现金次加性风险度量的时间一致性

用D表示所有适应随机过程（Dt）t的集合∈[0，T]取[0，1]中的值，通过qt，以下一组概率测度在Ft上减少为P，即qt，{Q on(Ohm, F） |Q<< P和Q=P在Ft}，t上∈ [0，T]。此外，在下文中，我们将考虑一个广义的概念，即惩罚形式ct（dq）（对于任何t∈ [0，T]），这是为任何D定义的∈ D和Q∈ Q、 Andi也是一个可测量的非负随机变量+∞ 尽可能地。从现在开始，在一个带有惩罚的动态环境中，我们将指的是ct（带有t）∈ [0，T]），如上所述。下面的结果保证了（7）的动态版本是一个动态凸的、单调的、现金次加的、非恶意的风险度量。提案5给出了一个惩罚条款。inf（D，Q）∈D×Qct（dq）=0，由ρt（X）=ess定义的动态风险度量。助理（D、Q）∈D×Q{DtEQ[-X |英尺]-ct（dq）}，X∈ L∞（英尺），t∈ [0，T]，（8）是凸的，单调的，cash次可加的，标准化的，取L中的值∞（英国《金融时报》）。证据凸性、单调性和归一化（以及ρt（·）∈L∞（英国《金融时报》）直截了当。现金次可加性：对于任何t∈ [0，T]，mt∈ L∞+（英尺）和X∈ L∞（FT）表示ρt（X+mt）+mt=ess。助理（D、Q）∈D×Q{DtEQ[-十、- mt | Ft]- ct（dq）}+mt=ess。助理（D、Q）∈D×Q{mt（1）- Dt）+DtEQ[-X |英尺]- ct（dq）}≥ 字母S。助理（D、Q）∈D×Q{DtEQ[-X |英尺]- ct（dq）}=ρt（X），因此thes为。在连续性和正则性条件下，逆结果成立，如下所示。命题6 Let（ρt）t∈[0，T]是一个具有ρT:L的动态凸、单调、现金次可加、规范化和正则r isk测度∞（英国《金融时报》）→ L∞（英国《金融时报》）。

那么以下是等价的：（i）对于任何t∈ [0，T]，ρ从上往下连续；（ii）对于任何t∈ [0，T]，ρT可以表示为ρT（X）=ess。助理（D、Q）∈D×Qt{DtEQ[-X |英尺]- ct（dq）}，X∈ L∞, T∈ [0，T]（9）对于某些惩罚条款ct；（iii）任何∈ [0，T]，ρT可以用（9）中的最小术语“ct”表示，即“ct（dq），es s.supX∈L∞{DtEQ[-X |英尺]- ρt（X）}，（10）表示（D，Q）∈ D×Qt。之前结果的证明推迟到附录中（见第7.2节）。4现金辅助风险度量的时间一致性在Drapeau等人[17]和El Karoui和Ravanelli[19]中，在布朗集中考虑了以下形式的动态凸现金次加性风险度量：ρt，t（X）=ess。sup（β，q）∈B×Q（EQh）-Bβt，TXFti- EQ“ZTtBβt，sf（βs，qs）ds其中B是一组适应的随机过程β，Bβs，t=exp{-Rtsβudu}是与β相关的计数因子，Q是一组d维自适应随机过程Q，通过随机指数对应于概率测度Q，即EhdQdPFti=exp{-Rtkqukdu+RtqudWu}，f=f（ω，t，β，q）：Ohm ×[0，T]×R×Rd→ R∪ {+∞} 是一个给定的函数。特别是，之前的动态风险度量被证明是时间一致的，并且惩罚因子ct，T（β，q）=EQhRTtBβT，sf（βs，qs）dsFTI满足以下循环特性：ct，T（β，q）=ct，u（β，q）+EQhBβT，ucu，T（β，q）Fti（12）适用于任何t、u.t。

0≤ T≤ U≤ T受上述结果和Bion Nadal[4]，[5]的启发（经典共循环性质已被证明与动态凸现金加性风险度量s的时间一致性相关），我们认为广义共循环（最终与其他条件一起）是否保证相应的动态凸现金次加性风险度量是时间一致的，或者更好，在这种情况下，一般的动态cas h-次加性风险度量是一致的。在本节中，我们将采用与Bion Nadal[4]、[5]所用的现金加成风险度量方法类似的方法来回答上述问题。如前所述，设D为所有适应的约束过程e s（Dt）t的集合∈[0，T]取[0，1]中的值，设Q为一组概率测度（绝对连续或等价于P）。现在让我们（ρt）t∈[0，T]是以下形式的动态风险度量：ρT（X）=ess。助理（D、Q）∈D×Q{DtEQ[-X |英尺]- 任何t的ct（dq）}（13）∈ [0，T]和X∈ L∞（Ft）或者更一般地说，ρt，u（Y）=ess。助理（D、Q）∈D×Q{Dt，uEQ[-Y |英尺]- 任何t，u的ct，u（dq）}（14）∈ [0，T]与T≤ u和Y∈ L∞(傅)。用（Dt，u）t∈[0，u]我们指的是一个适应的随机过程，时间在u上，取值在[0，1]中，时间在（ct，u）t上∈[0，u]广义惩罚项指的是时间范围u，其中Dt=Dt，T，ct=ct，且ρT=ρT，T.Dt，uca可以解释为一个因子。请注意，在Drapeau等人[17]以及ElKaroui和Ravanelli[19]Bt中，Dt、uis Ft是可测量的，而uwas Fu是可测量的。值得强调的是，假设式（13）的ρtis没有太大的限制性。

事实上，从命题5我们知道（ρt）t∈[0，T]是一个动态凸、单调和现金次加性风险测度，而从命题6我们知道，在从上到下的连续性和正则性下，任何动态凸、单调和现金次加性风险测度都可以表示为（13）中的Qt。我们现在考虑以下假设：-关于Q的假设：（Qa）Q是概率测度的子集，它们都等价于初始P。（Qb）（粘贴稳定性）对于任何Q，Q∈ 对于任何s，t，u∈ [0，T]带s≤ T≤ u存在一个可能性度量Q*∈ Q（在Q和Q之间粘贴）这样：*[X | Fs]=EQ[EQ[X | Ft]| Fs]，对于任何X∈ L∞(傅)。（Qc）（分岔稳定性）对于任意Q，Q∈ Q、 对于任何s，t∈ [0，T]带s≤ t和任何A∈ 存在一个概率测度*∈ Q：EQ*[X | Fs]=1AEQ[X | Fs]+1AcEQ[X | Fs]，对于任何X∈ L∞（英国《金融时报》）关于D的假设：（Da）对于任何D，D∈ D、 对于任何s，t∈ [0，T]带s≤ 安雅呢∈ 存在FSD*∈ D：D*s、 t=1ADs，t+1AcDs，t.-关于Q和D联合的假设：（QDa）（粘贴jo int的稳定性）对于任何Q，Q∈ Q、 D，D∈ 对于任何s、t、u∈ [0，T]带s≤ T≤ 存在吗*∈ Q和D*∈ D如：D*s、 uEQ*[X | Fs]=Ds，tEQDt，uEQ[X |英尺]财政司司长, 对于任何X∈ L∞(傅)。此外：当Q=Q=Q和D=D=D都满足时，它认为D*= D和Q*= Q.-关于惩罚项c：（Ca）cs，t（dq）的假设是一个Fs可测量的非负随机变量，最终也是+∞ 尽可能地确定任何D的价值和定义∈ D和Q∈ Q.（Cb）（广义局部性）对于任何Q，Q∈ Q、 D，D∈ D、 s，t∈ [0，T]带s≤ 不管怎样∈ Fsit认为：如果任意X的1AEQ[X | Fs]=1AEQ[X | Fs]∈ L∞（Ft）和1ADs，t=1ADs，t=> 1Acs，t（DQ）=1Acs，t（DQ）。（Cc）（广义余循环）对于任意Q∈ Q、 D∈ D、 对于任何s，t，u∈ [0，T]带s≤ T≤ u:cs，u（dq）=cs，t（dq）+EQ[Ds，tct，u（dq）|Fs]。

（15） 关于Q的假设（Qa），（Qb）和（Qc）与Bion Nadal[4]中的假设相同，其中（Qc）被称为分岔的稳定性。假设（Cb）和（Cc）onc在D={D:D]时简化为经典假设（见Bion Nadal[4]，[5]）≡ 1} （对应于现金添加剂情况）。关于D的假设以及关于D和Q的假设（QDa）都是新的。注意，当D={D:D时，最后一个假设会降低粘贴到Q（Qb）上的稳定性≡ 1} 。定理7如果（ρs，t）0≤s≤T≤如（14）所述，如果D、Q和c满足上述所有假设，那么它（强烈）是时间组成的。上述结果的证据可在附录中找到（见第7.3节）。5时间一致性的不同概念及其关系在现金可加性假设下，关于动态凸风险度量的一个关键问题是，在不同时间相同的动态凸风险度量之间是否存在任何关系。虽然这个问题引入了时间一致性的几个概念，但对于动态凸现金加法r isk度量，众所周知（在[1]中的命题1.16），时间一致性的三个主要概念（strong、weak和weak*）都是等价的。在下文中，我们将研究现金次可加性凸风险度量的结果，尤其是类似结果是否仍然成立（现金次可加性削弱了现金可加性）。我们将看到，在现金次加法的情况下，强、弱和弱时间一致性的等价性不再有效，而只有一些含义是真的。下面的结果强调了当只有现金次可加性时，强、弱和弱时间一致性之间的联系。

一方面，这个结果可以被看作是[1]中命题1.16对现金次加性情形的扩展；另一方面，它比上述结果弱。命题8 Let（ρt，t）t∈[0，T]是一个动态风险度量。a） 如果它满足单调性，那么时间一致性意味着弱时间一致性（因此也是弱*时间一致性）。b） 如果它满足恒常性，那么弱*时间一致性意味着时间一致性。c） 如果满足现金次可加性且ρt（0）=0（归一化），则weaktime一致性意味着ρs（X）≤ ρs(-ρt（X））（分别为ρs（X）≥ ρs(-ρt（X）），对于任何带0的s，t≤ s≤ T≤ T和任何X∈ L∞（FT）s.t.ρt（X）≤ 0（分别为ρt（X）≥ 0).证据a） 在F¨ollmer和Penner[20]中，当不需要现金可加性时，可以完全证明。b） 证明的方法与F¨ollmer和Penner[20]中的方法类似。实际上，通过恒常性，ρt（X）=ρt(-ρt（X））适用于任何X∈ L∞（Ft）安德特∈ [0，T]。因此，弱*时间一致性意味着ρs（X）=ρs(-ρt（X））对于任何s∈ [0，t]，因此具有时间一致性。c） 用0取任意s，t≤ s≤ T≤ T和任意X∈ L∞（FT）s.t.ρt（X）≤ 0.通过ρt（X）≤ 0和现金次可加性ρt(-ρt（X））≥ ρt（X）。所以，通过弱时间一致性，ρs(-ρt（X））≥ ρs（X）。ρt（X）的情况≤ 可以类似地检查0。上述结果为单调风险度量提供了以下含义：o强时间一致性=> 弱时间一致性(=> 弱*时间一致性）o恒定条件下：强时间一致性<= 弱*时间一致性以下示例强调，当现金可加性被现金次可加性取代时，弱时间一致性通常不能保证强时间一致性，。例9考虑以下动态风险度量：ρt（X）=γtE(-十） +|英尺, 十、∈ L∞, T≥ 0，带γt∈ L∞（Ft）满足γt>1。

这种动态风险度量将El Karoui和Ravanelli[19，第569页]中引入的看跌期权溢价风险度量的概念推广到了动态环境中。与[19]的推论3.4一样，可以证明（ρt）t≥0是一种动态现金次加性风险度量。此外，ρ是凸的、正同态的、单调的≥ 我们现在证明（ρt）t≥0是弱时间一致性，但不是强时间一致性。（ρt）t的弱时间一致性≥0.假设有一天≥ 0和X，Y∈ L∞我们有ρt（X）≤ ρt（Y）。这相当于说(-十） +|英尺≤ E(-Y）+|英尺. （16） 现在，对于任何s，考虑ρs（X）和ρs（Y）∈ [0，t]。通过定义ρ和不等式（16），我们得到ρs（X）=γ-1sE(-十） +|Fs= γ-1sEE(-十） +|英尺|财政司司长≤ γ-1sEE(-Y）+|英尺|财政司司长= γ-1sE(-Y）+|Fs= ρs（Y）。因此（ρt）t≥0是弱时间一致的。非强时间一致性。我们将要证明下面的s-trict不等式：ρs(-ρt（X））<ρs（X），for s ome X和0≤ s≤ t、 这意味着（ρt）t≥0时间一致性不强。对于s∈ [0，t]，我们有ρs(-ρt（X））=ρs-γ-1tE(-十） +|英尺= γ-1sEγ-1tE(-十） +|英尺|财政司司长.现在带上任何X(-十） +>0 P-a.s.（例如。

X=-m代表m∈ R、 m>0）。由于γ是可测量的，我们得出结论ρs(-ρt（X））=γ-1sEEγ-1t(-十） +|英尺|财政司司长= γ-1sEγ-1t(-十） +|Fs< γ-1sE(-十） +|Fs= ρs（X），因此（ρt）t不能满足强时间一致性。6结论性意见本文获得的主要结果可以总结如下：首先，我们通过惩罚项和贴现因子提供了动态凸现金次加性风险度量的双重重新表示，采用与El Karoui和Ravanelli[19]所用静态风险度量方法不同的方法得出的结果；其次，证明了惩罚项、计数因子和概率测度集的适当条件对于动态凸次可加风险测度的强时间一致性是有效的；最后，我们研究了强、弱和弱*时间一致性的概念在现金次加性情况下的哪些关系成立。7附录：证明7。1定理4（i）的证明<=> （ii）是由于Frittelli和Maggis[23]的命题2.5。（二）=> （三）。假设ρ是下半连续的。由于ρ是由Frittelli和RosazzaGianin[24，定理5]以及F¨ollmer和Schied[22，定理A.61]确定的，凸的，单调的和下半连续的，因此ρ可以表示为ρ（X）=supX′∈P{X′(-十）- ρ*（X′），（17）这是根据芬切尔-莫罗-co-njugateρ*ρ和非空凸集P的 L+。在没有普遍性的情况下，我们可以假设P中的所有元素都满足ρ*（X′）<+∞.这足以证明P WX′∈ L+：X′（1）≤ 1.. （18） 如果（18）成立，我们确实可以识别任何X′∈ W具有亚基性度量值u∈ P′ 通过设置X′=dudP来测量Ms（P）。

通过单独使用以下符号X′（X）=E[X′来(-十） ]=Eu[-十] 对于X′∈ W、 ρ（X）=supX′∈P{X′(-十）- ρ*（X′）}=supu∈P′{Eu[-X]- \'c（u）}=sup（a，Q）∈[0,1]×Q{aEQ[-X]- \'c（aQ）}，对于某些Q M（P）因为，通过定义，最小惩罚函数‘c’可以与ρ识别*.因此，让我们来证明（18）。通过现金次可加性和归一化，我们得到ρ(-m）≤ m代表任何m∈ R和m≥ 因此，ρ(-m） =supX\'∈P{mX′（1）- ρ*（X′）]≤ M M∈ R、 m≥ 这意味着mx′（1）- ρ*（X′）≤ MM≥ 0, X′∈ P、 或者，等价地，m（X′（1）- 1) ≤ ρ*（X′），M≥ 0, X′∈ P.（19）假设X′（1）>1。因为不等式（19）适用于任何m≥ 0，则意味着ρ*（X′）=+∞. 这就是本文的主题。影响（三）=> （iv）显而易见，而（iv）=> （i） 7.2命题6的证明目前的证明将Detlefsen和Scandolo[15，定理1]的证明推广到了动态凸现金次可加测度的情形。含义（三）=> （ii）立即生效。（二）=> （i） 可以证明类似于Detlefsen和Scandolo[15]。我们提供了完整性的证明。假设ρtca可以用惩罚项表示在（9）中，并假设XnX P-a.s.通过单调收敛定理，它遵循[-Xn |英尺]- ct（dq）DtEQ[-X |英尺]- 每Q的ct（dq）∈ Qt。因此ρt（X）=ess。助理（D、Q）∈D×Qt画→+∞{DtEQ[-Xn |英尺]- ct（dq）}≤ 林恩芬→+∞赫斯。助理（D、Q）∈D×Qt{DtEQ[-Xn |英尺]- ct（dq）}i=lim infn→+∞ρt（Xn）≤ ρt（X），其中最后一个不等式是由ρt（i）的单调性引起的=> （三）。假设，无论如何∈ [0，T]，ρ从上方连续。我们必须证明ρt（X）=ess。助理（D、Q）∈D×Qt{DtEQ[-X |英尺]- \'ct（dq）}。自从ineq事件以来≥ 紧接着从“ct”的定义开始，它仍然显示出相反的不平等性。

为了实现这一目标，有必要证明∈ [0，T]，它保持[ρT（X）]≤ 埃斯。助理（D、Q）∈D×Qt{DtEQ[-X |英尺]- \'ct（dq）}i.在这种情况下，inde D，随机变量y，ρt（X）- 字母S。助理（D、Q）∈D×Qt{DtE[-X |英尺]- \'ct（dq）}≥ 0，P-a.s.，满意度E[Y]≤ 0，意味着Y=0，P-a.s.，因此论文。我们现在一步一步地进行。第一步：定义和性质ρ0，t。现在让我们来看看映射ρ0，t:L∞→ R定义为ρ0，t（X），E[ρt（X）]forX∈ L∞. 立即检查ρ0是否为静态凸、单调、次加性风险度量。此外，ρ0从上往下是连续的。通过从ρtit的上方单调收敛和连续性，取任意序列XnX，P-a.s.认为ρ0，t（Xn）=E[ρt（Xn）]E[ρt（X）]=ρ0，t（X）。根据上述论点和定理4，可以得出ρ0，t（X）=sup（a，Q）∈[0,1]×Q{aEQ[-X]- \'c0，t（aQ）}=supu∈S{Eu[-X]- \'c0，t（u）}（20），其中Q M（P），S Ms（P）和‘c0，t（aQ）=supX∈L∞{aEQ[-X]- ρ0，t（X）}，对于任意Q∈ Q\'c0，t（u）=supX∈L∞{Eu[-X]- ρ0，t（X）}，对于任何u∈ 我们需要证明ρ0，tca也可以用以下方式写成：ρ0，t（X）=sup（D，Q）∈D×Qt{EP[DtEQt[-X |英尺]]- \'c0，t（dq）}。（21）步骤2：对于某些Dt，u可以分解为u=DtQ∈ D和Q∈ Qt。我们通过证明如果u=aQ（带Q∈ M（P），Q<< 潘达∈ [0,1]）满意度c0，t（u）<+∞, 然后就有了Dt∈ D和Q∈ Qt（hence0≤ Dt≤ 1而)Q=P在Ft上）满足u=Dt)Q。用ZT=dQdP表示，用ZT表示，用EPhdQdP表示通过N0，t集合N0，t，{ω∈ Ohm : Zt（ω）=0}。显然不是∈ 我们注意到1N0，tZT≡ 0P-a.s。。实际上，EP[1N0，tZT]=EP[1N0，tZT | Ft]=EP[1N0，tEP[ZT | Ft]=EP[1N0，tZT]=0。上面的a参数和1N0，tZT≥ 0，P-a.s.，意味着1N0，tZT≡ 0，P-a.s。。现在就开始)Q（B），ZB\\N0，tZ-1t（ω）dQ（ω）+ZB∩N0，任意B的tdP（ω）∈ FTDt，aZtHence Dt≥ 0，P-a.s.，在N0，t上，a和Dt=0。