离散时间多因素Vasi{c}ek的一致性重新校准

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英文标题：
《Consistent Re-Calibration of the Discrete-Time Multifactor Vasi\\v{c}ek
  Model》
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作者：
Philipp Harms, David Stefanovits, Josef Teichmann, Mario V. W\\\"uthrich
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  The discrete-time multifactor Vasi\\v{c}ek model is a tractable Gaussian spot rate model. Typically, two- or three-factor versions allow one to capture the dependence structure between yields with different times to maturity in an appropriate way. In practice, re-calibration of the model to the prevailing market conditions leads to model parameters that change over time. Therefore, the model parameters should be understood as being time-dependent or even stochastic. Following the consistent re-calibration (CRC) approach, we construct models as concatenations of yield curve increments of Hull-White extended multifactor Vasi\\v{c}ek models with different parameters. The CRC approach provides attractive tractable models that preserve the no-arbitrage premise. As a numerical example, we fit Swiss interest rates using CRC multifactor Vasi\\v{c}ek models.
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中文摘要：
离散时间多因素Vasi\\v{c}ek模型是一个易于处理的高斯即期汇率模型。通常，两个或三个因素的版本允许一个以适当的方式捕捉到不同到期时间的收益率之间的依赖结构。在实践中，根据当前市场条件重新校准模型会导致模型参数随时间变化。因此，应将模型参数理解为时间相关的，甚至是随机的。遵循一致性重新校准（CRC）方法，我们将模型构建为具有不同参数的赫尔-怀特扩展多因素Vasi{c}ek模型的产量曲线增量的串联。CRC方法提供了有吸引力的易于处理的模型，保持了无套利的前提。作为一个数值例子，我们使用CRC多因素Vasi{c}ek模型拟合瑞士利率。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Consistent_Re-Calibration_of_the_Discrete-Time_Multifactor_Vasicek_Model.pdf (3.12 MB)

2022-5-9 17:27:23 上传

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关键词：离散时间 一致性 多因素 ASI Mathematical

离散时间多因素模型的一致性重新校准*Philipp Harms+David StefanovitsJosef TeichmanMario V.Wuthrich2016年8月31日摘要离散时间多因素Vasiˇcek模型是一个易于处理的高斯即期汇率模型。通常情况下，两个或三个因素的版本允许一个人以适当的方式捕捉不同到期时间的收益率之间的依赖结构。在实践中，重新校准模型以适应不断恶化的市场条件会导致模型参数随时间变化。因此，应将模型参数理解为时间相关的，甚至是随机的。遵循一致性校正（CRC）方法，我们将模型构建为具有不同参数的全白扩展多因素Vasiˇcek模型的收益率曲线增量的串联。CRC方法提供了保持无套利前提的有吸引力的可处理模型。作为一个数值例子，我们使用CRC多因素Vasiˇcek模型计算瑞士利率。1简介Vasiˇcek[2]和Cox–Ingersoll–Ross[3]等有效模型的可操作性使其对期限结构建模具有吸引力。一个有效的期限结构模型基于一个（多维）因素过程，该过程反过来描述了即期汇率和银行账户过程的演变。然后，无套利论点提供了相应的零息票债券价格、收益率曲线和远期利率。这些模型中的价格是在已知静态模型参数的等价鞅测度下计算的。然而，模型参数通常会随着金融市场条件的变化而变化。例如，它们可能具有政权转换性质，需要根据实际金融市场条件进行永久校准。在实践中，这种重新校准是定期进行的（当新信息可用时）。

这意味着模型参数不是静态的，因此也可以理解为随机过程。重新校准应保持无套利条件，这为重新校准提供了侧约束。这项工作的目的是借助离散时间多因素Vasiˇcek利率模型来讨论这些边约束，这是一个易于处理但又灵活的模型。我们表明，在侧约束下的重新校准自然会导致具有随机参数的Heath–Jarrow–Morton[4]模型，我们称之为一致性重新校准（CRC）模型[1]。由于几个原因，这些模型在金融应用中很有吸引力。在风险管理和当前的监管框架[5]中，我们需要现实的、易于处理的投资组合回报模型。我们的*我们衷心感谢ETH基金会和SNF赠款149879的支持。我们感谢Hansj¨org Furrer博士对SNF项目的支持。通信：菲利普。harms@stochastik.uni-弗莱堡。德国弗莱堡阿尔伯特路德维希大学数学研究所，德国弗莱堡79104号苏黎世经济技术学院数学系，8092苏黎世，瑞士§瑞士金融研究所SFI，Walchestrasse 9，8006苏黎世，Switzerlandaproach为债券投资组合的多期收益提供了可处理的非高斯模型。此外，通过为参数过程选择合适的模型，可以在我们的框架中高效地实施风险管理目的的压力测试。尽管对CRC模型性能的深入市场研究仍有待完成，但我们在本文中提供了一些改进的证据。在第2节中，我们介绍了赫尔-怀特扩展离散时间多因素Vasiˇcek模型，这是本研究中CRC的构建模块。我们在第3节定义了赫尔-怀特扩展多因素Vasiˇcek模型的CRC。

第4节详细说明了风险假设的市场价格，这些假设分别用于在现实世界的概率测度和等效参与测度下对因子过程进行建模。在第5节中，我们将讨论市场数据的参数估计。在第6节中，我们将模型与瑞士利率数据相匹配，并在第7节中得出结论。所有证明见附录A.2离散时间多因素Vasiˇcek模型和Hull–WhiteExtension2。1设置和标记选择固定的网格大小 > 考虑离散时间网格{0，, 2., 3., . . .} = N. 例如，每日网格对应于 = 1/252，如果每年有252个工作日。选择一个（有效的）过滤概率空间(Ohm, F、 F，P*) 离散时间过滤F=（F（t））t∈N、 t在哪里∈ n指时间点t. 假设P*表示a（严格正）银行账户计分（B（t））t的等价鞅测度∈N.B（t）表示时间t的值 在时间0时将一个单位的货币投资于银行账户（即相对于).我们使用以下符号。下标索引是指向量和矩阵的元素。指数指的是时间点。我们用1表示n×n单位矩阵∈ Rn×n.我们还引入了向量1=（1，…，1）>∈ Rnand e=（1,0，…，0）>∈ 注册护士。2.2离散时间多因素Vasiˇcek模型我们选择n∈ 确定并引入N维F适应因子过程：X=（X（t））t∈N=（X（t），Xn（t））>t∈N、 它生成即期汇率和银行账户过程如下：r（t）=1>X（t）和B（t）=exp(T-1Xs=0r（s）），（1）其中t∈ N空和被设置为零。假设因子过程X在P下演化*根据：X（t）=b+βX（t）- 1) + Σε*（t） ，t>0，（2）初始因子X（0）∈ Rn，b∈ Rn，β∈ Rn×n，∑∈ Rn×nand（ε）*（t） ）t∈N=（ε）*（t） ，ε*n（t））>t∈Nbeing F-adapted。

以下假设贯穿本文。假设1。我们假设矩阵β的谱是(-矩阵∑是非奇异的。此外，对于每个t∈ N、 我们假设ε*（t） 与F（t）无关- 1） 在P之下*具有标准正态分布ε*（t） P*~ N（0，1）。评论在假设1中，矩阵β上的条件确保- β是可逆的，由β生成的几何级数收敛。关于∑的条件确保∑=∑（∑）>是对称正定义。在假设1下，等式（2）定义了一个平稳过程；见[6]第11.3节。由方程（1）和（2）定义的模型称为离散时间多因素Vasiˇcek模型。在上述模型假设下，我们对m>t:X（m）| F（t）P*~ N（1）- β)-1.1.- βm-Tb+βm-tX（t），m-T-1Xs=0βs∑（β>）s！。（3） 评论。对于m>t，给定F（t），X（m）的条件分布仅取决于时间t的值X（t） 在滞后m上-t、 换句话说，因子过程（2）是一个时间齐次马尔可夫过程。时间t, 到期日为m的零息债券（ZCB）的价格 > T 关于过滤F和等价鞅测度P*由以下公式得出：P（t，m）=E*B（t）B（m）F（t）= E*“经验(-M-1Xs=t>X（s））F（t）#。关于下列结果的证明，见附录A定理2。

离散时间多因素Vasiˇcek模型（1）和（2）中的ZCB价格与过滤F和等价鞅测度P有关*有一个有效的期限结构：P（t，m）=eA（t，m）-B（t，m）>X（t），m>t，带A（m）- 1，m）=0，B（m）- 1，m）=1 对我来说呢- 1>t≥ 0:A（t，m）=A（t+1，m）- B（t+1，m）>B+B（t+1，m）>∑B（t+1，m），B（t，m）=1.- β>-1.1.- （β>）m-T1..在离散时间多因素Vasiˇcek模型（1）和（2）中，利率期限结构（收益率曲线）在时间t时呈现以下形式 对于到期日m > T:Y（t，m）=-（m）- （t）对数P（t，m）=-A（t，m）（m）- （t）+B（t，m）>X（t）（m）- （t）, （4） 用t时刻的即期汇率 由Y（t，t+1）=1>X（t）=r（t）给出。2.3赫尔-怀特扩展离散时间多因素Vasiˇcek模型Vasiˇcek屈服曲线（4）的可能形状受参数b的选择限制∈ Rn，β∈ Rn×nand∑∈ Rn×n。这些参数不足以将模型精确校准到任意观察到的初始屈服曲线。因此，我们考虑离散时间多因素Vasiˇcek模型的Hull-White扩展版本（见[7]）。我们将（2）中定义的因子过程替换如下。固定k∈ N、 设X（k）满足：X（k）（t）=b+θ（t）- k） e+βX（k）（t）- 1) + Σε*（t） ，t>k，（5）带起始因子X（k）（k）∈ Rn，e=（1,0，…，0）>∈ r与函数θ：N→ R.模型假设（5）对应于（2），其中b的第一个分量被时间相关系数（b+θ（i））i取代∈和所有其他条件同等。在不丧失通用性的情况下，我们选择第一个组件进行替换。请注意，本模型规范中的参数是冗余的，但出于实际原因，以下使用了该参数。时间相关系数θ称为赫尔-怀特延伸，用于在给定时间点k将模型校准到给定屈服曲线.

上指数（k）表示该时间点，对应于我们应用于Hull–White扩展θ模型（5）的时间偏移。因子过程X（k）生成即期汇率过程和银行账户过程，如（1）所示。由（1,5）定义的模型称为赫尔-怀特扩展离散时间多因素Vasiˇcek模型。在这些模型假设下，我们得到了m>t≥ k:X（k）（m）| F（t）P*~ 纳米-T-1Xs=0βs（b+θ（m- s- k） e）+βm-tX（k）（t），m-T-1Xs=0βs∑（β>）s！。评论对于m>t≥ k、 给定F（t），X（k）（m）的条件分布仅取决于t时刻的系数X（k）（t）. 在这种情况下，因子过程（5）是一个时间非齐次马尔可夫过程。请注意，符号中的上索引（k）很重要，因为条件分布明确取决于滞后m- k、 定理3。赫尔-怀特扩展离散时间多因素Vasiˇcek模型（1，5）中关于过滤F和等效鞅测度P的ZCB价格*具有一个有效的期限结构：P（k）（t，m）=eA（k）（t，m）-B（t，m）>X（k）（t），m>t≥ k、 B（t，m）如定理2所示，A（k）（m）- 1，m）=0，对于m- 1>t≥ k:A（k）（t，m）=A（k）（t+1，m）- B（t+1，m）>（B+θ（t+1- k） e）+B（t+1，m）>∑B（t+1，m）。在赫尔-怀特扩展离散时间多因素Vasiˇcek模型（1,5）中，收益率曲线在时间t处呈现以下形式 对于到期日m > T ≥ K:Y（k）（t，m）=-（m）- （t）对数P（k）（t，m）=-A（k）（t，m）（m）- （t）+B（t，m）>X（k）（t）（m）- （t）, （6） 以t时刻的即期汇率 由Y（k）（t，t+1）=1>X（k）（t）给出。评论

请注意，定理3中的系数B（t，m）不受赫尔-怀特扩张θ的影响，仅取决于m- t、 鉴于系数A（k）（t，m）明确取决于船体-白色延伸θ。2.4船体-白色延伸模型的校准我们考虑由船体-白色延伸因子过程X（k）定义的术语结构模型，并校准船体-白色延伸θ∈ Rn在时间点k处与给定的收益率曲线相对应. 我们在模型（5）中明确引入了时间指数k，因为CRC算法是多个Hull–White扩展模型的串联，在不同的时间点k进行校准, 见下文第3节。假设有一个固定的最终到期日M 我们在时间k观察到 yieldcurveby（k）∈ 到期日的风险管理（k+1）, . . . , （k+M）. 对于这些到期日，Hull–Whiteextended离散时间多因素Vasiˇcek收益率曲线在时间k, 由定理3给出，读作：y（k）（k）=-我A（k）（k，k+i）+iB（k，k+i）>X（k）（k）>i=1，。。。，M∈ RM。对于给定的起始因子X（k）（k）∈ R和参数b∈ Rn，β∈ Rn×nand∑∈ Rn×n，我们的目标是选择船体-白色延伸θ∈ 这样我们就可以在时间k得到一个精确的fit 对于屈服曲线by（k），也就是y（k）（k）=by（k）。（7） 下面的定理提供了（7）的一个等价条件，它允许我们计算外壳-白色延伸θ∈ 很明显。定理4。用y（k）（k）表示时间k的屈服曲线 从给定起始因子X（k）（k）=X的赫尔-怀特扩展离散时间多因子Vasiˇcek模型（1,5）中获得∈ 护士，护理人员∈ Rn，β∈ Rn×nand∑∈ Rn×nand外壳–白色延伸θ∈ 注册护士。

因为我∈ RM，identityy（k）（k）=y成立当且仅当外壳-白色延伸θfull fills:θ=C（β）-1z（b，β，∑，x，y），（8）式中θ=（θi）>i=1，。。。，M-1.∈ RM-1，C（β）=（Cij（β））i，j=1，。。。，M-1.∈ R（M）-1） ×（M）-1） andz（b，β，∑，x，y）=（zi（b，β，∑，x，y））>i=1，。。。，M-1.∈ RM-定义为：θi=θ（i），Cij（β）=B（k+j，k+i+1）1{j≤i} ，zi（b，β，∑，x，y）=k+iXs=k+1B（s，k+i+1）∑B（s，k+i+1）- B（s，k+i+1）>B- 1>1.- βi+1(1 - β)-1x + （i+1）yi+1（k）,对于i，j=1，M- 1和B（·，·）=（B（·，·），Bn（·，·））>由定理2给出。定理4表明，可以通过反转（M- 1） ×（M）- 1） 下三角正定义矩阵C（β）。3一致性重新校准现在的关键扩展如下：我们让参数b、β和∑随时间变化，我们在每个时间点以一致的方式重新校准外壳-白色扩展，这是根据使用定理4的参数值的实际选择。下面，我们展示了这自然会导致aHeath–Jarrow–Morton[4]（HJM）的期限结构建模方法。3.1一致的重新校准算法假设（b（k））k∈N、 （β（k））k∈Nand（∑（k））k∈β（k）∑（k）满足假设1，P*-a、 美国，为了所有的k∈ N.基于这些参数过程，我们定义了维度F自适应CRC因子过程X，该过程根据下文所述CRC算法的步骤（i）-（iv）演化。因此，因子过程X将定义一个类似于（1）的即期汇率模型。在CRC算法中，迭代执行下面的步骤3.1.1–3.1.3。3.1.1. 初始化k=0。假设时间0的初始屈服曲线观测值由（0）给出∈ RM。设θ（0）∈ RNbe是一个F（0）-可测量的外壳-白色延伸，使得条件（7）在时间0时满足初始因子X（0）∈ r和参数b（0）、β（0）和∑（0）。

根据定理4，值θ（0）=（θ（0）（i））i=1，。。。，M-1.∈ RM-1由以下公式得出：θ（0）=C（β（0））-1z（b（0），β（0），∑（0），X（0），by（0））。这为给定的初始因子X（0）和参数b（0）、β（0）和∑（0）提供了赫尔-怀特扩展Vasiˇcek屈服曲线y（0）（0）等同于toby（0）。3.1.2。因子过程从k开始的增量→ k+1。假设因子X（k）、参数b（k）、β（k）和∑（k）以及壳白延伸θ（k）。定义船体–白色扩展模型X（k）=（X（k）（t））t≥kby:X（k）（t）=b（k）+θ（k）（t- k） e+β（k）X（k）（t）- 1） +∑（k）ε*（t） ，t>k，（9）起始值X（k）（k）=X（k），F（k）-可测量参数b（k），β（k）和∑（k）以及船体-白延伸θ（k）。我们在时间（k+1）更新因子过程X 根据X（k）-动力学，我们设定：X（k+1）=X（k）（k+1）。这提供了F（k+1）-在时间（k+1）可测量的产量曲线 对于到期日m > （k+1）:Y（k）（k+1，m）=-A（k）（k+1，m）（m）- （k+1））+B（k）（k+1，m）>X（k+1）（m）- （k+1））,用A（k）（m）- 1，m）=0和B（k）（m）- 1.m）=1，并递归地为m- 1>t≥ k:A（k）（t，m）=A（k）（t+1，m）- B（k）（t+1，m）>b（k）+θ（k）（t+1）- k） e+B（k）（t+1，m）>∑（k）B（k）（t+1，m），B（k）（t，m）=1.- β（k）>-1.1.- （β（k）>）m-T1..这正是P下的无套利价格*如果参数b（k）、β（k）和∑（k）以及外壳白延伸θ（k）在所有t>k.3.1.3时保持不变。k+1时的参数更新和重新校准。假设当时（k+1）, 参数（b（k）、β（k）、∑（k））被更新为（b（k+1）、β（k+1）、∑（k+1））。当我们在时间（k+1）观察到一条新的收益率曲线后，我们可能会认为这个参数更新是模型选择的结果. 下文第5节将对此进行更详细的讨论。当时的无套利收益率曲线（k+1） 从具有参数（b（k）、β（k）、∑（k））和外壳的模型中，白色延伸θ（k）由y（k）（k+1）给出=Y（k）（k+1，k+2）。