复杂经济的统计力学

这些量和其他量可以使用从无序系统的统计物理[8]中借用的技术进行分析计算，正如我们在下文和附录A中详细介绍的那样，这相当于将一些模型参数“提升”为随机变量，并在“热力学”极限N中对其概率分布进行平均→ ∞, C→ ∞, 有限比率n=n/C。n表示每种商品的可用技术数量，因此可以作为经济发展程度的综合衡量标准。简言之，根据拉根姆伯斯定律，我们期望：limN→∞女（s）*|q、 x，k）=limN→∞NDU（s）*|q、 x，k）Eq，x，k，（4）其中，我们明确了效用函数对活动q、初始禀赋x和消费者偏好k的依赖性。等式（4）的r.h.s.问题至少在原则上需要在有限数量的变量上对效用函数进行优化和平均。利用从无序系统的统计物理中借用的复制方法[8]，可以解析地解决这个问题。该方法的第一步是计算效用函数的最大U（s*|q、 对于给定的随机变量q、x和k的实现，由于效用函数是一个广泛的量（见等式（2）），对于大N，我们期望U（s*|q、 x，k）/N待定。因此，可以使用最速下降法[19]：limN计算其最大值→∞女（s）*|q、 x，k）=limN→∞limβ→∞βNlog Z（β| q，x，k），（5）其中Z（β| q，x，k）=Z∞ds eβU（s | q，x，k）（6）在统计物理术语中称为配分函数。其基本原理是，对于一个大系统，在极限β内→ ∞, 积分不等式（6）的主要贡献来自效用函数的最大值。

为了计算方程（4）的右边，我们需要平均方程（5）的两边，因此我们必须计算配分函数对数的平均值。复杂经济体的统计力学7问题也出现在无序系统的宏观观测值的计算中，可以通过使用以下恒等式来规避：hlog Zi=limr→0hZri- 1r，（7）因此，计算hlog Zi的问题转化为计算hZri，hZri可以针对r的整数值进行计算。最后一步是将此类量解析为r的实际值，从而使极限r→ 可以使用0。在附录A中，我们展示了上述方法将等式（4）中的优化问题转化为六个非线性鞍点方程组，whoseunknowns是六阶参数。虽然结果是在极限N下得出的→ ∞它们准确描述了有限但较大的经济体的行为（见附录A）。有效地，该方法将等式（3）中的优化问题简化为单个“代表性”活动问题与单个“代表性”商品的参数优化。这些特征产生于统计机械处理，而不是像代表性方法那样在一开始就假设。我们请读者参阅附录A，以了解详细的推导过程，其内容与参考文献[19]中的内容类似。我们还要指出，尽管这两个框架之间有一些相似之处，但本文中给出的结果（特别是我们将在接下来的两部分中广泛讨论的相变）完全是全新的。4.

典型特性和阶段转换总之，定义整体经济的参数是i）每种商品的可用技术数量n，ii）最终商品的分数f，iii）初级商品的分数π，iv）效率 v）消费者的效用u（·）。对于后者，由于我们的定性结果并不显著依赖于u的选择（只要它严格递增且凸），在下面给出的示例中，我们将坚持标准选择u（x）=log x。其他选择的详细定量行为可以通过附录A中讨论的技术得出。在图1中，我们绘制了生产的平均最佳规模hs*i和活跃生产者的分数φ作为n和π的函数，对于给定的最终产品分数，即固定偏好。我们发现，参数空间被划分为两个区域。在第一个阶段——我们称之为工业阶段——我们找到了一个解决方案，其中一个单位φ>0的活动以正规模运行*i> 0。在第二个地区，即前工业阶段，只有具有*= 0（φ=0）存在，对应于完全依赖初级资源（x=x）的经济，没有生产活动。我们稍后将讨论这种急剧转变的起源。现在让我们做两个重要的观察。首先，转变发生时π的值是n的递增函数，这意味着更发达的经济体（n的值越大）能够用较少的初级商品维持生产。第二，分隔这两个地区的临界线的位置并不取决于复杂经济体的分形统计力学8n10-1100101π0.00.20.40.60.81.0hs*i0。000.120.240.360.480.60n10-1100101π0.00.20.40.60.81.0φ0.00.10.20.30.40.5图1。经济体制：生产。

最优生产规模*i（左面板）和大型经济体（f=0.5和 = 0.1）作为经济发展水平和初级商品分数π的函数。我们区分了三种不同的制度。第一个（hs）*i=φ=0）描述了经济的前工业化阶段。第二个（hs）*i>0和n。2） 描述了经济的一个发展阶段，新技术的引入对已经活跃的生产者产生了积极的溢出效应（自hs以来）*i%n和φ%n）。第三个（hs）*i>0和n&2）描述了一个竞争阶段，新技术的引入会对其他技术产生破坏性影响（自hs以来）*i&n和φ&n）。最终产品的f，但它弱地依赖于. 减少时, i、 e.为了提高生产过程的效率，对于固定的n值，临界线向较低的π值移动，从而扩大了hs所在的参数空间*i>0。此外 减少，hs*i在n=2附近增加并得到更尖锐的峰值（见附录a，图A2）。让我们关注工业相（hs）的性质*i>0）。如[19]所述，我们可以区分两种不同的制度。为了n。2.平均生产规模随着n的增加而增加，而活跃生产者的比例大致不变。这意味着引入一项新技术（通过向更大的n值移动）对现有技术没有负面影响。相比之下，对于n&2来说，经济处于一种高度竞争的状态，在这种状态下，新技术的引入会对其他技术产生破坏性的影响，就像两种技术一样*i和φ随着n的减小而减小。图2显示了这两种制度在消费互补维度上的差异，对于给定比例的最终产品，即。

对于固定的偏好。为了更好地说明经济在转型期的行为，让我们引入以下条件平均量：x=hx*ix=1，k=1（消费初级商品）（8）x=hx*ix=0，k=1（消耗的非初级商品）x=hx*ix=1，k=0（废弃初级商品）x=hx*ix=0，k=0（浪费的非初级商品）。从上面可以得出平均消耗量xC和浪费量XWasXC=f[πx+（1- π） x]（9）XW=（1）- f） [πx+（1）- π） 复杂经济体的统计力学，人们可以从中写出hx*i=XC+xw表示商品的总体平均产量。如图2所示，当n<2时，最终产品的效用和消费水平随着n的增加而急剧增加，同时，废物的数量显著减少。相反，在n>2的情况下，效用和xC饱和到恒定水平，而废物xW接近于零。有趣的是，对于较小的, XC中也可能出现非单调行为（详见图2，底部面板，蓝色实体曲线和附录B）。随着经济退出非工业阶段，最终产品的消费水平会出现跳跃，这可能是积极的，也可能是消极的，取决于效率. 这反过来又反映了方程式（8）中引入的四个量的行为，它们在过渡时是各自不连续的（我们在附录B中提供了这一事实的证据）。尽管XC具有非平凡的行为，但消费者的效用随着n单调增加，与基于福利定理的期望不一致。事实上，重要的不仅是消费水平，还有其多样性。请注意，对所有类型的商品取xc（见方程式（1a））的平均值，则得出hx*i=π-Nhs*i、 所以goodshx的体积通常是负相关的*i和平均生产规模hs*我

经济将初级商品重新分配给生产，以实现hx的减少*我通过开发在非工业阶段被浪费的商品。前面提到的hs峰值*i在n=2附近，随着 如图2所示，减少是XC非单调行为的起源。显然，在非工业阶段（hs*i=0）正数的唯一商品是初级商品，其中一小部分f也是最终商品，而其余的（分数π（1-f） （在所有商品中）是浪费。随着工业生产的开始，这些被浪费的初级商品的有限细分开始被技术所利用（参见图2，中间面板，紫色线条）。同时，在生产过程中也招募了一定比例的中间产品（参见图2，中间面板，蓝色线条）。随着时间的推移，这些商品以正价格交易的市场出现了。如图2所示，这种变化是突然的：在经济体中进行贸易的中间产品和初级非最终产品的比例出现了跳跃（尽管中间产品的不连续性更为明显）。虽然最终产品和初级产品与经济的内在属性（偏好和禀赋）有关，但人们可以想象一种情景，即经济扩张是由中间产品的扩散驱动的。例如，这些对应于生产链中的服务（如金融、法律服务等）或中间产品。将经济行为作为中间产品数量的函数进行分析是有指导意义的。这需要在固定的f/n和π/n下考察经济行为，即初级产品和最终产品的数量与技术数量的比率，而分数i=（1- f） （1）- π） 中间商品的价格各不相同。

图3显示，中间产品的扩张通常伴随着生产规模的扩张（顶部面板）和使用的技术数量的增加（中部面板）。对于较高的i值，hs*复杂经济的统计力学10-1-0.8-0.6-0.4-0.2hu（x*)我 = 0.01 = 0.10.00.20.40.60.81.0ψ(0) = 0.01 = 0.110-1100101n0。350.400.450.500.550.600.65XC = 0.01 = 0.1πf0。00.20.40.60.81.0ψ(1) = 0.01 = 0.10.00.10.20.30.4KW = 0.01 = 0.1π(1 -f） 图2。经济体制：消费。每个最终产品hu的效用函数（x*)i（顶部面板）、有效加工的中间产品ψ（0）和初级非最终产品ψ（1）（中间面板）的比例，以及消费和浪费水平x是经济发展水平的函数nπ=0.65，f=0.75。在非运营阶段，只有初级商品可用，因此所有商品中的一部分πf（蓝色虚线）被消耗，而一部分π（1）被消耗- f） 都浪费了（紫色虚线）。随着生产的开始，xC会跳到一个更大或更小的值，这取决于生产效率, 随着越来越多的非成品被用于生产过程（见中间面板），XC%n.XW&n。ψ（0）和ψ（1）在过渡到操作经济时都经历了不连续的变化，但ψ（1）几乎看不到跳跃。达到峰值，并且随着i的增大而减小。相应地，运营公司的比例饱和到恒定水平。随着中间产品数量的进一步增加，经济崩溃。这种行为的原因可以通过观察到，在固定的f/n和π/n下，通过中间产品的扩散实现经济的扩张是通过增加经济中商品的总数量C来实现的，这反过来又导致n=n/C减少。

此外，中间产品的激增也导致初级产品的比例下降（事实上，一个是π=（1）-F-i） /（1）-f） ）：如图1所示，这两个因素都会导致经济向关闭所有生产流程的方向发展。从福利的角度来看，值得一提的是，消费者的平均效用随着新产品的引入而降低，因为新的限制增加到了生产规模上。然而，hu（x*)在尖峰之前，我几乎可以忽略不计，而随着过渡的临近，它变得越来越尖锐。复杂经济体的数量统计力学110.00.51.01.52.0hs*i0。00.10.20.30.40.5φ0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 I0。000.050.100.150.20XWπ/n=0.05，f/n=0.05π/n=0.15，f/n=0.05π/n=0.05，f/n=0.15π/n=0.15，f/n=0.15图3。中间产品的作用。最优生产规模*i（顶部面板）、活跃生产者的分数φ（中间面板）和废物XW（底部面板）作为中间产品i分数的函数，固定比率π/n和f/n分别表示初级产品和最终产品在可用技术数量上的数量。 = 0.1. 我们可以看到，初级商品的引入首先对经济产生了有益的影响，正如hs*i%i和φ%i。然而，asi不断增加生产峰值的规模和活跃企业的数量。i的进一步增加导致经济崩溃，最终导致inhs*i=0，φ=0。XW信号的增加表明非最终产品（包括中间产品）未得到有效处理。

这种行为与图1一致，因为在固定π/n处增加i相当于沿着对角线从平面的右上角移动到左下角（n，π）。随着中间产品数量的增加，废物的数量表现出类似的行为（图3底部面板）：对于较小的i值，废物xWI几乎可以忽略不计。在相反的情况下，超出了*当达到最大值时，废物开始大量增加，这表明经济无法处理和利用生产过程中的所有中间产出。5.几何透视工业和前工业阶段之间的过渡起源于约束xc≥ 0c、 根据方程式（1a），每一个都确定了一个超平面，将技术的N维空间切割成可行和不可行的半空间。可行生产规模s的体积V对应于所有商品c对应的可行半空间与复杂经济的正或负统计力学12Pq1q2IF1F2s1s2xP0qP2xP0qP1s2之间的交叉qI1qI2s1s2qF21qF21s1q2q1PF2F1s1s2xP0qP2xP0qP1s2QF21QF21S1图4。几何解释。适用于一个经济体的可行生产设置，n=2种技术、一种初级产品和两种最终产品（左面板）。Txp=xP-qPs-qPs≥ 0在虚线下方的区域表示满意。所有s、s、s的良好金融机构均以非负数量产生≥ 0，而约束xF≥ 0挑出蓝色阴影区域。中间货物（右面板）的引入引入了另一个约束xI≥ 0（这在红色阴影区域是令人满意的）。这可能会导致生产崩溃，因为满足所有约束的唯一点是原点s=s=0。

请注意，初级商品引入了非同质约束，而非初级商品对应于同质约束。s*≥ 0.图4（左面板）勾勒了这种结构，以简单的经济为基础，有一种主要商品、两种最终产品和两种技术。请注意，与初级商品（xc=1，虚线）相关的约束是非齐次的，因为它们对应于不包含原点s=0的超平面。与非初级商品（xc=0，虚线）相关的约束是均匀的，相应的超平面包含原点。因此，非均匀约束有助于缩小体积V，但不能使其消失。相反，同质约束选择空间的“切片”，其交点可以被限制到原点。图4（右面板）显示了上述简单经济的情况，即当引入新的中间产品时。让我们先考虑一个例子，在图4（右面板）中，强气的符号（以及图中相应的箭头）是相反的。在这种情况下，新约束xI≥ 0是多余的。事实上，在引入新的中间产品后，与所有约束相容的平面区域（s，s）不会发生变化，并且新的均衡具有相同的生产规模*作为主流。在该地区，xI≥ 0，这意味着在新的平衡中，新的中间产品供过于求，因此会造成浪费，且pI=0。如果新约束xI≥ 0不是多余的，可以出现多个场景。生产规模巨大*与流行的平衡相对应的平衡仍然可以与新的约束相容。这种情况与前一种情况类似，即在新的均衡状态下，生产规模*a不变，pI=0。