现金次加性风险度量的时间一致性

此外，还可以检查Q是一个概率度量。现在，我们验证了对于任何B，tQ=P在Ft.上∈ 事实上，我们有Q（B）=ZB\\N0，tZ-1t（ω）ZT（ω）dP（ω）+ZB∩N0，tdP（ω）。（22）自B\\N0，t∈ 使用条件期望的定义，我们得到了zb\\N0，tZ-1t（ω）ZT（ω）dP（ω）=ZOhmB\\N0，t（ω）Z-1t（ω）ZT（ω）dP（ω）=EP[EP[1B\\N0，tZ-1tZT | Ft]=EP[1B\\N0，tZ-1tZt]=P（B\\N0，t）。使用最后一个等式，（22）becomesQ（B）=P（B\\N0，t）+P（B）∩N0，t）=P（B）。因此，我们证明了μ=Dt，对于任何C∈ FTu（C）=ZC\\N0，tadQ（ω）+ZC∩N0，tadQ（ω）=ZC\\N0，taZt（ω）dQ（ω）+ZC∩N0，taZT（ω）dP（ω）=ZC\\N0，tDt（ω）dQ（ω）+ZC∩N0，taZT（ω）dP（ω）=ZCDt（ω）dQ（ω）sinceRC∩N0，taZT（ω）dP（ω）=0=RC∩N0，tDt（ω）dQ（ω）。因此u=Dt~Q。我们已经知道Dt≥ 0，P-a.s。。还有待验证Dt≤ 1，P-a.s。。假设P（Dt>1）>0，seta={ω：Dt（ω）>1}。因为DTFT是可测量的，所以我们有一个∈ FtandP（A）<ZADt（ω）dP（ω）=ZA\\N0，taZt（ω）dQ（ω）+ZA∩N0，taZt（ω）dP（ω）=ZA\\N0，taZt（ω）Z-1t（ω）dQ（ω）+ZA∩N0，tadQ（ω）=aQ（A\\N0，t）+aQ（A）∩ N0，t）=u（A）。根据c ash次可加性和ρt的正则性，可以得出e，c0，t（u）=supX∈L∞{Eu[-X]- ρ0，t（X）}≥ supλ>0{Eu[λ1A]- ρ0，t(-λ1A）}=supλ>0{λu（A）- E[ρt(-λ1A）]}=supλ>0{λu（A）- E[1Aρt(-λ)]}≥ supλ>0{λ（u（A）- P（A））}=+∞这与假设“c0，t（u）”相矛盾+∞. 因此0≤ Dt≤ 1，P-a.s.通过以上所有参数，我们推断出Eu[X]=E![Q[DtX]=E![E![Q[DtX | Ft]=EP[DtE![Q[X | Ft]=EP[DtE![X |[X | Ft]），因此‘c0，t（dq）=supX∈L∞{EP[DtE?Q[X | Ft]]- ρ0，t（X）}。步骤3：对于任何D，E[\'ct（dq）]=\'c0，t（dq）∈ D、 Q∈ Qt。我们现在证明了对于任意的D，E[\'ct（dq）]=\'c0，t（dq）∈ D和Q∈ Qt。

修正（D，Q）∈ D×qt与setCD，Q，{DtEQ[-X |英尺]- ρt（X）|X∈ L∞} .我们假设CD，Qi是向上的，也就是任意X，Y∈ L∞存在X∈ L∞这样的话[-\'X |英尺]- ρt（\'X）=max{DtEQ[-X |英尺]- ρt（X）；DtEQ[-Y |英尺]- ρt（Y）}（因此属于CD，Q）。事实上，fix，Y∈ L∞设置Z，X1A+Y1ac∈ L∞, 其中，{DtEQ[-X |英尺]- ρt（X）≥ DtEQ[-Y |英尺]- ρt（Y）}。显然，一个∈ 根据ρt的规律，ρt（Z）=ρt（X1A+y1ac）=1Aρt（X）+1Acρ（Y）。亨塞德克[-Z |英尺]- ρt（Z）=DtEQ[-X1A- Y 1Ac |英尺]- ρt（X1A+y1ac）=（DtEQ）[-X |英尺]- ρt（X））1A+（DtEQ[-Y |英尺]- ρt（Y））1Ac=max{DtEQ[-X |英尺]- ρt（X））；DtEQ[-Y |英尺]- ρt（Y））}。因此，CD、Qis向上。根据F¨ollmer和Schied[22，定理A.32]，它遵循[ess.sup CD，Q]=ess。好的∈L∞E[DtEQ[-X |英尺]- ρt（X）]因此，对于任何（D，Q）∈ D×Qt，E[\'ct（dq）]=E[ess.supX∈L∞{DtEQ[-X |英尺]- ρt（X）}]=e ss。好的∈L∞E{DtEQ[-X |英尺]- E[ρt（X）]}=E ss。好的∈L∞{E[DtEQ[-X |英尺]]- ρ0，t（X）}=\'c0，t（dq）。第4步：最终论点。最后，通过（20）我们得到ρ0，t（X）=sup（D，Q）∈D×Qt{E[DtEQ[-X |英尺]]- E[\'ct（dq）]]≤ Ehsup（D，Q）∈D×Qt{DtEQ[-X |英尺]]- \'ct（dq）]完成证明。7.3定理7的证明目前的证明与Bion-Nadal[4]关于动态凸和现金加性风险度量的定理4.4中的一个是一致的。让我们，t∈ [0，T]（带s）≤ t） 还有X∈ L∞（Ft）任意固定并设置，{Ds，tEQ[-X | Fs]- cs，t（dq）|D∈ D、 Q∈ Q} 。让我们证明Cx是向上的，即：对于任何D，D∈ D、 Q，Q∈Q存在∈ D、 “Q”∈ Q使得maxi=1,2迪丝，特奇[-X | Fs]- cs，t（迪奇）=“Ds，tE”Q[-X | Fs]- cs，t（\'D\'Q）（因此属于CX）。让D，D∈ D和Q，Q∈ Q和setA，Ds，tEQ[-X | Fs]- cs，t（DQ）>Ds，tEQ[-X | Fs]- cs，t（DQ）.（23）显然∈ 财政司司长。

根据D和Q的稳定性，存在∈ D和Q∈ Q suchthatE\'Q[Y|Fs]=1AEQ[Y|Fs]+1AcEQ[Y|Fs]，Y∈ L∞（Ft）Ds，t=1ADs，t+1AcDs，t。通过上述参数和c的广义局部性，它遵循tAcs，t（\'D\'Q）=1Acs，t（DQ）Accs，t（\'D\'Q）=1Accs，t（DQ），然后是\'Ds，tE\'Q[-X | Fs]- cs，t（\'D\'Q）=\'Ds，t（1AEQ）[-X | Fs]+1AcEQ[-X | Fs]）- 1Acs，t（DQ）- 1Accs，t（DQ）=1A\'Ds，tEQ[-X | Fs]- cs，t（DQ）+ 1Ac\'Ds，tEQ[-X | Fs]- cs，t（DQ）= 1ADs，tEQ[-X | Fs]- cs，t（DQ）+ 1AcDs，tEQ[-X | Fs]- cs，t（DQ）= 最大值=1,2迪丝，特奇[-X | Fs]- cs，t（迪奇）.因此，集合是向上的。根据F¨ollmer和Schied[22]的定理A.32（另见Detlefsen和Scandolo[15]），可以得出存在一个递增序列域名系统[-X | Fs]- 政务司司长，t（DnQn）N这样的话。sup CX=limn→+∞{Dns，tEQn[-X | Fs]- cs，t（DnQn）}。

因此ρs，t(-ρt，u（X））（24）=ess。苏普德∈D、 Q∈Q{Ds，tEQ[ρt，u（X）|Fs]- cs，t（dq）}=limnDns，tEQn[ρt，u（X）|Fs]- 政务司司长，t（DnQn）= 画域名系统林克Dkt，uEQk[-X |英尺]- ct，u（DkQk）财政司司长- 政务司司长，t（DnQn）= 画域名解析EQnDkt，uEQk[-X |英尺]- ct，u（DkQk）财政司司长- 政务司司长，t（DnQn）= 林林克域名系统Dkt，uEQk[-X |英尺]财政司司长- 域名系统ct，u（DkQk）财政司司长- 政务司司长，t（DnQn）= 林林克域名系统Dkt，uEQk[-X |英尺]财政司司长- cs，u（Dn，kQn，k）（25）=limnlimkDn，ks，uEQn，k[-X | Fs]- cs，u（Dn，kQn，k）(26)≤ ρs，u（X），其中（25）和（26）是由于c的广义共循环（Cc）和联合粘贴的稳定性（QDa），以及Dn，kand，Qn，kdenote在nn和k版本之间的粘贴。证明逆不等式，即ρs，t是很重要的(-ρt，u（X））≥ ρs，u（X）。如前所述，我们得到ρs，u（X）（27）=ess。苏普德∈D、 Q∈Q{Ds，uEQ[-X | Fs]- cs，u（dq）}=limmDms，uEQm[-X | Fs]- cs，u（DmQm）= 林姆Dms，uEQm[-X | Fs]- cs，t（DmQm）- EQmDms，tct，u（DmQm）财政司司长= 林姆Dms，tEQmDmt，uEQm[-X |英尺]财政司司长- cs，t（DmQm）- EQmDms，tct，u（DmQm）财政司司长（28）=limmDms，tEQmDmt，uEQm[-X |英尺]- ct，u（DmQm）财政司司长- cs，t（DmQm）≤ 林姆Dms，tEQm[ρt，u（X）| Fs]- cs，t（DmQm）≤ ρs，t(-ρt，u（X）），其中（28）是由于假设（QDa）。证据到此结束。参考文献[1]Acciaio，B.和Penner，I.：动态风险度量。提出了金融学的数学方法。施普林格柏林海德堡。第g.1-34页（2011年）。[2] Artzner，P.，Delbaen，F.，Eber，J.M.，Heath，D.：风险的一致性度量，数学金融，9（3），203-228（1999）。[3] Artzner，P.，Delbaen，F.，Eber，J.M.，Heath，D.，Ku，H.：一致的多周期风险调整值和贝尔曼原理。P再版，瑞士苏黎世ETH（2004年）。[4] Bion Nadal，J.：动态风险度量：BMO鞅的时间一致性和风险度量。金融与随机12，219-244（2008）。[5] Bion Nadal，J.：时间一致的动态风险过程。

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