不完全违约市场中的博弈期权

事实上，对于每个ω，设置ft:=Rt k t′σtdWs+k tdMs，确定性函数（VY，k t（ω））被定义为以下确定性微分方程的唯一解：Vx，k t（ω）=x-Ztg（ω，s，Vx，νs（ω），νs′σs（ω），-νs（ω））ds+ft（ω），0≤ T≤ T.（2.10）注意，同等地，设置Zt=int′σ和Kt=-ηt，Wealt h过程的动力学（2.9）可以写成如下：- dVt=g（t，Vt，Zt，Kt）dt- ZtdWt- KtdMt。（2.11）在下文中，我们的不完美市场模型用Mg表示。注意，在完美市场的情况下（见（2.3）），我们有：g（t，y，z，k）=-蒂蒂- θtz- θtkλt，（2.12）是假设2.2.2.2中的λ-容许驱动因素非线性定价系统在不完美市场中对欧式期权进行定价和套期保值会导致具有非线性驱动因素g和违约跳跃的BSDE。根据[15，命题2.6]，我们得到了命题2.6。设g是λ-容许的驱动，设ξ∈ L（GT）。在以下g BSDE的S×H×Hλ中存在唯一解（X（T，ξ），Z（T，ξ），K（T，ξ））（用（X，Z，K）表示）：- dXt=g（t，Xt，Zt，Kt）dt- ZtdWt- KtdMt；XT=ξ。（2.13）让我们考虑一个到期日为T且最终支付为ξ的欧式期权∈ L（GT）在这个市场模型中。设（X，Z，K）为BSDE（2.13）的解。过程X等于与初始值X=X，策略φ=Φ（Z，K）（其中Φ在定义2.3中定义）相关的财富过程，即X=VX，φ。因此，其初始值X=X（T，ξ）是卖方索赔ξ的合理价格（在时间0），因为该金额允许卖方制定交易策略∈ H×Hλ，称为对冲策略（针对卖方），使得相关投资组合的价值在时间T时等于ξ。此外，通过BSD E（2.13）解的唯一性，唯一价格（时间0）满足了这种享乐特性。类似地，Xt=Xt（T，ξ）满足时间T的一个类似性质，被称为时间T的套期保值价格。

这导致了一个非线性定价系统，首先由ElKaroui Quenez（[17]）在Br ownian fr amework（在[24]中称为g-评估）中引入，并用例如表示每个∈ [0，T]，每ξ∈ L（GS）相关的g-评估由egt，S（ξ）：=Xt（S，ξ）定义∈ [0，S]。为了确保无线性定价系统的（严格）单调性和无套利性，我们做出以下假设（见[15，第3.3节]）。假设2.7。假设存在一个有界映射γ：[0，T]×Ohm ×R→ R（ω，t，y，z，k，k）7→ γy，z，k，kt（ω）P B（R）-可测量且满足dP dt-a.s.，对于每个（y，z，k，k）∈ R、 g（t，y，z，k）- g（t，y，z，k）≥ γy，z，k，kt（k- k） λt，（2.14）和P-a.s.，对于每个（y，z，k，k）∈ R、 γy，z，k，kt>-1.当g（t，·）相对于k不递减时，或者如果g是带有千克（吨，·）>-λt{t≤ θ}. 在完美市场的特殊情况下，g由（2.12）给出，这意味着千克（吨）-θtλt。在这种情况下，假设2.7相当于θt<1，这与文献中关于违约风险的通常假设（2.6）相对应。备注2.8。假设g（t，0，0，0）=0 dP dt-a。s那么，一个支付为空的期权的价格等于0，也就是说，对于每一个S∈ [0，T]，例如·，S（0）=0a.S。此外，通过比较BSDEs带故障跳跃的定理（见[15，定理2.17]），可以得出非线性定价系统是非负的，即对于每个∈ [0，T]，对于所有ξ∈ L（GS），如果ξ≥ 0 a.s.，然后Eg·，s（ξ）≥ 0 a.s.定义2.9。让我来∈ 如果Eσ，τ（Yτ），则过程（Yt）称为强E-超鞅（分别为鞅）≤ Yσ（resp.=Yσ）a.s.oσ≤ τ，对于所有σ，τ∈ T.提案2.10。对于每个人来说∈ [0，T]和每ξ∈ L（GS），关联价格（或估值）Egt，S（ξ）是一个Eg鞅。

更爱，每x∈ R和eac h投资组合策略∈ H×Hλ，相关的财富过程Vx，是一个Eg鞅。证据根据BSDE的流动性质，带驱动g的BSDE的解是EG鞅。第一个断言如下。第二个是通过注意到Vx，~n是BSDE的解决方案，带有驱动器g、终端时间T和终端条件Vx，~nT。示例2.11（市场缺陷示例）。o不同的借款和贷款利率rt和rt，以及rt≥ rt：驱动力是形式（t，Vt，ν′tσt，-νt）=-rtVt- ut（ut）- （右）- ut（ut）- rt）+（rt- Vt）Vt- ~nt- ~nt）-,其中θtvanishes在θ和之后（见例[7]）大型投资者卖方：假设期权卖方是一名大型交易员，其套期保值策略及其相关成本可能会影响市场价格（参见[6,2]）。考虑到市场模型中可能存在的反馈效应，largetrader卖家可能会假设系数的形式为σt（ω）=σ（ω，t，Vt，νt），其中σ：Ohm ×[0，T]×R；（ω，t，x，z，k）7→ \'σ（ω，t，x，z，k）是P B（R）-可测量emap，类似地，对于其他系数R，u，u。因此，d河的形式为：g（t，Vt，ν′t′σt（t，Vt，νt），-νt）=-\'r（t，Vt，~nt）Vt-ut（ut）-\'rt）（t，Vt，~nt）-ut（ut）-“rt”（t，Vt，аt）。这里，映射ψ：（ω，t，y，ν）7→ （z，k），其中z=ν′σt（ω，t，y，ν）和k=-ψ被假定为与ψ相关的一对一，并且其在ψ中-1是P B（R）可测量风险投资收益税：让ρ∈ ]0,1[代表一个固定的税收系数（见例[16]）。然后，驱动器i由以下公式给出：g（t，Vt，а′tσt，аtβt）=-rtVt- ut（ut）- （右）- ut（ut）- rt）+ρ（ηt+ηt）+3不完全市场管理中博弈期权的定价和套期保值t>0为终点时间。设ζ和ζ在ζT=ξTa的条件下适用于RCLL过程。s、 ξt≤ ζt，0≤ T≤ 一点也不。s

我们假设Mokobodzki的条件是满足的，即存在两个非负的RCLL超部分，分别是H和H′，其中：ξt≤ Ht- H\'t≤ ζt0≤ T≤ T a.s.游戏选项由卖方选择取消时间σ组成∈ T，供买方选择锻炼时间τ∈ T，以便卖方在时间τ向买方付款∧ σ——数量（τ，σ）：=ξττ≤σ+ ζσσ<τ.我们现在介绍卖方的博弈期权价格，用u表示，定义为初始财富范围内的价格，使卖方能够选择取消时间σ，并构建一个投资组合，该投资组合将涵盖其在买方选择的行使时间内向买方支付高达σ的报酬的责任。定义3.1。对于每个初始财富x，一个包含博弈选项的超级对冲基金都是一对（σ，ν）s时间σ∈ 投资组合策略∈ H×Hλ使得vx，νt≥ ξt，0≤ T≤ σa.s.和Vx，σ≥ ζσa.s.（3.1）我们用s（x）=sξ，ζ（x）表示与初始财富x相关的所有超级对冲的集合。我们确定卖方价格asu:=inf{x∈ R(σ, φ) ∈ S（x）}。（3.2）当达到（3.2）中的上限时，该金额允许卖方进行超级对冲，称为超级对冲价格。备注3.2。我们有（0，0）∈ S（ζ）自Vζ起，0=ζ和ζ≥ ξ. 通过（3.2），我们得到了≤ ζ.此外，当g（t，0，0，0）=0 dP dt-a.s.和ζ≥ 0，那么我们可以将我们自己的初始财富限制为非负的，也就是u=inf{x≥ 0, (σ, φ) ∈ S（x）}。事实上，让x∈ Rbe，因此存在（σ，ν）∈ S（x）。然后，Vx，Vx≥ ζσ≥ 现在，根据命题2.10，财富过程Vx，是一个Eg鞅。因此我们有x=Eg0，σ（Vx，σ）。如果定价系统EGI为非负（见备注2.8），则x=Eg0，σ（Vx，σ）≥ 0.我们现在提供卖方价格的双重公式，用非线性定价系统表示，例如，我们引入以下定义：定义3.3。

我们将博弈期权的g值定义为σ∈Tsupτ∈TEg0，τ∧σ[I（τ，σ）]。（3.3）我们的目的是证明卖方的博弈期权价格Uo等于其g值。为此，我们首先给出g值的以下特征。提议3.4。（博弈期权g值的特征）假设支付的ξ和ζ为（仅）RCLL。ga me期权的g值满足：infσ∈Tsupτ∈TEg0，τ∧σ[I（τ，σ）]=supτ∈Tinfσ∈TEg0，τ∧σ[I（τ，σ）]=Y，（3.4）注意，条件（3.1）相当于Vx，洎t∧σ≥ I（t，σ），0≤ T≤ 其中（Y，Z，K，a，a′）是与驱动器g和势垒ξ，ζ相关的双反射BSDE（DRBSDE）在s×H×Hλ×a×ao中的唯一解，即-dYt=g（t，Yt，Zt，Kt）dt+dAt- 达特- ZtdWt- KtdMt；YT=ξT，（3.5）与（i）ξT≤ Yt≤ ζt，0≤ T≤ T a.s.，（ii）dAt⊥ dA′t（即测量数据和dA′tare相互单数）（iii）ZT（Yt）- ξt）dAct=0 a.s.和zt（ζt）- Yt）dA′ct=0 a.s。Adτ=Adτ{Yτ-=ξτ-}和A′dτ=A′dτ{Yτ-=ζτ-}a、 美国。τ ∈ 可预测的。使用[1 4]中介绍的术语，（3.4）中的第一个等式意味着与标准Eg0，τ相关的g广义Dynkin对策∧σ[I（τ，σ）]是公平的。当g是线性的，而t不是默认值时，这对应于一个著名的结果——经典Dynkin对策和线性DRBSDE（参见[8,18]）。证据附录中给出了DRBSDE（3.5）解（Y，Z，K，a，a′）存在唯一性的证明。按照[14，定理4.9]在随机泊松测度框架中给出的证明，我们可以证明∈ T，YS=ess-infσ∈TSess supτ∈TSEgS，τ∧σ[I（τ，σ）]=ess supτ∈tsessinfσ∈TSEgS，τ∧σ[I（τ，σ）]a.s.命题的结果，然后取s=0。提案3.5。设（Y，Z，K，A，A′）为DRBSDE（3.5）的唯一解。当ξ（分别为。-ζ） 沿停车时间向左-u.s.c.，则A（分别为A′）是连续的。证据

首先注意，对于每个可预测的停止时间τ，通过（3.5），我们得到(Yτ）+=A′τA.s.和(Yτ）-= 假设现在-ζ沿停车时间向左-u.s.c。设τ为可预测的停止时间。利用平等A′τ=(Yτ）+加上A′满足的korokhod条件，我们得到A′τ=1{Yτ-=ζτ-}（Yτ）- Yτ-)+= 1{Yτ-=ζτ-}（Yτ）- ζτ-)+. （3.6）现在，自从-ζ是左-u.s.c.沿着停止时间，我们有Yτ-ζτ-≤ Yτ-ζτ≤ 0 a.s.，其中最后一个等式从不等式Y开始≤ ζ. 利用（3.6），我们得出A′τ=0a.s.因此A′是连续的。通过类似的论证，我们可以证明，如果ξ沿停止时间向左-u.s.c.，那么A是连续的。利用上述命题，我们现在可以展示卖方价格的dua l公式。我们首先考虑ζ为下半连续（或等效）时的简单情况-ζisleft-u.s.c.）沿停车时间。在这种情况下，我们在下文中证明，卖方的价格等于g-V值，并且达到了（3.2）中的上限。这意味着卖方的价格是超级对冲价格。此外，通过相关DR BSDE的解决方案提供了超级对冲策略。定理3.6（卖方/超级对冲价格和博弈期权的超级对冲）。假设ζ沿停止时间左下半连续（ξ仅为RCLL）。博弈期权的seller\'sprice（3.2）与博弈期权的g值一致，即isu=infσ∈Tsupτ∈TEg0，τ∧σ[I（τ，σ）]=supτ∈Tinfσ∈TEg0，τ∧σ[I（τ，σ）]。（3.7）设（Y，Z，K，A，A′）是与驱动器g和屏障ξ，ζ相关的DRBSDE的解。卖方价格等于Y，即i su=Y。此外，达到了（3.2）中的最大值。

因此，卖方的价格是超级套期保值价格，存在一个超级套期保值策略（σ）*, φ*) 与初始数量u相关，给定σ*:= inf{t≥ 0，Yt=ζt}和*:= Φ（Z，K），（3.8），其中Φ在定义2.3中定义。备注3.7。在完美市场模式l的特殊情况下，我们的结果给出了一个经典Dynkin对策问题的值函数，这在文献[23,18]中给出，在ξ的附加正则性假设下，通过使用实现过程、概率测度的变化和i类calDynkin对策的一些结果。此外，在这种特殊情况下，通过使用线性DRBSDE和经典Dynkin博弈（首先在[8]中提供）之间的链接，在[18]中显示了通过线性双反射BSDE的解对超级套期保值的UAN和UAN的特征。为了解决不完全市场模型的问题，当g是非线性的时，我们需要使用其他参数，特别是非线性g-评估的一些性质，例如，向后SDE和向前微分方程的比较，以及非线性双反射BSDE和广义Dynkin对策之间的联系（首先在[14]中提供）。证据根据命题3.4，博弈期权的g值等于Y。注意，u=inf H，其中H是允许卖方被超分割的初始资本集，即isH={x∈ R:(σ, φ) ∈ S（x）}。让我们展示一下≥ u、 证明存在（σ）是足够的*, φ*) ∈ S（Y）。根据提案3.5，自-ζ为左u.s.c.沿停止时间，过程A′是连续的。让σ*定义如（3.8）所示。我们有一个a.s.，每个t的Yt<ζt∈ [0, σ*[.由于Y是DRBSDE（3.5）的解，因此过程A′在[0，σ]上是常数*[a.s.甚至[0，σ]*] 通过连续性。因此，A′σ*= A′=0 A.s。

对于几乎每一个ω，我们就有Y（ω）=Y-Ztg（s，ω，Ys（ω），Zs（ω），Ks（ω））ds+ft（ω）- 在（ω）处，0≤ T≤ σ*(ω). （3.9）式中ft:=RtZsdWs+RtKsdMs。现在，财富VY，ν*., 与初始资本和财务战略有关*:= Φ（Z，K）满足几乎所有ω的正向确定性微分方程：VY，ν*t（ω）=Y-Ztg（s、VY、~n）*s（ω），Zs（ω），Ks（ω））ds+ft（ω），0≤ T≤ T.（3.10）因为A是非递减的，所以应用[0，σ]上的经典比较结果*（ω） ]（参见引理6.2）以获得两个正微分方程（3.9）和（3.10），具有相同的效率（s，x）7→ -g（s，ω，x，Zs（ω），Ks（ω）），我们得到vy，~n*T≥ Yt≥ ξt，0≤ T≤ σ*a、 在美国，最后一个不等式来自于不等式Y≥ ξ. 我们也有vy，~n*σ*≥ Yσ*= ζσ*a、 在美国，最后一个等式来自于停止时间σ的定义*以及Y和ζ的连续性。因此，（σ）*, φ*) ∈ S（Y），（3.11），这意味着∈ H.由此得到不等式Y≥ u、 它仍在向你展示≥ Y.因为Y=infσ∈Tsupτ∈TEg0，T[I（τ，σ）]（根据命题3.4），它足以证明≥ infσ∈Tsupτ∈TEg0，T[I（τ，σ）]。（3.12）让x∈ H.存在（σ，ν）∈ S（x），即一对（σ，φ）停止时间σ∈ 坦达投资组合策略∈ H×Hλ使得Vx，νt≥ ξt，0≤ T≤ σa.s.和Vx，σ≥ ζσa.s.，这意味着对于所有τ∈ 我们不是有vx吗∧σ≥ I（τ，σ）a.s.取上述不等式中的Eg值，然后取τ的上确界∈ T，利用Eg评估的单调性和财富过程的Eg鞅性质vx，ν（见命题2.10），我们得到x=Eg0，τ∧σ[Vx，ντ∧σ] ≥ Eg0，τ∧σ[I（τ，σ）]，对于每个τ∈ T通过取τ的上确界∈ 当温度超过σ时∈ T，我们得到了≥ infσ∈Tsupτ∈TEg0，τ∧σ[I（τ，σ）]。这个不等式适用于任何x∈ H.以x为界∈ H、 我们得到了它们的内在质量（3.12），这就产生了≥ Y.自从Y≥ u、 我们得到Y=u。

此外，这个等式加上（3.11）意味着（σ*, φ*) ∈ S（u）。因此，证据是完整的。备注3.8。设^σ为停止时间，使a′^σ=0 a.s.和Y^σ=ζ^σa.s.通过上述证明，该对（^σ，^*) 是初始金额u的超级对冲，即（^σ，^）*) ∈ S（u）。例如，在定理3.6的假设下（即，左u.s.c.属性与-ζ） ，停止时间¨σ：=inf{t≥ 0:A′t>0}满足了这两个等式。注意“σ”≥ σ*. 一般来说，平等并不成立。备注3.9。注意，在Theo rem 3.6的假设下，广义Dynkin对策（3.4）不一定存在鞍点。然而，如果我们额外地支持ξ沿停止时间为左u.s.c.，则存在鞍点。更准确地说，在这种情况下，根据[14，定理4.7]，对（τ*, σ*), 带σ*定义在（3.8）和τ中*:= inf{t≥ 0:Yt=ξt}，是广义Dynkin对策（3.4）的鞍点，也就是所有（τ，σ）∈ Twe haveg0，τ∧σ*[I（τ，σ*)] ≤ Y=Eg0，τ*∧σ*[I（τ）*, σ*)] ≤ Eg0，τ*∧σ[I（τ）*, σ） ]，这意味着τ*对于最优停止问题supτ是最优的∈TEg[I（τ，σ）*)].s-ame属性也适用于双（\'τ，\'σ），其中\'τ：=inf{t≥ 0:At>0}。我们现在考虑当ζ仅为RCLL（asξ）时的一般情况。在这种情况下，卖方的价值仍然等于g值，但不一定允许卖方针对期权建立一个单独的对冲。我们介绍ε-supe r-对冲s的定义：定义3.10。对于每个初始财富x和每个ε>0，针对博弈期权的ε-超级对冲是一对（σ，）停止时间σ∈ T和a风险资产战略∈H×Hλ使得vx，νt≥ ξt，0≤ T≤ σa.s。

Vx和Vx≥ ζσ- εa.s.换句话说，通过按照riskyassets策略Ⅸ在市场上投资初始资本金额x，卖方在σ之前完全对冲，在取消时间σ时，对冲金额高达ε。下面我们证明，当ζ和ξ仅为RCLL时，卖方的价格Ui等于G值，并且博弈期权存在ε-超套期保值。定理3.11（卖方价格和ε-博弈期权的超级对冲）。假设过程ssζ和ξ仅为RCLL。博弈期权的卖方价格（3.2）与game期权的g值一致，即isu=infσ∈Tsupτ∈TEg0，τ∧σ[I（τ，σ）]=supτ∈Tinfσ∈TEg0，τ∧σ[I（τ，σ）]。设（Y，Z，K，A，A′）为与驱动rg和势垒ξ，ζ相关的DRBSDE的解。卖方价格等于Y，即i su=Y。（3.13）不一定能达到（3.2）中的最大值。让我们*:= Φ（Z，K）对于每个ε>0，设σε：=inf{t≥ 0:Yt≥ ζt- ε}. （3.14）一对（σε，ν）*) 是一个ε-super-h边，用于首字母u的证明。根据命题3.4，g值等于Y。设ε>0。我们有Y。≤ ζ.-ε在[0，σε[。由于A\'满足斯科罗霍德条件（iii），因此几乎可以肯定，A\'是康斯坦顿[0，σε[。同样，Y（σε）-≤ ζ(τε)-- εa.s.，这意味着A′σε=0a.s.因此，A′σε=0a。s、 因此，对于几乎每个ω，确定性函数Y.（ω）是[0，σε（ω）]上正向确定性微分方程（3.9）的解。现在，对于一个lmo st，每ω，财富VY，ν*.（ω） 是确定性微分方程（3.10）的解。通过将经典比较结果应用于微分方程（引理6.2），我们推导出VY，~n*T≥ Yt≥ ξt，0≤ T≤ σa.s.此外，我们还有VY，ν*σε≥ Yσε≥ ζσε- ε、 其中，最后一个不等式来自于停止时间σε和Yan和ζ的右连续性的定义。