鞅表示定理与可违约函数的赋值

（3.1）（b）支付KτI{τ的证券的价值过程≤时间T的T}由I（K）=I（K）+I]]0，τ给出∧T]]G-o\\M（K）-Y（K）-G-一] [0，T∧τ] ]体重+千克- Y（K）GI]]0，T]]∩[0，R[oNG，（3.2）式中m（K）t:=E傅志强英尺Y（K）：=M（K）- KI[[0，T]]oDo，F.（c）带payoff gI{τ>T}+KτI{τ的证券的价值过程≤T}在时间T，由（g，K）=P（g）+I（K）给出。这里P（g）和I（K）分别由（3.1）和（3.2）给出。（d） 在时间T，付息GT=P（τ>T | FT）的证券的价值过程B，满足τ=B+I]]0，τ∧T]]G-o\\M（B）-M（B）--做，F-G-一] [0，T∧τ] ]bm+ξ（G）G- M（B）+Do，FGI]]0，R[[I]]0，T]]NG+E[GTGτ]- ξ（G）τI[[τ+∞其中m（B）t:=EhDo，F∞-做，F英尺∧Ti，ξ（G）：=dDo，FdDo，F，Do，F：=GTI[[τ+∞[[o、 F.（3.4）证明。这个证明包含两部分。第一部分证明断言（a）、（b）和（c），而最后一部分处理断言（d）。第1部分：注释gI{τ>T}=hτ，其中ht:=gI]]T+∞[[（t）是一个F-可预测过程，因此我们得到P（g）t=E[hτGt]。因此，我们推导出P（g）t=P（g）t∧τ=P（g）t∧τ∧T、 hT≡ 0，I]]0，T]]（hoDo，F）-≡ 0和（hoDo，F）T≡ 0.因此，通过在（2.18）中插入这些并使用Mht∧T=M（g）T:=E[gGT（a）断言紧随其后。类似地，断言（b）来自定理2.19-（a），对于形式为ht:=KtI[[0，T]]（T）的支付过程，以及I（K）T=I（K）T的事实∧很明显，断言（c）是断言（a）和断言（b）的直接结果。第二部分：在这里，我们证明断言（d）。为此，我们将kτ：=E[GTGτ]- E[GTFτ]和d:=GTI[[τ+∞[]，并重点证明ξ（G）τ=E[GT关于{τ<+∞}. （3.5）因此，我们认为∈ O（F）和德里维GTIO（τ）I{τ<+∞}= EZ+∞IO（t）滴滴涕= EZ+∞IO（t）dDo，Ft= EZ+∞IO（t）ξ（G）tdDo，Ft= EhIO（τ）ξ（G）τI{τ<+∞}i、 这证明了（3.5）。

因此，通过将定理2.22应用于G-鞅MG=B:=o，G（GT），其中h=ξ（G）（因为kτ+ξ（G）τ=E（GT | Gτ）=MGτ在{τ<+∞}) 利用英国电信∧τ=Bt∧τ∧T、 断言（d）的证明紧随其后。这就结束了定理的证明。如前所述，定理3.1中的四种可违约证券有其对应的死亡率和/或长期安全性。事实上，在人寿保险中，带赔付的证券被称为带收益的纯养老保险。如果被保险人存活，该保险合同在T时支付g美元。在人寿保险中，支付保险金的证券≤T}被称为“定期保险合同”，采用受益程序。如果被保险人在合同期限之前或之后死亡，本合同将按τ支付Kτ。Payoff GT=P（τ>T | FT）的证券在人寿保险中非常流行，被称为零息票长寿债券。它是一种以T条款支付条件生存概率的保险合同，在证券化过程中发挥着重要作用。payoff gI{τ>T}+KτI{τ的安全性≤T}被称为与受益人对（g，K）签订的养老保险合同。备注3.2。（a） 理论3中描述的证券价值过程的随机结构。1.允许我们挑出每种证券所具有的所有类型的风险。这对于b yτ所承载的额外不确定性的风险管理非常重要。在人寿保险中，这对风险和/或寿命证券化过程很重要。

事实上，在风险管理过程中，不存在第二类纯违约风险的可违约证券在降低这类风险方面无关紧要。（b） 通过比较（3.1）、（3.2）和（3.3），我们得出结论，第一类和第二类可违约证券都具有相同类型的风险，而第三类可违约证券承担第二类giv-en的纯死亡风险E[GTGτ]- ξ（G）τI[[τ+∞[[如前一小节所证明的，该风险与其他风险（即第一类的财务风险和纯粹死亡风险）正交。第二类纯粹死亡风险，在长寿债券中，为零，仅为ifE[GTGτ]I{τ<T}=E[GTFτ]I{τ<T}，P-a.s.，由于我们总是有[GTGτ]I{τ≥T}=E[GTFτ]I{τ≥T}，P-a.s。。这意味着只有当随机时间（违约或死亡）发生在成熟度T之前时，才会发生这种风险。一般来说，当τ避开F-停止时间或当Gτ（=Fτ+）与Fτ重合时，该风险消失。因此，如[9]中所述，强加这些假设归根结底就是忽略了这类风险。（c） 在我们看来，定理3.1和以下推论中关于概率P的假设不是限制性的。假设它只是为了便于解释，因为人们可以计算定理中使用的每个过程（从过程G开始，例如G）-) 对于信息模型，在选择风险中性度量Q下(Ohm, G） 。本节其余部分说明了伪停止时间τ情况下的eorem 3.1。推论3.3。假设P是(Ohm, G） τi是满足G>0的伪停止时间。

然后，定理3.1中的过程P（g）、I（K）和Bτ采用以下形式。P（g）=P（g）+I]]0，τ]]g-oM（g）-M（g）goNGT、 （3.6）I（K）=I（K）+I]]0，τ]]G-oM（K）+KG- Y（K）GoNGT、 Bτ=B+I]]0，τ]]G-oM（B）+“ξ（G）+-男（B）+Do，FG#NGT+hE[GTGτ]- ξ（G）τiI[[τ+∞在哪里M（B），ξ（G），Do，F由（3.4）给出n。定理3.1与m的事实相结合，立即证明了推论≡ mwheneverτ是一个伪停止时间，因此将被忽略。如果τ与F无关∞使得P（τ>T）>0，那么一方面（3.6）变成sp（g）=P（g）-gP（τ>T）P（τ>·）oNGT=P（g）-gP（τ>T）P（τ>·）oNGT.另一方面，付息的证券有一个等于GT的定值过程，henceit不能用于对冲任何风险！因此，在τ和F之间的独立性条件下，支付{τ>T}的证券，即如果没有违约发生，合同向受益人支付一美元（期限[0，T]），更足以对冲可违约债务。附录A引理2.18和定理2.19的证明本小节致力于证明这个主要定理及其技术引理。因此，在这一小节中，我们认为∈ L（O（F），P D） 和相关的G-鞅Ht:=E[hτGt]。然后注意，我们可以将这个鞅分解为以下形式：ht=hτI{τ≤t} +I{τ>t}GtEhτI{τ>t}|Ft= （hoD）t+JhtI[[0，τ[[（t）=（h）- Jh）oDt+Jhτ∧t、 （A.1）工艺定义为JH:=YK，Yt:=EhτI[[0，τ[[（t）英尺, K:=G+（GR）-+ I{GR-=0}）I[[R+∞[[（A.2）很容易注意到Y是一个F-半鞅，并且satifiesy=Mh- hoDo，F，（A.3），其中Mh在（2.17）中定义，我们在此通过Mh:=o，F（R）回忆+∞胡多，傅）。引理2.18的证明：由于Lloc（O（F），PD） Ioloc（NG，G）和d G-1（Mh）-hoDo，F）I[[0，R[=JhI[[0，R[]，我们注意到引理的证明归结为证明JhI[[0，R][[∈ Iolo c（NG，G）。

为了证明后一个事实，我们考虑了F-停止时间序列（σn）n≥1由σn驱动：=inf{t≥ 0:|Jht |>n}，n≥ 1.由于JHL是一个具有实值的RCLL和F自适应过程，因此序列（σn）n≥1几乎可以肯定会增加到完整性。然后我们计算“|Jh | GeGI{eG>0}oDσn#≤ n+E“|Jhσn | GσneGσnI{τ=σn<+∞}#= n+E“| Jhσn | Gσ负σn（例如σn- Gσn）I{eGσn>0}#≤ n+E|Yσn|≤ n+E|hτ| I{σn<τ<+∞}< +∞.这证明了JhI[[0，R][[∈ Iolo c（NG，G），并结束了引理的证明。这一节的其余部分集中于证明定理2.19。这一进展在很大程度上依赖于对过程K和随后的Jh动力学的理解。下面的引理说明了过程K的有用性质，这些性质将在定理的整个证明过程中使用。引理A.1。让K在（A.2）中给出。那么下面的断言就成立了。（a） Kτ是一个正G-半鞅，满足以下条件：Kτ=Gτ+G-I[[R]]oD，Kτ-= Gτ-, 输入≥0吨∧τ> 0，KI[[0，R[+KI[[τ]]∩[[R]]=GI[[0，R[+G]-I[[τ]]∩[R]]。（A.4）（b）因此，（Kτ）-1是一个正的G-半鞅，允许以下分解。DKτ= -Gτ--2dmτ+（GG-)-1I]]0，τ[[d[m，m]+（G-- m） （GG）-)-1I[[0，τ[[dDo，F]+GM- G-GGG-一] [0，R[[+镁-I[[R]]dD.（A.5）（c）对于任何G-半鞅L，我们有DHL，Kτi=-游戏打得好-一] ]0，τ[[d[L，m]+LGG-一] ]0，τ[[dDo，F-LGGG-一] [dD.（A.6）（d）On{eR<+∞}, 我们有MheR- 杰尔-meR=0，P-a.s。。证据证明分为四个步骤，分别证明（a）、（b）、（c）和（d）断言。第一步：感谢[15，XX.14]，我们有了[[0，τ]] {G-> 0} ∩ {eG>0}和τ≤ Rp-a.s.因此，我们得到kτ=Gτ+GR-+ I{GR-=0}I{τ=R}I[[R+∞[=Gτ+GR-I{τ=R}I[[R+∞[=Gτ+G-I[[R]]oI[[τ+∞[=Gτ+G-这证明了（A.4）中的第一个等式。（A.4）中第二个和最后一个等式的证明紧跟着K=G on]]0，R这一事实[[]]0，τ[[和K=G-在[[R]]∩ [[τ]].

再次感谢这两个事实和（A.4）中的第一个等式，我们推断Kτ是一个G-半鞅，使得Kτ>0和Kτ-> 0.因此，输入≥0Kτt>0p-a.s.且断言（a）的证明已完成。第2步：从断言（a）中可以明显看出（Kτ）-1是一个定义良好的正G-半鞅。然后直接应用伊藤公式得出Kτ= -（Kτ）-)dKτ+Kτ（Kτ-)d[Kτ]。（A.7）多亏了（A.4）(G） I[[R]]=G-I[[R]]和[G，G]=[m，m]- (G+m） oDo，F，我们推导出[Kτ，Kτ]=I]]0，τ[[d[m，m]- (G+m） I]]0，τ[[dDo，F+(G） I]]0，R[[dD.因此，通过将这个等式与KI]]0，R[=GI]]0，R[[K]一起插入-一] ]0，R[=G-一] [0，R[，在（A.7）中，断言（b）的证明紧随其后。第3步：设L为G-半鞅。然后，通过使用（A.7），hL，KτI=-KτKτ-o[L，Kτ]和[L，Kτ]=I[[0，τ[o[m，L]- I[[0，τ[o[L，Do，F]+(G）(五十） I]]0，R[oD，我们很容易推导出（A.6）。步骤4：在这里，我们验证断言（D）。为此，我们指出{eR<+∞} = {eR=R<+∞},Y=gjon]]0，R[[这意味着Y-= G-Jh-在]]0、R]]和YeR=在{eR<+∞}.通过将所有这些与（A.3）和m=eG- G-, 关于{eR<+∞} 我们得到MheR- 杰尔-meR=你+她做，费尔+杰尔-格尔-= YeR+JheR-格尔-= -耶-+ 杰尔-格尔-= 0.引理的证明到此结束。现在，我们正在证明定理2.19。定理2.19的证明。这个定理的证明将分三步给出，我们将分别证明这三个断言。步骤1：在这里，我们证明断言（a）。多亏了引理2.18，JhI[[0，R][[∈ Iolo c（NG，G），以及（A.2）中定义的显著Y，是一个G-半鞅和满足（A.3）。然后，多亏了伊藤的微积分，我们得到了（Jh）τ=dYτKτ=Kτ-dYτ+Yτ-DKτ+ DKτ，Yτ.

（A.8）因此，定理断言（A）的证明归结为计算上述等式RHS中的三项中的每一项，并在之后简化它们。通过结合dYτ=d（Mh）τ- 嗨]]0，τ]]dDo，F，（A.4）和（2.15），我们写τ-dYτ=Gτ-dcMh+eGGτ-一] [0，τ]]d[m，Mh]-嗨]]0，τ]]Gτ-dDo，F-Gτ-一] ]0，τ]]d呃,+∞[[p、 F=Gτ-dcMh+鸡蛋-一] ]0，τ[[d[m，Mh]-hI]]0，τ[[G]-dDo，F-G-一] ]0，τ]]d呃,+∞[[p、 F（A.9）+hMMheGGτ--HDo，FGτ-国际直拨电话。感谢（A.5）和（2.15）（回想一下Yτ-/Kτ-= Yτ-/Gτ-= （Jh）τ-), 我们计算τ-DKτ= -（Jh）τ-Gτ-dmτ+（Jh）τ-GGτ-一] ]0，τ[[d[m，m]+（Jh）τ-（G）-- m） GGτ-一] ]0，τ[[dDo，F+（Jh）τ-（G）M- G-G） GGτ-一] ]0，R[+（Jh）τ-mGτ-I[[R]#dD=-（Jh）τ-Gτ-d bm+Jh-G-一] ]0，τ]]d梅里+∞[[p、 F+Jh-(m） 艾格-一] ]0，τ[[dDo，F+Jh]-（G）-- m） GG-一] ]0，τ[[dDo，F+（Jh）τ-（G）M- G-G） GGτ-一] [0，R[[-（Jh）τ-(m） 卵τ-+（Jh）τ-mGτ-I[[R]#dD=-（Jh）τ-Gτ-d bm+Jh-G-一] ]0，τ]]d梅里+∞[[p、 F+Jh-G-eGGI]]0，τ[[dDo，F+（Jh）τ-（G）M- G-G） GGτ-一] [0，R[[-（Jh）τ-(m） 卵τ-+（Jh）τ-mGτ-I[[R]#dD.（A.10），通过将（A.6）应用于L=Yτ=（Mh）τ- （hoDo，F）τ，在（A.8）的RHS中的最后一项变为Yτ，Kτ= -游戏打得好-一] ]0，τ[[d[Y，m]+YGG-一] ]0，τ[[dDo，F-YGGG-一] ]0，R[[dD=-游戏打得好-一] ]0，τ[[d[Mh，m]+Y+hmGG-一] ]0，τ[[dDo，F-YGGG-一] [dD.（A.11）由于引理A.1-（d），我们得出结论-G-一] ]0，τ]]呃,+∞[[p、 F+Jh-G-一] ]0，τ]]梅里+∞[[p、 F=0。考虑到这个等式，在（A.8）中插入（A.9）、（A.10）和（A.11）之后，我们得到d（Jh）τ=Gτ-dcMh-（Jh）τ-Gτ-d bm+(Y+hmGG-+Jh-G-鸡蛋-汞--MMheGGG-)一] ]0，τ[[dDo，F+（Jh）τ-（G）M- G-G） GGτ-一] [0，R[[-（Jh）τ-(m）- MMheGGτ-+（Jh）τ-mGτ-I[[R]]-HDo，FGτ--YGGG-一] [0，R[[dD=：Gτ-ddMh-（Jh）τ-Gτ-dbm+ξ（1）I]]0，τ[[dDo，F+hξ（2）I]]0，R[+ξ（3）I[[R]]idD。（A.12）现在，我们需要简化i=1，2，3的表达式ξ（i）。实际上，在[0]上，τ[]，我们计算ξ（1）=Y+hmGG-+Jh-G-鸡蛋-汞--MMheGGG-=Jh- 黑格。

（A.13）同样地，on]]0，R[[∩]]0，τ]]，我们Y=GJh- G-Jh-, Mh=Y+h做，F，Do，F=eG- G、 及m=eG- G-, 我们推导出ξ（2）=hJh-（G）M- G-G） GG--H做，前景--YGGG-我-Jh-(m）- MMheGG-=蛋（Jh）-- h）- G（Jh）- h） +GG-JHG--mheG（Jh-- h）- G（Jh）- h） 艾格-=Jh- 黑格Do，F.（A.14）通过使用yi[[R]]=0（自τ≤ R P-a.s.）和Do，FI[[R]]=eGI[[R]]，on[[R]]∩]]0，τ]]，我们得到ξ（3）=-Jh-(m）- MMheGG--H做，前景-+Jh-镁-=-梅格（Jh）-- h） +eG（Jh）-- h）-鸡蛋-Jh-鸡蛋-= -因此，通过在（A.12）中插入（A.13）、（A.14）和（A.15），我们得到了（Jh）τ=Gτ-ddMh-（Jh）τ-Gτ-d bm+Jh- heGI]]0，τ[[dDo，F+Jh- 黑格Do，FI]]0，R[[dD]- 嗨[[R]]dD.感谢JhI[[R]]=0（由于Y I[[R]=0），]0，R[[∩]]0, τ]] = ]]0, τ[[ ∪ （]]0，R]]∩ [[τ]]），和jh-黑格Do，FI]]0，R[[dD=Jh-heGI]]0，R[[I[[τ]]dDo，F，我们得出结论，上述等式的形式为d（Jh）τ=Gτ-ddMh-（Jh）τ-Gτ-d bm+（Jh- h） I]]0，R[[eGI]]0，τ]]dDo，F- hI[[R]]dD.因此，通过将其与（2.4）和（A.1）结合，并使用JhI[[R]=0（因为yi[[R]=0），我们得到dh=（h- Jh）dD+d（Jh）τ=（h）- Jh）dD+Gτ-ddMh-（Jh）τ-Gτ-d bm+（Jh- h） I]]0，R[[eGI]]0，τ]]dDo，F- hI[[R]]dD=Gτ-ddMh-（Jh）τ-Gτ-d bm+（h- Jh）I]]0，R[[dNG.这结束了断言（a）的证明。步骤2.为了证明断言（b），只需说明H是一致可积的G-鞅，而H∈ L（O（F），P D） Io（NG，G）。因此，有必要证明JhI[[0，R][[∈ 当h时Io（NG，G）∈ 对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数对数 D） 。

后一个事实需要以下不等式，由于jhti[[0，τ[[（t）=E，该不等式成立hτGtI[[0，τ[[（t），EZ∞|Jht | GteG-1tI[[0，R[[（t）滴滴涕= EZ∞|Jht | eG-1tI[[0，τ[[（t）dDo，Ft≤ EZ∞E|hτ| | Gt如-1tI[[0，τ[[（t）dDo，Ft=: EZ∞KGtdVGt,式中kgt:=E|hτ| | Gt和dVGt：=eGt-1I[[0，τ[[（t）dDo，Ft.由于VG=eG-1.Do，FI[[0，τ][[≤ 1，我们推导出∞- VGt-|Gt]=VG+E[VG∞- VGt | Gt]≤ 1+E[VG∞- VGt |英尺（Gt）-1I{t<τ}≤ 1+I{t<τ}≤ 2.因此，通过结合G-鞅KG的Doob不等式f，我们导出Z∞KGtdVGt≤ EZ∞苏普≤tKGudVGt= EZ∞（VG）∞- VGt-)d（苏普）≤tKGu）= EZ∞E[VG∞- VGt-|Gt]d（supu）≤tKGu）≤ 2E苏普≥0KGu≤ 2公斤∞ln（千克）∞)i+2C<+∞,其中C是一个普适正常数。这证明（h- Jh）I[[0，R[ongg属于M（G）。因此，剩余的过程也属于M（G）。这结束了断言（b）的证明。步骤3.在这里，我们证明断言（c）。为此，我们考虑h∈ L（O（F），P D） ，和putM:=Mh- Jh-om、 Γn：=min（G）-,（例如）≥ N-1& | M|≤ n&|梅里]]呃+∞]]p、 F|≤ N.然后，从d分量（2.18），我们计算出iΓno[H，H]=G-2.-IΓnI]]0，τ]]o[cM，cM]+（h- Jh）IΓnI]]0，eR[o[NG，NG]+2（h）- （Jh）梅格+G-1.-梅里+∞[[p、 FIΓnI]]0，呃[oNG.（A.16）自从（h）- Jh）I[[0，呃[[∈ Io（NG，G）和d如-1.M+G-1.-梅里+∞[[p、 FIΓnis F-可选且有界，然后是定理2.13和Davis不等式（即e[sup0≤T≤T | Mt |]≤ CE[M，M]1/2t表示（A.16）的RHS项中的最后一个过程是一致可积鞅。因此，一方面，我们得到了hiΓno[H，H]∞i=EhG-2.-IΓnI]]0，τ]]o[cM，cM]∞i+Eh（h）- Jh）IΓnI]]0，eR[o[NG，NG]∞i、 （A.17）另一方面，iΓnI]]0，τ]]几乎肯定会增加到i]]0，τ]]。因此，断言（c）的证明来自法图引理E[H，H]的组合∞< +∞, 和（A.17）。

这证明了twoG局部鞅：=汞- Mh+hoDo，FG-1I]]0，R[on和MG:=G-一] ]0，τ]]odMh-嗯-- （hoDo，F）-G-一] ]0，τ]]ob是平方可积的。这些鞅之间的正交性源于LGE是一个纯默认鞅（FIRS t类型）和MG采用MG=G形式的事实-2.-一] ]0，τ]]o厘米，其中M∈ Mloc（F），备注2.17和[LG，MG]∈ A（G）。这就结束了定理的证明。参考文献[1]Aksamit，A.，Choulli，T.，Deng，J。，和Jeanblanc，M.（2017）：《金融与随机》第21103-1139页，准左连续体模型的无套利高达随机h原点。[2] Aksamit，A.，Choulli，T.，和Jeanblanc，M.（2015）：关于可选的半鞅分解和放大过滤中的衰减的存在，见Marc Yor-S\'eminairede Probabilit\'es XLVII，编辑：Donati Martin，C.和Lejay，A.和Rouault，A.，187–218。[3] Aksamit，A.，Choulli，T.，Deng，J.，和Jeanblanc，M.（2014）：渐进扩张环境下的套利，套利，信用和信息风险，北京大学，Ser。数学第5卷第53-86页，世界科学杂志。公共图书馆。，新泽西州哈肯萨克。[4] 阿兹埃马，J。，杰林，Th。，奈特，F.和约尔，M.（1993）：Le th\'eor\'eme d\'arr^et en en fin d\'ensemblepr\'evisible，S\'eminaire de probabilit\'es，第27卷，第133-158页。[5] Barbarin，J.（2009）：保险中的估值和对冲：人寿和非人寿保险合同的应用，VDM Verlag。[6] Barrieu，P.和Albertin i，L.（2009）：保险相关证券手册，威利金融，奇切斯特，编辑。[7] Bauer，D.、B¨orger，M.和Rus，J.（2010）：关于长寿相关证券的定价，保险：数学和经济学24（2010）139-149。[8] Bielecki，T.和Rutkowski，M.（2002）：信用风险：建模、估值和对冲，柏林斯普林格金融公司。[9] Blanchet Scalliet，C.和Jeanblanc，M。