复杂经济的统计力学

然而，如果*与普遍均衡相对应的是复杂经济体的不稳定性机制，即区域xI<0，这意味着（从普遍均衡的角度来看）新的中间产品处于负的供应过剩，即需求过剩。旧的平衡点将被取代，并被破坏*将进行调整，使xI=0，pI>0。然而，如果与所有约束相容的飞机区域缩小到原点，经济将崩溃到原点*= 0状态，如图4（右面板）所示。同样的直觉也适用于大型随机经济体，其中可行生产向量的体积V*≥ 0取决于随机技术q和禀赋x的具体实现。随着非主要产品数量的增加，可行生产计划集V因引入额外的同质约束而缩小。如果经济体中有太多的非初级商品（或太少的技术），那么第五卷最终会崩溃到单点s=0。由于转型仅取决于生产部门的性质，因此关键线的位置与最终产品的比例无关。临界线可以使用第3节中概述的相同技术进行分析计算，并在[20,21]中应用，以解决类似问题。我们请感兴趣的读者参阅附录C以获取完整的推导。用这种方法解析计算的临界线与前一小节的结果和数值模拟完全一致。过渡的一个有趣方面是hs的不连续行为*我跨越了过渡，如图1所示。这与上面概述的情况完全一致。实际上，效用函数是单调递增的，所以s*期望位于可行集的边界上，其中非齐次约束满足等式。

添加齐次约束后，可行集将变为一个更薄的内部切片，直到它缩小到原点。然而，在此之前，s的长度*仍然是不确定的，因为它是由非齐次约束决定的。为了检查这张图片的合理性，我们在随机生成的经济体实例的可行性集合中对向量s进行采样，这些经济体的N和C都很大，但都是有限的。可攻击性集合的形状可以通过对采样向量的相关矩阵进行主成分分析[22]来探测。该分析证实了当经济接近相变时（例如，通过在固定n处降低π），向量空间s中存在特权方向，因为不同可行生产规模s之间的变异性中有很大一部分是由单一主成分解释的（详情见附录D）。6。讨论本文介绍的对大型随机经济体的研究有其自身的优点，可以作为比较不同方法的参考基准。它的价值在于所做假设的透明度，以及它捕捉到了特定经济复杂性的事实。本节致力于将一个经济体的行为（如本文所述的简化一般均衡设置中所述）与实体经济的行为进行比较。其目的是探索GET框架捕捉到的复杂高效竞争市场的解释力，以及复杂经济的统计力学14，以比较工业动力学中涌现的非平凡方面与经济文献中讨论的经验主义。我们的框架是静态的。然而，我们可以想象这样一个世界：在每个时期的开始，大自然赋予消费者数量x的初级商品，这些初级商品通过生产部门转化为最终商品x，并在该时期结束时消费。

从一个时期到下一个时期发生的事情是，一项新技术可能会被发明出来（即→ N+1）或新产品（即C→ C+1）可以引入。在下文中，我们将讨论这种可能性，特别关注中间产品的情况。自然资源枯竭的情况同样可以通过研究经济行为作为π的函数来分析，但不会进一步讨论。6.1. 工业化和自然资源首先要注意的是，在这种极其简单的环境中，经济的特点是不存在工业化陷阱，即使规模回报率没有增加。扩大技术储备或初级商品的数量足以逃脱陷阱，而无需“大力推动”[23]。在我们这个简单的世界里，工业革命将发生，从以自然资源为基础的经济急剧转变为以大规模生产最终产品为特征的经济。这种转变的主要决定因素是现有技术的跨度和初级商品的数量。这两种情况中的任何一种都会发生转变。关于工业革命的可能决定因素以及为什么这一过程在一些国家比在其他国家发生得更早，有大量文献（见[24,25]）。我们的研究结果表明，通常情况下，一个拥有更大一篮子初级资源的国家（例如，由于其殖民帝国的原因）会首先跨越过渡期，而不是一个拥有相同技术储备、但对初级商品的获取更为有限的国家。这与自然资源的诅咒形成了对比，自然资源丰富的经济体往往增长速度较慢[26]。这种对比非常明显。首先，因为我们考虑的关键变量是一篮子初级商品的种类，而不是它们的丰富程度。第二，裁判。

[27]发现，GET框架忽略了曾经的间接影响（如腐败、贸易开放等），“资源丰富对增长有积极的直接影响”[27]。产业动态：积极溢出与破坏性技术一旦一个经济体进入工业化阶段，我们通常会期待什么样的产业动态？这取决于研发活动的激励。我们对产业动态进行了简单的描述，其中研发活动在一个已经存在的平衡中产生了一个新的（随机抽取的）活动qN+1（研发也将有助于提高现有技术的效率，即降低成本）. 类似的考虑也适用）。如果新技术以当前价格产生正收益，它将被采用，复杂经济体的均衡统计机制将被取代。否则，技术将保持闲置，平衡不会改变。从一种平衡状态转移到另一种平衡状态，每种现有技术都应该只考虑其生产规模。如果相应的活动规模增加，调整将产生利润，如果增加，调整将产生损失。在这幅产业动态漫画中，n<2和n>2地区的私营部门维持研发活动的能力明显不同。事实上，在n<2的运行阶段，采用新技术的概率很高（φ’1/2），并且*i随n增加意味着利润将与其他生产部门分享。这种溢出效应在经济的这一阶段是内生的。相反，当n>2时，采用新技术的可能性会随着n的增加而降低。

此外，一项新的成功技术取代了现有技术（因为φ和n），并降低了它们的平均性能（因为*i&n）。尽管我们的模型中不包括投资，但研发活动在n<2阶段产生效益的事实表明，它们可以在该阶段持续下去。相反，当n>2时，研发活动很难持续。这一发现与以下观察结果相关联，即尽管研发投资和惊人的技术进步不断增加，但作为制药行业的一个技术密集型领域，新药的引进率几十年来一直保持不变[28]。中间产品的作用：垂直一体化与外包工业变革的第二种模式是引入新的非最终产品k。例如，通过市场价格、污染物排放许可证（如碳、氮氧化物）、服务和金融产品的相互作用，将中间组件的生产过程外包给外部企业。在这里讨论的简化GET框架中，唯一的变化是为新产品创造了一个新市场，每项技术都获得了一个组件，指定其对该产品的生产或使用的贡献。对于一种新的初级商品，捐赠向量获得了一个额外的非零成分。如前所述，如果新产品是过剩供应，则现行均衡不会改变，而如果新产品是负过剩供应（如碳排放），则经济的均衡将进行调整，以清理市场。同样，n<2和n>2区域在支持这一过程所产生的激励方面也存在显著差异。

对于n<2的情况，添加一种新的货物会降低平均标度hs*因为（中间产品）数量的增加意味着n的减少。这意味着生产部门的损失。这表明垂直整合的生产流程应该占主导地位，我们主要讨论中间产品的情况。请注意，当引入新的非最终产品时，消费者的偏好不会改变。“我们再次强调，新商品只能在占主导地位的均衡中处于负过剩供应状态，然后，这种均衡将被取代，以利于新的均衡，在新的均衡中，新商品将处于正过剩供应状态或被生产过程充分利用。复杂经济体的统计力学16工业化的早期阶段（n<2）。相反，对于一个处于工业化高级阶段（n>2）的经济体来说，外包的激励是积极的，这也是因为hs*i&n。这让人想起朗格洛伊斯[1]对过去四个世纪工业发展的描述。简言之，产业动态长期以来一直由垂直整合的企业主导，这些企业整合了所有生产阶段。这需要密集的管理技能来抑制生产过程中间阶段固有的波动性。随着需求的扩大，市场机制得以发展，以支持稳定的价格。由此产生的不可抗力降低使得通过为中间产品创造新的竞争市场，可以将部分生产过程外包出去。同样的观点表明，碳排放交易系统的引入可能会在发达经济体的工业部门（n>2）产生利润，而在发展中国家（n<2）产生损失。从福利的角度来看，必须注意的是。

增加N）总是导致消费者福利的改善，而引入新的中间产品（即增加C）则相反，因为它对可行的生产规模s设置了进一步的限制。这些福利变化在N<2时显著，而在N>2时则较小。总之，大型随机经济体获取的统计力学方法展示了丰富的行为，告诉我们在典型情况下竞争市场可以实现什么，而不需要调用非均衡效应、均衡多样性（例如收益增加）或市场效率。它最终表明，大型随机经济体的统计机制具有尚未开发的解释潜力。感谢所有作者感谢Federico Ricci Tersenghi和Davide Fiaschi鼓励讨论，并感谢Foodcast项目（SISSA）的支持。Marco Bardocia感谢FET项目SIMPOLnr的支持。610704，FET项目DOLFINS编号640772。Giacomo Livan感谢EPSRC早期职业奖学金（批准号EP/N006062/1）的支持。附录A.优化问题在本节中，我们展示了经济体的典型属性（即经济体在极限N，C中的每个随机实现所附带的属性）→ ∞ withn=N/C fixed）可以计算。我们从效用函数的最大化（等式（3））开始。为了以后的方便，我们将其写成：U（s）=CXc=1kcuxc+NXi=1qcisi！（A.1）复杂经济体的统计力学17，其中kc区分最终产品和非最终产品，即如果c，则kc=1∈ F、 kc=0，反之亦然。我们将在以下关于经济参数的假设下计算典型属性：oxC表示好c的初始禀赋。

每种商品都是概率为π且独立于其他商品的主要（因此也是初始禀赋的一部分），即初始禀赋遵循双峰概率密度分布ρP（xc）=（1）- π） δ（xc）+πδ（xc）- 1） ，（A.2），其中δ（·）表示狄拉克δ每种商品都是最终的（因此也是效用函数的一部分），其概率为f，且与其他商品无关，即上述辅助变量kc遵循双峰密度ρf（kc）=（1）- f） δ（kc）+fδ（kc）- 1) . （A.3）o经济的投入产出矩阵q={qci}c=1，。。。，Ci=1，。。。，定义为一组均值为零、方差为1/C的约束高斯随机数，使得Pni=1qci=-,  c、 在哪里 > 0量化了经济的效率。在上述分布假设下，我们借助于从无序系统的统计力学中借用的技术来计算经济的典型属性。也就是说，让我们考虑一个效用函数UN（s | x，q，k），用于给定规模的系统，即具有N种技术和C种商品（N=N/C），并且对于给定的输入-输出矩阵q，初始禀赋x=（x，…，xC），以及消费品标签k=（k，…，kC）。考虑到等式（A.1）中效用函数的可加性，人们期望其最大值随N增长。因此，我们将尝试解决以下最大化问题：limN→∞Nmaxs≥0UN（s | q，x，k）=limN→∞limβ→∞βNlog ZN（β| q，x，k），（A.4），其中ZN（β|q，x，k）=Zds eβUN（s | q，x，k），（A.5）和ds=QNi=1dsi。因此，方程（A.4）中的优化问题相当于将最大化问题转化为方程（A.5）中积分的最速下降问题：极限β→ ∞ 选择s空间中其最大值所在的区域。

此外，对于足够平滑的UN，当NN变大时，最大化问题的解决方案不依赖于随机变量的特定实现，也就是说，我们可以期望maxsUN/N成为一个自平均量：limN→∞nmaxun（s | q，x，k）=limN→∞NDmaxsUN（s | q，x，k）Eq，x，k.（A.6）上述等式中的平均运算使得利用等式（A.4）中的恒等式很困难，因为计算复杂经济体的配分函数的对数平均值通常是一项非常困难的任务。这个问题可以通过使用复制技巧来避免，即通过利用以下恒等式（我们省略了q、x、k上的条件），可以将分配函数对数的平均值转换为同一系统的r个复制的分配函数的平均值：hlog ZNi=limr→0hZrNi- 1r。（A.7）在我们的例子中，方程（A.5）中的配分函数readsZN（β| q，x，k）=Z∞ds exp（βCXc=1kcuxc+NXi=1qcisi！）。（A.8）通过密切跟踪[19]+中的推导，最终得到以下结果limn→∞NDmaxsUN（s | q，x，k）Eq，x，k=h(Ohm, κ、 p，σ，χ，^χ）（A.9）其中Ohm, κ、 p，σ，χ，^χ是通过将H对此类参数的偏导数设置为零而自洽确定的。在统计力学术语中，这些变量被称为序参数，而由此产生的六个方程被称为鞍点方程。函数h为：h(Ohm, κ、 p，σ，χ，^χ）=麦克斯≥0-^χs+（tσ）- P)st+Ohm^χ（A.10）-χnσ+p+nκp+n*maxx≥0“ku（x）-（十）- x+κ+√NOhmt） 2χ#+t，x，k，其中t是标准高斯随机变量，h。它、x、k分别表示根据方程式（A.2）和（A.3）分布的平均过多变量、初始禀赋和标签k。

上面的方程式可以写成灰(Ohm, κ、 p，σ，χ，^χ=-^χ（s）*)t+σhts*信息技术- Phs*它+Ohm^χ（A.11）-χnσ+p+nκp+nhku（x*)它，x，k-2nχD（x）*- x+κ+√NOhmt） Et，x，k，s在哪里*还有x*表示方程（A.10）中两个最大化问题的解。s*通过将方程（A.10）中第一项的导数设为0:s，可以得出*=σt- P^χ（σt）- P) , （A.12）如果HeavisideΘ函数保证*是非负的。事实上，如正文中所述，如果一项技术变得不可验证，它将通过设置+关闭[19]中的效用函数与本文中使用的kc=1相同c、 因此，在我们的情况下，执行两个替换u（xc）是足够的→ kcu（xc）和h。是的，x→ H它，x，k。复杂经济体的统计力学。相应的生产规模等于零。另一方面，x*需要计算为以下方程的解：kχu（x*) = 十、*- x+κ+√NOhmt，（A.13）具有x*肯定是积极的。根据上述关系，x*可以获取以下值：x*=（χu（x）*) + 十、- κ -√NOhmt表示k=1（x- κ -√NOhmt） Θ（x）- κ -√NOhmt） 对于k=0。（A.14）x的正性*对于k=0，必须由HeavisideΘ函数显式执行，而对于k=1，显式约束的存在可能是多余的。特别是，如果χ>0，标准选择u（x）=log（x）会导致x的二次方程*, 这总是有以下积极的解决方案：x*=十、- κ -√NOhmt+q（x）- κ -√NOhmt） +4χ. （A.15）然而，在χ=0的情况下，k=0和k=1这两种情况之间没有差异，解决方案就是x*= （十）- κ -√NOhmt） Θ（x）- κ -√NOhmt） 。