不完全违约市场中的博弈期权

因此，（σε，ν）*) 是初始资本额Y的ε-超级对冲。它仍然需要证明Y=u≥ Y、 在定理3.6的证明的第二部分中已经使用了建议3.4，并且不需要A′的连续性。让我们展示一下逆不等式。设ε>0。设（Y′，Z′，K′）为与终点时间σε和终点条件ζσε相关的BSDE的解∨ VY，~n*σε. 现在（VY，ν）*, Z、 K）是与终端时间σε和终端条件VY有关的BSDE的解*σε. 通过对具有默认跳变的BSD Es的先验估计（见[15，命题2.4]），自VY以来*σε≥ ζσε∨ VY，~n*σε- εa.s.，我们推导出vy，ν*= Y≥ Y′- Kεa.s.，其中K是一个仅依赖于T和λ-常数C的常数。根据BSDE的比较定理，Y′T≥ VY，~n*T≥ ξt.我们推导出Y′量(≤ Y+Kε）允许卖方进行超级套期保值，相关的超级套期保值由σε和φ′：=Φ（Z′，K′）给出。通过对u的定义，我们得出u≤ Y′≤ Y+Kε，对于每个ε>0。因此，美国≤ Y.自从美国≥ Y、 我们得到了u=Y.4模型不确定性博弈期权的定价和套期保值我们现在研究模型上的不确定性博弈期权，其中特别包括违约概率的不确定性情况（见下面的例子4.3）。4.1模糊市场模型在本节中，我们需要使用可测选择定理，这要求在适当的概率空间上工作。我们考虑一个Cox过程模型，这是违约模型的一个典型例子。我们研究的正则空间构造如下：OhmWbe定义的维纳空间OhmW:=C（R+），即从R+到R的连续函数ω的集合，ω（0）=0。还记得吗OhmWis是标准k·k的波兰空间∞. 空间OhmWis配备了由坐标过程（Wt）t生成的σ-代数FW≥0（相当于它的borerianσ-代数）。

设pw为（Wt）t≥0是标准的布朗运动。允许OhmΘ：=R，配备有它的Borelianσ-代数FΘ=B（R）和概率PΘ，使得恒等式映射Θ承认参数为1的指数定律。我们考虑产品空间Ohm := OhmW×OhmΘ，这是一个波兰空间。它配备了σ-代数FWFΘ，概率P:=PWPΘ。设G为σ-代数FWFΘ针对P完成。设F=（Ft，t）≥ 0）是关于G和P（在[20，P.3]或[9，IV]的意义上）的过滤。设（°λt）t≥0是一个有界的、积极的、可预测的过程。我们产生以下随机变量，它代表默认时间：θ：=inf{t≥ 0，Zt′λsds≥ Θ}.我们有P（θ>t|F∞) = P（θ>t | Ft）=exp(-Rt¨λsds），对应于所谓的条件（H）（参见例[19]）。我们现在定义默认流程：Nt:=1{θ≤t} ，t≥ 我们用G=（Gt，t）表示≥ 0）由W和N与G和P（在[9，IV-48]的意义上）增加产生的过滤。根据经典结果，由于条件（H）成立，我们证明W是G-布朗运动。此外，由MT定义的过程：=Nt-Zt∧θ′λsds，t≥ 0，a.s.是G-鞅。每个t≥ 0，设λt：=(R)λt{t≤θ}. 因此，过程λ（通常称为θ的G强度）在θ之后消失。设T为给定的终点时间。集合P、S、H、Hλ和Aare的定义与之前相同。设U是R的非空闭子集。设g:[0，T]×Ohm×R×U→ R（t，ω，y，z，k，α）7→g（t，ω，y，z，k，α），是给定的P B（R） B（U）-可测函数。假设g（·，α）关于（y，z，k）是一致λ-容许的，这就满足了不等式（2.8），常数不依赖于α。我们还假设g（·，α）相对于α是连续的，并且supα∈U | g（t，，，0，0，0，α）|∈ H

假设g（t，y，z，k，α）-g（t，y，z，k，α）≥ θy，z，k，kt（k- k） λt，（4.1），其中θy，z，k，kt满足假设2.7的条件，特别是不等式θy，z，k，kt>-1.设U为U值可预测过程的集合。对于每个α∈ U、 为了简化符号，我们引入了由gα（t，ω，y，z，k）定义的映射gα：=g（t，ω，y，z，k，αt（ω））。（4.2）注意这些映射gα，α∈ U、 都是具有相同λ-常数的λ-容许BLE驱动程序。控制α表示模型的模糊度参数。对于每个模糊参数α，对应于一个市场模型Mα，其中财富过程Vα，x，ν与初始财富x和r isky资产状态关联∈ H×Hλ满足-dVα，x，νt=g（t，Vα，x，k t，k tσt，-νt，αt）dt- ηtσtdWt+ηtdMt；Vα，x，~n=x.（4.3）在市场模型Mα中，非线性定价系统由Egα：={Egαt，S，S给出∈[0，T]，T∈ [0，S]}，也称为gα评估。4.2博弈期权的稳健超边际在我们的模糊框架中，卖方博弈期权的稳健价格由uis表示，定义为初始财富的上限，使卖方能够对任何模糊参数α进行超边际∈ 美国定义4.1。对于最初的财富x∈ R、 对抗博弈选择的强大超级对冲是一对停止时间σ（σ，ν）∈ T和投资组合策略∈ H×Hλ使得vα，x，φt≥ ξt，0≤ T≤ σa.s.和Vα，x，σ≥ ζσa.s，α ∈ U.（4.4）我们用Sr（x）表示与初始财富x相关的所有稳健超级对冲的集合。卖方稳健的价格定义为asu:=inf{x∈ R(σ, φ) ∈ Sr（x）}。（4.5）当达到上限时，uis称之为r obust Superwedgeting price。让α∈ 根据定理3.11，市场Mα中博弈期权的卖方价格被刻画为其gα值。此外，它等于Yα，其中（Yα，Zα，Kα，Aα，A′α）是与驱动器gα、势垒ξ和ζ相关的DRBSDE A在S×H×Hλ×A×ao中的唯一解。

现在我们介绍一个相关的对偶问题。定义4.2。与卖方超级套期保值问题相关的对偶问题是v:=supα∈UYα。（4.6）根据定理3.11，市场Mα中博弈期权的卖方价格Yα等于与驱动因素gα相关的广义Dynkin博弈的公共值函数，即Yα=infσ∈Tsupτ∈TEgα0，τ∧σ[I（τ，σ）]=supτ∈Tinfσ∈TEgα0，τ∧σ[I（τ，σ）]。因此，对偶问题的值函数VO等于混合广义Dynkin对策的值函数，即isv=supα∈UYα=supα∈Uinfσ∈Tsupτ∈TEgα0，τ∧σ[I（τ，σ）]=supα∈Usupτ∈Tinfσ∈TEgα0，τ∧σ[I（τ，σ）]。（4.7）备注4.3。下面我们将看到（见命题4.8），vis也等于：infσ∈Tsupα∈Usupτ∈TEgα0，τ∧σ[I（τ，σ）]。条件（4.4）相当于Vα，x，~nt∧σ≥ I（t，σ），0≤ T≤ T a.s.for allα∈ U.备注3.2也适用于卖方强劲的价格，即U≤ ζ. 此外，当g（t，0，0，0）=0和ζ≥ 0，那么u=inf{x≥ 0, (σ, φ) ∈ Sr（x）}。为了证明u=v，我们将首先证明vc可以分解为双反射BSDE的解。现在，通过定义，我们得到了v=supαYα，其中Yα是与势垒ξ和ζ相关的双反射BSDE的解，以及与驱动器g（·αt）相关的解。我们将展示vcoincides与与样本载体ξ和ζ相关的双反射BSDE溶液，以及与dr-iver supαg（·α）相关的溶液。更准确地说，假设G是由G（t，ω，y，z，k）：=supα为每个（t，ω，z，k）定义的映射∈Ug（t，ω，y，z，k，α）。（4.8）引理4.4。图G是λ-容许驱动，满足假设2.7。证据由于U是波兰空间的一个闭子集，因此存在U的一个可数子集D，在U中稠密。由于g相对于U是连续的，所以（4.8）中的上确界可以取为inD。因此g是P B（R）- 可测量的让我们证明G满足假设（2.7）。

通过定义G（t，y，z，k）和假设（4.1），我们得到了所有α∈ U:G（t，y，z，k）- g（t，y，z，k，α）≥ g（t，y，z，k，α）-g（t，y，z，k，α）≥ θy，z，k，kt（k- k） λt.取α的上限∈ 在这个不等式中，利用G（t，y，z，k）的定义，我们推导出G（t，y，z，k）-G（t，y，z，k）≥ θy，z，k，kt（k-k） λt，给出所需的结果。条件证明（2.8）依赖于类似的论点，并留给读者。因此，Gis是λ-容许的驱动程序。现在，我们证明了对偶函数vis被描述为与驱动器G和势垒ξ和ζ相关的双反射BSDE的解。定理4.5。（双值函数v的特征）让vbe定义为（4.6）。这里v=Y，w（Y，Z，K，A，A′）是与驱动器G和势垒ξ和dζ相关的DRBSDE的解。如果U是紧的，则存在‘α∈ v=Y′α，这意味着双值函数vis等于市场模型M′α中博弈期权的g′α值。证据通过定义G（见（4.8）），对于每个（t，ω，y，z，k）∈ [0，T]×Ohm x R×U，我们有g（t，ω，y，z，k）≥ g（t，ω，y，z，k，αt（ω））。根据DRBSDE的比较定理（参见[14]中的定理5.1），我们得到了Y≥ 每个α的Yαa.s∈ U.因此Y≥ supαYα。设ε>0。通过将G定义为上确界，对于每个（t，ω，y，z，l）∈ Ohm ×[0，T]×R×R，存在αε∈ 使得G（t，ω，y，z，k）- ε ≤ g（t，ω，y，z，k，αε）。现在，集合{（t，ω，α）∈ [0，T]×Ohm×U:G（t，ω，Yt）-（ω） ，Zt（ω），Kt（ω））-ε ≤ g（t，ω，Yt）-（ω） ，Zt（ω），Kt（ω），α）}属于P B（U）。因此，由于正则空间Ohm 是一个波兰空间，通过应用可测量选择定理（参见[9]第81节，附录Ch。

三] 和[5，L，1.2]（或[13，引理26]），存在一个U值可预测过程（αεt），例如g（t，Yt，Zt，Kt）- ε ≤ g（t，ω，Yt，Zt，Kt，αεt），0≤ T≤ T、 dt数据处理- a、 s.通过使用带有默认跳跃的DRBSDE上的估计值（6.1），η=c，β=3C+2C，我们得出存在常数K≥ 0，这只取决于C和T，因此，对于每个ε>0，Y- Kε≤ Yαε。自从≥ supαYα，因此我们得到Y=supαYα=v。让我们展示第二个断言。如果U是紧的，对于每个（t，ω，y，z，l）∈ [0，T]×Ohm×R×Lλ，存在‘α∈ U使得（4.8）中的最高值在α处达到。根据[9]和[5，引理1.2]的可测选择定理，存在一个U值可预测过程（\'αt），使得g（t，Yt，Zt，Kt）=g（t，Yt，Zt，Kt，\'αt），0≤ T≤ T、 dt数据处理- a、 因此，Y和Y′α都是与驾驶员g′α相关的DRBSDE的解决方案。因此，根据DRBSDE解的唯一性，Y=Y′α。利用这个结果，我们现在提供以下定理：定理4.6。（卖方强劲的价格和超级对冲）支持ζ沿停止时间保持较低的半连续性（且ξ仅为RCLL）。由（4.5）定义的博弈选项d的卖方稳健价格等于由（4.6）定义的双值函数VD，即isu=v。让（Y，Z，K，A，A′）为与由（4.8）定义的驱动程序G以及障碍ζ和ζ相关的DRBSDE的解。卖方的稳健市盈率等于Y，即i su=Y。此外，（4.6）中的最大值是一个t。因此，稳健卖方价格就是博弈期权的稳健超边际价格。让σ*:= inf{t≥ 0，Yt=ζt}和*:= Φ（Z，K）。空气（σ）*, φ*) 是初始资本u的强大超级对冲。如果u是紧凑的，则存在“α”∈ U使得博弈期权的稳健超边际价格等于市场模式l M′α下的超边际价格，即U=Y′α。

歧义参数α对应于所有可能的歧义参数α中的最坏情况∈ 美国证据。根据定理4.5，v=Y。设Hr为允许卖方超h边的初始大写字母集，即Hr={x∈ R:(σ, φ) ∈ Sr（x）}。注意，u=inf Hr。让我们展示一下≥ u、 证明存在（σ）是足够的*, φ*) ∈ Sr（Y）。根据提案3.5，自-ζ为左-u.s.c.沿停止时间，过程A′是连续的。σ的定义*, 过程A′在[0，σ]上是常数*[a.s.甚至[0，σ]*] 通过连续性。因此，A′σ*= A′=0a.s.因此我们有Y=Y-ZtG（s，Ys，Zs，Ks）ds+ZtZsdWs+ZtKsdMs- 在，0≤ T≤ σ*a、 让我们来看看∈ U.在市场模型Mα中，财富过程Vα，Y，~n*.与初始资本和财务战略有关*:= Φ（Z，K）满足α，Y，φ*t=Y-Ztg（s，Vα，Y，~n）*s、 Zs，Ks，αs）ds+ZtZsdWs+ZtKsdMs。通过定义G（见（4.8）），我们得到-g（t，ω，y，z，k，αt（ω））≥ -G（t，ω，y，z，k）。因此，由于A是一个非递减过程，通过将确定性微分方程（见引理6.2）的比较性质应用于上述两个正向方程，我们得出vα，Y，ν*T≥ Yt≥ ξt，0≤ T≤ σ*a、 在美国，最后一个不等式来自于不等式Y≥ ξ.此外，我们有Vα，Y，ν*σ*≥ Yσ*= ζσ*a、 这适用于任何α∈ U.因此（σ）*, φ*) ∈Sr（Y），这意味着Y∈ 人力资源部。因此，Y≥ u、 现在让我们展示一下≥ Y.让x∈ 人力资源部。存在（σ，ν）∈ Sr（x），即一对（σ，φ）停止时间σ∈ T和p组合策略∈ H×Hλ使得对于每个α∈ U、 我们有Vα，x，νt∧σ≥ I（t，σ），0≤ T≤ T.a.s。

通过与定理3.6中相同的论证，我们推导出每个α∈ U、 x≥ infσ∈Tsupτ∈TEgα0，τ∧σ[I（τ，σ）]。通过取α的上确界∈ 在这个不等式中，我们得到了≥ supα∈Uinfσ∈Tsupτ∈TEgα0，τ∧σ[I（τ，σ）]=v，其中最后一个等式来自于vis等于混合一般l I zed Dynkin博弈（4.7）的值函数这一事实。通过取x的内模∈ 我们得到了≥ v=Y。从Y开始≥ u、 因此我们得到Y=u，因为（σ*, φ*) ∈ Sr（Y），我们推导出（σ）*, φ*) ∈ 高级（u）。定理的最后一个断言来自定理4.5。当ζ仅为RCLL时，通过使用与上述证明和定理3.11证明中使用的类似参数，可以显示以下结果。定理4.7。[卖方稳健价格和ε-超级对冲]假设过程sζ和ξ仅为RCLL。卖方博弈期权的稳健价格等于双值函数，即u=v。我们也有u=Y，其中（Y，Z，K，A，A′）是DRB的解，由（4.8）和障碍ξ和ζ定义。此外，不一定能达到（4.6）中的上限。对于每个ε>0，设σε：=inf{t≥ 0:Yt≥ ζt-ε}. 这对（σε，ν）*), 在哪里*:= Φ（Z，K）是卖方的ε-稳健超套期保值，单位为vα，u，ν*T≥ ξt，0≤ T≤ σεa.s.和Vα，u，~n*σε≥ ζσε- εa.s。α ∈ U.我们现在将证明，σ上的内确界和α上确界可以在双值函数v的表达式中互换（见（4.7）），因为U=v，可以写成如下。提案4.8。卖方博弈期权的稳健价格Uo满足：u=supα∈Uinfσ∈Tsupτ∈TEgα0，τ∧σ[I（τ，σ）]=infσ∈Tsupα∈Usupτ∈TEgα0，τ∧σ[I（τ，σ）]。（4.9）证据。（4.9）中的第一个等式符合上述定理。让我们证明第二个。根据上述定理，我们得到了u=Y，其中（Y，Z，K，A，A′）是由（4.8）和势垒ξ和ζ定义的驱动器G的解。

因此，为了得到预期的结果，有必要证明y=infσ∈Tsupα∈Usupτ∈TEgα0，τ∧σ[I（τ，σ）]。（4.10）根据定义（4.8），G=supα∈Ug（·，α），通过使用与定理4.5（尤其是可测选择定理）证明中使用的类似参数，可以证明与驱动程序G和终端条件I（τ，σ）相关的BSDE的解等于与驱动程序G（·，α）相关的BSDE解的上确界，以及相同的终端条件isEG0，τ∧σ[I（τ，σ）]=supα∈UEgα0，τ∧σ[I（τ，σ）]。（4.11）另一方面，将3.4的命题应用于与驾驶员G相关的基因化Dynkin博弈，我们得到了等式y=infσ∈Tsupτ∈TEG0，τ∧σ[I（τ，σ）]。（4.12）结合（4.11）和（4.12），我们得到了期望的等式（4.10）。4.3应用于默认概率的模糊情况我们考虑一系列由α参数化的先验概率测度∈ 更准确地说，对于每个α∈ U、 设Qα是与P等价的概率测度，它允许Zαt相对于P的密度，其中（Zαt）是以下SD E的解：dZαt=Zαtν（t，αt）dMt；Zα=1，其中ν：（ω，t，α）7→ ν（t，ω，α）是有界的P B（U）-定义在Ohm ×[0，T]×U，带ν（T，α）>C>-1.利用Gir-sanov定理，我们导出了在Qα下，W是G-布朗运动，Mαt:=Nt-Rtλs（1+ν（s，αs））ds是G-鞅。因此，在Qα下，G-缺省强度等于λt（1+ν（t，αt））。过程ν（t，αt）表示默认强度的不确定性。每个α∈ U、 对应一个和先验概率测度Qα相关的市场模型Mα。

在市场Mα中，与初始财富x和r isky资产状态有关的财富过程的动力学Vα，x，~n∈ H×Hλ应该满足- dVα，x，νt=f（t，Vα，x，k t，а′tσt，-νt，αt）dt- ~n′tσtdWt+~ntdMαt；Vα，x，ν=x，（4.13），其中f：（t，ω，y，z，k，α）7→ f（t，ω，y，z，k，α）是关于（y，z，k）的一致λ-容许映射，满足（4.1）θt，y，z，k，k>(-1.- C）∨ (-1） andsupα∈U | f（t，，，0，0，0，α）|∈ Hp，对于某些p>2。例如，在完美市场的情况下，f可以如（2.12）中所示，或者在市场缺陷的例子2.11中给出s，系数可能取决于α。根据[15，命题A.3]，关于W和Mα，在Qα下有一个G-鞅的鞅表示定理。让ξ∈ Lp（GT），其中p>2。根据[15，命题2.11]，关于P的密度ZαTof Qα属于所有Q的lqf≥ 2.让p′∈]2，p[.应用H¨older不等式，我们推导出等式α（ξp′）<+∞. 同样地，因为通过假设f（t，0，0，0，αt）∈ 我们推导出f（t，0，0，0，αt）∈ Hp′Qα。根据[1 5，推论y A.4]，在以下Qα-BSDE的Sp′Qα×Hp′Qα×Hp′Qα，λ中存在唯一解（Xα，Zα，Kα）：- dXαt=f（t，Xαt，Zαt，Kαt，αt）dt- ZαtdWt- KαtdMαt；XαT=ξ。（4.14）如前一节所述，为了简化符号，每个α∈ U、 我们用fα表示驱动器rfα（t，y，z，k）=f（t，y，z，k，αt）。