鞅表示定理与可违约函数的赋值

因此，出现了以下具有挑战性的问题。我们如何构造和/或识别纯缺省（局部）鞅？从这个简短的讨论中可以清楚地看出，la Doob Meyer的补偿并没有从τ中产生martin gales。因此，我们在下面提出了另一个补偿过程，这导致了一类新的G-鞅。定理2.3。以下过程ss，NG:=D-如-1I]]0，τ]]oDo，F，（2.4）是具有可积变分的G-鞅。证据很明显，NGis是一个RCLL和G适应的过程，最大限度地满足需求E[Var（NG）∞], Ehsupt≥0 | NGt | i≤ E[D]∞] + EheG-1o，F（I[[0，τ]]）I{eG>0}oD∞i=2P（τ<+∞) ≤ 2.因此，NGB具有可积变化。对于任何F-停止时间σ，我们导出[NGσ]=EhDσ-如-1I[[0，τ]]oDo，Fσi=E[Dσ]- EheG-1I{eG>0}o，F（I[[0，τ]]）oDσI=E[Dσ]- EhI{eG>0}oDσi=0。（2.5）最后一个等式来自I{eG>0}oD≡ 在{τ<+∞}, 这直接来自[19，第四章，引理4.3]。因此，根据（2.5）和一个事实的组合，证明了对于任何G-停止时间σG，存在一个F-停止时间σF，例如σG∧ τ=σF∧ τ、 P-a.s.（2.6）关于这一事实，我们参考[15，第XX章第75段，主张（b）]和[3，主张b.2-（b）]。这就结束了定理的证明。一般来说，下列描述了Doob Meyer补偿生成纯违约（局部）鞅的情况。提议2.4。考虑到（2.3）和（2.4）中的定义。那么下面这些是等价的。（a） 这是一个纯缺省鞅。（b） n和n重合。（c） 两个过程esp，F（G）eG和G-G是无法区分的。证据这个证明分为两个步骤，我们处理（b）<==>（c） d（a）<==>（b） 分别。第一步：这里我们证明（b）<==>（c） 。评论说≡ NGi ffeg-1I]]0，τ]]Do，F=G-1.-一] [0，τ]]oDp，F，这个等式等于toeG-1I]]0，τ]]Do，F=G-1.-一] ]0，τ]]Dp，F。

自]]0，τ]] {G-> 0}，通过采用F-可选投影，很容易得出后一个等式等价于toG-Do，F=eGDp，F.很明显，由于Do，F=eG- G和Dp，F=G--p、 F（G）。这就结束了（b）的证明<==>（c） 。第二步：这部分证明（a）<==>（b） 。为此，我们开始证明NGis实际上是一个纯鞅。设M是局部有界的F-局部鞅，σ是F-停止时间。然后我们得到E[M，NG]σ=E[(MoNG）σ]=Eh(MoD）σ-MeGI[[0，τ]]oDo，Fσi=Eh(MoDo，F）σ-MeGI{eG>0}o，F（I[[0，τ]]）oDo，FσI=Eh(MI{eG=0}oDo，F）σi=0，其中最后一个等式来自i{eG=0}oDo，F≡ 0，相当于I{eG=0}oD≡ 0，或相当于τ>0 P-a.s。关于{τ<+∞}. 上述等式结合（2.6）证明了[M，NG]是G-鞅。因此，我们得出结论，ngi是一个纯缺省鞅，并且证明了（b）==>（a） 接下来。其余的证据集中在相反的方面。注：M:=G-o做，F-例如，Dp，Fis是一个有界跳跃的F-局部鞅（因此它是局部有界的），和ng- NG=（G）-（例如）-1I]]0，τ]]]M。因此，ngi是一个纯缺省鞅效应- NGI也是一个纯缺省鞅。因此，G-例如o[NG]- NG，NG- NG]=[NG- [NG，M]∈ Mloc（G）或同等长度≡ 由于]]0，τ]] {G-> 0} ∩ {eG>0}。这证明了这个命题。下面，我们将讨论比较NGA和NG的更具体和实际的案例。推论2.5。考虑（2.4）和（2.3）中定义的NGandNGde。那么下面的断言就成立了。（a） 假设τ是F-停止时间。然后呢≡ 0，whileNG=I[[τ+∞[[-（I）[τ+∞p，Fτ. 结果是，在这种情况下，ngf与NGif一致，且仅当τ是可预测的。（b） 以下条件均足以使NG与NG一致。（b.1）τ避免F-停止时间（即。

对于任何F-停止时间θ，它认为P（τ=θ<+∞) = 0），（b.2）所有F-鞅都是连续的，（b.3）τ与F无关∞:= σ(∪T≥0英尺）。证据断言（a）是显而易见的，将被省略。因此，剩下的证明集中在三个部分中提供评估（b），其中我们证明每个条件（b.i），i=1，2，3，是有效的。第1部分：τ避免F停止时间的支撑姿势。因此，Do，F=Dp，FandeG-1I]]0，τ]]Do，F=G-1.-一] [0，τ]]oDp，F。这证明了NG=NG。第2部分：假设所有F-鞅都是连续的。那么0=m=eG- G-, 纯jumpF鞅Do，F- Dp，Fis为空。因此，在这种情况下，Ngan和Ngan不谋而合。第3部分：假设τ与F无关∞. 然后，G-G是确定性的。因此，我们得到G=G-Do，F=Dp，F。因此NG=NG，推论的p屋顶就完成了。即使推论2.5-（a）很简单，它也解释了Ngang和Ngang角色之间的主要差异。事实上，它说NG“测量”的是τ中不在F中的额外区域，而NGcannottell的随机性来自（或不来自）F。因此，NGI更适合挑出不同的风险源。这对于有效的风险管理至关重要。2.2随机时间示例本小节说明了Ngandongon随机时间的实际示例之间的差异。例2.6。假设N是强度为1的泊松过程，F是由N生成的正确的连续和完全过滤，以及（Tn）N≥1be F停止时间的顺序giv en byTn:=inf{t≥ 0新界≥ n} ，n≥ 1.让我们∈ （0,1），并将τ：=αT+（1- α） T.由于[3，命题5.3]，显然τfull fill假设（b.1）是推论2.5-（b），而Fviolates假设（b.2）。因此，在这种情况下，我们得出结论，NG=NG。例2.7。

考虑三重态（N，（Tn）N≥1，F）在上一示例中定义，并将τ：=aT∧ T、 带着∈ (0, 1). 然后，很明显，这对（τ，F）违反了循环2.5-（b）的所有三个假设（b.1）-（b.3）。为了证明这一事实，多亏了[3]，我们得到了gt=e-βt（βt+1）I{t<t}，eGt=Gt-= E-βt（βt+1）I{t≤T} ，β：=a-1.- 1.因此，我们推断Do，F=eG- G=e-βT（βT+1）I[[T]]。这意味着τ不会避免停止时间，而会避免F- E-βT（βT+1）I[[T+∞[[是一个具有有限变化的连续过程。此外，G-鞅-NG=-一] [0，τ]]oH（1），其中H（1）：=I[[T+∞[（t）- T∧ T、 不是空的。本例与[20]中考虑的模型及其参考文献具有相同的特征。这些模型可以统一为更一般的模型，如下所示。提议2.8。设σ为F-停止时间，τ为任意随机时间。假设τ=σ∧ τ.那么下面的断言就成立了。（a） 如果G是包含F且使τ为停止时间的最小过滤，则G G.（b）考虑过程D:=I[[τ+∞[andNG:=D-o、 F（I[[0，τ]]）I]]0，τ]]o（D）o，F，即通过（2.4）与（F，τ）相关联的补偿鞅。那我们有=NGσ-= 一] 很明显，τ是G-停止时间，就像τ和σ一样，断言（a）紧随其后。为了证明断言（b），我们推D:=I[[σ+∞[[和导出：=I[[τ+∞[[= 1 - (1 - D） （1）- D） =D+D- DD=I[[0，τ]]oD+I[[0，σ[]D。因此，通过在两侧取对偶F-可选投影，我们得到Do，F=eGoD+I[[0，σ[]Do，F，其中eG:=o，F（I[[0，τ]]）。因此，通过将上述等式与eG=I[[0，σ]]eG相结合，可以得出（b）的结论。这就结束了这个命题的p屋顶。对于命题2.8中τ模型的社会或经济解释，我们参考文献[20]和其中的参考文献。备注2.9。

（a） 对于命题2.8-（b）的随机时间族，很明显，在NG=NG的情况下，NG可能不同于NGeven。事实上，对于后一种情况，ngi是一个纯缺省鞅当且仅当P（τ=σ<+∞) = 0（即τ避免σ）。这个简单的事实证明，F和τ之间的相关性极大地扰乱了风险的结构，因此在任何意义上都不应忽视这种相关性。（b） 很容易看出，一般来说，g6=Gby取τ=τ+σ，τ不是F-停止时间。下面我们考虑另一类有趣的τ模型，这类模型在实践中经常遇到，我们比较了两个过程。提议2.10。假设存在一系列F-停止时间（θn）n≥1，满足[[τ]]+∞[n=1[[θn]]。（2.7）那么以下断言成立。（a） 如果（θn）n≥1完全无法进入，然后是Nganddiffer。（b） 假设（θn）n≥1是可预测的。那么，ngandngn重合的充要条件是≥ 1，Pτ=θnFθnPτ ≥ θnFθn-= Pτ=θnFθn-Pτ ≥ θnFθn, P-a.s。。（2.8）（c）假设≥ 1，θ是可预测的，且（τ=θn）与Fθn无关。然后NG=NG。证据1） 假设θ对所有n完全不可访问≥ 1.那么就可以很容易地计算出o，F：=+∞Xn=1Pτ=θnFθnI[[θn+∞[2]，并推导出Dp，F=做，Fp、 Fis是连续的。从而证明了Dp，F6=Do，F和断言（a）。2） 假设θ对所有n都是可预测的≥ 1.如果更多（τ=θn）与Fθn无关≥ 1，那么（τ=θn）也独立于Fθn-（自Fθn）- Fθn）和（2.8）在这种情况下显然是完整的。因此，断言（c）紧接着断言（b）。

为了证明后一种说法，只需标记（使用约定0/0=0）例如oDo，F：=+∞Xn=1Pτ=θnFθnPτ ≥ θnFθnI[[θn+∞[andG]-oDp，F：=+∞Xn=1Pτ=θnFθn-Pτ ≥ θnFθn-I[[θn+∞【注释2.11】（a）值得一提的是，离散时间市场模型包含在命题2.10中。事实上，只要取（θn）为确定性且不减损时间，即θi=i f ori，就足够了≥ 0.那么NGTO的必要和有效条件（2.8）与NGbecomesP一致τ=nFnPτ ≥ NFn-1.= Pτ=nFn-1.Pτ ≥ NFn, P-a.s。N≥ 1.（b）很容易检查，对于满足（2.7）且可预测（θn）n的τ模型，（2.8）等价于命题2.4-（c）。为了方便读者，我们在[3]中找到了模型（2.7）的一个实际例子。例2.12。假设F由强度为1的泊松过程N生成。考虑两个实数a>0和u>1，并设置τ：=sup{t≥ 0:Yt:=ut- 新界≤ a} ，Mt:=Nt- t、 这很容易证明，见[3]，即g=ψ（Y）- a） I{Y≥a} +I{Y<a}andeG=ψ（Y- a） I{Y>a}+I{Y≤a} 。这里ψ（u）：=P监督≥0Yt>u是与过程Y相关的破产概率。τ的这个模型属于命题2.10-（c）（见[3]）的情况，其中θnis由θn:=inf{t>θn给出-1:Yt=a}，n≥ 1, θ= 0.因此，对于（τ，F）的这个模型，两个G-鞅Ngan和Ngan重合。命题2.10的模型（2.7）的其他实用模型见[18]。在后一篇文章中，作者假设代表默认时间的随机时间是kn own，通过Dp，Finstead。实际上，他们假设存在一个随机时间τ，使得Dp，Ft=Rt∧sds+Pnk=1ΓiI[[Ui+∞等一下。

这里∧是一个非负的F-适应过程，具有rt∧s | ds<+∞ P-a.s.，（Ui）i=1，。。。，这是一个F-可预测停车时间的有限序列，而Γ是一个FUi--可测量的ran dom变量，其值在（0，1）中，对于所有i=1。。。，n、 在这种情况下，主要的挑战性障碍在于提供与给定Dp，F相关的τ的存在性。虽然我们在这里不讨论这种存在性假设，但我们只是注意到，如果空间(Ohm, G、 P）足够富有。因此，假设存在这样的τ，根据命题2.10，我们可以推测这个τ可以有各种形式。事实上，一个可能有τ=τ的形式∧ τ、 式中，τ满足（2.7）与（θn）和[[τ]]Snk=1[[英国]]。第二种形式可以是τ=τ∧ τ、 式中，τ是一个避免F-停止时间的随机时间（也称n为考克斯随机时间），和[[τ]]Snk=1[[英国]]。τ的第三种形式可以通过将τ=τ结合在一起而得到∧ τ∧ τ、 其中τ和τ为第二种形式，τ满足（2.7）完全不可访问（θn）n。根据[18]的主要思想和本文的可选精神，可以考虑考虑考虑Do，Finstead。事实上，我们可以假设τ是这样给出的，即do，F=αZt∧sds+β∞Xk=1ΓiI[[Ui+∞[[+ γ∞Xk=1iI[[θi+∞这里，第一个和第二个过程与[18]中的类型相同，而第三个过程（θi）i≥1是F-完全不可接近的停车时间，2.3类纯缺省鞅本小节提出了两类正交的纯缺省（局部）鞅，它们对纯缺省风险s建模。这些类在上一小节的马丁鞅表示定理中起着至关重要的作用。

下面讨论第一类纯缺省鞅。定理2.13。以下断言成立。（a） 设K是一个F-可选过程，它是Lebesgue-Stieltjes可积的。然后，K·NG∈ A（G）当且仅当[KoNG]1/2∈ A+（G）当且仅当K∈ Io（NG，G），（2.9），其中Io（NG，G）：=nK∈ O（F）呃| K | GeG-1I{eG>0}oD∞我+∞o、 （b）以下setM（1）（G）：=nKoNGK∈ Ioloc（NG，G）即K∈ O（F）和| K | Var（NG）∈ A+loc（G）o，其中Var（NG）是NG的变化过程，是一个纯缺省局部鞅的空间，我们称之为第一类纯缺省鞅。证据设K是关于NG的Lebesgue-Stieltjes可积的F-可选过程。然后，使用Do，F=eG- G、 我们推导出[KoNG，KoNG]=XK(NG）=XK(1 -如-1I{eG>0}Do，F）D-如-1I]]0，τ[[做，F=XK格格-1I{eG>0}D-如-1I]]0，τ[[做，F=XK（GeG）-1） I{eG>0}D+XKeG-2I]]0，τ[[(做，F）。这与PP | x |的结合≤Pp | x |一方面意味着| K | GeG-1I{eG>0}oD≤qKo[NG，NG]≤ |K|GeG-1I{eG>0}oD+|K|eG-另一方面，由于G=o，F（I[[0，τ[[]），很容易在| K | eGI]]0，τ[[Do，F]处检查∈ A+（G）（分别为A+loc（G））i | K | GeGI{eG>0}oD∈ A+（G）（分别为A+lo c（G））。再次感谢Do，F=eG-我们得到Var（KoNG）=K | GeG-1I{eG>0}oD+|K|eG-1I]]0，τ[ooDo，F。因此，将后一等式与（2.10）和（2.11）结合起来，即可证明（2.9）。这证明了断言（a），而其余证明则涉及断言（b）。对于任何F-停止时间σ和K∈ Io（NG，G），由于I{eG>0}oD≡ D、 我们得到[（KoNG）σ]=Eh（KoD）σ- （桶-1I]]0，τ]]Do，F）σi=E[（KoD）σ]- 呃（桶）-1o，F（I[[0，τ]]）I{eG>0}oD）σI=0。因此，在（2.6）中，上述等式证明KoNG∈ M（G）。同样，很明显KoNG∈ M0，位置（G）一旦K∈ Iolo c（NG，G）。

此外，对于任意F-局部有界的可选过程H和任意K∈ Iolo c（NG，G），我们有KH∈ Iolo c（NG，G）。因此，对于任何F-局部有界局部鞅M，我们有[M，KoNG]=(M） Kongi是一个G-局部鞅(M） K∈ Iolo c（NG，G）。这证明了断言（c），并结束了定理的证明。本小节的其余部分将介绍第二种类型的纯缺省（局部）鞅。在发布了我们关于Arxiv的第一个版本的论文，并在几次会议上介绍了它之后，一些同事在[4]中向我们证明了布朗框架和诚实时间（仅限于）中这类鞅的存在，避免了F停止时间。为了向大家介绍将[4]扩展到通用框架的类，我们从以下符号开始。在片场(Ohm × [0, +∞), F B（R+）（其中B（R+）是R+=[0]上的Borelσ-field+∞)), 我们考虑u（dω，dt）：=P（dω）dDt（ω），这是一个有限的度量，因此可以标准化为一个概率度量。回想一下，可预测、可选和渐进的子σ域分别用P（F）、O（F）和Prog（F）表示。在(Ohm, F） ，我们考虑子σ场Fτ-, Fτ和Fτ+作为{Xτ生成的西格玛场X是F-可预测的}，{XτX是F-可选的}，且{XτX分别是F-渐进可测}。此外，对于任何H∈ {P（F），O（F），Prog（F）}，对于任何P∈ [1, +∞), 我们将提供（H，P D） ：=nX H-可测量E[|Xτ| pI{τ<+∞}] =: EPD[|X|p]<+∞o、 （2.12）及其局部PLOC（H，P D） :=十、XTn∈ Lp（H，P D） ，TnF停止时间s.t.supnTn=+∞.在下文中，我们定义了第二类纯缺省（局部）鞅，并指定了它们与第一类pu-re缺省鞅的关系。定理2.14。

以下断言成立。（a） 进程类m（2）loc（G）：=nkoDK∈ Lloc（进步（F），P D） 和E[kτ| Fτ]I{τ<+∞}= 0p-a.soi是一个纯缺省局部鞅空间，我们称之为第二类纯缺省局部鞅。（b） 对于任何k∈ Lloc（进步（F），P D） 还有任何∈ Ioloc（NG，G）我们有[koD，hoNG]∈ Aloc（G）当且仅当[koD，hoNG]∈ Mloc（G）（即第一类纯缺省局部鞅与第二类纯缺省局部鞅正交，前提是它们的乘积具有局部可积性）。证据很明显，一方面，M（2）loc（G）是Mloc（G）的子空间。另一方面，[koD，M]=(M）koD∈ M（2）loc（G），适用于任何k∈ Lloc（进步（F），P D） 满足E（kτ）Fτ）=0p-a.s在{τ<+∞}, 对于任意有界f局部鞅M，这证明了断言（a），而这个证明f的剩余部分集中在证明断言（b）。为此，让k∈ Lloc（进步（F），P D） 使得{τ<+∞}, 和K∈ Iolo c（NG，G）。然后，我们有[KoNG，KoD]=kKNGoD=keKoD，eK:=KG（eG）-1I{eG>0}。因此，[KoNG，KoD]∈ Aloc（G）当且仅当keK∈ Lloc（进步（F），P D） 在这种情况下，我们有（kτeKτFτ）I{τ<+∞}=eKτE（kτFτ）I{τ<+∞}= 0，P-a.s。。这就结束了定理的证明。提案2.15。设H为F-可选过程。那么下面的例子就成立了。（a） 如果K和HK都属于Iolo c（NG，G），那么HKoNG=Ho（KoNG）是G-局部鞅。特别地，KoNGσ-∈ 对于任何F-停止时间σ和任何K∈ Iolo c（NG，G）。（b） 如果k和kH都属于Lloc（Prog（F），P D） 和E（kτ）Fτ）I{τ<+∞}= 0，P-a.s.，则HKoD=HokoD属于M（2）loc（G）。