具有暂时价格影响的套期保值

比例系数由成本参数κ和剩余到期时间T共同控制-t、 对于（7）中的无约束解，自limt↑Ttanh（τκ（t））=0，接近最终时间t时交易放缓；换句话说，到最后，投资者不再担心跟踪ξ，而是寻求最小化交易成本。当比较早期干预和后期干预的效果时，这变得很直观：通过早期干预，投资者可以确保在可预见的未来合理地接近目标，但后期干预只会在很短的时间内影响投资者的表现，因此不保证（至少是渐进地）相关成本。相比之下，对于（9）中的约束解，我们有limt↑Tcoth（τκ（t））=+∞因此，最优策略对^ξΞ具有更大的紧迫性，而ξΞ很容易被视为收敛到最终目标位置ΞT=limt↑T^ξΞtP-a.s.（参见下面第5节定理3.2的证明）。我们的跟踪结果将G^arleanu和Pedersen[12]的观察结果从齐次马尔可夫最优投资问题推广到具有一般可预测目标策略ξ的一般套期保值问题，还考虑了随机终端投资组合头寸ΞT。它还进一步揭示了在有摩擦的市场中最优投资组合策略的一般结构。事实上，在Moreau等人[20]、Kallsen和Muhle Karbe[17]或Guasoniand Weber[14]、[15]中获得的（渐进）最优交易策略的描述规定了向无摩擦策略ξ本身的回归，而不是向^ξ或^ξ等平均值的回归。对于充分平滑的ξ，例如扩散类型，对于较小的流动性成本，这仍然是渐近最优的，因为这些平均值与ξ没有显著差异。

然而，下一节表明，当我们在参考策略中考虑奇点时，情况不再如此。最后，我们分别对跟踪问题（3）和（4）的值的表示（8）和（10）显示了它们如何依赖于初始位置x和目标ξ与相应信号过程^ξ和^ξ之间的L距离。它还揭示了信号的二次变化h^ξi，h^ξi的重要性，它可以被视为一种衡量方法，用于有效地预测目标位置ξ和ΞT。就我们所知，在科尔曼和唐[18]所讨论的随机线性二次控制问题的一般理论中，没有观察到信号的关键作用。备注3.3。正如第2节中对问题设置的描述所述，（2）中目标函数中的二次成本项是由于阿尔姆格伦和克里斯[2]提出的模型中的线性临时价格影响。在这方面，我们也可以扩展目标函数，以考虑线性永久价格影响产生的预期成本（参见[2]）。这将导致包含额外的术语“θ”ZTutdt#= θE（许特）- 十）（11） 对于某些常数θ>0。对于（4）中的约束问题，这个额外的成本项显然不依赖于策略，因此是不相关的。对于（3）中的无约束问题，这些额外成本可以被视为一个最终化项，迫使最终位置Xu接近初始位置x。为了便于阐述，我们在本文中不引入这个额外的项，因为我们在这里的主要目的是考虑概述最佳跟踪信号^ξ所起的关键作用，^ξΞ在最优控制以及相应的最小成本的描述中。

如（11）所示，考虑到随机价格影响、随机波动性和终端头寸的最终化的更一般设置留待未来研究。4说明在本节中，我们提供了几个案例研究，说明了我们在定理3.1和3.2中发现的最优套期保值策略的结构。前两个案例研究是简单的确定性玩具示例，让我们能够理解跳跃以及初始和最终位置的影响。最后的案例研究考虑了一个受离散监控的亚洲期权，其中参考套期保值中的随机跳跃自然发生。在前两种情况下，我们假设初始头寸为x=0，并考虑T=1的时间范围，在约束情况下，头寸必须清算，即ΞT=0。我们分别描述ξ及其平均值^ξ和^ξΞ，以及相应的最佳摩擦对冲^X和^XΞ。我们还包括一个“短视”基准策略X，该策略直接针对给定比亚迪Xt的ξ（无最终约束）=√κ（ξt）-~Xt）dt，0≤ T≤ T、 为了与罗杰斯和辛格[24]、莫罗等人[20]、瓜索尼和韦伯[14]、[15]中考虑的类似策略进行比较，Kallsen和MuhleKarbe[17]。4.1无摩擦确定性套期保值与跳跃在我们的第一个案例研究中，我们考虑确定性目标策略ξ（图1中的蓝色实线），它可以被视为一个股票购买计划，规定持有一只股票，直到时间T/2，当仓位因跳跃而翻倍。我们可以观察到，最优控制^u和^uΞ的有效目标策略^ξ和^ξΞ分别平滑了ξ的跳跃。此外，目标公司^ξΞ还考虑了在到期日T之前代理人头寸的清算约束ΞT=0。

正如预期的那样，最佳摩擦对冲工具^X和^XΞ确实在预测目标策略ξ在t=t/2时的向上跃迁，甚至在跃迁发生之前就将其头寸建立在ξ的实际当前头寸之上。近视基准策略X的情况并非如此，它的位置增加得慢得多，当跳跃发生时会出现扭结，之后跳跃速度显著加快。最后，当时间接近到期时，必须最终解除仓位的约束条件下的最佳仓位^XΞT=0.0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.0倍时会减少。00.51.01.52.02.53.0股份数量图1：在t=t/2（蓝色）处跳跃的无摩擦对冲ξ，对应的约束（橙色，虚线）和约束（绿色，虚线）目标^ξ和^ξΞ，以及相应的摩擦对冲^X（橙色线）和^XΞ（绿线）。近视基准对冲X以红色绘制。4.2具有奇点的无摩擦确定性套期保值第二个目标策略ξ（图2中的蓝色实线）再次具有确定性，并且在t=t/2的中途也表现出奇点，然而，这一次，它是从-∞ 到+∞. 再次，我们可以观察到，最优控制^u和^uΞ的有效目标策略^ξ和^ξ分别平滑了ξ的奇异性。此外，目标公司^ξΞ还考虑了代理人头寸的清算约束ΞT=0，直至到期。与基准策略X相比，最佳摩擦对冲工具^X和^XΞ通过在奇异发生之前逐渐建立其位置，预测目标策略ξ在t=t/2时的奇异性。实际上，在T/2之前的一段时间里，他们正在远离当前的目标位置ξ。

这与短视的基准策略形成了鲜明对比，基准策略在参考策略跃升到基准策略之前的几毫秒内，持续卖空的力度越来越大+∞.0.2 0.4 0.6 0.81.0time-4-2024股份数量图2：在t=t/2（蓝色）、相应的无约束（橙色，虚线）和约束（绿色，虚线）目标分别为^ξ和^ξΞ，以及相应的摩擦对冲^X（橙色线）和^XΞ（绿线）。近视基准对冲X标为红色。4.3离散亚洲选项在最后一个例子中，我们研究了目标策略ξ是随机的且呈现随机跳跃的情况。具体地说，我们考虑在Bachelier模型中选择到期日T>0的离散亚洲看涨期权，其中基础风险资产S由波动率σ>0的布朗运动建模：St=S+σWt，0≤ T≤ T.为简单起见，我们假设在两个筛选日期T/2和T期间对平均值进行离散监测。也就是说，到期时的收益由H给出，（ST/2+ST）- K+为了打击K∈ R.离散型亚式期权的最优价格∈ [0，T）可以计算为πT，σp5T/8- t~n圣-Kσ√5T/8-T+ 圣Φ圣-Kσ√5T/8-T, 0≤ t<t/2σ√T- t~nST/2+ST-2Kσ√T-T+（ST/2+ST）- KΦST/2+ST-2Kσ√T-T, T/2≤ t<t其中φ和Φ分别表示标准正态分布的密度和累积分布函数。因此，无摩擦SDELTA套期保值策略为ξt=Φ圣-Kσ√5T/8-T, 0≤ T≤ T/2ΦST/2+ST-2Kσ√T-T, T/2<T<T。注意，自ξT起，三角洲对冲在时间T/2呈现负随机跳跃+- ξT-, 极限↓TξT- 极限↑TξT=-ΦST/2- KσpT/8！。我们假设初始位置x与初始无摩擦SDELTA一致，例如，在K=S的货币期权的情况下，x=1/2。

这使我们能够专注于套期保值表现本身，避免从最初建立合理的套期保值头寸中产生扭曲。与之前一样，终端位置可以是无约束的，也可以是强制的，即ΞT=0。（7）和（9）中的最优摩擦套期保值策略的有效目标^ξ和^ξ可分别明确计算：^ξt=Φ2（圣-K） σ√5T/2-4t1.-sinh（τκ（T/2））sinh（τκ（T））, 0≤ t<t/2，ξt，t/2≤ t<t和^ξΞt=Φ2（圣-K） σ√5T/2-4t1.-cosh（τκ（T/2））+1cosh（τκ（T））, 0≤ t<t/21.-cosh（τκ（t））ξt，t/2≤ t<t.观察Bachelier delta对冲ξ是[t/2，t]上的一个鞅，并且信号^ξ在这个周期内与它重合。然而，最优目标^ξ与[0，T/2]上的无摩擦对冲ξ不同，因为它预期并系统地消除T/2上的随机跳跃，其大小由期权此时的货币性决定。受约束目标^ξΞ预计到期时的清算要求，在时间T/2之后，清算要求起着越来越重要的作用。同样，短视的基准策略dXt=σ√κ（ξt）-~Xt）dt，0≤ t<t不考虑时间t/2的随机跳变，甚至在t/2之前的几毫秒（见图3）也会继续跟踪无摩擦的三角形对冲。0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.000.50共享的次数单调图3：在t=t/2（蓝色）跳变的无摩擦对冲ξ，对应的压缩（橙色，虚线）和约束（绿色，虚线）目标分别为^ξ和^ξ，以及相应的摩擦树篱^X（橙线）和^XΞ（绿线）。近视基准对冲X以红色绘制。金钱由浅灰色线表示。5证明为了证明我们的主要定理3.1和3.2，我们使用了凸分析的工具。请注意，性能与U7的功能有关→ （2）中的J（u）是严格凸的。

给你一个控制∈ U回忆一下G^ateaux导数在w方向上的定义∈ L（P dt）：hJ（u），wi，limρ→0J（u+ρw）- J（u）ρ。下面的引理为我们的性能泛函J的G^ateaux导数提供了一个明确的表达式：引理5.1。为了你∈ 我们有hj（U），wi=EZTwsκus+ZTs（Xut）- ξt）dtds对于任何w∈ L（P dt）。证据设ρ>0，u∈ U和w∈ L（P dt）。注意，Xu+ρwt=Xut+ρRtwsds。然后，我们有j（u+ρw）- J（u）=ρEZTκutwt+Ztwsds（许特）- ξt）dt+ ρE“κztwdt+ZTZtwsdsdt#。因此，hJ（u），wi=EZTκutwt+Ztwsds（许特）- ξt）dt.注意，根据富比尼定理，我们可以将上述积分的第二部分写成asZTZtwsds（许特）- ξt）dt=ZTZTs（Xut）- ξt）dt最终得出结论的WSDS2。接下来，让我们推导问题（3）和（4）的必要和充分的一阶条件。引理5.2（一阶条件）。1.在无约束问题（3）中，控制^u∈ 当且仅当X满足esX=X，d˙Xt=κ（Xt- ξt）0的dt+dmt≤ T≤ T、 ˙XT=0，（12）对于合适的平方可积鞅（Mt）0≤T≤T.2。在约束问题（4）中，控制^u∈ UΞX与X，X^当且仅当X满足X=X，d˙Xt=κ（Xt-ξt）0的dt+dmt≤ t<t，XT=Ξt，（13）对于适当的平方可积鞅（Mt）0≤t<t。换句话说，（12）和（13）中的一阶条件是（X，u）对的耦合线性正倒向随机微分方程（FBSDE）：dXt=utdt，dut=κ（Xt）- ξt）dt+dMt，带有一些平方可积鞅M，toX=x和（uT=0无约束情形，XT=Ξt约束情形。证明1。）我们从无约束问题（3）开始。

因为我们要最小化严格凸泛函u7→ J（u）over u，^u最优性的必要充分条件∈ 对应于x^U=x+R^usds的U由HJ（^U）给出，wi=0表示所有w∈ U（参见Ekeland和T\'emam[8]）。根据引理5.1，这意味着^u∈ U是最优的当且仅当ZTwsκ^us+ZTs（X^ut）- ξt）dtds= 0（14）代表所有w∈ U现在我们将证明（14）中的一阶条件是满足的（即^u∈ U是最优的）当且仅当X^usatis满足（12）中的动力学。必要性：假设^u∈ 当X^U=X+R·^usds使J最小时，即条件（14）被^U满足。然后，通过Fubini定理和光学投影，我们也得到了ZTwsκ^us+EZTs（X^ut）- ξt）dt财政司司长ds= 0代表所有w∈ U然而，只有当^us=-κEZTs（X^ut）- ξt）dt财政司司长数据处理 ds-a.e.onOhm ×[0，T]。（15） 因此，通过定义平方可积鞅，EZT（X^ut- ξt）dt财政司司长, 0≤ s≤ T、 （16）我方获得代表^us=-κ太太-Zs（X^ut）- ξt）dt数据处理 ds-a.e.onOhm ×[0，T]，（17）换句话说，X^usatis在（12）中描述了动力学。特别是，X^u=X和˙X^uT=P-a.s.Su效率：假设∈ U与对应的X^usatis在（12）中用X^U=X和˙X^uT=0 P-a.s.测试动力学。注意，（12）中的线性FBSDE的唯一强解确实由（15）或（17）给出。然而，使用^u的这种表示并应用Fubini定理ZTwsκ^us+ZTs（X^ut）- ξt）dtds= EZTws（MT）- Ms）ds= E中兴通讯[MT]- Ms | Fs]ds=中兴[ws（E[MT | Fs]- Ms）]ds=0表示所有w∈ U，因为M是鞅。因此，（14）中的一阶条件满足且^u∈ U是最优的。2.）与上述类似，^uΞ最优性的一个必要且充分的条件∈ UΞX与相应的X^UΞ=X+R·UΞsds满足X^UΞT=TP-a.s。

对于约束问题（4），由HJ（^uΞ）给出，对于所有w，wi=0∈ 与无约束的情况相比，现在我们对w有一个额外的约束。再次，根据引理5.1，我们得到了^UΞ∈ UΞxis当且仅当ifEZTwsκ^uΞs+ZTs（X^uΞt- ξt）dtds= 0代表所有w∈ U.（18）我们现在将显示（18）中的一阶条件已满（即^UΞ∈ UΞxis最优）当且仅当X^UΞ满足（13）中的动力学。效率：假设^uΞ∈ UΞX和相应的X^UΞ满足（13）中的动力学，X^UΞ=X和X^UΞT=ΞTP-a.s。也就是说，我们有这样的表示^UΞT=^UΞ+κZt（X^UΞs- ξs）ds+MtdP dt-a.e.onOhm 一类平方可积鞅（Mt）0的×[0，T）≤t<t.来自^uΞ，ξ∈ L（P dt），因此E[RTMsds]<∞. 定义平方可积鞅，EZT（X^uΞt- ξt）dt财政司司长, 0≤ s≤ T、 ^uΞyieldsE的上述代表ZTwsκ^uΞs+ZTs（X^uΞt- ξt）dtds= EZTwsκuΞ+NΞT+κMsds= E（κ^uΞ+NΞT）ZTwsds+ κEZTwsMsds= 0代表所有w∈ 下面引理5.3的优比优点。因此，（18）中的一阶条件满足且^uΞ∈ UΞxis是最优的。必要性：如下面定理3.2的证明所示（不使用当前引理的必要性断言），在（9）中的最优控制^uΞ满足（13）中的动力学。此外，通过（2）中目标泛函的严格凹性，问题（4）的解是唯一的。因此，这一主张确实是必要的。对于约束问题（3），在证明引理5.2时需要以下技术引理。引理5.3。设M是[0，T）上带有E[RTMsds]的自适应c`adl`ag过程<∞. 然后，EZTwsMsds= 0代表所有w∈ U（19）当且仅当M是[0，T]上的平方可积鞅。证明。首先，假设M是[0，T]上的平方可积鞅，且e[RTMsds]<∞. 以w为例∈ 通常w=0Ohm ×[T]-ε、 T]对于某些ε>0。

然后，应用富比尼定理，我们得到ZTwsMsds= EZT-εwsE[MT-ε| Fs]ds= E机器翻译-εZTwsds= 现在，让我们∈ Ube任意，考虑一个近似序列（w（n））n≥1. w（n）=0开启时的wOhm ×[T]- εn，T]对于某些εn↓ 0以至于w（n）→ w在L(Ohm ×[0，T]，Pdt）对于n→ ∞. 然后，通过柯西-施瓦辛格等式，我们得到了→∞EZT |（w（n）s）- ws）Ms|ds= 0.因此，EZTwsMsds= 画→∞EZTw（n）sMsds= 0，其中最后一个标识来自我们对[T]中支持的ws的初始考虑- ε、 T]，ε>0。因此，（19）中的条件是满足的。相反地，现在假设（19）中的条件是满足的。我们必须证明M是[0，T]上的平方可积鞅。让0≤ t<u<t，A∈ 别那么武断。对于任何ε>0，使得t+ε，u+ε<t，我们定义了新的εs（ω），1A（ω）ε[t，t+ε]（s）- 1[u，u+ε]（s）在…上Ohm ×[0，T]。显然，w是逐步可测量的，在L（Pds）和satifiesrtwsds=0 P-a.s。因此，根据假设（19），我们有0=EZTwεsMsds= EAεZt+εtMsds- EAεZu+εuMsds.通过极限ε↓ 我们通过M的右连续性得到，0=E[1A（Mt- [Mu]表示所有0≤ 因此，M是[0，t]上的鞅。通过假设，我们得到了[RTMsds]<∞ 这意味着M在[0，T]上是平方可积的。现在，我们准备通过简单的验证来证明我们的主要结果。Westart用定理3.1证明无约束问题（3）。定理3.1的证明。我们将证明分为两部分。首先，我们证明（7）中给出的解的最优性。然后，我们计算（8）中给出的相应最小代价。（7）的最优性：为了证明（7）中的候选者是问题（3）的最优解，我们需要检查引理5.2 1.）中的一阶条件。为此，定义过程YT，Ztξscosh（τκ（s））ds和Mt，E[YT|Ft]，0≤ T≤ T.从YT开始∈ L（P），我们有（~Mt）0≤T≤这是一个平方可积鞅。此外，请注意Y，~M∈ L（Pdt）。