个人主义、集体主义和经济成果理论

“个人主义和集体主义社会中竞争力的兴衰。”美国国家科学院院刊，110（23）：9305-9308。麦迪森，安格斯。2008年，《世界人口、GDP和人均GDP统计》，公元1-2008年（格罗宁根大学）http://www.ggdc.net/maddison/oriindex.htm，（2016年6月27日查阅）。米拉诺维奇、布兰科、彼得·H·林德特和杰弗里·G·威廉姆森。2007年《衡量古代的不平等》国家经济研究局工作文件13550。罗兰、杰拉德和尤里·戈罗德尼琴科。2010年，《文化、制度和国家财富》国家经济研究局工作文件16368。数学附录这里我们给出了文中讨论的形式化结果的证明。在我们出生之前，回想一下质量为Q的个体在时间为：FQ（t）=z[Q时的生产力- cP（t）]+（1- z） [Q（t）γ- cP（t）]=zQ+（1- z） γ′Q（t）- cP（t）注：低质量的个体在集体工作时总是更具生产力，但高质量的个体在集体工作时是否更具生产力取决于γ\'Q（t）>1还是γ\'Q（t）<1，这是由内生决定的。定理1的证明由于证明有点迂回，从概述开始可能会有用。根据定义，稳态是一对密度函数p（x，t），p（x，t），它满足演化方程，且与时间t无关。在稳态中，种群Ps、Psandenheritance y是常数，因此平均质量QS和生产率Fs、Fs也是常数。因此，我们可以将稳态识别为满足稳态演化方程的一对函数sp（x），p（x）p（x）x[Fs- 1/2] = -λdp（x）（SSEE0）p（x）x[Fs- 1/2] = -λdp（x）（SSEE1）并满足适当的边界条件。

因此，我们从候选稳态总体Ps、Ps和遗传Ys（满足系统任何稳态必须满足的一些条件）开始。对于任何这样的三重态，我们证明了方程SSEE0，SSEE1允许唯一的解，从而产生给定的稳态量。然后，我们证明了边界条件唯一地确定了与社会的实际稳定状态相对应的稳定状态量的唯一三倍。我们首先考虑稳态发展方程的任何非退化解ps（x），ps（x）（不一定满足边界条件）。从这些，我们可以得出以下稳态量：o质量为QPsQ=Z的个体群体∞psQ（x）dx（4）o总人口Ps=Ps+Ps=Z∞[ps（x）+ps（x）]dx（5）o平均质量qs=ps/（ps+ps）（6）o质量QFsQ=zQ+（1）的个体生产力- z） γQs- cPs（7）o平均财富X=R∞x[ps（x）+ps（x）]dxR∞[ps（x）+ps（x）]dx（8）oinheritanceYs=λdPsXsη/λfPs=（λd/λf）Xsη（9），因为我们假设了一个非简并稳态，我们必须有Ps6=0so Ps6=0和Ps6=0。请注意，这三个量Ps、Ps、YS决定了其他三个量。我们断言，在非简并稳态下，我们必须有Fs<1/2<Fs。（低质量的个体生产少于消费；高质量的个体消费少于消费。）为了证明这一点，我们证明了其他可能性与非简并稳态不相容。首先请注意，定义和假设0<z<1意味着Fs<fss，因此我们必须排除仅有的两种可能性：o1/2≤ Fs<Fs。

如果是这种情况，那么低质量个人的财富在其一生中不会减少，而高质量个人的财富在其一生中会严格增加，因此社会财富将严格增加，这在稳定状态下是不可能的Fs<Fs≤ 1/2. 如果是这种情况，那么低质量个人的财富将严格减少，而高质量个人的财富将不会增加，因此社会财富将严格减少，这在稳定状态下是不可能的。因此，我们得出结论，Fs<1/2<Fsas断言。为了证明社会存在一个非退化的稳定状态并且是唯一的，我们按照以下方式进行。我们已经证明，从稳态演化方程（SSEE0），（SSEE1）的解ps，ps开始，我们可以导出三个稳态量ps，ps，YS，具有Fs<1/2<Fs的性质。证明的第一部分是证明，对于每三个这样的稳态量，对于产生给定稳态量的稳态演化方程，都有一个唯一的解ps，pst。证明的第二部分是证明边界条件唯一地确定了与社会实际稳定状态相对应的三个稳定状态量。为此，乘以三个稳态量Ps，Ps，YS，总人口为正Ps+Ps=Ps>0，遗传为非负≥ 0，其导出量Fs，fsf满足Fs<1/2<Fs。在产生这些稳态量的稳态演化方程的任何解中，通过定义，所有个体都是与生俱来的。因为Fs<1/2<Fs，低质量个体的财富在他们活着的时候严格减少，而高质量个体的财富在他们活着的时候严格增加。

因此，对于x>y，ps（x）=0；对于x<Ys，ps（x）=0；同样地，[0，Ys]上支持的psis和[Ys]上支持的psis，∞). 根据这些事实，我们可以确定所需的总体分布ps和ps。要确定ps，设置λ=λd/[Fs- 1/2]. 对于x>Ys，函数pssolves the ODE:dps（x）dx=-λps（x）（10）该常微分方程的解的形式为ps（x）=Ce-λ（x）-Ys）（11），其中乘法常数由初始条件确定。给定Ps，我们发现Ps=C/λ，因此Ps（x）=Psλe-λ（x）-对于x>Ys0对于x<Ys（12），注意λ=λd/[Fs- 1/2]并且回想一下，Fs可以用Ps，Ps表示。要确定Ps，设置λ=-λd/[Fs- 1/2]. 对于x<y，函数pss表示常微分方程：dps（x）dx=λps（x）（13）该常微分方程的解的形式为ps（x）=Ceλ（x-Ys）（14），其中乘法常数由初始条件确定。给定Ps，我们发现Ps=（C/λ）（1- E-λYs）所以ps（x）=Psλ/（1）- E-λYs）eλ（x）-对于x<Ys0对于x>Ys（15），注意λ=-λd/[Fs- 1/2]回想一下，Fs可以用Ps，Ps表示。通过构造，函数Ps，Ps满足稳态演化方程。直接计算表明，从ps，Psa导出的稳态量正是我们开始计算的量ps，ps，YS。这就完成了证明的第一部分。现在我们来看看证明的第二部分，那就是确定与社会的（唯一的）非退化稳态相对应的Ps，Ps，y的稳态值。首先请注意，由于一半的新生儿是低质量的，一半是高质量的，我们有以下边界条件：limx↓Ysps（x）| Fs- 1/2 |=极限↑Ysps（x）| Fs- 1/2 |（16）（像往常一样，limx↓从右边和边缘看极限↑（从左边算起）简化产量sps=Ps1- E-λYs（17），因此-λYs=（2）- 下一步我们计算稳定州贫困人口的死亡率。

（当然，只有低质量的人死于贫困。）us=fs（0）|fs- 1/2 |=Ce-λYs | Fs- 1/2 |=（C/λ）λde-λYs=Psλde-λYs=（2Ps）- Ps）λd（19）在稳定状态下，人口是恒定的，因此出生率必须等于死亡率，这就产生了第二个边界条件：（λfPs）- λdPs- us）=0（20）表示λfPs- λdPs- λd（2Ps）- Ps=0（21）因此，我们假设Ps=λf/（2λd）Ps（22），η<1是跨代转移的财富的分数，所以：λfYs=ηλdXs（23）接下来我们计算Xs。Xs=2- E-λYshZYsλxeλ（x-Ys）dx+Z∞Ysλxe-λ（x）-Ys）dxi（24）按部分积分得到：ZYsλxeλ（x）-Ys）dx=he-λYs- 1λ+λYse-λYsλ+Ys- 是的-λYsiZ∞Ysλxe-λ（x）-Ys）dx=1+λYsλ（25）我们使用上述表达式来简化Xs:Xs=2pspssys+λd（PsPs[z+（1- z） γ]）-λd（cPs+1/2）（26）我们可以在上面的（22）中替换Ps，在（23）中替换Xs=λf2λd[z+（1）- z） γ]- cPs- 1/2ηλf（1）- η)（27）使用等式（27）、（22）和（18），我们将确定每个所需的量。我们写（18）如下。E-λYs=2- Ps/Ps（28）替换（22）和上述λ的表达式，然后取对数得到：λdYs=ln2.-2λdλf(1 - z） γλf2λd- cPs- 1/2)（29）将上述（27）中的cPs+1/2替换为：λdYs=ln2.-2λdλf(1 - z） γλf2λd+λf（1）- η)ηY-λf2λd（z+（1- z） γ）（30）我们可以简化上述内容，以获得Ys:Ys=ηz2λd（1）的最终表达式- η+β）（31），其中β=-[ηλd/λf]/ln[2]-2λdλf]。在非简并稳态下，我们必须有Xs>0。我们知道Xs=λfYsλdη；因为λd<λf<2，所以λdit遵循2（1-λdλf）∈ （0,1）因此（1- η+β）>0，且Xs>0。现在，我们用（27）中的（31）替换，以获得下面的PSA表达式。cPs=λf2λdγ+zβ1 - η + β- γ-（32）由于λf>λdγ，当z=0且η>1/（1+[1]时，上述表达式大于零-λd/λf]ln（2[1-λd/λf]））当nz=1时，上述表达式大于零。这确保了Ps>0。

我们知道这一点=λf2cλdλf2λdγ+zβ1 - η + β- γ-（33）andPs=C-λf2cλdλf2λdγ+zβ1 - η + β- γ-（34）由于Ps>0，Ps和Psa都大于零。该推导基于以下假设：Fs<1/2<Fs；现在，我们检查Ps，Ps，Xs的派生值是否为真。我们先治疗Fs。替换（32）以获得- 1/2=z+（1）- z） γλf2λd- cPs- 1/2=z（1-λf2λd）+zλf（1）- η） 2λd（1）- η+β）（35）因为z>0且λf<2λd右侧的第一项严格为正。因为（1）-λf2λd）>0和（1-η+β）>0第二项严格为正，因此Fs- 1/2 > 0.现在我们来看财政司司长。替换（32）以获得- 1/2 = (1 - z） γλf2λd- cPs- 1/2=zλf2λd-β1 - η + β（36）由于z>0，β>0和（1- η+β）>0，我们得出以下结论：- 1/2 < 0. 为了看到Fs>0，我们计算：现在我们已经确定了Ps，Ps，Ysin（33），（34）和（31）的值。我们可以在（12）和（15）中替换它们，以获得最终分布函数。这就完成了证明。定理2的证明在定理1的证明中，我们得到了Cpin（32）的表达式，所以我们得出结论=Cλf2λdγ+zβ1 - η + β- γ-（37）其中β=-[ηλd/λf]/ln[2]-2λdλf]。γ的减少和增加是直接的。在z方向上呈线性；如果γ>β1，则z值降低-η+β，如果γ<β1，则在z中增加-η+β，如断言的那样。定理3的证明在定理1的证明中，我们得到了方程（22），它将高质量个体的种群PSO表示为总种群Ps的一部分。由于Ps=Ps+Ps，简单代数表明稳态种群比ISPSP=1-λf2λd（38）注意，假设1保证右侧严格为正且小于1。这就完成了证明。定理4的证明我们首先推导出平均收入的表达式。我们知道Ps/Ps=Qs=λf2λd。

在下面给出的简化中，我们使用（35）和（36）中导出的表达式。Fs=QsFs+[1- Qs]Fs（39）Fs=（1）- η） z1- η+β+（40）注意，平均收入Fs与技术参数c、γ无关，在个人主义程度z中呈线性。因为η<1，平均收入在个人主义程度z中增加。定理5的证明我们在定理1的证明中看到，两个收入水平都是正的，所以写A=（1）-η)(1-η+β）并执行requisitealgebra得到了一个方便的基尼系数表达式：基尼=QsFsQsFs+（1- Qs）Fs- Qs=Qs(1 - Qs）Fs- (1 - Qs）FsFs= Qs（1）- Qs）财政司司长- FsFs= Qs（1）- Qs）zAz+1/2（41）由于稳态平均质量qs仅取决于稳态总体比Ps/Ps，它与技术参数c，γ无关，因此我们发现基尼系数也与技术参数c，γ无关。最后，区分基尼系数的表达吉尼z=λf2λd1.-λf2λd2（Az+1/2）（42）由于λf<2λd，基尼系数在Mz水平上增加，正如所断言的那样。