不完全违约市场中的博弈期权

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英文标题：
《Game options in an imperfect market with default》
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作者：
Roxana Dumitrescu, Marie-Claire Quenez and Agn\\`es Sulem
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We study pricing and superhedging strategies for game options in an imperfect market with default. We extend the results obtained by Kifer in \\cite{Kifer} in the case of a perfect market model to the case of an imperfect market with default, when the imperfections are taken into account via the nonlinearity of the wealth dynamics. We introduce the {\\em seller\'s price} of the game option as the infimum of the initial wealths which allow the seller to be superhedged. We {prove} that this price coincides with the value function of an associated {\\em generalized} Dynkin game, recently introduced in \\cite{DQS2}, expressed with a nonlinear expectation induced by a nonlinear BSDE with default jump. We moreover study the existence of superhedging strategies.   We then address the case of ambiguity on the model, - for example ambiguity on the default probability - and characterize the robust seller\'s price of a game option as the value function of a {\\em mixed generalized} Dynkin game.   We study the existence of a cancellation time and a trading strategy which allow the seller to be super-hedged, whatever the model is.
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中文摘要：
我们研究了不完全违约市场中博弈期权的定价和超边际策略。我们将Kifer在完美市场模型中得到的结果推广到了不完美市场违约的情况，通过财富动态的非线性考虑了不完美。我们引入博弈期权的{\\em seller\'s price}作为初始财富的下确界，允许卖方获得超优势。我们{证明}该价格与最近在{DQS2}中引入的关联{em广义}Dynkin对策的值函数一致，该对策用一个非线性带违约跳跃的BSDE诱导的非线性期望表示。此外，我们还研究了超边缘策略的存在性。然后，我们讨论了模型上的模糊情况，例如违约概率上的模糊性，并将博弈期权的鲁棒卖方价格刻画为{em混合广义}Dynkin博弈的价值函数。我们研究了一个取消时间和一个允许卖方进行超级套期保值的交易策略的存在性，无论模型是什么。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
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关键词：Mathematical Game Options Differential cancellation Applications

违约Roxana Dumitr escu的不完美市场中的博弈选择*Marie Claire Quenez+Agn`es Sulem2018年8月6日摘要我们研究了在违约的不完善市场中，博弈期权的定价和超边际策略。我们将Kifer在[23]中在完美市场模型的情况下得到的结果推广到存在违约的不完美市场的情况，通过财富动态的非线性考虑了这些影响。我们将卖方的游戏期权价格作为初始财富的上限，允许卖方进行超级对冲。我们证明了这个价格与最近在[14]中引入的关联广义Dynkin对策的值函数一致，该对策由具有违约跳跃的非线性BSDE引起的非线性期望表示。此外，我们还研究了超边缘策略的存在性。然后，我们讨论了模型上的模糊情况，例如违约概率上的模糊性，并将博弈期权的鲁棒卖方价格描述为非混合广义Dynkin博弈的价值函数。我们研究了取消时间和交易策略的存在性，无论模型是什么，它都允许卖方进行超级套期保值。关键词：博弈期权，不完全市场，广义Dynkin博弈，非线性预测，倒向随机微分方程，非线性定价，超混合价格，双反射倒向随机微分方程。1 Kifer（2000）[23]引入的Int r Production Game options是一种衍生合同，双方可在到期日之前随时终止。更准确地说，一个游戏选项允许卖方取消它，买方在任何小于T的停止时间行使它。

如果买方在卖方取消前的时间τ行使，则*英国伦敦国王学院数学系，电子邮件：roxana。dumitrescu@kcl.ac.uk+LPMA，巴黎大学7号丹尼斯·狄德罗，博伊特快递7012，75251巴黎ce dex 05，法国，电子邮件：quenez@math.univ-巴黎狄德罗。fr法国巴黎塞德克斯12号西蒙尼大道3号巴黎因里亚，邮编：CS4211275589，电子邮件：agnes。sulem@inria.frThe作者感谢一位匿名评论员的富有洞察力的评论，这些评论导致了论文的显著改进。卖方向买方支付金额ξτ，但如果卖方在买方行使之前取消，则卖方支付金额ζσ≥ ξτ在取消时支付给买方σ。不同之处在于：-违约金被解释为卖方因解除合同而向买方支付的违约金。简言之，如果买方选择一个行使时间τa，卖方选择一个取消时间σ，则后者向前者支付付款ξτ≤σ+ζστ>τ时的σ∧ σ.在经典完美市场的情况下，基弗引入了游戏期权的“公平价格”，定义为卖方在取消时间之前支付给买方的债务所需的最低初始财富，无论买方选择什么行使时间。他在CCR离散时间模型和Black and Scholes模型中都表明，该价格等于以下Dynkin博弈的价值函数：supτinfσEQ[)ξττ≤σ+~ζστ>σ]=infσsupτEQ[~ζττ]≤σ+ζστ>σ]，（1.1）式中，其中ζtandζ皮重是ξtandζt的贴现值，等于e-rtξ和e-rtζt分别在Black和Scholes模型中，其中r是瞬时利率。这里，EQdenotes在市场模型的唯一鞅概率测度Q下的期望。

关于博弈期权定价和更复杂的博弈类型金融合同的进一步研究，包括Dolinsky和Kifer（20 07）[12]和Dolinsky和al.（2011）[11]在离散时间案例中的论文，以及Hamad`ene（2006）[18]在连续时间完美市场模型中的论文，该模型具有连续支付ζ和ζ。我们还提到了Bielecki和al.（2009）[3]的论文，该论文研究了违约市场模型中的博弈期权定价。注意，在[22]中，卡尔森和库恩（2004）研究了完全市场中的博弈选择。他们考虑另一种定价方式，称为效用最大化中性估值。本文的目的是研究在市场模型存在缺陷的情况下，博弈期权的定价和套期保值问题，该模型考虑了Wealt h动力学的非线性，通过非线性驱动g建模。此外，我们还考虑了违约的可能性。一大类不完善的市场模型可以适用于我们的框架，比如不同的借贷利率，或者对风险投资的收益征税。我们的模型还包括期权卖方是“大交易者”的情况，其选择策略可能会影响市场价格和违约概率。在这里，我们假设与g ame选项相关的支付ξ和ζ仅为右连续左有限（RCLL），并且它们满足Mokobodzki条件。我们称之为卖方的博弈期权价格，即初始财富的上限（用u表示），即存在一个取消时间σ和一个组合策略，如果买方在任何时间τ行权，卖方可以向买方支付ξτ（时间τ）≤ σ、 和ζσ（时间σ），如果买方在时间σ仍未行使。请注意，不一定能达到这个上限。

我们将博弈期权的卖方价格描述为相应的广义Dynkin博弈（最近在[14]中引入）的（公共）值。更精确地说，我们证明了u=supτinfσEg[ξτττ≤σ+ζστ>σ]=infσsupτEg[ξττ≤σ+ζστ>σ]，（1.2），其中Egi是一个非线性预期/估值，由一个非线性BSDE引起，在原始概率测度P和驱动因素g下求解。注意，在完美市场的特定情况下，驱动因素g是线性的，可以通过使用一个实际化过程和（1.2）对应于（1.1）的概率测度变化来显示。我们证明了，在ζ（而不是ξ）上的一个额外的左正则性假设下，存在一个取消时间和一个允许卖方进行超级套期保值的交易策略。在这种情况下，卖方的价格定义达到了上限。当ζ仅为YRCLL时，不一定能达到最大值。然而，我们证明，对于每一个ε>0，t heamount ua允许卖方被超套期保值到ε，直到一个精心选择的取消时间。这些结果的证明依赖于一般的Dynkin对策和具有默认跳跃的非线性双反射BSDE之间的联系。我们研究的第二个主要问题是（不完美）市场模型不确定性情况下博弈期权的定价和超边际问题。据我们所知，除了Dolinsky（2014）在[10]中在离散时间框架下对这个问题进行了研究外，文献中没有对这个问题进行过研究。特别是，我们的模型可以考虑违约概率的模糊性，如第4.3节所示。我们证明了在不确定条件下，鲁棒卖方的博弈期权价格，定义为初始资产的上限，允许卖方被超边缘化，无论模型是什么，都与混合广义动态博弈的价值函数一致。

我们还研究了稳健性策略的存在性。本文的结构如下：在第二节中，我们介绍了我们的带有违约和非线性财富动态的不完全市场模型。在第三节中，我们研究了博弈期权的定价和超边际，以及它们与广义D ynk i博弈的联系。在第4节中，我们讨论了模型模糊的不完美市场的情况。第5节提供了一些关于买方观点和股息案例的补充结果。附录中给出了带默认跳变的双反射BSDE的一些结果和一个有用的分析引理。2.违约的不完美市场模型2。1带defaultLet的市场模型(Ohm, G、 P）是一个具有两个随机过程的完全概率空间：一维标准布朗运动W和由Nt=1θ定义的跳跃过程N≤t对于任何t∈ [0，T]，其中θ是一个随机变量，用于模拟默认时间。我们假设这个默认值可以在P（θ）的任何时间出现≥ t） 任何t都大于0≥ 我们用byG={Gt，t表示≥ 0}由W和N生成的增强过滤（在[9，IV-48]的意义上）。我们假设W是G-布朗运动。我们用P表示G-可预测σ-代数。设（λt）为非减量过程（Nt）的可预测补偿器。注意（t）∧θ）则是（Nt）的可预测补偿器∧θ）=（Nt）。通过可预测补偿器∧t的唯一性∧θ=∧t，t≥ 我们假设t∧是绝对连续的。r、 因此存在一个非负过程λ，称为强度过程，使得∧t=Rtλsds，t≥ 0.自∧t∧θ=∧t，λ随θ消失。我们用M表示补偿鞅，它满足t=Nt-Ztλsds。让T>0为有限的地平线。

我们介绍了以下几组：oSis是一组G适应的RCLL过程，使得E[sup0≤T≤T|||T]+∞.o Ais是A=0且E（AT）<∞.o 他给出了一组G-可预测过程Z，使得kZk:=EhRT | Zt | dti<∞.o Hλ：=L(Ohm×[0，T]，P，λtdt），配备标量积hU，viλ：=EhRTUtVtλtdti，用于Hλ中的所有U，V。每一个U∈ Hλ，我们设置kUkλ：=EhRT | Ut |λtdti<∞.请注意，对于每个U∈ Hλ，我们有kUkλ=EhRT∧θUt |λtdtib因为G-强度λ在θ之后消失。此外，我们可以假设，对于Hλ=L中的每个U(Ohm×[0，T]，P，λtdt），U（或其在L中的代表物）(Ohm ×[0，T]，P，λtdt）仍然由U）表示，在θ之后消失。此外，T表示停止时间τ的集合，使得τ∈ [0，T]a.s.对于每个s inT，Ts是停止时间τ的集合，使得s≤ τ ≤ 我们还记得鞅表示定理（见[19]）：引理2.1。任意G-loca l鞅m=（mt）0≤T≤作为代表MT=m+ZtzsdWs+ZtlsdMs，T∈ [0，T]a.s.（2.1），其中z=（zt）0≤T≤Tand l=（lt）0≤T≤皮重是可预测的，因此上述两个stoc h散光整数是明确的。如果m是平方可积鞅，那么z∈ 手l∈ Hλ。我们现在考虑三种资产的金融市场，其价格过程S=（S，S，S）’由以下等式控制：dSt=STRTDTDDST=St[utdt+σtdWt]dSt=St-[utdt+σtdWt- dMt]。进程S=（St）0≤T≤t与无风险资产的价格相关，利率r t e过程r=（rt）0≤T≤T、 S=（St）0≤T≤Tto为不可违约风险资产，S=（St）0≤T≤t完全违约的可违约资产。价格过程在θ之后发生变化。所有过程σ、σ、r、u、u都是可预测的（即P-可测量）。我们设置σ=（σ，σ）′。我们做出以下假设：假设2.2。

系数σ，σ>0，和r，σ，σ，u，u，λ，λ-1,(σ)-1, (σ)-1有界。我们考虑一个投资者，其初始财富等于x，可以将其财富h投资于市场的三项资产。每次t<θ时，他都会选择投资于第一（第二）风险资产的财富金额。然而，在时间θ之后，投资者不能将其财富投资于可违约资产，因为其价格等于0，他只选择投资于第一项风险资产的财富金额。请注意，可以通过为每个T设置φT=0来定义整个间隔[0，T]上的过程≥ θ. a过程=（ηt，ηt）′0≤T≤如果它属于H×Hλ，则称为风险资产策略。我们用Vx表示财富，或相当于投资组合的价值，在t时。在t时投资于无风险资产的金额由Vt给出-（ηt+ηt）。完美的市场模式。在完美市场模型的经典案例中，财富过程和战略满足自我融资条件：dVt=（rtVt+~nt（ut- rt）+ut（ut）- rt）dt+（ψtσt+νtσt）dWt- ~ntdMt。（2.2）设置Kt:=-νt和Zt:=аtσt+аtσt，这意味着аt=（Zt+σtKt）（σt）-1，wegetdVt=rtVt+（Zt+σtKt）（ut）- rt）（σt）-1.- Kt（ut）- rt）dt+ZtdWt+KtdMt=（rtVt+Ztθt+Ktθtλt）dt+ZtdWt+KtdMt，其中θt:=ut- rtσtandθt:=σtθt- ut+rtλt{t≤θ}.考虑一个到期日为T>0，支付金额为ξ的欧洲未定权益，属于L。问题是通过构建复制投资组合来定价和对冲该权益。根据[15，命题2.6]，存在一个独特的过程（X，Z，K）∈ 以下带默认跳转的BSDE的S×H×Hλ解：- dXt=-（rtXt+Ztθt+Ktθtλt）dt- ZtdWt- KtdMt；XT=ξ。（2.3）解决方案（X、Z、K）提供了复制组合。

更准确地说，过程X对应于其价值，以及对冲风险资产策略∈ Hλ由φ=Φ（Z，K）给出，其中Φ是由定义2.3在H×Hλ上定义的一对一映射。设Φ为Φ：H×Hλ定义的函数→ H×Hλ；（Z，K）7→ Φ（Z，K）：=φ，其中φ=（φ，φ）是由φt=-Kt；νt=Zt+σtKtσt，相当于Kt=-~nt；Zt=θtσt+θtσt=θt′σt。注意，属于Hλ的过程θ和K都在时间θ后消失。过程X与VX，~n一致，即与initialwealt h X=X和投资组合策略有关的投资组合a的价值。从卖家的角度来看，这个组合是一个前卫的组合。事实上，通过将初始金额Xin投资于参考资产，卖方可以在时间T（以及在每个初始时间T）向买方支付金额ξ。我们推导出，Xt是期权在t时刻的价格，称为套期保值价格，用Xt（ξ）表示。通过λ-线性带默认跳跃的BSDE（见[15，定理2.13]）的解的表示性质，我们可以将BSDE（2.3）的解X写成以下形式：Xt（ξ）=E[E]-RTtrsdsζt，tζ| Gt]，（2.4），其中ζt，·满足ζt，s=ζt，s-[-θsdWs- θsdMs]；ζt，t=1。（2.5）这定义了一个线性价格系统X:ξ7→ X（ξ）。假设θt<1，0≤ T≤ θdt 数据处理- a、 s.（2.6）然后ζt，·>0。设Q为允许ζ0的概率测度，在GT上为Tas密度。利用Girsanov定理，可以证明Q是唯一的鞅概率测度。在这种情况下，价格系统X是递增的，对应于经典的无套利价格系统（见[19,4,3]）。备注2.4。我们在上文中介绍了完全违约的可违约资产的情况。可以考虑不同的资产价格模型（参见[19，第7章，第9.3节]）：dSt=St-[utdt+σtdWt+βtdMt]，其中βt6=0且βt>-1，带βt，β-我很高兴。

在这种情况下，价格在默认时间θ后不会消失。我们认为- rtσt{t>θ}=ut- rtσt{t>θdt 数据处理- a、 s.（2.7）设ζ0，·由（2.5）定义，θt=ut- rtσt；θt=ut- σtθt- rtβtλt{t≤θ}. 假设θt<1，0≤ T≤ θdt dP-a.s.假设（2.7）确保概率以ζ0表示，GT上的Tas密度是唯一的鞅概率度量。未定权益的无套利价格ξ由（2.4）和satis BSDE（2.3）给出；此外，套期保值策略是通过以下公式得出的：φt=Ktβ和φt=Zt-νtσtσt.不完美市场模型Mg。从现在起，我们假设市场中存在缺陷，这些缺陷通过财富h动态的非线性来考虑。更准确地说，与策略φ=（φ，φ）相关的财富V动态可以通过一个非线性驱动来描述，定义如下：定义2.5（驱动，λ-可能的驱动）。一个函数g被称为dr-iver ifg:[0，T]×Ohm ×R→ R（ω，t，y，z，k）7→ g（ω，t，y，z，k）是PB（R）- 可测量的，并且使得g（，0，0，0）∈ H.如果存在常数C，则驱动器g称为λ-容许驱动器≥ 0个这样的dP dt-a.s.，对于每个（y，z，k），（y，z，k），|g（ω，t，y，z，k）- g（ω，t，y，z，k）|≤ C（| y）- y |+| z- z|+√λt|k- k |）。（2.8）正实C被称为与驱动器g相关的λ-常数。注意，t条件（2.8）意味着对于每个t>θ，因为λt=0，g不依赖于k。换句话说，对于每个（y，z，k），我们有：g（t，y，z，k）=g（t，y，z，0），t>θd Pdt-a.s.让x∈ R为初始财富，设H×Hλ中的=（，）为投资组合策略。我们假设相关的财富过程Vx，~nt（或简称Vt）满足以下动态：- dVt=g（t，Vt，νt′σt，-νt）dt- ηt′σtdWt+ηtdMt，（2.9），V=x。由于g是关于y的lipschitz，这个公式是有意义的。