现金次加性风险度量的时间一致性

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英文标题：
《Time-consistency of cash-subadditive risk measures》
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作者：
Elisa Mastrogiacomo and Emanuela Rosazza Gianin
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  The main goal of this paper is to investigate under which conditions cash-subadditive convex dynamic risk measures are time-consistent. Proceeding as in Detlefsen and Scandolo \\cite{detlef-scandolo} and inspired by their result, we give a dual representation of dynamic cash-subadditive convex risk measures (that can also be seen as particular case of the dual quasiconvex representation). The main result of the paper consists in providing, in the cash-subadditive case, a sufficient condition for strong time-consistency (or recursivity) in terms of a generalized cocycle condition. On one hand, our result can be seen as an extension to cash-subadditive convex dynamic risk measures of Theorem 2.5 in Bion-Nadal \\cite{bion-nadal-FS}; on the other hand, it is weaker since strong time-consistency is not fully characterized. Finally, we exploit the relation between different notions of time-consistency.
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中文摘要：
本文的主要目的是研究现金次加凸动态风险度量在什么条件下是时间一致的。在Detlefsen和Scandolo中，受其结果的启发，我们给出了动态现金次加凸风险测度的对偶表示（也可以看作对偶拟凸表示的特例）。本文的主要结果在于，在现金次可加的情况下，根据广义共循环条件，给出了强时间一致性（或递归性）的一个充分条件。一方面，我们的结果可以看作是Bion Nadal\\cite{Bion Nadal FS}中定理2.5的现金次加凸动态风险度量的推广；另一方面，它是较弱的，因为强时间一致性没有得到充分表征。最后，我们利用时间一致性的不同概念之间的关系。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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2022-5-9 15:51:48 上传

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关键词：风险度量 一致性 风险度 Presentation Mathematical

米兰比科卡大学，意大利。电子邮件：emanuela。rosazza1@unimib.it这项工作的一部分是在最后一位作者作为《稳健金融：战略力量、骑士不确定性和经济政策建议的基础》研究小组的成员访问德国比勒菲尔德的ZIF中心时完成的。感谢ZIF中心的财政支持、热情好客和令人振奋的气氛。虽然上述概念涉及现在量化财务头寸的风险（静态设置），但更现实的是考虑动态设置，即在当前和未来期限之间的任何时间量化头寸的风险。为此，引入并研究了动态相干和对流风险度量。参见，在许多其他s中，Artzner等人[3]、Bion Nadal[4]、[5]、Cheridito等人[9]、Delbaen[13]、Detlefenand Scandolo[15]、F¨ollmer and Penner[20]、Frittelli and Rosazza Gianin[25]、Kl¨oppel and Schweizer[26]和Riedel[27]。在动态环境中，一个关键属性是时间一致性的概念。在文献中介绍和研究的时间一致性的不同概念中，最广泛使用的是所谓的强时间一致性，对应于重复性。虽然动态一致性风险度量的时间一致性与出现在此类风险度量双重表示中的概率度量集的m稳定性（或矩形性）密切相关（seeDelbaen[13]），在动态凸条件下，强时间一致性是通过接受集上的分解性质（见Cheridito et a l[9]）和极小值项上的一个概率（称为协循环）来表征的（见Bion Nadal[4]中的连续时间和F¨ollmer and Penner[20]中的圆盘反射时间）。

关于风险度量的时间一致性的进一步研究可以在阿克亚奥和彭纳[1]、切里迪托和库珀[10]、德尔巴恩e t等人[14]、德特莱弗森和斯堪多洛[15]、德雷托等人[17]、克洛·佩尔和施韦泽[26]、里德尔[27]、鲁达和舒马赫[28]以及罗莎·贾宁[29]等其他人中找到。尽管在上述关于静态和动态风险度量的工作中，经常使用现金可加性，但ElKaroui和Ravanelli[19]最近讨论了这一公理（后来还讨论了Ce Rriea Vioglio等人[6]、Drapau和Kupper[16]以及Frittelli和Ma ggis[23]）。正如这些作者所说，事实上，现金的可加性太强了，主要是在随机利率或贴现的模糊性下。受这一论点的启发，El Karoui和Ravanelli[19]通过用现金次加性代替灰分加性引入了广泛的现金次加性风险度量。在本文中，我们从生成动态凸现金-加性风险度量文献中建立的结果的角度，重点研究动态凸现金-加性动态风险度量。首先，我们通过惩罚项和贴现因子，以及遵循与El Karoui和Rava nelli[19]用于静态风险度量的方法不同的方法，提供了动态凸现金次可加性风险度量的双重表示。其次，我们证明了惩罚项上的广义协循环条件，以及折扣因子和概率测度集上的适当条件，保证了相应的动态风险测度的强时间一致性。最后，我们讨论并联系了文献中提出的现金次加法情况下时间一致性的不同概念。特别是，我们研究了强、弱和弱时间一致性之间的联系。

我们强调，由于缺乏现金可加性，我们不能期望这些概念之间的等价性。虽然强时间一致性意味着弱时间一致性，但我们证明了当现金可加性被现金次可加性取代时，反之则不成立。一方面，我们关于时间一致性的结果可以看作是[4，定理2.5]和[15，命题5]的动态凸现金次加风险测度的推广；另一方面，由于我们无法证明完整的特征，它们更弱。本文的组织结构如下：在第2节中，我们介绍了本文中使用的符号和基本假设；在第3节中，我们回顾并定义了当现金可加性消费被cas h次可加性取代时，动态凸风险度量s的双重表示结果。本文的主要结果可以在第4节中找到，在这里我们提供了充分的条件（关于惩罚的非通用共循环性质，以及在计数因子和概率测度集上的粘贴性质），使动态对流次加性风险测度具有时间一致性。最后，第5节讨论了不同时间一致性概念之间的联系。还考虑了强调现金加法和现金次加法之间差异的示例和反例。第6节收集了一些结论性意见，而附录包含了主要结果的证明。2符号和初始标记(Ohm, F） 是一个可测空间，P是它的概率测度。用M1，f，M1，f表示(Ohm, F） 所有完全可加集函数的类别sq:F→ [0,1]被归一化为1，并由M=M表示(Ohm, F） M1的子集，由M1，F的所有σ-可加元素构成，这是一类全概率测度(Ohm, F） 。此外，Ms、f（分别为。

Ms）将表示所有完整加性（分别为σ-a加性）测量值的集合(Ohm, F） 例如：0≤ u(Ohm) ≤ 1（称为子婴儿）。M（P），M(Ohm, F、 P）（分别为Ms（P）、Ms(Ohm, F、 P）将表示所有σ-加性概率（分别为子概率）度量的集合(Ohm, F） 对于P是绝对连续的。在n滥用符号的情况下，以下等式[X]将表示X相对于Q的积分∈ M1，f.注意，一个ny元素u∈ Ms，f（以Ms为单位）可分解为u（·）=aQ（·），用于某些常数a∈ [0,1]和一些度量Q∈ M1，f（分别以米为单位）。如果u=0，则a=0和Q∈ M1，f（分别以M表示）不是唯一的。在下文中，我们将重点讨论L上的随机变量∞(Ohm, F、 P），我在哪里∞(Ohm, F、 P）是上所有基本上未知的随机变量的空间(Ohm, F、 P）。为了简单起见，我们通常会写L∞而不是我∞(Ohm, F、 P）。我们称L的拓扑对偶空间∞被赋予k·k∞是巴，而他是我的一个∞被赋予弱者的*拓扑σ（L）∞, 五十） 是L。设T为固定时间范围，le T为集合{0，1，…，T}（离散时间）或时间间隔[0，T]（连续时间）和Let（Ft）T∈特变电工过滤F满足F={; Ohm} 我们记得静态风险度量ρ是函数ρ：L∞→ R满足一些合适的假设。（静态）相关和凸现金加性风险度量在文献中得到了广泛的讨论和研究。参见Artzneret al.[2]、Delbaen[12]、F¨ollmer and Schied[21]、[22]、Frittelli and RosazzaGianin[24]等。在动态环境中，动态风险度量被定义为一个系列（ρt）t∈Tof泛函ρt:L∞（英国《金融时报》）→ L∞（Ft）考虑到时间t之前的所有可用信息。在静态情况下，有时会将类似的公理应用于动态风险度量（见amongothers，Artzner等人）。

[3] ，Detlefsen和Scandolo[15]，F¨ollmer和Penner[20]，Frittelli和Rosazza Gianin[25]，K l¨oppel和Schweizer[26]以及Riedel[27]）。下面是一些主要的例子：-凸性：ρt（αX+（1- α） Y）≤ αρt（X）+（1）- α） 任意t的ρt（Y）∈ T，X，Y∈ L∞（FT），α∈ [0, 1];- 单调性：X≤ Y，P-a.s.，意味着ρt（X）≥ 任意t的ρt（Y）∈ T；-从上方（分别从下方）开始的连续性：Xn↓nX（分别为Xn↑nX）意味着对于任何t，limnρt（Xn）=ρt（X）∈ T；-现金可加性：对于任何t∈ T，ρT（X+mt）=ρT（X）- MTX∈ L∞（FT）和mt∈ L∞（Ft）；-标准化：ρt（0）=任何t的0∈ T；-恒常性：ρt（mt）=-任何机器翻译∈ L∞（英国《金融时报》）。一个更具技术性的公理如下：-规律性：对于任何t∈ [0，T]，ρT（X1A+y1ac）=1AρT（X）+1AcρT（Y）对于anyA∈ Ft，X，Y∈ L∞（英国《金融时报》）。最近，人们讨论了现金可加性和凸性的公理（见El Karoui和Ravanelli[19]和Cerreia-Vioglio等人[6]），并分别通过：-现金次可加性：对于任何∈ T，ρT（X+mt）≥ ρt（X）- MTX∈L∞（FT）和mt∈ L∞+（Ft）；-拟凸性：ρt（αX+（1）- α） Y）≤ 字母S。任何t的sup{ρt（X）；ρt（Y）}∈ T，X，Y∈ L∞（FT），α∈ [0, 1].我们将现金可加性与USCASH次可加性的讨论推迟到下一节。注意，ca-sh次加性和归一化意味着ρt（mt）=ρt（0+mt）≥ ρt（0）- mt=-mt（类似地，ρt(-mt）≤ mt）对于任何mt∈ L∞+（英国《金融时报》）。从现在开始，我们将用ρs，t:L表示∞（英国《金融时报》）→ L∞（财政司司长）≤ t） 通过ρs=ρs，t.动态风险度量的理想属性是所谓的时间一致性，它允许在不同时间关联相同的风险度量。

然而，文献中存在不同的时间一致性概念：-强时间一致性（简称时间一致性）或递归性：ρs，t(-ρt，u（X））=任意X的ρs，u（X）∈ L∞（Fu）a和s，t，u加0≤ s≤ T≤ U≤T；-弱时间一致性：如果ρt，u（X）≥ ρt，u（Y），然后ρs，u（X）≥ ρs，u（Y）对于任何s∈ [t，u]；-弱*时间一致性：如果ρt，u（X）=ρt，u（Y），那么对于任何s，ρs，u（X）=ρs，u（Y）∈ [t，u]。虽然强时间一致性保证了一个位置在时间上的风险可以通过两种方式（即，直接在时间上或分两步——从时间u到时间t，然后到时间s）等价计算，但弱时间一致性和弱时间一致性意味着，如果一个位置在时间t上比另一个位置更危险（或与另一个位置一样危险），则该位置在任何时间都适用≤ t、 时间一致性的进一步概念也可以在鲁尔达和舒马赫最近的著作中找到[28]。众所周知（se e–o llmer和Penner[20]、Delbaen[13]和Detlefsen and Scandolo[15]等）对于凸型现金加性风险衡量的是高于re等价物的三个概念。此外，对于动态凸cas h-加性风险测度，Bion Nadal[4]，[5]证明了时间一致性与动态风险测度罚项的所谓共循环性质密切相关。本文的主要目的是研究cas-hsubative情形下发生的情况，并为凸现金-次可加性风险测度的时间一致性提供充分条件。显然，对于一般风险度量，弱时间一致性意味着弱时间一致性。3.现金的双重表示——如El Karoui和Ravanelli[19]所强调的，假设现金可加性对于风险度量并不总是合理的，主要是在处理随机利率或贴现的模糊性时。

基于这些观点，上述作者提议用c ash次加性的弱加性取代现金加性。3.1静态设置在下文中，我们回顾了El Ka roui和Ravanelli[19]对凸现金次加性风险度量的双重重新表述，类似于凸现金次加性风险度量的双重表述，但在子概率方面，我们提供了一些在本文中有用的额外结果。特别地，刻画了L上凸现金次可加风险测度∞给出了一个集中在概率测度上的罚函数。命题1（见El Karoui和Ravanelli[19]中的定理4.3]）任意凸、单调、非正规和现金次加风险测度ρ：L∞→ rca可以表示为ρ（X）=supu∈Ms，f{Eu[-X]- \'c（u）}，（1）其中\'c是由\'c（u）=supX定义的最小惩罚函数∈L∞{Eu[-X]- ρ（X）}。（2） 备注2：由于任何子属性∈ Ms，fca可以写成u（·）=aQ（·）表示某些a∈ [0,1]和Q∈ M1，f，然后表示式（1）（以及与任何惩罚函数的类比）可以重写如下ρ（X）=supa∈[0,1]，Q∈M1，f{aEQ[-X]- \'c（aQ）}（3）=supa∈[0,1]，Q∈M1，f{aEQ[-X]- c（aQ）}（4），其中c是任何惩罚函数。在本文的其余部分中，我们将始终参考这种表示法，其中惩罚函数被视为[0,1]×M1，f上的m ap，而不是Ms，f。如下文所述，ρ从下方的连续性保证了（1）中的对偶表示法可以用概率度量，而不仅仅是完全相加的度量。命题3（见[19]中的定理4.3和推论4.4]）设ρ：L∞→R是一个凸的、单调的、规范化的、现金次加性的风险度量，它从下到下是连续的。假设c是[0,1]×M1，ρ上的任意惩罚函数。

然后c集中在[0,1]×M上，即c（aQ）<∞ ==> Q是σ-可加的（因此是一个概率度量）。我们现在关注的是那些在概率空间中定义的风险度量(Ohm, F、 P）。从现在开始∞将表示L∞= L∞(Ohm, F、 P）而M（P）（分别为Ms（P））是所有σ-加性概率（分别为子概率）的集合(Ohm, F） 对于P是绝对连续的。注意，任何风险度量ρ：L∞→ R∪ {+∞} 满足单调性、现金次可加性和归一化是有限值的。确实：通过单调性ρ（ess.sup X）≤ ρ（X）≤ ρ（es s.inf X）。如果是的话。inf（X）≥ 0，然后ρ（X）≤ρ（ess.inf X）≤ 0和ρ（X）≥ ρ（ess.sup X）≥ - 字母S。助理（X）∈ R.否则，ρ（X）≤ ρ（ess.inf X）≤ - 字母S。inf（X）∈ R和ρ（X）=ρ（X- （es s.sup（X）+1）+1）≥ ρ (1) ≥ -1.下面的结果刻画了凸的、现金次加的、单调的、标准化的风险度量，这些度量可以用子概率度量表示。该证明是由Fe nchel Morea u biconjugate定理驱动的，尤其是通过使用一般凸风险度量的表示（见Frittelli和Rosazza Gianin[24]以及F¨ollmer和Schied[22]）。这种方法不同于El Karoui和Ravanelli[19]中定理4.3的证明中使用的方法。事实上，在这种情况下，上述作者证明，对于任何现金次加性风险度量，它通过增加一个w维度来响应现金加性，因此他们应用了已知的现金加性风险度量结果。定理4设ρ：L∞→ R可以是凸的、单调的、现金次加的、标准化的风险度量。

那么以下是等价的：（i）ρ从上面是连续的；（ii）ρ相对于σ（L）是下半连续的∞, 五十） -拓扑；（iii）ρ可以表示为ρ（X）=supa∈[0,1]，Q∈Q{aEQ[-X]- \'-c（aQ）}（5）其中Q M（P），其中最小惩罚函数c:[0，1]×Q→[0; +∞] 定义为“c（aQ）=supX∈L∞{aEQ[-X]- ρ（X）}。（6） （iv）ρ可以通过一些惩罚函数c:[0，1]×Q表示为（5）→ [0; +∞].前一结果的证明推迟到附录中（见第7.1节）。3.2动态设置在前一节中，我们认为，任何（静态）凸现金从上述风险度量ρ：L开始是次可加和连续的∞(Ohm, F、 P）→ R可以表示为ρ（X）=supa∈[0,1]，Q∈Q{aEQ[-X]- c（aQ）}，X∈ L∞, （7） 就集合Q而言 概率测度和惩罚函数的M（P）[0,1]×Q→ [0, +∞]. 我们现在关注的是一个动态环境，在这里我们证明了动态凸现金次可加r isk测度的相似对偶表示，这些测度从上面开始是连续的。为了实现这一目标，我们采用了与El Karoui和Ravanelli[19]中静态情况下使用的方法不同的方法，在静态情况下，与任何现金次加性风险相关的作者通过添加新维度来衡量现金加性风险，以便能够将经典结果用于现金加性风险度量。更准确地说，我们将采用与Detlefsen和Scandolo[15]使用的方法类似的方法来衡量现金附加风险。设[0，T]为时间间隔，且（Ft）T∈[0，T]是F的过滤，使F={; Ohm} FT=F。