具有暂时价格影响的套期保值

因此，定理3.1中的过程^ξ可以写成^ξt=√κsinh（τκ（t））~Mt- Yt数据处理 dt-a.e.onOhm ×[0，T）（20）与相应的动力学d^ξT=-coth（τκ（t））√κ（ξt）-^ξt）dt+√由于引理5.5b），我们知道∈ L（Pdt）。现在，溶液的密度从（7）饱和^ut=-κ(1 - tanh（τκ（t）））^ξt-^Xtdt+√κtanh（τκ（t））d^ξt- d^Xt=κ^Xt- ξtdt+cosh（τκ（t））d~Mt数据处理 dt-a.e.onOhm ×[0，T]，即^u满足（12）中的BSDE动态。显然，它认为^X=X。求解^X的方程（7）在微分^ut=-√κsinh（τκ（t））cosh（τκ（0））x-κsinh（τκ（t））Zt^ξssinh（τκ（s））cosh（τκ（s））ds+κ＠Mt- Ytcosh（τκ（t））（22），我们观察到↑T^ut=0 P-a.s.，即（12）中的终端条件确实满足。仍需证明∈ L（P dt）。自M，Y∈L（P dt），必须观察sinh（τκ（s））/cosh（τκ（s））是有界的，因此为“ZT”Zt^ξssinh（τκ（s））cosh（τκ（s））ds#dt≤ 康斯特E“ZTZt|^ξs|dsdt#≤ 常数ξkL（Pdt）<∞.最小成本的计算：要计算与（8）中给出的最优控制^u相关的最小成本，请首先注意^u∈ L（P dt）意味着^X∈ L（P 因此J（^u）<∞. 为了便于演示，我们定义了，√κtanh（τκ（t）），0≤ T≤ T、 所以^ut=c（T）（^ξT）-^Xt）/κ。因此，最低成本可以写成∞ > J（^u）=EZT（^Xs）- ξs）ds+κZT^usds= 极限↑TEZt^Xsds- EZt^Xsξsds+EZtξsds+2κEZtc（s）^ξsds-κEZtc（s）^Xs^ξsds+2κE中兴通讯（s）^Xsds, （23）由于单调收敛。观察到，使用部分积分和（21）中的^ξ动力学，我们得到，对于所有t<t，E[c（t）^Xt]=c（0）x+κEZtc（s）^Xs^ξsds-κE中兴通讯（s）^Xsds- EZt^Xsds以及asE[c（t）Xt^ξt]=c（0）ξx+κEZtc（s）^ξsds- EZt^XsξsdsandE[c（t）^ξt]=c（0）^ξ+κEZtc（s）^ξsds- 2EZt^ξsξsds+ EZt^ξsds+ EZtc（s）dh^ξ为.使用这些身份，我们可以将（23）写成∞ > J（^u）=limt↑Tc（0）（x）-^ξ）+EZt（^ξs）- ξs）ds+EZtc（s）dh^ξ为-c（t）E[（^Xt）-^ξt）].

（24）为了总结我们在（8）中关于最小成本的主张，请注意这一点-^ξt）]≤ 2.E[^Xt]+E[^ξt],让我们来讨论一下为什么↑Tc（t）E[^Xt]=0和limt↑Tc（t）E[^ξt]=0。（25）根据詹森的不平等性，我们有[^Xt]≤ tEZt^usds≤ T EZT^usds< ∞.因此，由于限制↑Tc（t）=0，则（25）中的第一次收敛成立。关于（25）中的第二个收敛性，我们使用（20）中对^ξ的表示，再次使用Jensen不等式和Cauchy-Schwarzin等式，得到0≤ c（t）E[^ξt]=c（t）κsinh（τκ（t））E[（~Mt）- Yt）]≤c（t）κsinh（τκ（t））E[（YT- Yt）]=c（t）κsinh（τκ（t））E“ZTtξscosh（τκ（s））ds#≤cosh（τκ（0））√κcosh（τκ（t））sinh（τκ（t））（t- t） EZTtξsds≤cosh（τκ（0））cosh（τκ（t））EZTtξsds-→T↑T0，其中对于上一个不等式，我们使用sinh（τ）≥ τ代表所有τ≥ 换句话说，（25）中的第二个收敛也是正确的。这完成了我们对（8）中最小成本表示的证明。接下来，我们来证明关于约束问题（4）的定理3.2。定理3.2的证明。同样，我们将分两步进行。首先，我们证明了（9）中给出的解的唯一性。然后，我们计算（10）中给出的相应最小成本。（9）的最优性：约束问题（4）的^XΞ=X+R·^uΞtdtin定理3.2的最优性验证遵循与无约束情况相同的路线。同样，我们必须检查引理5.2）中的一阶条件。为此，我们定义了流程YT，√κZtξssinh（τκ（s））ds和∧MΞt，E[YT+Ξt|Ft]对于所有0≤ T≤ T自ZT以来，Ξ∈ L（P），我们有（~MΞt）0≤T≤这是一个平方可积鞅。此外，请注意Y，~MΞ∈ L（P dt）。因此，定理3.2中的过程^ξ可以写成^ξt=cosh（τκ（t））~MΞt- Yt数据处理 dt-a.e.onOhm ×[0，T]（26）和相应的动态Cd^ξΞT=-tanh（τκ（t））√κ（ξt）-^ξ（t）dt+cosh（τκ（t））d~MΞton[0，t]。（27）我们特别注意到∈ L（Pdt）。

与上面的无约束情况类似，我们很容易检查d^uΞt=κ（^XΞt）- ξt）dt+√κsinh（τκ（t））d~MΞtdP dt-a.e.onOhm ×[0，T），即^uΞ满足（13）中的动力学。显然，它认为^XΞ=X。接下来，我们必须检查（13）中的终端条件，即limt↑T^XΞT=ΞTP-a.s.为了证明这一点，首先需要注意的是，我们可以考虑（^ξΞT）0的c`adl`agversion≤T≤t因其在（26）中的代表性。因此ΞTisFT--通过假设（5）我们得到了P-a.s.limitlimt↑T^ξT=E[T|T|FT-] = ΞTin（26）。换句话说，对于每个ε>0，存在一个随机时间Υε∈ [0，T）这样P-a.s.ΞT- ε ≤^ξΞt≤ ΞT+ε表示所有T∈ [ε，T]。限制↑T^XΞT=TΞTP-a.s.，显然有必要证明，对于任何ε>0的情况，它都支持↑T^XΞT≤ ΞT+ε和lim inft↑T^XΞT≥ ΞT- εP-a.s.定义Xεt，Ξt+ε-^XΞtso^ξΞt-^XΞt≤ t的XεtP-a.s∈ [Υε，T）。该产量dxεT=- d^XΞt=-√κcoth（τκ（t））（^ξΞt）-^XΞt）dt≥ -√κcoth（τκ（t））Xεtdt。此外，请注意，对于所有ω∈ Ohm [jε（ω），T）上的线性常微分方程由dzt=-√κcoth（τκ（t））Ztdt，ZΥε（ω）=Xεε（ω）（ω），允许解zt=Xεεεexp-√κZtΥεcoth（τκ（s））ds= Xεεsinh（τκ（t））sinh（τκ（ε）），t<t，带极限↑TZt=0。根据常微分方程的比较原理，我们得到了P-a.s.Xεt≥ 中兴通讯∈ [Υε，T）。因此，lim inft↑TXεt≥ 极限↑TZt=0 P-a.s.，即lim supt↑T^XΞT≤ ΞT+εP-a.s.同样，定义XεT，ΞT- ε -^XΞ并如上所述，观察P-a.s.在[Υε，T]上，我们有XεT≤ -√κcoth（τκ（t））~Xεtdt。同样，如上所述，通过比较原则，我们得到↑TXεT≤ 0 P-a.s.，即lim inft↑T^XΞT≥ ΞT- εP-a.s.如（13）所示。最后，我们必须指出^uΞ∈ L（Pdt）。对于这一点，我们可以假设x=0，但不失一般性。此外，让我们表示^uΞ，ξ，^uΞ，^XΞ，ξ，^XΞ和^ξ，ξ，^ξ，以强调对给定目标过程ξ的依赖性。

用这个符号，它认为^uΞ，ξ=^uΞ，0+^u0，ξ。因此，我们必须证明^uΞ，0∈ L（P dt）和^u0，ξ∈ L（P dt）。关于^uΞ，0，观察使用^ξΞ，0t=Ξt/cosh（τκ（t））和Ξt，E[Ξt | Ft]，0≤ T≤ 以及（9）中ODE的显式解^XΞ，0t，我们得到了^uΞ，0t=coth（τκ（T））√κ^ξΞ，0t-^XΞ，0吨=coth（τκ（t））√κE-Rtcoth（τκ（u））√κdu^ξΞ，0+e-Rtcoth（τκ（u））√κduZteRscoth（τκ（u））√κdud^ξΞ，0s=cosh（τκ（t））√κsinh（τκ（0））ξΞ，0+cosh（τκ（t））κZtΞscosh（τκ（s））ds+cosh（τκ（t））√κZtsinh（2τκ（s））dΞs，（28），我们在第二行中使用了部分积分。显然，（28）中的前两项属于L（Pdt）。第三项是L（Pdt）因为，使用富比尼定理以及sinh（τ）≥ τ代表所有τ≥ 0，我们得到了“ZT”Zt2dΞssinh（2τκ（s））dt#=E“ztsinh（2τκ（s））dhΞisdt#=E“ZT（T- （s）sinh（2τκ（s））dhΞis#≤ EZTκT- sdhΞis= κZTdE[Ξs]T- s<∞根据假设（5）。关于^u0，ξ，我们使用^ξ0，ξ和^X0，ξt的显式表达式，在（9）中得到^u0，ξt=coth（τκ（t））√κ^ξ0，ξt-^X0，ξt=cosh（τκ（t））- 1.√κsinh（τκ（t））EZTtξuKΞ（t，u）du英尺-cosh（τκ（t））κZtcosh（τκ（s））- 1sinh（τκ（s））EZTsξuKΞ（s，u）du财政司司长ds。（29）注意，（29）中涉及函数cosh（·）和sinh（·）的所有比率实际上都有界于[0，T]。此外，我们有引理5.5 c）在下面ZTtξuKΞ（t，u）du英尺∈ L（P dt），以及使用詹森不等式E“ZT中兴通讯ZTsξuKΞ（s，u）du财政司司长dsdt#≤TE“ZTEZTsξuKΞ（s，u）du财政司司长ds#<∞.总的来说，这显示了^uΞ∈ L（P dt）根据需要。最小成本的计算：现在，我们计算与（10）中给出的最优控制^uΞ相关的最小成本。我们将遵循上述无约束案例中的相同点。首先，请注意^uΞ∈ L（Pdt）意味着^XΞ∈ L（P 因此J（^u）<∞. 为了便于演示，wede fi nec（t），√κcoth（τκ（t）），0≤ t<t，即^uΞt=c（t）（^ξΞt）-^XΞt）/κ。

与上面的无约束情况类似，我们可以将J（^uΞ）写成∞ > J（^uΞ）=limt↑Tc（0）（x）-^ξ）+EZt（^ξΞs）- ξs）ds+EZtc（s）dh^ξΞis-c（t）E[（^XΞt-^ξt）]. （30）为了总结我们对（10）中最小成本的主张，请注意e[（^XΞt-^ξt）]≤ 2.E[（^XΞt- Ξt）]+E[（Ξt]-^ξt）],其中Ξt，E[Ξt|Ft]，0≤ T≤ 让我们来讨论一下为什么↑Tc（t）E[（^XΞt- Ξt）]=0和limt↑Tc（t）E[（Ξt-^ξt）=0。（31）关于（31）中的第一收敛性、Jensen不等式、函数cosh（·）的单调性以及估计sinh（τ）≥ τ代表所有τ≥ 0yieldc（t）E[（^XΞt- Ξt）]≤ c（t）E[（^XΞt-^XΞT）]≤κcosh（τκ（0））T- tE“ZTt^uΞsds#≤ κcosh（τκ（0））EZTt（^uΞs）ds-→T↑T0，（32）因为ΞT=^XΞTand^uΞ∈ L（P dt）。关于（31）中的第二个收敛，我们插入了^ξ的定义，以获得C（t）E[（Ξt-^ξΞt）=c（t）Ecosh（τκ（t））- 1cosh（τκ（t））Ξt-cosh（τκ（t））- 1cosh（τκ（t））EZTtξuKΞ（t，u）du英尺#≤ 2c（t）cosh（τκ（t））- 1cosh（τκ（t））E[ΞT]+2c（T）cosh（τκ（t））- 1cosh（τκ（t））EZTtξuKΞ（t，u）du≤√κcosh（τκ（t））（cosh（τκ（t））- 1） sinh（τκ（t））E[Ξt]+2 sinh（τκ（0））cosh（τκ（t））cosh（τκ（t））- 1sinh（τκ（t））EZTtξudu-→T↑T0，自从∈ L（P），ξ∈ L（Pdt）和limt↑T（cosh（τκ（T））-1） /sinh（τκ（t））=0。因此，（31）中的第二个收敛也是正确的。这是（10）中最低成本表示的充分证明。下一个引理表明，在假设（5）下，集合UΞxis不是空的。引理5.4。为了ΞT∈ L（P，FT）我们有UΞx6= 当且仅当条件（5）成立，即当且仅当条件[t]t成立-t<∞ 用Ξt，E[Ξt|Ft]表示所有0≤ T≤ T证据我们走吧∈ L（P，FT）。我们首先证明必要性。假设存在∈ UΞx，即U∈ L（P 然后，应用富比尼定理，我们得到了ztde[T]T- t=t（E[Ξt]- E[Ξ]+中兴[ΞT]- Ξs]dT- s.此外，E[ΞT- Ξs]=E[（ΞT]- Ξs）]≤ E[（XuT- 由于条件期望的Lprojection属性。

因此，我们得到了- T≤T（E[ΞT]- E[Ξ]+中兴”ZTsurdr#DT- s=T（E[ΞT]- E[Ξ]+E“ZTT- sZTsurdrds#<∞由ΞT∈ L（P）和引理5.5a）。为了提高效率，只需考虑定理3.2中的优化器^uΞ，我们在条件（5）下证明了它处于uΞxu。最后的引理收集关于L（P在上面的证明中，范数whichare需要多次。引理5.5。设（ζt）0≤T≤T∈ L（P dt）逐步可测量。此外，设K（t，u），KΞ（t，u），0≤ T≤ u<T，表示定理3中的核。分别为1和3.2。a） 对于ζt，t-tRTtζsds，t<t，我们有k′ζkL（Pdt）≤ 2kζkL（Pdt）。b） 对于ζKt，E[RTtζuK（t，u）du | Ft]，t<t，我们有kζKkL（Pdt）≤ ckζkL（P对于某些常数c>0。c） 对于ζKΞt，E[RTtζuKΞ（t，u）du|Ft]，t<t，我们有KζKΞkL（Pdt）≤ ckζkL（P对于某些常数c>0。证据a） 通过Fubini定理和Cauchy-Schwarz不等式，我们得到了k′ζkL（Pdt）=E“ztζrζsZr∧sT- Tdtdrds#=EztζrζsT- R∧ 特别提款权-TE“ZTζ-sds#≤ EZTζrZrζsT- sdsdr= 2EZTζsT- sZTsζrdrds≤ 2kζkL（Pdt）k′ζkL（Pdt）从而得出结论。b） 首先，假设（ζt）0≤T≤这是确定性的，所以ζKt=RTtζuK（t，u）du。通过与a）中类似的计算，我们得到kζKkL（dt）=ZTZTζrζsZr∧sK（t，r）K（t，s）dtdrds≤ztζrζs√κcosh（τκ（r））cosh（τκ（s））coth（τκ（r∧ s） ）drds=2ZTζrcosh（τκ（r））√κZrζscosh（τκ（s））coth（τκ（s））dsdr=2ZTζscosh（τκ（s））ζKsds≤ 2 cosh（τκ（0））kζkL（dt）kζKkL（dt），即kζKkL（dt）≤ 对于某些常数c>0，ckζkL（dt）。

现在，对于一般（ζt）0≤T≤T∈ L（P dt）通过Fubini的理论，我们可以逐步测量ZT（ζKt）dt=ztztthe[ζr|Ft]E[ζs|Ft]iK（t，r）K（t，s）drdsdt。同样，Cauchy-Schwarz不等式和Jensen不等式的应用使[E[ζr|Ft]E[ζs|Ft]]≤ kζrkL（P）kζskL（P），t≤ r、 s≤ 因此，kζKkL（Pdt）≤ztttzkζrkL（P）kζskL（P）k（t，r）k（t，s）drdsdt=ZTZTtkζrkL（P）K（t，r）drdt。现在，把∧ζt，kζtkL（P）和已经证明的确定性函数的估计应用到kζKkL（P）的结论中dt）=ZTZTtζrK（t，r）drdt≤ cZT |ζt | dt=cZTE[ζt]dt=ckζkL（Pdt）。c） Jensen不等式和Fubini定理给出了KζKΞkL（Pdt）=EZT（ζKΞt）dt≤ZTZTtE[ζu]KΞ（t，u）dudt=ZTE[ζu]ZuKΞ（t，u）dtdu。现在，使用cosh（τ）- 1.≥ 所有τ的τ/2≥ 0，我们得到0≤ZuKΞ（t，u）dt=Zusinh（τκ（u））√κ（cosh（τκ（t））- 1） dt≤sinh（τκ（u））√κZu2κ（T- t） dt≤ 2.√κsinh（τκ（u））T- U-→U↑T1。因此，KΞ上的上述积分一致有界于0≤ U≤ T由一些常数c>0和sokζKΞkL（Pdt）≤ cZTE[ζu]du=CkζkL（Pdt）产生c）中的断言。参考文献[1]奥埃林·阿方西、安杰·弗鲁斯和亚历山大·希德。具有一般形状函数的极限订货书的最优执行策略。量化金融，10（2）：143-157，2010年。内政部：10.1080/146976802595700。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1080/14697680802595700.[2] 罗伯特·阿尔姆格伦和尼尔·克里斯。投资组合交易的最佳执行。《风险》，2001年3月5日至39日。[3] 罗伯特·阿尔姆格伦和李天慧。具有市场影响的期权套期保值。预印本，2015年6月。[4] 罗伯特·F·阿尔姆格伦。具有非线性影响函数和交易增强风险的最优执行。应用数学金融学，10（1）：1-182003。内政部：10.1080/135048602100056。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1080/135048602100056.[5] 菲舍尔·布莱克和迈伦·斯科尔斯。期权定价和公司责任。《政治经济学杂志》，81:637-654，1973年5月至6月。[6] 蔡家图、马修·罗森鲍姆和彼得·坦科夫。

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