强依赖下的块抽样

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英文标题：
《Block Sampling under Strong Dependence》
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作者：
Ting Zhang, Hwai-Chung Ho, Martin Wendler, Wei Biao Wu
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  The paper considers the block sampling method for long-range dependent processes. Our theory generalizes earlier ones by Hall, Jing and Lahiri (1998) on functionals of Gaussian processes and Nordman and Lahiri (2005) on linear processes. In particular, we allow nonlinear transforms of linear processes. Under suitable conditions on physical dependence measures, we prove the validity of the block sampling method. The problem of estimating the self-similar index is also studied.
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中文摘要：
本文研究了长程相依过程的块抽样方法。我们的理论推广了Hall、Jing和Lahiri（1998）关于高斯过程泛函的早期理论，以及Nordman和Lahiri（2005）关于线性过程的早期理论。特别是，我们允许线性过程的非线性变换。在适当的物理依赖测度条件下，我们证明了块抽样方法的有效性。研究了自相似指数的估计问题。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
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关键词：Multivariate Econophysics Applications Quantitative Statistical

设K为E[K（Xi）]<∞, u=EK（Xi）。本文考虑^un=nnXi=1K（Xi）=Snn+u的渐近抽样分布，其中Sn=nXi=1[K（Xi）- u].在均值u的推断中，如置信区间的构建和假设检验，有必要为部分和过程Sn建立大样本理论。后者的问题有着悠久的历史。这里我们只做一个非常简短的描述。Davydov（1970）考虑了特殊情况K（x）=x，Taqqu（1975）和Dobrushinand Major（1979）处理了另一种特殊情况，其中K可以是非线性变换，而（Xi）是高斯过程。Chung（2002）考虑了二次型。其他贡献请参见Surgailis（1982）、Avram和Taqqu（1987）以及Dittmann和Granger（2002），更多参考请参见Wu（2006）。对于具有非线性变换的一般线性过程，在K上的某些正则条件下，如果xi是具有p的短记忆（或短程相关）过程∞j=0|aj|<∞, 然后Sn/√n满足高斯极限分布的中心极限定理；如果Xi是长记忆（或长程相关），则通过适当的归一化，SN可能具有非高斯或高斯极限分布，且归一化常数可能不再为零√n（何和兴，1997年和吴，2006年）。在许多情况下，非高斯极限分布可以表示为多重维纳-It^o积分（MWI）；见方程式（2）。非高斯WMI的分布函数不具有闭合的r m。这给相关的统计推断带来了相当大的不便。作为一种有用的替代方法，我们可以使用重新采样技术来估计Sn的采样分布。K¨unsch（1989）证明了移动块自举方法对弱相依平稳过程的有效性。

然而，Lahiri（1993）表明，对于高斯次长记忆过程，块自举样本均值总是渐近高斯的；因此，它无法恢复乘法器it^o积分的非高斯极限分布。另一方面，Hall、Horowitz和Jing（1995）提出了一种抽样窗口方法。Hall，Jing和Lahiri（1998）表明，对于高斯过程的非线性变换的特殊类别，后一种方法在连续块和的经验分布函数通过适当的归一化收敛于SN的极限分布的情况下是有效的。Nordman和Lahiri（2005）证明了同样的方法适用于线性过程，这是一种完全不同的特殊平稳过程。然而，对于线性过程，极限分布总是高斯分布的。对于一类更一般的长记忆过程，能否建立极限理论一直是一个悬而未决的问题。在这里，我们将通过允许线性过程的泛函给出上述问题的一个有效答案，这是一类更一般的平稳过程，包括高斯过程的线性过程和非线性变换作为特例。具体来说，假设实现Yi=K（Xi），1≤ 我≤ n、 由于K和xib都可能未知或不可观测，我们考虑对Sn/n的抽样分布进行一致估计。为此，我们将实施物理依赖性度量（Wu，20 05）的概念，该概念通过测量输出如何依赖于输入来量化随机过程的依赖性。论文的其余部分组织如下。第2节给出了主要结果，并讨论了正规化连续块和的经验分布函数的渐近一致性。

有趣的是，同样的采样indows方法适用于高斯和非高斯极限分布。第4节提供了一个模拟研究，一些证据被推迟到附录中。2主要结果在第2.1节中，我们简要回顾了Snin Ho和Hsing（1997）和Wu（2006）的渐近理论。Hall、Horowitz和Jing（1995）的分段抽样方法见第2.2节。对于物理依赖性度量，第2.3节给出了经验抽样分布的一致性结果。在第2.4节中，我们得到了sl=kSlk的前卫估计的收敛速度。第2.5节提出了H的一致估计，H是极限过程的自相似参数。对于两个正序列（an）和（bn），写一个~ bnif an/bn→ 1和1 b如果存在常数C>0，则a/C≤ bn≤ 对于所有的大n.设CA（resp.CpA）表示A上的连续函数（resp.具有p阶连续导数的函数）的集合 R.表示为“=>” 弱收敛；关于C[0,1]弱收敛理论的详细解释，请参见Billingsley（1968）。对于随机变量Z，我们写Z∈ 如果kZkν=（E|Z|ν）1/ν<∞, 然后写kZk=kZk。对于整数i≤ jde fine Fji=（εi，εi+1，…，εj）。写F∞i=（εi，εi+1，…）和Fj-∞= （…，εj）-1，εj）。定义投影运算符Pj，j∈ Z、 byPj·=E（·| Fj）-∞) - E（·Fj）-1.-∞).然后Pj·，j∈ Z、 收益率鞅差。2.1渐近分布为了研究强依赖下的渐近分布，我们将引入幂秩的概念（Ho and Hsing，1997）。基于K和Xn，设Xn，i=P∞j=n-iajεn-j=E（Xn | Fi）-∞) 是尾部流程和定义功能SK∞（x） =EK（x+Xn）和Kn（x）=EK（x+Xn- Xn，0）。注意Xn- Xn，0=Pn-1j=0ajεn-jis独立于Xn，0。用κr=K（r）表示∞（0），r阶导数（如果存在）。

如果p（2β- 1） >1，我们有一个vesupx∈R | Fn（x）- P（Z）≤ x） |→ 概率为0。因此，在（i）或（ii）项下，我们有（8）。作为一个有用且有趣的事实，我们从定理2中强调，Fn（·）一致地估计了Sn/Sn的分布，而不管后者的极限分布是G高斯分布还是无t。换句话说，Fn（·）自动适应Sn/Sn的极限分布。Bertail、Politis和Ro ma no（1999）对强混合过程得出了类似的结果，其中极限分布可能是非高斯的；另见Politis、Romano和Wolf（1999年）。证据（定理2）对于（i），请注意，对于经验分布函数的一致收敛性，GlivenkoCantelli a r gument（参见Chow and Teicher，1997）给出的Zp，β（1）具有连续分布，（13）如果我们可以证明，对于任何固定的x，E | Fn（x）- P（Zp，β（1）≤ x） |=var（Fn（x））+|EFn（x）- P（Zp，β（1）≤ 十）|→ 0.让Bi，l=Yi+Yi-1+ . . . + 易-l+1。自Bi起，l/sl=> Zp，β（1）as n→ ∞, 上面右边的第二项变为0。现在，我们证明了第一项VaR（Fn（x））≤nn-1Xi=0 | cov（1B0，l/sl≤x、 1Bi，l/sl≤x） |→ 这里我们使用（Bi，l）i∈这是一个稳定的过程。为了说明（14），我们将应用耦合工具。为X调用（11）*i、 让B*i、 l=Pij=i-l+1Y*j、 Y在哪里*j=K（X）*j） 。从那时起*i、 土地F-∞是独立的，E（1B*i、 l/sl≤x | F-∞) = P（B）*i、 l/sl≤ x） 。因此| cov（1B0，l/sl≤x、 1Bi，l/sl≤x） |=| E[1B0，l/sl≤x（1Bi，l/sl）≤十、- 1B*i、 l/sl≤x） ]|≤ E | 1Bi，l/sl≤十、- 1B*i、 l/sl≤x |。（15） 对于任意固定λ>0，通过三角形和马尔可夫不等式，E | 1Bi，l/sl≤十、- 1B*i、 l/sl≤x|≤ E（1 | Bi，l/sl）-x|≤λ） +E（1 | Bi，l/sl）-B*i、 l/sl|≥λ)≤ P（| Bi，l/sl）- x|≤ λ） +kBi，l- B*i、 lkλsl。

（16） 自E（Bi，l | F）∞) = E（B）*i、 l | F∞) 对于i>2l，由引理4（ii）和B*i、 l-E（B）*i、 l | F∞) 还有Bi，我- E（Bi，l | F）∞) 分布相同，我们有KBI，l- B*i、 lk≤ kBi，l- E（Bi，l | F）∞)k+kE（Bi，l | F）∞) - B*i、 lk=2kBi，l- E（Bi，l | F）∞)k=2kSl- E（Sl | F）∞l+1-i） k=slO[l-~n+（l/i）~n]。（17） 在不损失g通性的情况下，假设φ<1。否则，我们可以将其替换为φ′=min（φ，1/2）。通过引理4（i）和引理1，我们得到了kB0，lk=O（sl）。还记得我吗 nr，0<r<1，我们已经-1Xi=0kBi，l- B*i、 lksl=O（1）n2lXi=0O（1）+O（1）nn-1Xi=2l+1O[l-ν+（l/i）ν]=O（l/n）+O（l）-~n）+O[（l/n）~n]=O（n）-φ） 式中φ=min（1-r、 νr，（1）-r） ）。因为P（| Bi，l/sl-x|≤ λ) → P（|Zp，β（1）-x|≤ λ） ，然后从（15）和（16）开始→ ∞, 然后λ→ 0.对于（ii），通过（i）中的论证，可以证明：→∞nnXi=1kBi，l- E（Bi，l | F）∞)K√l=0。（19） 更具体地说，如果（19）是有效的，那么通过kBi，l-B*i、 lk≤ 2kBi，l-E（Bi，l | F）∞)k、 我们有18个，因此有14个。设N>3l，GN=BN，l-E（BN，l | F）∞). 观察（PkGN）Nk=-∞是一系列的马丁格尔差异，GN=PNk=-∞PkGN，我们有KGNK=NXk=-∞kPkGNk。（20） 通过（48）和引理2，我们知道预测依赖度量ηi=kPYik是可加的。回想一下τn，ν的（12）。让τ*n=maxm≥nτm，2。然后τ*nis非递增和limn→∞τ*n=0。自kPkE（Yj | F∞)K≤ kPkYjk=ηj-坎德基- E（Yj | F）∞)K≤ τj，2，我们有kpkgnk≤NXj=N-l+1kPk[Yj- E（Yj | F）∞)]K≤NXj=N-l+1min（2ηj-k、 τ*N-l+1）≤ η*, （21）式中η*= 2P∞i=0ηi。然后，通过（20）和勒贝格主导收敛定理，我们得到了limn→∞克林克≤ 画→∞NXk=-∞η*lkPkGNk≤ 画→∞NXk=-∞η*lNXj=N-l+1min（2ηj-k、 τ*N-l+1）≤ 画→∞η*∞Xi=0min（2ηi，τ）*N-l+1）=0，（22）自τ起*N-l+1≤ τ*L→ 0 a s l→ ∞ η是可求和的。Hencepn=3lkGNk=o（nl）。注意，l=o（n），（19）后面是不等式（Pni=1 | zi |/n）≤Pni=1zi/n。

2.4方差估计由于Fn（·）和关系（8）涉及未知量sland sn，定理2不直接适用于对u进行统计推断，但它意味着（10）我们是否能够估计slandsn，从而sl/sl→ 1和sn/sn→ 概率为1，概率为1-u）=oP（sl）。我们建议使用（9）来估算SLP；关于方差估计sl的渐近性质，请参见定理3。然而，由于不能使用大小为n的块来估计，因此没有类似的方法来提出SN的一致估计。一种方法是通过估计自相似参数H（见第2.5节），使用其规则变化的特性（参见等式（23）和（24））。第3节提出了一种二次抽样方法，该方法不需要对σn和σn的定义分别进行H.回忆（5）和（6）。引理1断言它们渐近等价于sn。引理1。回想一下，sl=kSlk。在定理1（i）的条件下，我们有~ σl，p=lHlp（l）κpkZp，β（1）k，（23）as l→ ∞. 在定理1（ii）的条件下，我们~ σl=kDk√l、 （24）在任何一种情况下，lk’Yn- uk=o（sl）如果l nr，0<r<1。如果u=Eyis已知，比如u=0，那么我们可以通过^sl=^Qn，ln来估计slby，其中^Qn，l=nXi=1 |Yi+Yi-1+ . . . + 易-l+1 |。显然，^sli是sl=kSlk的无偏估计。定理3给出了估计的收敛速度。作为一个简单的结果，我们知道^slis是一致的。定理3。假设我 nr，0<r<1，条件1保持，且ν=4。（i） Ifp（2β- 1） <1，则存在一个常数0<φ<1，使得var（~sl/sl）=O（n-φ). （25）（ii）如果p（2β- 1） 大于1，则为var（~sl/sl）→ 0.（iii）如果p（2β- 1） >1和τn，4=O（n-φ） 对于某些φ>0，则（25）也保持s。证据（定理3）对于（i），我们首先考虑u=0的情况，并证明，对于某些φ>0的情况，var（^sl/sl）=O（n-φ). （26）回想一下B*n、 l=Pnj=n-l+1Y*j、 Y在哪里*j=K（X）*j） 。

然后E（Bi，l）=E[（B*i、 l）| F]和cov（B0，l，Bi，l）=E[B0，l（Bi，l）- （B）*i、 l]）。根据柯西-施瓦兹不等式，var（^sl）=nn-1Xi=1-n（1）- |i |/n）cov（B0，l，Bi，l）≤nn-1Xi=0kB0，lkkBi，l- （B）*i、 l）k≤nn-1Xi=0kB0，lkkBi，l+B*i、 lkkBi，l- B*i、 lk。（27）通过引理4（ii）和定理2（i）证明中的论点（17），对于i>2l，我们有kbi，l- B*i、 lk≤ kBi，l- E（Bi，l | F）∞)k+kE（Bi，l | F）∞) - B*i、 lk=slO[升-鉴于引理1自kBi以来，lk~ sl.同样，我们在不损失一般性的情况下，假设φ<1。通过引理4（i），kB0，lk=O（σl，r）。所以（27）同样意味着（26）viavar（^sl/sl）=O（1）n2lXi=0O（1）+O（1）nn-1Xi=2l+1O[l-ν+（l/i）ν]=O（l/n）+O（l）-ν）+O（（l/n）ν）=O（n）-φ） （29）φ=min（1- r、 νr，（1）- r） 自从我 nr，0<r<1。现在我们要证明（26）意味着（25）。由引理4（i）和柯西-施瓦辛格等式，k^Qn，l-~Qn，lk=n（l’Yn）- 2 l’YnnXi=1Bi，l≤ nlk\'Ynk+k2l\'YnklkY+···+Ynk=O（lsn/n）=nslO（lsn/（nsl））=nslO[（l/n）2-2小时l2p（n）/l2p（l）]=nslO（n-θ） ，（30）式中0<θ<（2- 2H）（1-r） 。因此（25）来自引理1。对于（iii），通过（41）和（48），在p（2β）下- 1） >1，对于0<~n<p（2β- 1） ，预测依赖性度量ηi，4:=kPYik=kP（Ln，p+κpUn，p）k≤ |κp | kPUn，pk+kPLn，pk=O（anA（p-1） /2n）+anO（an+A1/2n+1（4）+Ap/2n+1）=O（i-1.-ν），其中Ln，pis在（39）中定义。回想一下定理2（ii）关于定义GN，N>3l的证明。由（42），kGNk≤ CPNk=-∞kPkGNk，以及（21）和（22）中的参数，存在一个常数C>0，比如Thatkkgnkl≤ Cη*,4.∞Xi=0min（ηi，4，τ）*N-l+1,4），式中η*,4=P∞i=0ηi，4和τ*n、 4=最大值≥nτm，4。Asτ→ 0，我们有∞i=0min（ηi，4，τ）=O（τ洎），其中洎=洎/（1+洎）。

与（27）、（28）and（29）类似，var（^sl/sl）=O（1）nn-1Xi=0kGik√l=O（1）nn-1Xi=1+3lkGik√l+O（l/n）=O（1）nn-1Xi=1+3li-φ~n/2+O（l/n）=O（n）-φk/2）+O（l/n）。所以（26），因此（25）遵循（30）。对于（ii），正如在证明定理2（ii）中一样，它遵循了自τ以来勒贝格支配的收敛定理*m、 四,→ 凌晨0点→ ∞. 2.5 HIn的估计在研究自相似或长记忆过程时，一个基本问题是估计自相似参数H。后一个问题在光时代得到了广泛的研究。例如，Robinson（1994、1995a和19 95b）和Moulines and Soulier（1999）考虑了使用周期图估计H的谱估计方法。为了扩展潜在过程是或接近线性的情况，Hurvich、Moulines和Soulier（2005）研究了一个在计量经济学中广泛使用的非线性模型，该模型包含一个长期记忆波动成分。Teverovsky和Taqqu（1997年）以及Giraitis、Robinson和Surgalis（1999年）采用时域方法，重点研究方差型估计器f或H。在这里，我们将基于σl，pby使用两个时间尺度的方法来估计H。通过引理1，liml→∞s2lsl=liml→∞σ2l，pσl，p=2H。根据定理3，我们可以通过^H=log^s2l来估计H- lo g^sllog 2。推论1断言^H是H的一致估计。为了获得收敛速度，我们需要对慢变函数施加正则条件l(·). 慢变函数的估计是一个非常重要的问题。在估计高斯过程的线性过程或非线性泛函中的σ时，Hall、Jing和Lahiri（1998）以及Nordman和Lahiri（2005）对l. 在我们的环境中，为了可读性，我们假设l（n）→ c、 虽然我们的论点可以概括为处理其他问题l 进行了一些繁琐的计算。

在条件2下，通过引理3（iii），σl，p/（lHc）=1+O（l-φ). 所以我们通过^σn，p=n^H^c来估计sn，其中^c=^σl，pl^H。实际上，我们可以选择l=cn1/2 对于一些0<c<∞. 选择非最佳数据驱动l的问题超出了本文的范围。条件2。系数a6=0，aj=cjj-β、 j≥ 1，其中1/2<β<1an dcj=c+O（j-φ） 对于某些φ>0的情况。流行的FARIMA工艺满足条件2。推论1。假设我 nr，0<r<1，条件1保持，且ν=4。（i） 在p（2β）下- 1） <1或p（2β）- 1） 我们有limn→∞^H=H.（ii）假设（2β）- 1） <1和条件2。然后^H- H=O（n）-φ） （31）和^snsn→ 概率为1。（32）（iii）在T heorem 3（iii）的条件下，我们有（31）个h=1/2和（32）。证据对于（i），根据定理3（i，ii）和引理1，我们得到了E | sl/L- 1|→ 0，在哪里l=σl，pif p（2β- 1） <1和l=σlif p（2β- 1) > 1. 因此sl/l=1+oP（1）和~~s2l/~sl=2l/l+oP（1）=22小时+oP（1）。因此limn→∞对于（ii），在条件2下，我们有sl/σl，p=1+O（n-φ） 根据定理3（i），这意味着∧sl/σl，p=1+OP（n-φ） 因此，s2l/sl=22H+OP（n-φ). 因此（31）如下。对于（32），通过（31），我们得到l^H/lH=1+O（n）-φrlog n）。因此，对于一些φ>0的f，我们有^c/c=1+O（n-φ） 考虑到n^H/nH=1+O（n-φlogn）。对于（iii），设Dk=P∞i=kPkYi。回想定理3（iii）的证明，ηi，4=kPYik=O（i-1.-φ). 根据Wu（2007）中的定理1，k Sl-Pli=1Dik=Pli=1O（Θi），其中Θi=P∞j=iηi，4=O（i-φ). 因此kSl-Pli=1Dik/√l=O（l）-ν），这意味着SL/σl-1=O（l）-φ). 然后，结果遵循（ii）和定理3（iii）中的论证。3次抽样方法第2.2节中的块抽样方法要求对sland sn进行一致的估计。前者在第2.4节中处理，后者通过估计自相似参数H来实现；见第2.5节。