离散时间多因素Vasi{c}ek的一致性重新校准

，Y（k）（k+1，k+1+M）>∈ RM。参数更新（b（k），β（k），∑（k））7→ （b（k+1），β（k+1，∑（k+1））需要重新校准赫尔-怀特扩展，否则会在模型中引入套利。此重新校准提供F（k+1）-可测量的船体-白色延伸θ（k+1）∈ RNat时间（k+1）. 值θ（k+1）=（θ（k+1）（i））i=1，。。。，M-1.∈ RM-1由（见定理4）给出：θ（k+1）=C（β（k+1））-1zb（k+1），β（k+1），∑（k+1），X（k+1），y（k）（k+1）, （10） 在更新参数下得到的屈服曲线y（k+1）（k+1）与y（k）（k+1）相同。请注意，该CRC使屈服曲线中的上指数（k）变得超丰满，因为船体-白色延伸被重新校准为新参数，从而导致屈服曲线保持不变。因此，我们在续集中用因子X（k）、参数sb（k）、β（k）、∑（k）和赫尔-怀特延伸θ（k）为CRC收益率曲线写Y（k，·）。（算法结束。）评论对于上述算法的实现，我们需要考虑以下问题。假设我们在时间0开始算法，初始屈服曲线为（0）∈ RM。有时k, 当k>0时，校准θ（k）∈ RM-1到期时间超过M的要求收益率. 这两个时间段的收益率都是可以观察到的，并且在CRC算法的每一步中θ（k）的长度都会减少，或者在每一步中都应用了超出最新可用到期日的适当外推方法。3.2 Heath–Jarrow–Morton代表我们分析收益率曲线动力学（Y（k，·））k∈n通过第3.1节的CRC算法获得。

由于重新校准（10），当m>k+1时，屈服曲线完全符合以下等式：Y（k+1，m）=-A（k）（k+1，m）（m）- （k+1））+B（k）（k+1，m）>X（k+1）（m）- （k+1））= -A（k+1）（k+1，m）（m）- （k+1））+B（k+1）（k+1，m）>X（k+1）（m）- （k+1））,（11） 其中，第一行基于CRC步骤（iii）后的F（k）-可测量参数（b（k）、β（k）、∑（k））和外壳-白色延伸θ（k），第二行基于F（k+1）-可测量参数和外壳-白色延伸（b（k+1）、β（k+1）、∑（k+1）、θ（k+1））。请注意，在重新校准中，只能从外部选择（b（k+1）、β（k+1）、∑（k+1）），而壳白延伸θ（k+1）用于一致性属性（10）。我们的目的是将Y（k+1，m）表示为X（k）和Y（k，m）的函数。利用方程（9）和（11），我们得到了m>k+1:Y（k+1，m）（m）- （k+1）） = -A（k）（k+1，m）+B（k）（k+1，m）>b（k）+θ（k）（1）e+β（k）X（k）+∑（k）ε*（k+1）.（12） 这提供了以下定理；有关证据，请参见附录A。定理5。在等价鞅测度P下*, 屈服曲线动力学（Y（k，·））k∈根据第3.1节的CRC算法，对于m>k+1，无以下HJM表示：Y（k+1，m）（m- （k+1）） = Y（k，m）（m）- （k） - Y（k，k+1）+B（k）（k+1，m）>∑（k）B（k）（k+1，m）+B（k）（k+1，m）>∑（k）ε*（k+1），带B（k）（k+1，m）=1.- β> （k）-1.1.- （β（k）>）m-K-1.1..关键观察。注意，在定理5中，一个显著的简化发生了。模拟CRCalgorithm（9）和（10）到未来时间点k > 0不需要计算船体–白延伸（θ（k））k∈根据（10），但参数过程（b（k），β（k），∑（k））k的知识∈我很有能力。在屈服曲线过程（Y（k，·））k中，赫尔-白延伸被完全编码∈N、 我们可以避免高维矩阵C（β（k））k的求逆∈N.进一步评论。

o多因素Vasiˇcek即期汇率模型的CRC可在HJM框架中直接定义，假设参数为随机动态。然而，仅从HJMR的表述中，我们无法看出，在我们的案例中，通过使用第3节的CRC算法，结合众所周知的赫尔-怀特扩展多因素Vasiˇcek即期汇率模型，可以获得收益率曲线动力学；也就是说，Hull-White扩展多因素Vasiˇcek模型为HJM表示提供了明确的函数形式第3节的CRC算法不直接依赖于（ε*（t） ）t∈增强独立分量和高斯分量。只要赫尔-怀特扩展模型中ZCB价格的显式公式可用，CRC算法是可行的。因此，我们可以用其他分布假设（如正态方差混合）代替高斯创新。如果在新的创新假设下可以计算条件指数矩，则这种替换是可能的。在非高斯创新下，HJM表示不再依赖于外壳-白色扩展θ（k）∈ 注册护士下文第5节将给出参数过程的解释。4风险的真实世界动力学和市场价格所有之前的推导都是在一个等价的鞅测度P下进行的*银行账户的数字。为了从市场数据中统计估计参数，我们需要指定一个到现实世界度量的Girsanov变换，用P表示。我们给出了一个具体的度量变化，它在P下提供了可跟踪的即期汇率动态。假设（λ（k））k∈Nand（λ（k））k∈分别是Narren-和Rn×n值F-适应过程。设（X（k））k∈Nbe通过第3.1节的CRC算法获得的因子过程。

然后，我们假设n维F-适应过程（λ（k）+∧（k）X（k））k∈n描述风险动态的市场价格。我们定义了以下P*-密度过程：（ξ（k））k∈Nξ（k）=exp(-K-1Xs=0kλ（s）+∧（s）X（s）k+k-1Xs=0（λ（s）+∧（s）X（s））>ε*（s+1）），k∈ N.然后，现实世界的概率测度P由Radon–Nikodym导数定义：dPdP*F（k）=ξ（k），k∈ N.（13）一个直接的后果是k∈ N：ε（k+1）=λ（k）+∧（k）X（k）+ε*（k+1），在P下有标准高斯分布，在F（k）上有条件。这意味着在现实世界的度量P下，因子过程（X（k））k∈Nis由以下公式描述：X（k+1）=a（k）+α（k）X（k）+∑（k）ε（k+1），（14），其中我们定义：a（k）=b（k）+θ（k）（1）e- ∑（k）λ（k）和α（k）=β（k）- ∑（k）∧（k）。（15） 与假设1一样，我们要求∧（k）的谱是α（k）的一个子集(-公式（14）描述了因子过程（X（k））k的动力学∈n根据第3.1节的CRC算法在实际测量值P下获得。以下推论描述了在P下通过CRC算法获得的收益率曲线动力学，类似于定理5。推论6。

在真实世界的测度P满足（13）的情况下，收益率曲线动力学（Y（k，·））k∈根据第3.1节的CRC算法，对于m>k+1，无以下HJM表示：Y（k+1，m）（m- （k+1）） = Y（k，m）（m）- （k） - Y（k，k+1）+B（k）（k+1，m）∑（k）B（k）（k+1，m）- B（k）（k+1，m）>∑（k）λ（k）- B（k）（k+1，m）>∑（k）∧（k）X（k）+B（k）（k+1，m）>∑（k）ε（k+1），带B（k）（k+1，m）=1.- β（k）>-1.1.-β（k）>M-K-1.1..与定理5相比，还有额外的漂移项-B（k）（k+1，m）∑（k）λ（k）和-B（k）（k+1，m）>以风险参数λ（k）的市场价格为特征的∑（k）∧（k）X（k）∈ Rnand∧（k）∈ Rn×n.5参数过程的选择通过第3.1节的CRC算法获得的收益率曲线动力学需要对多因素Vasiˇcek模型（1）和（2）的参数过程以及风险过程的市场价格进行外部规定，即我们需要对过程建模：（b（t），β（t），∑（t），λ（t），λ（t），λ（t））t∈N.（16）根据等式（9），在P下提前一步发展CRC因子过程X的形式为：X（t+1）=b（t）+θ（t）（1）e- ∑（t）λ（t）+β（t）- ∑（t）∧（t）X（t）+∑（t）ε（t+1），（17）带有F（t）-可测参数b（t）、β（t）和∑（t）以及赫尔-白延伸θ（t）。因此，一方面，因子过程（X（t））t∈另一方面，参数（b（t），β（t），∑（t），λ（t），∧（t））t∈不要根据金融市场状况来决定。注意，过程（θ（t））t∈Nof Hull–白色扩展完全由CRC（10）决定。为了区分（X（t））t的演化∈Nand（b（t），β（t），∑（t），λ（t），λ（t））t∈N、 我们分别假设过程（16）的变化速度比因子过程慢，因此，可以假设参数在短时间内不变。这个假设激发了以下方法来指定流程模型（16）。

对于每个时间点t, 我们将多因素Vasiˇcek模型（1）和（2）与固定参数（b，β，∑，λ，λ）结合在时间窗口{t- K+1，t} 对于长度K，我们假设我们有屈服曲线观测值（通过（K））K=t-K+1，。。。，t=（（由（k）表示），byM（k）））k=t-K+1，。。。，t到期时间τ < . . . < τM. 由于收益率曲线不一定在成熟度网格的固定时间内观察到，因此我们引入了指数τ，τM∈ N指到期的可用时间。改变估计时间t, 我们从历史数据中获得参数的时间序列。最后，我们对这些时间序列建立了一个随机模型。在下文中，我们将讨论参数的解释，并介绍两种不同的估算程序。将这两个程序结合起来，以获得模型参数的完整规格。5.1参数的解释5。1.1. 均值回归的水平和速度。通过等式（3），我们得到了P*对于m>t:E*[X（m）|F（t）]=（1- β)-1.1.- βm-Tb+βm-tX（t），E*[r（m）|F（t）]=1>（1）- β)-1.1.- βm-Tb+1>βm-tX（t）。因此，β决定了因子处理（X（t））t的速度∈与即期汇率过程（r（t））t∈n回到他们的长期手段：limm→∞E*[X（m）|F（t）]=（1- β)-1b和limm→∞E*[r（m）|F（t）]=1>（1）- β)-1b。（β（t））t的合理选择∈NAD将平均值回复速度调整到每个时间点t的主要金融市场状况.5.1.2. 瞬时方差。通过等式（3），我们得到了P*对于t>0:Cov*[X（t）| F（t）- 1） ]=和Var*[r（t）| F（t）- 1)] = 1>Σ1.因此，矩阵∑起到了X的瞬时协方差矩阵的作用，它描述了瞬时即期汇率波动。5.2状态空间建模方法在每个时间窗口，我们希望使用收益率曲线观测值来估计时间齐次Vasiˇcek模型（1）和（2）的参数。

总的来说，这个模型不能准确地再现观测到的产量曲线。一个原因可能是数据以参数化的屈服曲线的形式给出，参数化可能与Vasiˇcek模型不兼容。例如，广泛使用的斯文森家族就是这样[8]。另一个原因可能是收益率曲线观测并不完全代表无风险零息债券。Vasiˇcek模型和产量曲线观测值之间的差异可以通过向Vasiˇcek产量曲线添加噪声项来解释。这定义了一个状态空间模型，其中因子process作为隐藏状态变量。在这种状态空间模型中，可以使用卡尔曼滤波技术结合最大似然估计来估计因子动力学的参数（[9]第3.6.3节）。下文第5.2.1–5.2.7节对此进行了详细解释。5.2.1. 过渡系统。假设不可观测过程X在P下的演化始于时间窗{t- K+1，t} by:X（k）=a+αX（k- 1） +ε∑（k），k∈ {t- K+1，t} ，初始因子为X（t- （K）∈ R和参数a=b- ∑λ和α=β- ΣΛ. 初始因子X（t）- K） 根据前一时间窗{t]的卡尔曼滤波器输出进行更新- KT- 1}. 对于第一个可用时间窗口，初始因子设置为零。评论假设参数（b，β，∑，λ，λ）在时间窗口{t）内为常数- K+1。，t} 。因此，与方程式（14）和（15）相比，我们降低了指数k。为了进行估计，我们假设该因素过程根据该时间窗口内的时间齐次多因素Vasiˇcek模型（1）和（2）演化。在时间t，根据屈服曲线校准船体-白色延伸 给定时间齐次模型的估计参数值。5.2.2. 测量系统。

我们假设状态空间模型中的观测值由以下公式给出：by（k）=d+DX（k）+Sη（k），k∈ {t- Kt} ，（18）式中：按（k）=通过（k，k+τ），bY（k，k+τM）>∈ RM，d=-(τ)-1A（k，k+τ），-（τM）)-1A（k，k+τM）>∈ RM，Dij=（τi）)-1Bj（k，k+τi），1≤ 我≤ M、 一,≤ J≤ n、 用A（·，·）和B（·，·）=（B（·，·），Bn（·，·））>由定理2和非奇异S的M维F（k）-可测噪声项Sη（k）给出∈ 我们假设η（k）独立于F（k）- 1） P下的ε（k）和η（k）P~ N（0，1）。误差项Sη描述了产量曲线观测值与模型之间的差异。对于S=0，我们将获得（18）中的收益率曲线，该曲线与多因素Vasiˇcek曲线对应。给定风险值的参数和市场价格（b，β，∑，λ，λ），我们使用以下迭代程序估计因子。对于k的每个固定值∈ {t- Kt} 固定时间t，我们考虑σ-场fby（k）=σ由(s)T- K≤ s≤ K并描述了该状态空间模型中的估计过程。5.2.3. 锚定。固定初始因子X（t- K） =x（t）- K|t- K- 1） ，并初始化：x（t- K+1 | t- K） =EhX（t）- K+1）FbY（t- K） i=a+αx（t- K|t- K- 1） ，∑（t）- K+1 | t- K） =CovX（t）- K+1）FbY（t- （K）= Σ.5.2.4. 预测测量系统。时间k∈ {t- K+1，t} ，我们有：y（k | k- 1） =EhbY（k）FbY（k）- 1） i=d+Dx（k | k- 1） ，F（k）=Cov作者（k）FbY（k）- 1)= D∑（k | k）- 1） D>+S，ζ（k）=x（k）- y（k | k- 1).5.2.5. 过渡系统中的贝叶斯推理。预测误差ζ（k）用于更新不可观测因素。x（k | k）=EhX（k）FbY（k）i=x（k | k- 1） +K（K）ζ（K），∑（K | K）=CovX（k）FbY（k）= (1 - K（K）D）∑（K | K- 1） 式中，K（K）表示Kalman增益矩阵，由以下公式给出：K（K）=CovX（k）FbY（k）- 1)D> 冠状病毒作者（k）FbY（k）- 1)-1=∑（k | k）- 1） D>F（k）-1.5.2.6. 预测过渡系统。

对于不可观测因子过程，我们有以下预测：x（k+1 | k）=EhX（k+1）FbY（k）i=a+αx（k | k），∑（k+1 | k）=CovX（k+1）FbY（k）= α∑（k | k）α>+σ.5.2.7。似然函数。鉴于风险值的参数和市场价格，上述卡尔曼滤波程序允许我们推断因子X。当然，在本节中，我们首先对估算这些值感兴趣。为此，上述程序可与最大似然估计结合使用。对于基本参数Θ=（b，β，∑，a，α），我们有以下似然函数，给定观测值（由（k））k=t-K+1，。。。，t:Lt（Θ）=tYk=t-K+1exp-ζ（k）>F（k）-1ζ（k）（2π）Mdet F（k）。（19） 在给定数据的情况下，通过最大化Θ上的似然函数Lt（Θ），找到了最大似然估计量（MLE）bΘMLE=（bbMLE，bβMLE，b∑MLE，baMLE，bαMLE）。与EM（期望最大化）算法一样，似然函数的最大化与卡尔曼滤波交替进行，直到估计参数bΘmle收敛。5.3基于连续时间建模的估算5。3.1. 重新调整时间网格。假设因子过程（X（t））t∈根据P乘以X（0）给出的Nis∈ r对于t>0:X（t）=a+αX（t- 1） +∑ε（t），其中a=b- ∑λ和α=β- ΣΛ. 此外，假设α是α=T DT的可对角化矩阵-1对于T∈ Rn×nand对角矩阵D∈ (-1，1）n×n。然后，转换的过程z=（T-1X（t））t∈根据Z（t）=c+DZ（t- 1） +ψε（t），t>0，其中c=t-1a和ψ=T-1∑（T）-1） >。对于d∈ N+，Zunder P的d步前条件分布由Z（t+d）| F（t）P给出~ N（u+γZ（t），Γ），t≥ 0，其中u=（1）- D）-1.1.- Ddc、 γ=DdandΓ=Pd-1s=0DsψDs。假设我们已经估计了∈ Rn，对角矩阵γ∈ (-1,1）与Γ∈ Rn×非尺寸为d的时间网格, 例如，使用MLE，如第5.2节所述。

我们感兴趣的是在限定的时间网格上恢复动力学参数c、D和ψ 从u，γ和Γ。对角矩阵D和向量c由对角矩阵γ重构如下：D=γD=1+dlog（γ）+oD, as d→ ∞,c=（1）- γ)-1.1.- γdu=d（1- γ)-1日志γ-1.u+oD, as d→ ∞,其中，应用于对角矩阵的对数函数和幂函数在其对角元素上定义。注意，对于i，j=1，n、 我们有：Γij=d-1Xs=0γsdiiψijγsdjj=ψijd-1Xs=0γdiiγdjjs=ψij1- γⅡγjj1- （γiiγjj）d。因此，我们从γ和Γ中恢复ψ，如下所示。ψ=dν+oD, as d→ ∞,式中Γ=(-Γijlog（γiiγjj）（1）- γiiγjj）-1） i，j=1，。。。，N∈ Rn×n.考虑t>0时的增量dTz=Z（t）- Z（t）- 1). 从c、D和ψ的公式中，我们观察到Ft-1-DtZ的条件平均值：c+（D- 1） Z（t）- 1) = -d（1）- γ)-1log（γ）u+dlog（γ）Z（t- 1） +oD,还有英国《金融时报》-1-DtZ的条件波动率：ψ=rd~n+ord！，生活在不同的尺度上，如d→ ∞; 事实上，波动性在大d中占主导地位。在P下，对于t>0，我们有：EhDtZ（DtZ）>英尺-1i=Cov[DtZ，DtZ |英尺-1] +E[DtZ |英尺-1] E[DtZ | Ft-1] >=Cov[Z（t），Z（t）| Ft-1] +（E[Z（t）|英尺-1] - Z（t）- 1） ）（E[Z（t）|英尺-1] - Z（t）- 1） ）>=ψ+（c+（D- 1） Z（t）- 1） ）（c+（D- 1） Z（t）- 1))>.因此，设置DtX=X（t）- X（t）- 1） ，我们获得d→ ∞:EhDtX（DtX）>英尺-1i=T EhDtZ（DtZ）>英尺-1iT>=TψT>+T（c+（D- 1） Z（t）- 1） ）（c+（D- 1） Z（t）- 1） ）>T>=dT~nT>+oD= TψT>+oD= ∑+oD,(20)5.3.2. 产量的纵向实现协变量。我们在离散时间多因素Vasiˇcek模型（1）和（2）中考虑收益率曲线增量。屈服过程的增量（Y（t，t+τ））t∈固定到期时间τ > 0由以下公式得出：Dt，τY=Y（t，t+τ）- Y（t）- 1，t- 1 + τ)=τB（t，t+τ）>（X（t）- X（t）- 1)) =τB（t，t+τ）>DtX，其中DtX | F（t-1） P~ N（a+（α）- 1） X（t）- 1), Σ).