程M是一个局部鞅。此外，停止的过程Mτ自kck起有界∞≤ 肯德基∞和| B±τ∧t|≤ |φ±（Lτ）∧t） |。因此，l[Mτ]=M=f（φ+（l），l）- c（l）φ+（l）x+-f（φ）-（l） ，l）- c（l）φ-（l） x-+ c（l）。总之，通过定义Mτ=f（Bτ，Lτ）还有待观察。我们现在可以完成定理4.1的证明了。为了清楚起见，我们省略了符号中的索引u，并将证明分为三步。第一步。我们首先证明Bτ的分布允许密度w。r、 t.勒贝格测量。我们假设函数ψ在增加，满足γ（0+）=0和γ(∞) = ∞ 式中γ：=R·φ（m）dm。34 Julien Claisse等人。这将在下面的第3步中得到证明。首先请注意，Bτ的分布是对称的。

根据强马尔可夫性和引理4.1，如果我们取函数λ（y）=1{y≤x} 为了一些x≥ 0，它保持se[λ（|Bτ|）]=E[f（Bτ，Lτ）]=Z∞f（φ（l），l）φ（l）e-γ（l）dl，式中f（y，l）：=λ（φ（l））-c（l）φ（l）|y |+c（l），如果|y |<φ（l），λ（|y |），否则，c（l）：=eγ（l）Z∞lλ（φ（m））φ（m）e-γ（m）dm。通过简单的计算，我们得到C（l）=1.- eγ（l）-γ（ψ（x））{l≤ψ（x）}，f（φ（l），l）=1+eγ（l）-γ（ψ（x））φ（l）φ（l）- 1.{l≤ψ（x）}，如果φ（l）<φ（l），{l≤ψ（x）}，否则。因此，我们得到了p（|Bτ|≤ x） =e-γ（ψ（x））Z{φ<φ}{l≤ψ（x）}deγ（l）-γ（l）-Z{φ<φ}{l≤ψ（x）}de-γ（l）-Z{φ≥φ} {l≤ψ（x）}de-γ（l）。通过对上述恒等式的直接微分，我们推断出Bτ的分布允许一个密度νw.r.t。由ν（x）给出的勒贝格测度=ψ（x）2xS（x）+e-γ（ψ（x））如果ψ（x）>ψ（x），ψ（x）2xe-γ（ψ（x））+ψ（x）2xS（x）否则，（22）关于Skorokhod嵌入和局部时间的鲁棒套期保值的一些结果，其中（x）：=-E-γ（ψ（x））Z{φ<φ}{l≤ψ（x）}deγ（l）-γ（l）。第二步。现在让我们展示一下，当φ被定义为（19）-（21）时，ν与u重合。首先请注意，关系式（18）得出-γ（ψ（x））=e-Rxψ（y）ydy=2u（[x，∞[），对于所有x∈ R+。进一步使用恒等式（20）和（21），可以得出=u（x）u（[x，∞[）S2i（x）如果x∈]x2i，x2i+1]，u（x）+Δu（x）Δu（[x，∞[）S2i+1（x）如果x∈]x2i+1，x2i+2]。其中我们表示li:=ψ（xi）=ψ（xi）和si（x）：=e-γ（ψ（x））iXj=0(-1） jeγ（lj）-γ（lj）。总之，仍然需要证明S2i（x）=u（[x，∞[）对于所有x∈ [x2i，x2i+1]和S2i+1（x）=Δu（[x，∞[）对于所有x∈ [x2i+1，x2i+2]。作为副产品，这证明了Δu（[x，∞[）>0，代表所有x∈ [x2i+1，x2i+2]，（23），因此ψ被很好地定义。对于i=0，它由（x）=e的关系式（19）得出-γ（ψ（x））=u（[x，∞[），对于所有x∈ [0，x]。假设S2i（x）=u（[x，∞[）对于所有x∈ [x2i，x2i+1]。

这是由关系式得出的-γ（ψ（x））+γ（l2i+1）=Δu（[x，∞[）Δu（[x2i+1，∞[），对于所有x∈ [x2i+1，x2i+2].36 Julien Claisse等。因此，我们推断所有x∈ [x2i+1，x2i+2]，S2i+1（x）=e-γ（ψ（x））+γ（l2i+1）S2i（x2i+1）-E-γ（l2i+1）= Δu（[x，∞此外，它是由关系式（21）得出的-γ（ψ（x））+γ（l2i+2）=u（[x，∞[）u（[x2i+2，∞[），对于所有x∈ [x2i+2，x2i+3]。因此，我们推断，对于所有x∈ [x2i+2，x2i+3]，S2i+2（x）=e-γ（ψ（x））+γ（l2i+2）S2i+1（x2i+2）+e-γ（l2i+2）= u（[x，∞[）。第三步。我们现在可以完成证明。关系式（21）明确规定ψ在每个区间上增加，使得ψ>ψ。在假设4.2（ii）下，关系式（20）和（23）确保ψ在每个区间上增加，使得ψ<ψ。此外，它紧接着从（19）开始，γ（0+）=0。此外，鉴于假设4.1（iii），我们很容易通过一个简单的计算来验证(∞) = ∞. 证明了停止过程Bτ是一致可积的。自| Bt∧τ| ≤ |Bτ|对于所有t≥ 0时，一致可积性立即遵循u允许有限第一时刻的假设。utRemark 4.1证明的第一步不依赖于递增函数ψ的特定形式。因此，关系式（22）揭示了假设4.2中的新情况。例如，如果ψ≤ ψ接近于零，那么我们看到ν=u接近于零。Elseψ=R·yν（y）ν（[y，∞[）dy接近零。因此，如果Δu≥ 0和Δu6≡ 在0的邻域上为0。

此外，由于≥ 通过构造，我们推断ψ是递增的，如果且仅当- 当ψ<ψ时，u>0。关于Skorokhod嵌入和局部时间鲁棒对冲的一些结果374.3作为一个数值例子，我们考虑由u（x）：=e给出的对称密度对（u，u）-2x，所有x≥ 0，u（x）：=xe-5倍，如果0≤ 十、≤ 1，e-2x+Δu（1）xα-2e-α（xα）-1.-1)α-1，如果x>1，其中α是满足Δu（1）=αΔu（[1，∞[）。对应的嵌入映射ψu和ψu由ψu（x）：=x和ψu（x）给出：=x、 如果0≤ 十、≤ 1，xα，如果x>1。如图1.0.20.40.60.81.01.21.4-1所示，定理4.1中的所有假设均已满足。1嵌入函数ψ（虚线）、ψ（实线）和密度差Δu（虚线）。38 Julien Claisse等人在图2中，我们使用2个路径将Bτu和Bτu的分析累积分布与其蒙特卡罗估计进行了比较。我们找到了非常好的匹配，除了在零附近。注意，τu和τu的模拟非常困难，因为我们需要模拟布朗运动的局部时间，这是一个高度不规则的物体。我们选择模拟当地时间Lkt时间步长k使用LKT- L（k）-1)t=t2{B（k）-1)T∈[-,]}具有 = 0.04和t=1/4000。由于φu和φu的导数在零处是有限的，因此我们在零附近的蒙特卡罗估计的准确性很大程度上取决于当地时间的离散化，这解释了图2中的小失配。  !  \" # $         \" # $       \" \"\"\"无花果

2μ的分析累积分布() 和u（×），以及它们对u的蒙特卡罗近似() 和u（4）。关于Skorokhod嵌入和局部时间鲁棒套期保值的一些结果395一个具有完全边缘的显著马氏鞅在本节中，我们在过程的所有边缘都已知的假设下展示了一个显著马氏鞅。特别是，它为伪布朗运动提供了一个新的例子。5.1在微型发电机中，我们认为所有边缘（ut）均为0≤T≤这一过程的时间是已知的。为了简单起见，我们假设μ是对称的，并且等价于每个t的lebsgue测度∈ [0，T]。用τt（分别为φt）表示Vallois[3]给出的停止时间（分别为图），该图嵌入了所有0的分布ut假设5.1≤ s≤ T≤ T，τs≤ τt，或等效的φs≤ φt。下一个结果给出了马尔可夫过程（Bτt）的生成元0≤T≤T.这对Madan和Yor[16]的研究是有意义的，直到9月的Az’ema Yor溶液。特别是，过程（BτT）为0≤T≤这是一个纯跳跃过程，对应于Carr等人[26]介绍的局部L’evy模型的一个例子。定理5.1在假设5.1下，（Bτt）0≤T≤这是一个非齐次马尔可夫鞅，其生成元由tf（x）=-tψt（|x |）xψt（|x |）sgn（x）f（x）-eγt（ψt（|x |）2 |x | Z）∞|x|f（y）+f(-y）- 2f（x）判定元件-γt（ψt（y））,式中γt（l）：=Rlφt（m）dm，l≥ 0.40 Julien Claisse等证明过程（Bτt）0≤T≤这显然是一个非齐次马尔可夫鞅，详见Madan和Yor[16]。它仍然需要计算生成器。

每0≤ t<s≤ T，我们表示f（Bτs）Bτt=x= Ef（Bτs）Bτt=x，Lτt=ψt（|x |）=: 五、x、 ψt（|x |）.然后由引理4.1得出x、 ψt（|x |）= 像o ψt（|x |）x++bso ψt（|x |）x-+ 反恐精英o ψt（|x |）带as（l）：=fφs（l）- cs（l）φs（l），bs（l）：=f- φs（l）- cs（l）φs（l），cs（l）：=eγs（l）Z∞如果φs（m）+ F- φs（m）φs（m）e-γs（m）dm。根据定义，对于所有x，生成器由给出∈ R、 Ltf（x）=塔特o ψt（|x |）x++技术性贸易壁垒o ψt（|x |）x-+ tcto ψt（|x |）。区分φt的关系o ψt（|x |）=|x | w.r.t.t，我们得到tφto ψt（|x |）+tψt（|x |）xψt（|x |）=0。使用上面的公式，一个简单的计算可以得到所有x≥ 0，x塔特o ψt（x）=tψt（x）xψt（x）f（x）- 计算机断层扫描o ψt（x）x- f（x）- tcto ψt（x）。同样，它适用于所有x<0的情况，- 十、技术性贸易壁垒o ψt(-十）=tψt(-十）xψt(-十）f（x）- 计算机断层扫描o ψt(-十）-x+f（x）- tcto ψt(-x） 。关于Skorokhod嵌入和局部时间鲁棒套期保值的一些结果，我们得到了LTF（x）=tψt（|x |）xψt（|x |）f（x）- 计算机断层扫描o ψt（|x |）|x|- sgn（x）f（x）.使用FutureCT可获得预期的结果o ψt（|x |）=eγtoψt（|x |）Z∞|x | f（y）+f(-y） yxψt（y）e-γtoψt（y）dy=-eγtoψt（|x |）Z∞|x|f（y）+f(-y）判定元件-γtoψt（y）。ut5。2伪布朗运动作为一个应用，我们提供了一个新的伪布朗运动的例子。如果（ut）0≤T≤这是一个连续的高斯孔雀，即ut（x）=√2πte-x2t，尽管如此∈ [0，T]和x∈ R、 鉴于下面的引理5.1，它满足假设5.1。然后过程（Bτt）为0≤T≤这是一个伪布朗运动，即一个马尔可夫鞅，其边缘分布和一个非布朗运动的布朗运动相同。引理5.1如果（ut）0≤T≤这是一个连续的高斯孔雀，然后是mapt 7→ ψt（x）在所有x>0时都在减小。为了清楚起见，我们表示Rt（x）：=ut（[x，∞[）在这个证明中，通过部分积分，它适用于所有x≥ 0，ψt（x）=Zxyut（y）Rt（y）dy=ZxlogRt（y）Rt（x）dy.42 Julien Claisse等。进一步，通过变量的变化，我们得到Rt（x）=R（x）√t） 。

总而言之，这足以证明地图t 7→对于所有x>0和0<y<x，R（ty）R（tx）都在增加。通过直接微分，我们可以看到其导数具有相同的设计asxe-txZ∞泰伊-zdz- 耶-泰兹∞txe-zdz=Z∞txyE-zx+tx- E-zy+tydz。需要注意的是，对于所有z>txy、0<y<x和x>0，上述数量是正的，因为zx+tx<zy+ty。ut6结论本论文对Vallois嵌入及其应用相关的几个主题做出了贡献。特别地，我们利用随机控制方法对局部时间期权在一个边际情况下的套期保值问题进行了全面的研究。此外，在边缘分布对称的情况下，我们得到了两个边缘Skorokhod嵌入的一个新解。在适当的假设下，我们计算了相应的单调嵌入函数。未来研究的一个自然方向是放松单调性假设，以嵌入更多的边缘。除此之外，本着亨利·劳尔德·埃雷特等人[12]的精神，迭代随机控制方法来处理多边际鲁棒套期保值问题是有意义的。然而，这个问题并不像人们希望的那么容易处理，我们还没有能够提供一个完整的解决方案。关于Skorokhod嵌入和当地时间43确认的稳健对冲的一些结果Julien Claisse感谢ERC AdvancedGrant 321111 ROFIRM的财务支持。参考文献1。A.V.Skorohod，Issledovaniya po teorii sluchainykh protsesov（Stokhasticheskie differentsallnye uravneniya i predelnye teoremy dlya protsessov Markova）。伊兹达特。基辅。基辅大学，1961年2月。J.Obl\'oj，“skorokhod嵌入问题及其影响”，Probab。《调查》，第一卷，第321-3922004.3页。P.Vallois，“南斯科罗霍德的问题：当地时间的方法”，概率论插页，第十七卷，986卷，数学课堂讲稿。，pp。