具有暂时价格影响的套期保值

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英文标题：
《Hedging with Temporary Price Impact》
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作者：
Peter Bank, Mete Soner, Moritz Vo{\\ss}
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We consider the problem of hedging a European contingent claim in a Bachelier model with transient price impact as proposed by Almgren and Chriss. Following the approach of Rogers and Singh and Naujokat and Westray, the hedging problem can be regarded as a cost optimal tracking problem of the frictionless hedging strategy. We solve this problem explicitly for general predictable target hedging strategies. It turns out that, rather than towards the current target position, the optimal policy trades towards a weighted average of expected future target positions. This generalizes an observation of Garleanu and Pedersen from their homogenous Markovian optimal investment problem to a general hedging problem. Our findings complement a number of previous studies in the literature on optimal strategies in illiquid markets where the frictionless strategy is confined to diffusions. The consideration of general predictable reference strategies is made possible by the use of a convex analysis approach instead of the more common dynamic programming methods.
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中文摘要：
我们考虑了Almgren和Chriss提出的具有瞬时价格影响的Bachelier模型中的欧式未定权益套期保值问题。遵循罗杰斯、辛格、诺约卡特和韦斯特雷的方法，套期保值问题可以看作是无摩擦套期保值策略的成本最优跟踪问题。对于一般的可预测目标对冲策略，我们明确地解决了这个问题。结果表明，最优政策不是朝着当前目标头寸，而是朝着预期未来目标头寸的加权平均值进行交易。本文将Garleanu和Pedersen的一个观察结果从同质马尔可夫最优投资问题推广到一般的套期保值问题。我们的发现补充了之前文献中关于非流动市场最优策略的一些研究，在非流动市场中，无摩擦策略仅限于扩散。通过使用凸分析方法而不是更常见的动态规划方法，可以考虑一般的可预测参考策略。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Hedging_with_Temporary_Price_Impact.pdf (616.94 KB)

2022-5-10 12:03:10 上传

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关键词：套期保值 Mathematical Quantitative mathematica observation

银行临时价格对冲*H.Mete Soner+Moritz Voss8225; 2016年7月27日摘要我们考虑了Almgren和Chriss[2]提出的具有临时价格影响的Bachelier模型中对欧洲或有索赔进行套期保值的问题。遵循Rogers和Singh[24]以及Naujokat和Westray[21]的方法，套期保值问题可以被视为无摩擦套期保值策略的成本最优跟踪问题。对于一般的可预测目标定位策略，我们明确地解决了这个问题。结果表明，最优政策不是朝着当前目标头寸，而是朝着预期未来目标头寸的加权平均值进行交易。这将G^arleanu和Pedersen[12]的观察结果从同质马尔可夫最优投资问题推广到一般套期保值问题。我们的发现完成了文献中关于非流动市场最优策略的大量研究，例如[12]、[21]、[24]、[3]、[20]、[17]、[14]、[15]，其中无摩擦对冲策略被定义为差异。通过使用凸分析方法而不是更常见的动态规划方法，可以考虑一般的可预测参考策略。数学科目分类（2010）：91G10、91G80、91B06、60H30JEL分类：G11、C61关键词：套期保值、非流动性市场、投资组合跟踪*柏林理工大学数学研究所，17街。Juni 13610623德国柏林电子邮件bank@math.tu-柏林。de.感谢Einsteinfundation通过“游戏选项和有摩擦的市场”项目提供的财务支持。+ETH Z–urich，瑞士Z–urich，R–amistrasse 101，CH-8092，f–ur Mathematik系，瑞士金融研究所，email mete。soner@math.ethz.ch.柏林理工大学，第17大街数学研究所。

Juni 136，10623柏林，德国，电子邮件voss@math.tu-柏林。de.1引言构建有效的金融风险对冲策略是数学金融学的关键问题之一。Blackand Scholes[5]和Merton[19]的开创性工作表明，在理想的无摩擦市场中，可以通过动态交易完全流动的资产来完成这项任务。然而，近年来，人们越来越意识到，这些理想化可能会导致不可忽略成本的对冲策略被误导，尤其是当这些策略规定在存在价格影响等流动性摩擦的情况下，在短时间内快速重新分配资产时。这推动了新金融模型的发展，该模型考虑了交易对执行价格的影响；例如，见g–okayet等人的调查[13]。使用最广泛的两个模型分别可以追溯到Almgren和Chriss[2]以及Obizhaeva和Wang[22]：粗略地说，Almgren和Chriss的模型的特点是直接指定函数，描述给定订单对价格的临时和永久影响。Obizhaeva和Wang的模型假设交易发生在一个区块形状的限价订单簿中，持续的价格影响正在以有限的弹性率消失。正如最近在Kallsen和Muhle Karbe[17]中讨论的那样，前者可以被视为后者的高弹性极限。在这两个模型中，大多数现有文献研究的是通过某些特定时间范围（参见，例如Almgren和Chriss[2]、Almgren[4]、Schied和Sch¨oneborn[25]、Obizhaeva和Wang[22]、Alfonsi等人[1]和Predoiuet等人[23]）最优清算外部给定位置的问题。进一步的工作还致力于更复杂的最优投资组合选择问题，参见g^arleanu和Pedersen[11]，[12]，Moreauet等人。

[20] ，Guasoni和Weber[14]，[15]以及Kallsen和Muhle Karbe[17]。然而，只有少数几篇论文直接讨论了在存在上述价格影响的情况下对未定权益进行套期保值的问题，参见Rogersand Singh[24]、Almgren and Li[3]、Gu\'eant and Pu[16]，以及Naujokatand Westray[21]。在数学上与我们最密切相关的论文是罗杰斯和辛格[24]以及诺约卡特和韦斯特雷[21]。Rogers和Singh[24]分析了Black-Scholes模型中存在纯粹暂时性价格影响的欧洲未定权益套期保值问题，如Almgren和Chriss[2]。他们将套期保值问题与无摩擦Black-Scholes delta套期保值的成本最优跟踪问题联系起来。Naujokat和Westray[21]直接研究在非流动性金融市场中，在相同类型的流动性成本下，最优遵循给定目标策略的问题；参见alsoCartea和Jaimungal[7]了解马尔科夫订单流量跟踪问题。与这些论文相比，我们将重点讨论非马尔可夫体系，以及一般可预测的目标策略。与上述论文中使用的更常见的动态规划方法不同，我们的方法是沿着Pontryagin最大值原理的凸分析方法。这使我们能够考虑一般的可预测目标策略，而不仅仅是持续的扩散型过程。这对于非流动性市场中的套期保值尤其重要，因为无摩擦参考套期保值组合规定了相当大的瞬时再分配，例如，离散亚洲期权的情况已经存在，但文献尚未涵盖。我们推导了线性正倒向随机微分方程（FBSDE）形式的二次优化问题的一阶条件。这些问题的解决方案是明确可用的，并为我们提供了最佳的摩擦对冲。

事实上，当在布朗环境中考虑时，我们的方法可以被视为Kohlmannand Tang[18]研究的随机线性二次控制问题的特殊情况。从数学上讲，我们的贡献的新颖之处在于对最优跟踪策略的解释。事实证明，最优政策不会立即从当前头寸向当前目标头寸进行交易，而是向预期未来目标头寸的加权平均值进行交易，这在科尔曼和唐的工作中没有发生[18]。从财务角度来看，一个有趣的结果是，这种平均可以让我们理解无摩擦参考策略中的奇点如何在有摩擦的模型中得到解决：无摩擦目标对冲中的奇点在平均加权未来目标头寸时被消除，从而为非流动性市场产生合理的对冲策略。此外，我们还研究了终端套期保值头寸被限制在某一外源规定水平的问题的一个约束版本。这可以被视为衍生产品合同中处理实物交割的一种方式。我们的显式解决方案揭示了套期保值者的焦点如何系统地从跟踪无摩擦目标位置转移到达到规定的终点位置。

在这里，我们的凸分析方法允许我们避免考虑具有奇异终端条件的非线性Hamilton-Jacobi-Bellmann方程及其带来的挑战。我们还通过描述这些头寸的规模在接近尾声时的显示速度，对能够以有限的预期交易成本达到的终端头寸进行了清晰的描述。从概念上讲，我们的结果推广了G^arleanu和Pedersen[12]的观察结果，他们在有限的时间范围内考虑齐次马尔可夫模型中的二次效用最大化，并将其解解释为朝着未来预期马尔柯维茨投资组合的指数加权平均值交易。Naujokat和Westray[21]在其同样的马尔可夫示例7.1中给出了类似的解释；参见Cartea和Jaimungal[7]，了解关于高频交易中订单流跟踪的类似马尔可夫研究。这些策略以及我们的策略与直接针对当前无摩擦最优的策略形成对比，这些策略在许多具有小交易成本的渐近最优投资组合中被考虑，包括罗杰斯和辛格[24]，莫罗等人[20]，瓜索尼和韦伯[14]，[15]，以及卡尔森和穆勒·卡贝[17]。在上面引用的所有文献中，作者认为扩散型目标策略至少在渐近上与我们的平均目标等效。相比之下，我们的方法允许我们处理一般可预测的无摩擦目标策略，因此本文考虑的例子包括跳跃策略，甚至是奇异策略，其中这些模糊限制之间的差异非常明显。Almgren和Li[3]研究了一个非常类似的套期保值问题，但他们考虑了一个具有永久价格影响的模型，该模型通过Black-Scholes Delta和gammas的著名函数输入到他们的目标策略中。

因此，他们考虑了一个模型，其中目标策略也受到目标策略的影响，这导致了我们在问题表述中忽略的反馈效应。我们参考罗杰斯·辛格[24]的引言，进一步讨论这种理想化。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们将按照罗杰斯和辛格[24]的方法（参见Naujokat和Westray[21]）介绍设置和激励我们的问题公式。我们的主要结果在第3节中给出，并在具有暂时价格影响的Bachelier市场模型中，为欧式期权的一般套期保值问题提供了明确的解决方案。第4节包含三个例子中的最优解的一些说明。技术证明依据第5.2节问题设置和动机我们定义了一个确定的时间范围T>0，一个过滤的概率空间(Ohm, F，（英尺）0≤T≤T、 P）满足权利连续性和完整性的通常条件，并考虑在由风险资产（如股票）组成的金融市场交易的代理人。代理人在t时间持有的股份数∈ [0，T]的风险股票定义为xut，x+zt美元，0≤ T≤ T、 （1）其中x∈ R表示她最初持有的股份。实值随机过程（ut）0≤T≤Tre表示代理人的周转率，即代理人在风险资产中交易的速度。假设它是在thesetU中选择的，u:u s.t.EZTutdt<∞.平方可积性要求确保因阿尔姆格伦和克里斯[2]中提到的临时价格影响而对代理人各自的营业额征收的诱导二次交易成本是有限的。在这样一个有摩擦的市场中，我们的代理寻求跟踪目标策略，例如，可以将其视为无摩擦环境中采用的对冲策略。

在数学上，这个问题可以形式化如下：给定一个实值可预测过程（ξt）0≤T≤锡L（P dt）和固定常数κ>0时，代理的目标是最小化性能函数j（u），EZT（Xut）- ξt）dt+κztudt. （2） 这导致了最优随机控制问题J（u）→ 分钟∈U.（3）由于代理的终端位置xutm可能很重要（对于这里的未来计划或实际交付），我们还考虑了最优随机控制问题j（U）→ 分钟∈UΞx（4），其中UΞx是定义为asUΞx的一组约束政策，u:u∈ 你很满意吗≡ x+ZTusds=ΞTP-a.s。具有预定的终端位置ΞT∈ L（P，FT）以至于- t<∞ （5） 式中，0的Ξt，E[Ξt|Ft]≤ T≤ T备注2.1。1.）下面的引理5.4表明，在UΞx6= 当且仅当（5）满足时。注意，该条件尤其意味着∈ 英尺-. 事实上，（5）可以被解释为一个人了解最终目标位置Ξt的速度条件↑ T.2.）关于到期日T的实际交付，引入约束XuT是足够的≥ ΞT.然而，这将导致一个有趣的、但在技术上相当不同的优化问题，这将留给未来的研究。（2）中目标函数的一个动机及其与在存在暂时价格影响的情况下对冲欧洲未定权益的问题的联系如下（参见罗杰斯和辛格[24]以及阿尔姆格雷南德·李[3]）：假设代理人希望在一个市场中对冲欧洲型期权，为简单起见，利率为零，基础风险资产的价格过程S遵循波动率σ>0的布朗运动：St=S+σWt，0≤ T≤ T.在无摩擦的环境中，收益可以通过可预测的对冲策略ξH完美复制。

在存在摩擦的市场中，代理人面临流动性成本，如阿尔姆格伦和克里斯[2]，她可能需要遵循（1）中的策略。因此，从最初的财富开始∈ R、 她因市场波动而产生的收益和损失将导致其在到期日T偏离H，这是可以衡量的，例如“再见”H- （v+ZTXutdSt）#= （E[H]- v） +EZT（Xut）- ξHt）σdt,见福尔默和桑德曼[9]。如果代理人愿意承担任意高的交易成本，这种偏离可以任意进行。然而，如果她在这些问题上设置了一个c>0的上限，那么她可能想要解决优化问题ZT（Xut）- ξHt）σdt→ 分钟∈我们的目标是ZTutdt≤ c、 （6）在拉格朗日公式中等于形式（2）的目标泛函。备注2.2。1.罗杰斯和辛格[24]以及阿尔姆格伦和李[3]也研究了（2）中的类似套期保值问题。与我们的背景相反，罗杰斯和辛格[24]考虑了布莱克-斯科尔斯框架。Almgren和Li[3]还包括永久性价格影响。2.除了套期保值，第（2）项中目标的最小化问题还与最优执行VWAP订单的问题有关，该问题是在Markovian设置中使用动态规划方法研究的，参见EI和Westray[10]以及Cartea和Jaimungal[7]，或者更一般地，与Naujokat和Westray[21]以及Cai等人[6]中讨论的最优曲线跟踪问题有关。在布朗环境中，我们的问题（3）是一个随机线性二次控制问题的特例，如Kohlmann和Tang[18]所研究的。3主要结果主要结果是以下问题（3）和（4）的最优控制及其相应的最小代价的显式描述，对于这些问题，可以方便地引入τκ（t），t- T√κ, 0 ≤ T≤ T.定理3.1。

终端位置不受约束的问题（3）的最优持股量^X满足线性方程组^Xt=tanh（τκ（t））√κ^ξt-^Xtdt，^X=X，（7）其中，对于0≤ t<t，我们让^ξt，EZTtξuK（t，u）du英尺有核鹿（t，u），cosh（τκ（u））√κsinh（τκ（t）），0≤ T≤ 最小成本由infu给出∈UJ（u）=√κtanh（τκ（0））十、-^ξ+EZT（ξt）-^ξt）dt+EZT√κtanh（τκ（t））dh^ξit< ∞. （8） 对于约束问题，我们有类似的结论：定理3.2。终端位置ΞT受约束的问题（4）的最优持股^XΞ∈ L（P，FT），使得（5）保持满足线性ODEd^XΞt=coth（τκ（t））√κ^ξΞt-^XΞtdt，^XΞ=X，（9）其中，对于0≤ T≤ T，我们让^ξT，Ecosh（τκ（t））Ξt+1.-cosh（τκ（t））ZTtξuKΞ（t，u）du英尺,用核仁Ξ（t，u），sinh（τκ（u））√κ（cosh（τκ（t））- 1), 0 ≤ T≤ （9）的解满足极限意义上的终端约束↑T^XΞT=ΞTP-a.s.最小成本由infu给出∈UΞJ（U）=√κcoth（τκ（0））十、-^ξΞ+EZT（ξt）-^ξt）dt+EZT√κcoth（τκ（t））dh^ξΞit< ∞. （10） 定理3.1和3.2的凸解析证明推迟到第5节。请注意，（7）和（9）中的最佳摩擦对冲规则规定，交易分别朝向ξ的预期未来目标头寸的加权平均数ξ和ξ。事实上，每0≤ T≤ T，K（T，）和KΞ（t，.）指定在[t，t]上积分为1的非负核，因此^ξ和^ξ平均出ξ的预期未来位置。对于^ξ，我们选择ξ的平均值与期望的终端位置ΞT的凸组合，其中权重逐渐转移到ΞT↑ T自1/cosh（τk（T））↑ 1.那样的话。根据（7）和（9），最优跟踪率以与投资者在任何时候的位置的距离成比例的速度向这些目标交易。