关于Skorokhod嵌入和局部时间鲁棒套期保值的一些结果

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英文标题：
《Some Results on Skorokhod Embedding and Robust Hedging with Local Time》
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作者：
Julien Claisse, Gaoyue Guo, Pierre Henry-Labordere
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In this paper, we provide some results on Skorokhod embedding with local time and its applications to the robust hedging problem in finance. First we investigate the robust hedging of options depending on the local time by using the recently introduced stochastic control approach, in order to identify the optimal hedging strategies, as well as the market models that realize the extremal no-arbitrage prices. As a by-product, the optimality of Vallois\' Skorokhod embeddings is recovered. In addition, under appropriate conditions, we derive a new solution to the two-marginal Skorokhod embedding as a generalization of the Vallois solution. It turns out from our analysis that one needs to relax the monotonicity assumption on the embedding functions in order to embed a larger class of marginal distributions. Finally, in a full-marginal setting where the stopping times given by Vallois are well-ordered, we construct a remarkable Markov martingale which provides a new example of fake Brownian motion.
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中文摘要：
在这篇文章中，我们给出了关于局部时间的Skorokhod嵌入的一些结果，以及它在金融稳健套期保值问题中的应用。首先，我们利用最近引入的随机控制方法研究了依赖于当地时间的期权鲁棒套期保值，以确定最优套期保值策略，以及实现极值无套利价格的市场模型。作为副产品，Vallois的Skorokhod嵌入的最优性得到了恢复。此外，在适当的条件下，作为Vallois解的推广，我们得到了两个边缘Skorokhod嵌入的一个新解。我们的分析表明，为了嵌入更大的一类边缘分布，需要放松嵌入函数的单调性假设。最后，在Vallois给出的停止时间是有序的完全边缘环境下，我们构造了一个显著的马尔可夫鞅，它提供了一个伪布朗运动的新例子。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Some_Results_on_Skorokhod_Embedding_and_Robust_Hedging_with_Local_Time.pdf (653.04 KB)

2022-5-9 13:03:18 上传

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关键词：skor 套期保值 Mathematical Applications Quantitative

Noname手稿号（将由编辑插入）关于Skorokod嵌入和局部时间鲁棒套期保值的一些结果Julien Claisse·Guo Gaoyue·Pierrehynry Labord\'ereReceived:date/Accepted:date摘要本文提供了关于Skorokod嵌入局部时间的一些结果及其在金融鲁棒套期保值问题中的应用。首先，我们使用最近引入的随机控制方法研究了依赖于本地时间的期权鲁棒套期保值，通讯作者Julien Claisse，Franceclaisse@cmap.polytechnique.frGaoyue国牛津大学牛津联合大学。gaoyue@gmail.comPierre亨利·劳德·埃雷索奇·埃雷帕里斯，弗朗西佩尔。亨利-labordere@sgcib.com2Julien Claisse等人确定了最优套期保值策略，以及实现极端无套利价格的市场模型。作为副产品，Vallois的Skorokhod嵌入的最优性得到了恢复。此外，在适当的条件下，作为Vallois解的推广，我们得到了两个边缘Skorokhod嵌入的一个新解。我们的分析表明，为了嵌入一类更大的边际分布，我们需要放松嵌入函数的单调性假设。最后，在Vallois给出的停止时间是有序的完全边缘环境中，我们构造了一个显著的马尔可夫鞅，它提供了一个伪布朗运动的新例子。关键词Skorokhod嵌入·无模型定价·稳健对冲·局部时间·伪布朗运动数学主题分类（2010）60G40·60G44·91G20·91G801简介Skorokhod嵌入问题（简称SEP）在于选择惊人的时间，以便将给定的概率在实线上表示为停止的布朗运动的分布。

这个问题最早由Korokhod[1]提出并解决，由此产生了重要的文献，并提供了大量的解决方案。我们建议读者参考Obl\'oj[2]的调查文件，了解已知解决方案的详细描述。其中，Vallois[3]提供的解决方案基于局部时间（零）关于Skorokhod嵌入和布朗运动局部时间3的鲁棒对冲的一些结果。正如Vallois[4]后来证明的那样，它具有使SEP的所有解中的局部时间的任何凸函数的期望最大化的性质。类似地，SEP的许多解满足这样的非最优性质。这一特性在金融领域产生了重要的应用，因为它可以解决我们在下文中描述的所谓稳健套期保值问题。未定权益的经典定价范式包括假设Firsta模型，即风险中性度量，根据无套利框架，远期价格要求为鞅。然后获得任何欧洲衍生品的价格，作为其在该措施下贴现付款的预期。此外，该模型可能需要根据流动期权（如可用于对冲考虑中的奇异衍生工具的看涨期权）的市场价格进行校准。当使用根据相同市场数据校准的不同模型进行评估时，这可能会导致广泛的价格。为了解释模型的不确定性，同时考虑一系列（非主导）市场模型是很自然的。然后，卖方（或买方）的目标是构建一个投资组合，通过在基础资产中动态交易和在一系列普通期权中静态交易，在任何市场情景下超级复制（或子复制）衍生品。

这导致了一个无套利价格区间，其界限由最小超复制和最大子复制价格给出。鲁棒Hedging问题是计算这些界限以及相应的交易策略。4 Julien Claisse等人。我们考虑了古典框架，其中所有欧洲看涨期权的到期日都与奇异衍生工具相同，可用于交易。正如Breeden和Litzenberger[5]所观察到的，到期时基础价格过程的边际分布是由这些看涨期权的市场价格唯一决定的。在这种情况下，鲁棒套期保值问题的经典方法是SEP。这种方法依赖于这样一个事实，即每个连续鞅都可以被视为一个时变布朗运动。因此，对于时变条件下的Payoff不变量，问题可以通过找到SEP的解决方案来表述，该解决方案优化了Payoff给出的标准。这种方法是由霍布森提出的，他在他的开创性论文[6]中考虑了回溯选项的鲁棒性问题。自那时以来，SEP受到了数学金融界的大量关注，随后布朗、霍布森和罗杰斯[7]对障碍期权、考克斯、霍布森和奥布尔奥伊[8]对当地时间期权、考克斯和奥布尔奥伊[9]对双障碍期权以及考克斯和王[10]对方差期权都采用了这种方法。SEP方法的关键步骤之一是从精心选择的路径不等式中猜测最优套期保值策略的形式。最近，Galichon、Henry Labord`ere和Touzi[11]提出了一种研究鲁棒套期保值问题的新方法。它基于鲁棒套期保值问题的对偶表示，可以用随机控制理论来解决。

看来，随机控制方法的显著设计为最优套期保值策略提供了候选方案。关于Skorokhod嵌入和局部时间的鲁棒套期保值的一些结果。一旦假设，对冲不平等性可以独立验证。Henry Labord`erre等人[12]的研究说明了这一点，他们在已知一定数量的保证金时解决了回望期权的稳健套期保值问题。据我们所知，这是第一篇解决多边际问题的论文，除了Brown、Hobson andRogers[13]和Hobson and Neuberger[14]考虑了这两个边际问题。此外，它还导致了多重边际SEP的第一个（非平凡）解决方案，这可以被视为Az’ema Yor解决方案、seeObl’oj和Spoida[15]的推广。在本文中，我们的目的是收集一些关于Skorokhodembedding与当地时间及其应用的新结果。首先，我们关注的是在基础价格过程的本地时间写入的期权的套期保值问题。当考虑到回报取决于货币看涨期权的投资组合价值时，这类衍生工具自然出现在财务中，如果是货币，则持有风险资产的一个单位，否则什么都没有，如It^o-Tanaka公式所示。通过使用随机控制方法，我们首先恢复了Cox、Hobson和Obl\'oj[8]获得的关于旋转超边缘问题的结果，即，我们确定了最佳超边缘策略和无轨道区间的上界。然后，我们得到了鲁棒边缘问题的相应结果。最后一个结果对文献来说是新的。此外，作为Vallois解的推广，我们给出了两个边际SEP的一个新解。

为此，我们必须对我们要嵌入的边缘做出相当有力的假设。然而，值得注意的是，这些假设在一定程度上是必要的，可以在不放松嵌入函数单调性假设的情况下导出解。据我们所知，这是文献中首次出现的多边缘SEP解决方案之一。除了这一结果的纯理论利益外，这也是在两个边际环境下解决稳健套期保值问题的第一步，即投资者可以交易中等到期日的普通期权。最后，当Vallois给出的停止时间是有序的时，我们考虑一个特殊的全边缘设置。本着Madan和Yor[16]的精神，我们通过Vallois嵌入族构造了一个显著的马尔可夫鞅，并计算了它的生成元。特别是，它为蛋糕布朗运动提供了一个新的例子。从金融角度来看，我们的结果描述了校准到完整隐含波动率表面的无套利模型，该模型包含了投资者在任何时候交易到期的普通期权时无套利区间的上限。论文的结构如下。在第2节中，我们简要介绍了奇异导数鲁棒套期保值的框架及其与鞅最优运输问题和SEP的关系。在第3节中，我们使用随机控制方法，为鲁棒套期保值问题提供了无轨道区间界限的显式公式和最优套期保值策略。然后，我们在第4节中介绍了两个边际SEP的新解。我们通过研究一个数值例子来说明这个结果。

最后，在第5节中，我们给出了关于Skorokhod嵌入和局部时间鲁棒套期保值的一些结果，考虑了完全边缘设置，并构造了伪布朗运动的新例子。2稳健套期保值问题的制定2。1建模模型不确定性我们考虑一个由一项风险资产组成的金融市场，该资产可能在任何时候进行评级0≤ T≤ T，其中T表示某种固定的到期日。我们追求稳健的方法，不具体说明潜在价格过程的动态。也就是说，给定一个初始值X∈ R、 我们引入连续路径集Ohm := {ω ∈ C（[0，T]，R）：ω（0）=X}作为具有一致范数kωk的正则空间∞:= sup0≤T≤T |ω（T）|。设X=（Xt）0≤T≤t标准过程和F=（Ft）0≤T≤t自然过滤，即Xt（ω）：=ω（t）和Ft:=σ（Xs，s）≤ t） 。在此设置中，X代表初始值为X的基础价格过程。为了考虑模型的不确定性，我们引入了所有概率测度P的集合P(Ohm, FT）使得X是P-鞅。对鞅测度的限制受到数学金融中经典无套利框架的推动。为了通用性起见，我们不局限于Xt∈ R+但考虑一般情况∈ R.此外，假设所有到期日为T的看涨期权都可用于交易。模型P∈ 如果P满足[XT]，则称其符合市场要求- K） +]=c（K）表示所有K∈ R、 其中c（K）表示T的市场价格8 Julien Claisse等人-带K点的看涨期权。对于这样一个模型，正如Breedenand Litzenberger[5]所观察到的，它遵循的是p（XT>K）=-c（K+）=：u（]K，∞[）。因此，XTI的边际分布由市场价格独特规定。

设Pu为校准市场模型集，即Pu：=nP∈ P:XTP~ uo.显然，Pu6= 当且仅当u以Xor为中心时，ZR|x|du（x）<∞ andZRx du（x）=x.2.2半静态对冲组合我们用所有F的集合表示-可预测的流程和∈ P、 H（P）：=n = (t） 0≤T≤T∈ H:ZT|t|dhXit<∞, P- a、 s.o.动态交易策略由一个过程定义 ∈ H:=∩P∈PH（P），在哪里t与投资者在时间t持有的标的资产的股份数量相关。在自我融资条件下，初始财富的投资组合价值过程由动态交易策略产生 是吉文比吗t:=Y+ZtsdXs，为了所有的t∈ [0，T]，P- a、 s.为所有人P∈ P.二次变量和随机积分都先验地依赖于所考虑的概率测度。然而，在连续统假设下，Nutz[17]认为它们可以被普遍定义。关于Skorokhod嵌入和当地时间9的稳健套期保值的一些结果除了标的证券的动态交易之外，我们假设投资者可以在T-所有罢工的看涨期权。因此，在可积性方面，由Payoff H（XT）定义的欧洲衍生工具（根据标定的Carr-Madan公式，可以通过T-看涨期权静态复制）具有明确的市场价格u（H）：=ZRH（x）du（x）。交易者可能使用的一组香草支付自然具有以下形式L（u）：=nH:R→ R.可测量的s.t.u|H|< ∞o、 一双(, H）∈ H×L（u）被称为半静态对冲策略，并得出自我融资投资组合的最终价值：Y,HT:=YT- u（H）+H（XT），P- a、 美国。

尽管如此，P∈ P、 表明投资者有可能在初始时间以u（H）的价格购买任何带payoff H（XT）的衍生品。2.3稳健套期保值和鞅最优运输假设payoffξ=ξ（X）FT的衍生品是可测量的，我们考虑相应的稳健（半静态）套期保值问题。投资者可以按上一节所述进行交易。然而，我们需要施加进一步的可接受性条件，以排除加倍策略。让Hu（分别为Hu）由所有过程组成 ∈ HWY诱导的投资组合价值过程是a10 Julien Claisse等人-supermartingale（分别为-所有P的子鞅）∈ Pu。然后通过uu（ξ）：=infnY定义稳健的超边缘和次边缘成本：(, H）∈ Hu×L（u）s.t.Y,HT≥ ξ、 P- a、 美国。P∈ Po，Du（ξ）：=supnY:(, H）∈ Hu×L（u）s.t.Y,HT≤ ξ、 P- a、 美国。P∈ 阿宝。以高于Uu（ξ）的价格出售ξ——或者以低于Du（ξ）的价格购买ξ——交易者可以在任何市场情景下建立一个初始成本为负、收益为非负的投资组合，从而产生强大的（独立于模型的）套利机会。通过在P∈ Pu，我们得到了通常的定价——套期保值不等式：Uu（ξ）≥ 晚餐∈PuEP[ξ]=：Pu（ξ）和Du（ξ）≤ infP∈PuEP[ξ]=：Iu（ξ），其中Pu（ξ）和Iu（ξ）是连续时间鞅最优输运问题。它们包括最大化或最小化支付函数定义的标准，以便通过限制为鞅的连续时间过程，将XT处的狄拉克测度传输到给定分布u。最近，Beiglb–ock、Henry Labord`ere和Penkner[18]在离散时间以及Galichon、Henry Labord`ere和Touzi[11]在连续时间中发起了鞅最优运输的研究。

通过与经典最优运输理论的类比，我们期望建立一种Kantorovich对偶，并对原问题和对偶问题的优化器进行描述。对偶公式具有稳健套期保值的自然财务解释，这解释了在鞅最优运输中，Skorokhod嵌入和当地时间11金融社区稳健套期保值的一些数学结果的强烈兴趣。当支付函数在时间变化下不变时，SEP和随机控制方法被证明是推导对偶性和显式计算优化器的有力工具，如本文所示。对于具有更一般支付的对偶结果，我们参考了Dolinsky和Soner[19]、Hou和Obl\'oj[20]以及Guo、Tan和Touzi[21]的最新研究。2.4局部时间上期权的鲁棒套期保值本文重点研究了收益由ξ：=F（LT）和F:R给出的期权的鲁棒套期保值问题+-→ R、 其中L=（Lt）0≤T≤下面，在适当的条件下，我们将展示鲁棒套期保值和鞅最优运输问题的优化器，并进一步证明存在无差异，即Uu（F（LT））=Pu（F（LT））和Du（F（LT））=iu（F（LT））。收益F（LT）可以解释为一种收益，取决于货币买入期权delta到期时的投资组合价值，该delta由AIVE策略对冲，持有一个单位的风险资产，如果在货币中，否则什么都没有，用It^o-Tanaka的公式数学表示：LT=（XT- 十）+-ZT{Xt>X}dXt。鉴于Nutz[17]中随机积分的路径构造，它^o-Tanaka的公式意味着本地时间也可以普遍定义。12 Julien Claisse等。由于局部时间在时间变化下是不变的，鞅最优运输问题可以表述为一个最优停止问题。