鞅表示定理与可违约函数的赋值

特别是，（koD）σ-∈ M（2）loc（G），对于任何F-停止时间σ，以及任何k∈ Lloc（进步（F），P D） 求E（kτ）Fτ）I{τ<+∞}= 0，P-a.s。。这一观点的证据显而易见，将被省略。在[19]中，作者考虑了SM（3）loc（G）：={koDK∈ Lloc（进步（F），P D） &EkτFτ-I{τ<+∞}= 0 P-a.s.}。（2.13）这个类包含定理2.14中的M（2）loc（G），但通常它不能满足命题2.15。因此，M（3）loc（G）（Jeulin空间）的元素不能是纯缺省鞅，也不能与第一类纯缺省鞅正交。考虑到我们挑出了两种正交的纯缺省局部马尔丁大风，我们可以自然地问如下问题。正交纯缺省鞅有多少种类型？（2.14）这个困难问题的答案，以及之前所有未回答的问题的答案，归结为在τ处停止的任何G-鞅完全分解为正交（局部）鞅之和。这是以下小节的目的。2.4可选鞅表示定理本小节详细阐述了我们对于任何终止于τ的G-鞅的完整、严格、明确和一般可选表示定理。为此，我们首先分解一类广泛应用于保险（死亡率/寿命）衍生品和信用风险衍生品的G-鞅。这些符号的形式为（E[hτGt]，t≥ 0），其中h表示具有足够完整性和可测量性条件的支付过程。为了说明这些鞅的可选鞅表示，我们回顾了[2]的一个有趣结果，然后给出了一个技术引理。定理2.16。[2，定理3]对于任意F-局部鞅M，以下cm:=Mτ-如-1I[[0，τ]]o[M，M]+I[[0，τ]]o梅里+∞[[p、 F（2.15）是G-局部鞅。

此处：=inf{t≥ 0:Gt=0}，andeR:=R{eGR=0<GR-}:= RI{eGR=0<GR-}+ ∞我Ohm\\{eGR=0<GR-}. （2.16）备注2.17。由于m=eG- G-, 关于]]0，τ]]，cM与F可选流程一致：(M）G-如-1I{eG>0}+p，F梅里.因此，我们得出结论，CM与前一小节中定义的纯缺省局部鞅的两种类型（第一类和第二类）正交。这一事实直接源自命题2.15。引理2.18。让h∈ L（O（F），P D） 。然后h和嗯- hoDo，FG-1I[[0，R[[c（NG，G）]，其中mht:=o，FZ∞胡多，傅t=EhZ∞胡多，傅Fti。（2.17）这个引理的证明被归入附录A。下面是关于图尔鞅表示的主要结果之一。定理2.19。让h∈ L（O（F），P D） ，并在（2.17）中给出。那么下面的例子就成立了。（a） G-鞅Ht:=o，G（hτ）t=E[hτ| Gt]允许以下表示。H- H=I]]0，τ]]G-odMh-嗯-- （hoDo，F）-G-一] ]0，τ]]obm+hG- Mh+hoDo，FGI]]0，R[[NG.（2.18）（b）如果h∈ 对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数 D） （即e[|hτ| ln（|hτ|）i{τ<+∞}] = E[R]∞|胡| log（|胡|）dDu]<+∞), 然后两者汞- Mh+hoDo，FG-1I]]0，R[on和G-1.-一] ]0，τ]]odMh-嗯-- （hoDo，F）-G-2.-一] [0，τ]]obm是一致可积的G-鞅。（c） 如果h∈ L（O（F），P D） n是两个G-鞅汞- Mh+hoDo，FG-1I]]0，R[oNGandG-1.-一] ]0，τ]]odMh-嗯-- （hoDo，F）-G-2.-一] [0，τ]]obm是squ是可积的正交鞅。为了便于说明，我们将定理的证明推迟到附录A中。定理2.19指出，对于某些h∈ L（O（F），P D） ，可分解为三个正交风险：“纯”财务风险，它是（2.18）RHS中的第一项，而RHS的第二项代表市场模型和τ之间相关性产生的风险。

RHS（2.18）中的最后一项模拟了第一类的纯违约风险。下面，我们将说明我们关于对（τ，F）的特定模型的定理。推论2.20。让h∈ L（O（F），P D） ，并分别考虑NG、NG和MHB y（2.3）、（2.4）和（2.17）。然后可选表示（2.18）采用以下形式。（a） 如果τ是F-伪停止时间（即，对于任何有界F-鞅M，e[Mτ]=e[M]），则h- H=G-1.-一] ]0，τ]]oMh+hGh- Mh+hoDo，图-1I]]0，R[oNG.（b）如果τ避免了所有F-停止时间，则h-H=I]]0，τ]]G-odMh-嗯-- （hoDo，F）-G-一] ]0，τ]]obm+G-p、 F（h）- 嗯-+p、 F（h）oDp，FG-I{G->0}oNG。（2.19）（c）如果所有的F-鞅都是连续的，那么它保持H-H=G-1.-一] ]0，τ]]oMh-嗯-- （hoDo，F）-G-一] [0，τ]]om+p，F（h）G- 嗯-+p、 F（h）oDp，FGI]]0，R[oNG.（2.20）这里，对于任何F-局部鞅M，M由M定义：=Mτ- G-1.-一] [0，τ]]ohM，miF。（2.21）证据。1） 由于[24，定理1]，它认为τ是F-伪停止时间当且仅当ifm≡ m、 这导致bm≡ mandeG=G-. 因此，我们得到{eG=0<G-} = [[eR]]=,厘米≡ 任意M的Mτ∈ Mlo c（F）和I]]0，τ]]]bm≡ 因此，断言（a）的证明遵循定理2.19.2）对后一事实的梳理，假设τ避免了F停止时间。然后τ<rp-a.s.（自τ）≤ R P-a.s.）并且很容易检查eg=G，Do，F≡ Dp，Fis连续，I[[0，R[]D≡ I[[0，R]]oD=D，NG=NG和{p，fh6=h或g6=G-或Mh6=Mh-} ∩ [[τ]] = .因此，断言（b）是将所有这些评论与定理2.19.3）相结合而得出的，假设所有F-鞅都是连续的。那么Mh和m是连续的，dmh=Mh，bm=m，eG=G-, Do，F=Dp，F，NG=NG。此外，所有F停止时间都是可预测的。因此，R是可预测的，GR是可预测的-= 0在{R<+∞ }. 这意味着[[0，τ]] [0，R[]。

因此，将这些评论与Hg结合起来- Mh+hoDo，FGI]]0，τ]]=hG-- 嗯-+ （hoDo，F）-G-一] ]0，τ]]- 嗯- hoDo，FGI]]0，τ]]=hG-- 嗯-+ （hoDo，F）-G-一] ]0，τ]]-汞-- 嗯-+ （hoDo，F）-游戏打得好-GI]]0，τ]]=hG-- 嗯-+ （hoDo，F）-GI]]0，τ]]，证明了断言（c）。这是推论的证明。值得一提的是，τ的伪停止时间模型涵盖了文献中提出的几种情况。事实上，伪停止时间模型覆盖了浸入情形（即，对于任何F-局部鞅M，M是G-局部鞅）或等价于由τ：=inf{t给出的考克斯时间≥ 0圣≥ E} 其中E是一个独立于F的随机变量∞, τ与F无关的情况∞（金融市场和随机时间之间没有相关性），以及τ是F停止时间的情况（即，通过信息F的公共流完全可以观察到随机时间的情况）。有关伪停止时间的更多详细信息，请参阅[23,24]。推论2.20告诉我们，我们的表述（2.18）超出了[9]的语境。事实上，我们的断言（b）和（c）将[9]扩展到h是F可选的情况（条件（1.5）被省略），就像[17]中的一些例子一样，一方面，G可能消失。另一方面，通过比较（2.19）和（2.20）中的RHS术语，我们推断出它们的第三类风险（与toNG相关的INTEGRAND）差异极大，并且它们不能用通用的公式来书写。这就解释了为什么[9]的表示可能无法用于一般F-可选h。

为了看到我们的结果扩展了后一篇文章，我们考虑h∈ L（P（F），P D） 和putmh:=o，FZ∞胡德福, 其中F:=1- G.那么就不难推断出（2.17）中定义的DMHDE和与cmh相关的cmh=cmh+hobm。因此，分解（2.18）的形式为H- H=I]]0，τ]]G-ocmh+G-H- 嗯-+ （hoF）-G-一] ]0，τ]]obm+Gh- mh+hoFGI]]0，R[[oNG.特别是当τ避免F-停止时间或所有F-局部鞅是连续的时，其呈现（2.18）变得更为明显- H=I]]0，τ]]G-ocmh+hG-- 嗯-+ （hoF）-G-一] ]0，τ]]obm+Gh- mh+hoFGoNG。即使是后一个公式也将[9]推广到了G可能消失的情况，因为条件G>0在本文的证明中很重要。本小节的其余部分将重点讨论在τ处停止的任意G-鞅的分解。为此，我们需要以下简单但重要的中间结果。它解释了如何将一般情况简化为定理2.19的情况。提议2.21。以下断言成立。（a） 假设X是一个可测量的过程≥ 0u-a.e.（回想一下u：=P D） 或X（F） B（R+），P D） 。那么下列等式在{τ<+∞}.Eu十、P（F）（τ） =EXτFτ-, Eu十、O（F）（τ） =EXτFτ, Eu十、进步（F）（τ） =EXτFτ+.这里是Eu[.|]是有限测度u下的条件期望。（b） 如果k∈ L（Prog（F），P D） 然后存在一个独特的（u-a.e.）h∈ L（O（F），P D） 令人满意的kτFτ= 关于{τ<+∞}.证据断言（a）的证明是显而易见的，将被省略。断言（b）直接从断言（a）开始，将h=Eu[k | O（F）]放在断言（b）之后，命题的证明就完成了。下面陈述我们的完整可选鞅表示结果。定理2.22。对于任意G-鞅MG，存在两个过程h∈ L（O（F），P D） 安德克∈ L（Prog（F），P D） ，使得E[kτ| Fτ]=0，kτ+hτ=MGτP-a.s。

关于{τ<+∞ }, 和镁τ-MG=I]]0，τ]]G-odMh-嗯-- （hoDo，F）-G-一] ]0，τ]]obm+hG- Mh+hoDo，FGI]]0，R[oNG+koD.（2.22）这里Mh和m分别在（2.17）和（2.2）中定义。证明。假设mge是G-鞅。那么，一方面，存在（唯一的，直到P D-a.e.）k（1）∈ L（Prog（F），P D） 使得{τ<+∞ }, 有关这一事实的详细信息，请参见[1，引理B.1]。由于提案2.21–（b），存在h∈ L（O（F），P D） 在{τ<+∞}. 另一方面，请注意Gt∩ （τ>t） Fτ和putk:=k（1）- h、 然后我们得出结论k∈ L（Prog（F），P D） 在{τ<+∞}. 这意味着E（kτGt）I{τ>t}=E（E（kτFτ）Gt）I{τ>t}=0，和mgt∧τ=EMGτ燃气轮机= Ek（1）τ| Gt= EkτGt+ EhτGt= kτI[[τ+∞[t）+EkτI{τ>t}燃气轮机+ EhτGt= koDt+Ehτ燃气轮机.因此，定理2.19直接应用于Ehτ燃气轮机, 分解（2.22）立即进行，定理证明完成。定理2.22可以按照s.定理2.23稍微重新表述。设MG为G-鞅，R在（2.16）中给出。然后，存在一个独特的三重态（MF，ν（o），ν（pr）），它属于M0，loc（F）×IolocNG，G×LlocEOhm, 进步（F），P D而satis fiesmf=（MF）R，MFI{eG=0}=0，~n（o）=~n（o）I[[0，R[]，Eh~n（pr）τFτiI{τ<+∞}= 0，P-a.s.（2.23）和镁τ=MG+G-2.-一] [0，τ]]odMF+~n（o）oNG+~n（pr）oD.（2.24）证明。很明显，三胞胎的存在MF，а（o），а（pr）, 对于分解（2.24）成立的情况，通过将MF:=G，紧跟定理2.22中的s-o嗯-嗯-- （hoDo，F）-om、 因此，只要我们证明满足（2.23）的前两个等式，就立即证明存在。为此，我们在I]]R中指出+∞[G=I]]R+∞[Do，F=0，由于[I]]R+∞[Do，F]∞] = P（R<τ<+∞) = 0.这意味着I]]R+∞一方面，m=0。

另一方面，从ks到（2.17），对于任何F-停止时间σMhσ=（hoDo，F）σ+E（hτI{σ<τ<+∞}Fσ）=（hoDo，F）RP-a.s.{σ≥ R} 。（2.25）因此，我们也得到了I]]R+∞[Mh=0，并推导出MF=（MF）R。此外，我们计算MFI{eG=0}=hG-嗯- （Mh）-- （hoDo，F）-)miI{eG=0}=G-嗯- （hoDo，F）-iI{eG=0}=G-h（例如- G） I{eG=0}=0。第二个平等是由于m=eG- G-, 而第三个等式由（2.25）和{eG=0}组合而成 {G=0}=[[R+∞这证明了…的存在MF，а（o），а（pr）这满足了（2.23）和（2.24）。Thu s，这个证明的剩余部分集中在这个三胞胎的唯一性上。因此，我们假定这种三胞胎的存在MF，а（o），а（pr）满足（2.23）和0=G-2.-一] [0，τ]]o对于n，dMF+~n（o）oNG+~n（pr）oD.（2.26）≥ 1、我们把Γn：=如-1+ |MF |+|~n（o）|+|姆费里+∞[[p、 F|≤ N,通过利用（2.26），我们得出如下结论：-伊恩dMFG-+ ~n（o）NGν（pr）oD=-伊恩制造商-eG+GeG~n（o）ν（pr）oDis是局部G-鞅。因此，IΓno[Γ（pr）oD，Γ（pr）oD]是一个空过程，因为它是n的递减过程。结合这一点和Γn∩ [[0，τ]]增加到[[0，τ]]，我们得出[ν（pr）od，ν（pr）od]≡ 0或相当于φ（pr）≡ 0便士 D-a.e。。同样地，我们也可以定义Γno[~n（o）oNG，~n（o）oNG]=-伊恩dMFG-~n（o）oNG=-伊恩制造商-如ν（o）oNG，根据定理2.13，这是一个局部G-鞅。因此，再次由于∪nΓn∩]]0，τ]]=]]0，τ]]，我们得出结论，鞅φ（o）ongi为空，或等价于φ（o）≡ 0便士 D-a.e.为了结束对唯一性的证明，我们将证明CM≡ 0小鬼撒谎说≡ 任何M都是0∈ M0，loc（F）满足（2.23）的第一和第二条件。

实际上，考虑这样的M，并注意到在这种情况下，我们有cm=Mτ-如-1I]]0，τ]]o[m，m]=0。因此，我们得到了G-如-1I]]0，τ]]o[M，M]=[M，cM]≡ 0表示0=I{eG>0}o[M，M]≥ [M，M]呃-.因此，sinceeR≥ RMI{eG=0}=0和M=MR，得出结论[M，M]=[M，M]eR=[M，M]eR-+ 米[[eR]]=[M，M]eR-+ MI{eG=0<G-}= 这证明了≡ 0，定理的证明就完成了。[4]中给出了表示式（2.24），用于布朗设置，并且当τ是一个诚实的时间时，避免了F-停止时间。这两个特征在证明中至关重要。然后[9]将ed[4]推广到所有F-鞅都是连续的或τ避免F-停止时间的情况，并且只适用于一类特殊的G-鞅。幸运的是，这些关于（τ，F）的假设在许多流行的模型和d/或保险中都失败了。[19，Ch ap itre V，Th\'eor\'eme5.12]中考虑了（2.24）的另一个尝试，其中证明了平方可积G-鞅的空间由Y=Mτ生成- G-1.-一] [0，τ]]hM，miF+HoNG+koD+（L- Lτ）+（1- G-)-1I]]τ+∞]]o米芙。这里M和L是两个F-局部鞅，H∈ L（P（F），P D） 和k∈ L（Prog（F），P D） 满意的EkτFτ-I{τ<+∞}= 0，P-a.s。。这个结果远不如我们的可选表示精确。此外，与我们的结果相反，Y中的前两个局部鞅分量通常不是正交的。值得一提的是，风险之间的正交性特征对于风险管理非常重要，因为在这种情况下，人们可以单独处理每个风险。下面说明了定理2.22，适用于F是布朗运动和泊松过程的完全且右连续自然过滤的常见情况。推论2.24。假设F是（W，p）生成的过滤的增强过滤，其中W是标准布朗运动，p是强度为1的泊松过程。

放置NFt:=pt- t、 考虑G-鞅MG。然后存在一个属于集合Lloc（W，F）×Lloc（NF，F）×Ioloc的u-ni-que元组（φ，ψ，ν（o），ν（pr））NG，G×LlocEOhm, 进步（F），P D和满足感镁τ=MG+φG-2.-一] ]0，τ]]ocW+ψG-2.-一] [0，τ]]ocNF+~n（o）oNG+~n（pr）oD.结合定理2.22，以及任何F-局部鞅M存在唯一对（~n，ν）的事实，立即证明了这个推论∈ Lloc（W，F）×Lloc（NF，F），使M=M+~noW+~noNF。在本节结束时，我们将展示定理2.23（或定理2.22）如何允许我们回答（2.14）。推论2.25。设N是G-局部鞅。那么N是一个纯缺省局部鞅当且仅当存在一个属于Ioloc的唯一对（ξ（o），ξ（pr））时NG，G×LlocEOhm, 进步（F），P D在{τ<+∞} andN=N+ξ（o）oNG+ξ（pr）oD.因此，纯缺省（局部）鞅只有两种正交类型。证据设N为纯缺省局部鞅。通过停止，在假设为鞅的情况下，这并没有失去普遍性。将定理2.20直接应用于N，就得到了m的存在性∈ M0、loc（F）和П（o）∈ Ioloc（天然气、天然气）和ν（天然气）∈ Lloc（进步（F），P D） 这样N=N+G-2.-一] [0，τ]]ocM+~n（o）oNG+~n（pr）oD，M=MR，和MI{eG=0}≡ 因此，只要我们证明CM，就可以完成推论的证明≡ 因此，剩下的证据集中于证明这个事实。为此，对于任何α>0，我们认为derm（α）：=M-十、米{|M |>α}+十、米{|M |>α}p、 F是一个有界跳跃的F-局部鞅。因为N是纯缺省鞅，那么[N，M（α）]是G-局部鞅，或者等价地[cM，M（α）]是G-局部鞅，或者等价地[cM，M（α）]-P米{|M |>α]是G-局部鞅。

自从米[[eR]]=MI{eG=0<G-}≡ 0，我们得到[cM，M-十、米{|M |>α}]=G-如-1I]]0，τ]]I{|M|≤α} o[M，M]，并得出以下结论：-如-1I]]0，τ]]I{|M|≤α} o[M，M]≡ 对于任何大于0的α，均为0。通过让α进入单位，然后取F-可选投影，我们推断出I{G->0}oM≡ 0和hencecM≡ 这就结束了推论的证明。3可违约证券的估值本节是我们的第二个主要贡献。它通过描述一些可违约证券的随机结构（动力学），在一定的条件下，假设违约时间τ具有任意模型，从而正（1.1）地回答了这个问题。这些可违约证券在人寿保险中也有对应的证券，这类证券很受欢迎。在本文的其余部分，概率测度Q被称为模型的风险中性概率(Ohm, G） ，如果市场上交易证券的所有贴现价格过程(Ohm, G） 是Q.定理3.1下的局部鞅。假设P是(Ohm, G） ，然后考虑T∈ (0, +∞),G∈ L（英尺）和K∈ L（O（F），P D） 。那么下面的断言就成立了。（a） 在T时刻payoff gI{τ>T}的证券的价值过程由P（g）=P（g）+I]]0，τ给出∧T]]G-o[M（g）-M（g）-G-一] ]0，τ∧[T]]obm-M（g）GI]]0，R[o（NG）T，其中M（g）T:=EgGT英尺.