资产、杠杆和信任的宏观经济动态

心理现象是人类的亲社会性：人们倾向于帮助、帮助和信任他人和/或社会（Dovidio et al.，2006）。理性现象的目标是使用所有资产，让经济发挥“全部潜力”。在一个充分发挥潜力的经济体中，信任是最大的。这是有利的，因为信托越高，资助可融资项目的信贷就越多（如果信托为1，100%的资产价值被接受为获得贷款的抵押品）。描述人口增长是一个方便且常见的函数，可以将信托的增长量最大化，但它在许多领域都有广泛的应用。例如，它在统计物理（费米-狄拉克）、人口学以及产品或服务的市场渗透动力学建模方面有应用。因此，信任的标准逻辑方程是：dtdtt=kT（1- T），（15）/k>（15）逻辑方程的特征。对于lowT，公式（15）简化了Todtdtt≈ kT，表达了马修效应（Merton，1968）。在这种情况下，现有信任水平越高，信任增长越快（“累积优势”）。近似于1（largeT）的公式（15）simpli fiesdtt≈ K- 注意，当→ 1或T→ 0，则达到稳定状态（dTdt→ 式（15）中的0。人们希望，当信任超过杠杆时，信任增长为正，而当杠杆超过信任时，信任增长为负。通过这种方式，收敛到“自然最优”T=Lis。T- 因此，假设L（15）逻辑方程为信托：dtdtt=k（T- 五十） T（1）- T）。（16） 另一种解释术语（T）的方法- 五十） 就是说信托的增长率应该由（T）调节- 五十） ，为正ifT>负ifT<L。

然后，一阶泰勒展开式产生（16）标准逻辑方程（等式（15）），因为当→ TT→T→T> LLTT→其中Tstationary=Lstationary。2.2.4债务（2015年）和Graeber（2011年）的经验支持，本小节将提出债务动态。我们假设经济体有达到其最大债务的趋势，同时考虑公式（3）。这意味着，在数学术语中，D=TA应该被强制为一个自然固定点。然后，下一个推理点是D的非瞬时收敛→ 这是假定的。存在达成协议的惯性，因为寻找投资机会需要时间，而且只有在存在此类机会的情况下增加债务才有意义。例如，泰勒（2002）和迪安杰洛等人（2011）都支持这一点。Taylor（2002）讨论了历史上资本流动性（国际资金流动）较低的情况。DeAngelo等人（2011年）讨论了杠杆率与缓慢的平均调整速度之间的关系。债务的控制方程假定为：d（d- T A）dt=-a（D）- 答（17）<=>dDdt=a（ta- D） +D（ta）dt，（18）/A>（18）对于D<ta和D>ta：在这两种情况下都有D的趋势→ T A.如前所述，公式（18）的构造使得T收敛到A。如果没有公式（18）中的d（T A）T，则可以确保T收敛到A。但是，根据A的变化率（趋势），该项可以加速或减缓变化。建议的债务公式（公式（18））假设该趋势是已知的，并包含了这一点。

我们假设，经济主体会以最佳方式学习，根据给定的信任水平和资产量调整债务。2.2.5资产、杠杆、信任的最终方程式在本节中，我们概述了如何获得资产、杠杆、信任的最终微分方程式。首先，将等式（14）、（16）、（18）除以k，从而使方程无量纲化。我们引入无量纲时间τ，我们定义如下：τ：=kt。（19） 我们用波浪线表示无量纲模型参数（a，g，r），例如：~a:=a/k。通过代入式（18），然后代入式（16），在式（14）中，我们得到最终资产方程：dAdτ=~g- ~rL+~a（T）- 五十） 一,- T+（T- 五十） TA、 （20）（2）方程（式（16））：dLdτ=（T）- L）~g- ~rL+~a（1）- 五十） 一,- T+（1）- 五十） T, （21）也可以这样写：dLdτ=（T- L）βL- L1- T+T（1）- L）, （22）其中，β和α的定义如下：β：=a+rk=~a+~r，L:=g+ar+a。等式（22）是研究固定点的一个方便表达式。最后，最终的信任方程只是等式（16）的无量纲版本：dTdτ=T（T- 五十） （1）- T）。（23）综上所述，资产、杠杆和信托变量由以下三个耦合微分方程组成：爸爸τ=~g- ~rL+~a（T）- 五十） 一,- T+（T- 五十） TA、 dLdτ=（T- L）~g- ~rL+~a（1）- 五十） 一,- T+（1）- 五十） T,dTdτ=T（T- 五十） （1）- T），（24）（25）（26），其中τ代表一个无量纲时间，以信托动力学（15）中的特征时间标度1/kde为单位表示。

模型参数（~a，~g，~r）上的波浪形符号表示参数a，grk ~~a，~g ~~r/~aD→ T AgEBITA/资产比率，以及（iii）~r是债务支付的利率。从上述资产、杠杆率、信托方程可以看出，杠杆率和信托方程构成了一个子系统（独立于a）。2.3动态的封闭式解ROA可以从公式（24）中获得，ROE可以从定义1和第2.2.2节中给出的基础资产方程（即公式（14））中获得。结果1。ROA和ROE是信任和杠杆作用的函数，取决于模型参数a、~g、~r，由以下公式给出：~rA=~g1- T- ~rL1- T+~aT- L1- T+（T- 五十） T，（27）~rE=~g+L1- L（~g）- ~r）。（28）从等式（27）可以看出，对居留权的不同贡献。r.h.s.中的第一个术语是信托杠杆化的BITA/资产比率（即。∝1.-T） 。第二项是信托杠杆化债务的成本。第三项也是通过信任发挥作用的，为正（或负）forT>L（或T<L）。它可以被解释为一种奖励（或惩罚），通过首先建立信任然后增加杠杆（分别通过在建立信任之前增加杠杆）的耐心（或耐心）。第四项是暂时的经济增长（或收缩），这是由于经济追赶从下（或上）向最佳价值增长杠杆而产生的。当用式（18）代入式（14）来代替T=1，然后用L代入式（28）来代替ROE时，自然会出现拉普拉斯- ■r）的杠杆率取决于杠杆率接近其最大值1的程度。附录A中的（25）（26）可总结如下。结果2。

杠杆/信任轨迹由以下公式给出：L（T）=1- K（1）- T）1+βTβe-β1-T+（L- 1)β1 + β+1 - T1+β+β1+βT（1- T）Z（1）- y） β+1e-βT1-泰迪, （29）其中K是一个积分常数，β：=~r+~a和L:=~g+~ar+~a（30）（29）方案，用于数值研究等式（25）和（26）所述的不同制度。2.4杠杆和信任子系统的分析（定点和稳定性）以下定理1-3给出了方程组的重要性质，如第2.2.5条所示。他们的证明见附录B定理1。杠杆/信托子系统的固定点是（T，L）=（0，L）和（T，L）=（1，L），其中由表达式（30）定义。此外，轴T=L是一个固定轴。定理2。让我们*, L*) 成为等式（25）和（26）子系统中信任和杠杆的固定点之一。然后，这些相应的方程可以线性化接近（T*, L*) 在固定点周围使用泰勒展开以获得dTdτdLdτ=（2T）*- L*)(1 - T*) - T*（T）*- L*) -T*(1 - T*)(1 - L*)hβL-L（1）-T*)+ 2T*- L*我-βL+T*-2L*1.-T*- T*（1+T*- 2L*)T- T*L- L*, （31）2×2矩阵是雅可比矩阵，其特征值可以针对不同的固定点进行研究。针对特定固定点评估的雅可比矩阵的特征值表明该固定点是吸引的还是排斥的。我们发现点（T，L）=（1，L）是吸引的，而点（T，L）=（0，L）是排斥的。axisT=Lis（部分）吸引或排斥，取决于模型参数a、~g、~r。对于L<L，axisT=Lis吸引，而对于L>L，axisT=Lis排斥。这意味着，如果g>r（然后L>1），轴T=L将对L完全吸引∈ [0, 1].定理3。固定点（T，L）=（1，L）和（T，L）=（0，L）的相应ROA为-~a.ROA和ROE在固定轴T=L上相等，由以下公式得出：~rA | T=L=~g1- L- ~rL1- L

（32）杠杆/信托轨迹和相关资产回报率的三阶段图3。1杠杆/信托轨迹和资产回报率：三个案例。1-3显示了信任、杠杆和资产回报率的动态（作为经济g>~rgrg<和g=~r的代理）。在每个图中，面板（a）以彩色代码显示了与图中位置（L，T）相对应的无量纲资产回报率（等式（27））。此外，许多轨迹（代表向量（29））具有吸引力的固定点和线，而红色粗体点和红线表示不稳定的点和线。在每个图中，面板（b）绘制了相应的吸引力点和线的不同“吸引力盆地”。各种颜色表示如下：o浅绿色区域：朝向吸引轴T=L的吸引域。o浅红色区域：朝向固定点（T，L）=（1，L）的吸引域。o浅蓝色区域：杠杆增加（可能局部减少），因此轨迹最终离开域L∈ [0, 1]. 从数学上讲，我们得到了rL>0（局部rL≤ 可能出现0）。图1-3中面板（b）中的插图显示了axisT=L上的资产回报率。资产回报率在增加时会增加、减少或保持不变，这取决于所研究的情况（~g>~r、~g<~r或~g=~r）。

注意，资产回报率等于axisT=L（定理3）上的股本回报率。LTA=0.1、~g=0.06、~r=0.04、L0=1.1-0.21-0.210.000.000.210.210.420.420.420.630.630.630.840.840.841.051.261.261.471.471.681.680.20.30.50.60.70.91-3.-2.-10123（a）杠杆/信任轨迹（黑线）和ROA（~rA）等高线图。0.2 0.4 0.6 0.8 100.10.20.30.40.50.60.70.80.91 a=0.1、~g=0.06、~r=0.04、L0=1.1LT0.2 0.4 0.6 0.8 10.050.10.150.20.25 | rA T=LL（b）吸引/排斥盆地和资产回报率如图插图所示。~g>~rattractive fixed axisT=L（绿色）。在lineT=L上，资产回报率越高，越高。有些轨迹是高度弯曲的，体现了模型所遵循的非线性动力学。L0=0.14-0.75-0.75-0.58-0.58-0.41-0.41-0.41-0.24-0.24-0.24-0.07-0.07-0.070.100.270.270.440.610.780.20.40.60.780.10.20.30.40.80.91-2.-1.5-1.-0.500.511.52（a）杠杆/信任轨迹（黑线）和ROA（~rA）等高线图。0.2 0.4 0.6 0.8 100.10.20.30.40.50.60.70.80.91a=0.1，~g=-0.08，~r=0.04，L0=0.14LT0.2 0.4 0.6 0.8 1-1.4-1.2-1.-0.8-0.6-0.4-0.20rA | T=LL（b）吸引/排斥盆地和资产收益率TLT，L，L图2:g<0的情况如图所示。可以观察到，固定轴T=Lis部分具有吸引力（绿色）和部分排斥性（红色）。theT>Lregime中的所有轨迹收敛到固定点（T，L）=（1，L），如绿点所示，其中资产回报率为负值(-)a）。

在该地区，大多数行业都被驱逐出该领域∈[0,1]，当一些轨迹收敛到轴的吸引部分时，T=L.LT＠a=0.1，＠g=0，＠r=0，L0=1-0.25-0.25-0.08-0.08-0.08-0.090.090.260.260.430.430.600.600.770.770.770.770.770.111.111.281.281.280 0.2 0.4 0.6 0.8-0.10.60.90.90-90.80＠-2.-1.5-1.-0.500.511.52（a）杠杆/信任轨迹（黑线）和ROA（~rA）等高线图。0.2 0.4 0.6 0.8 100.10.20.30.40.50.60.70.80.91a=0.1，~g=0，~r=0，L0=1LT0.20.4 0.6 0.8 1-1.-0.500.51rA | T=LL（b）吸引/排斥盆地和资产回报率，如插图所示，在T=L线上。图3：图中显示了<<g=<<r=0的情况。可以观察到，所有轨迹（黑色/蓝色线）都会收敛到有吸引力的固定轴T=L（绿色）。在t=L的直线上，资产回报率等于零：经济长期处于无经济增长状态。3.2长期资产回报的奖惩机制图1的一个有趣特征是，杠杆/信托轨迹在T>Ldomain中向上倾斜，而在T<Ldomain中向下倾斜。静止=静止越高，静止ROA越高。因此，首先建立信任并增加杠杆的常规经济体（~g>~r）会获得最高的稳态（长期）资产回报，而在建立信任之前显著增加杠杆的经济体则会受到较低的~rA | T=L的惩罚∝1.-信任度很高。当信任增长先于杠杆增长（且t>L）时，这种奖励的存在，以及当<L时惩罚的存在并不总是普遍的。

在带有gnegative（见图2）的gR的情况下，itT>LR是一个稳态点（T，L）=（1，L），其中资产回报率为负（~rA |（T=1，L=L）=-)a）。区域内的一些经济体表现更好，即图2b中浅绿色区域的经济体，它们汇聚到axisT=L的有吸引力部分，ROA仍然为负值，但大于-a.然而，该地区的其他经济体（图2b中的浅蓝色区域）处于非常不利的状态。那里的轨迹最终将被驱逐出该领域∈[0,1]. 此外，信任将被迅速摧毁，并将达到接近于零的价值，这意味着几乎没有信用卡（信用卡贷款）。除此之外，从图2a的等高线图可以看出，浅蓝色区域的资产回报率为负值。在特殊情况下，g=~r=0（图3），没有任何奖励或惩罚，因为所有轨迹都移动到资产回报率为零的稳态线t=L。这种稳定状态是日本自1990年（通常被称为“失去的二十年”）以来的经济状态，也是欧元区自2008年美国次贷危机和2010年欧洲主权债务危机以来的经济状态。日本和欧元区的特点是利率基本上消失，经济增长非常低。2015年1月，欧洲央行（ECB）宣布将从2015年3月开始，在一段确定的时间内每月购买600亿欧元债券（“ECB宣布扩大资产购买计划”，2015年）；这项量化宽松（QE）计划是一项衡量、杠杆和信任的计划，这项量化宽松政策旨在提高参数g，以确保长期ROA（axisT=L）增加。

我们将在第4.3.3节中的模型背景下分析负面冲击和政策响应的影响。在所有情况下，通过定义什么是固定点，杠杆的稳态增长为零（即1稳态=1），我们将在趋同到收益固定点之前分析暂时成本*=常数），或等价地（基于等式（5）），在固定（长期）情况下，资产和债务价值以相同的速度增长或收缩。然而，在短期内，杠杆是非恒定的，其动态可能会导致非直觉效应。例如，对于<<g>>>r（图1），在theT>Lregime中，杠杆在短期内会增加。~rL><=> ~rD>~rAshort跑步）。瞬时成本是经济收敛到具有最大产出的可持续固定点（ROA为正）的结果（Lstationary=tstationary with a valuegoal.4杠杆/信任轨迹与制度变迁本节讨论了中央银行在经济面临困境时应该何时以及如何进行干预的问题。中央银行应该直接采取行动，还是最好耐心且及时进行干预？在我们的模型中，我们通过研究模型参数g和r的不同体制变化下的愤怒/信任阶段。中央银行可以使用常规政策工具（公开市场操作、常备贷款、最低准备金要求）或非常规工具（量化宽松）来确定模型参数rand。例如，在利率较低的时候，央行的标准货币干预会降低借贷成本，使其更具吸引力。其目标是通过投资潜在的经济增长源，吸引经济主体承担更多风险，从而提振经济。