大型金融市场的渐近定价

第n个市场上的每个鞅测度qn由以下性质描述：EQn[ξ]=0，EQn[ξ]=0。。。，方程n[ξn]=0。因此，Qnis由其在区间E，E，…，上的值表示。。。，我们可以检查qn（E）=δ1.-Qn（E）=δ1.-...Qn（En）=δ1.-N.由此我们构建了一系列完整的市场。我们将找到一个小或有权H的α-分位数价格≡ 1.命题4.7在上述模型中，我们有：vα（1）=Δα。证明：我们将明确地构造一个集合序列（~An）∈ Aα：lim Qn（~An）=inf（An）∈AαlimQn（An）。让：G:=E，Gn:=En\\n-1对于n=2,3，。。。。然后Pn（Gn）=Pn（Fn）=nandδn=Qn（Gn）<Qn（Fn）=1- δ1.-N考虑α：α的级数展开式=∞Xi=1γii，其中γi∈ {0, 1}.定义Anas遵循＠An:=n[i=1{γi=1}和注意，Pn（＠An）=Pni=1γiPn（Gi）=Pni=1γII，因此limn→∞Pn（~An）=P∞i=1γii=a，so（~An）∈ Aα。任何（一个）∈ Aα我们有lim Pn（~An）≤ Limn（An）和lim Qn（~An）≤limQn（安）。Thusvα（1）=inf（An）∈AαlimnEQn[1An]=limnQn[~An]=limnnXi=1{γi=1}Qn（Gi）=∞Xi=1γiδi=δ∞Xi=1γii=Δα。请注意，δ=v（1）<v（1）=limnEQn[1]=1，所以这个例子表明，强势和弱势价格之间可能存在严格的不平等。还请注意，此模型允许AA2，但不满足AA1。实际上，取序列（Fn），我们得到：Pn（Fn）=n-→ 0和Qn（Fn）=1- δ1.-N-→ 1.- δ>0，因此存在isAA2。设（An）为序列s.t.Qn（An）-→ 这意味着对于任何l>0，Qn（An）<Δlholds对于所有大n，我们可以检查，这意味着 (1 -l、 因此，我们获得了土地出租权∞ 我们得到limnPn（An）=0。

这意味着NAA1和NSAA1，NSAA2保持不变。这个例子表明，NAA1、NSAA1、NSAA2对于强弱价格的相等性是不够的。定理4.5立即得出以下两个结论。备注4.8如果我们要求即使对于简单结构的H，也要满足v（H）=v（H），那么市场必须满足NAA2。事实上，假设AA2成立。这意味着对于任何（一个）∈ A、 “Qn（An）9 1有效。拿H≡ 1.我们得到v（1）=inf（An）∈Alimn-Qn（An）<1=v（1）。备注4.9如果存在SAA1或等效SAA2，则对于任何H有界，即Hn≤ 对于某些常数K>0，对于任何α，我们都有vα（H）=0∈ [0, 1]. 事实上，根据定理2.9，存在一个序列（~An）s.t.Pn（~An）-→ 1和“Qn”（~An）-→ 0.那么我们有vα（H）≤ ~v（H）≤ limnsupQ∈QnEQn[HnAn]≤ limnK\'Qn（~An）=0。下一个定理为完全模型的渐近定价问题提供了一些见解。定理4.10在下列假设下：a）（NAA2），b）大市场是完全的，即Qn={Qn}是每个n的单态，c）H是有界的，即Hn≤ K、 对于所有n，其中K是一个正常数，我们有v（H）=v（H）。证据：第一次通知，对于任何固定（An）∈ 我们获得的NAA2（An）-→ 1.<==> Pn（Acn）-→ 0 ==> Qn（Acn）-→ 现在考虑两个序列：xn:=EQn[Hn]yn:=EQn[HnAn]。以下观点成立：xn- yn=EQn[Hn- HnAn]=EQn[HnAcn]≤ K·Qn（Acn）-→ 0和thuslimnxn=limnyn。全面了解（An）∈ 敬畏获得所需的结果。v（H）=limnxn=inf（An）∈Alimnyn=~v（H）备注4.11假设N AA2成立。对于不完全市场，我们可以定义定理4.10中的类似序列：xn:=supQ∈QnEQ[Hn]yn:=supQ∈对于这些序列，我们得到了类似的不等式xn- 伊恩≤ supQ∈QnEQ[Hn- HnAn]=supQ∈QnEQ[HnAcn]≤ K·Qn（Acn）。然而，我们不知道最后一项是否变成0，即n-→ ∞.

我们知道Qn（Acn）-→ 仅0，这不足以对不完整的市场执行上述证明。5.大型Black Scholes modelLet Wt，Wt。。。在过滤概率空间上是一系列独立的标准布朗运动(Ohm, Ft，F，P），t∈ [0，T]。我们将考虑一个固定市场，其中第n个小型市场有其自然过滤，即Fnt=σ（（Ws，…，Wns）s）∈[0，t]），Fn=FnT。第n个目标度量是对P的充分限制，即Pn=P | fn，贴现价格过程由dsit=Sit（bidt+σidWit）i=1,2。。。，n、 t∈ [0，T]bi在哪里∈ R、 σi>0表示i=1，2。。。，n、 这样的序列形成了一个完整的大市场，其鞅测度由密度dqndpn=Zn=e给出-（θn，WnT）-kθnkTwhereθn=（bσ，…，bnσn）和Wnt=（Wt，…，Wnt）。回想一下，W*nt=Wnt+θnt是Qn下的布朗运动。在这种情况下，我们使用数理统计的方法来搜索最佳非随机测试（见引理2.10），为不存在渐近循环提供了更多的间接证明。这种方法的缺点是，它只适用于确定性系数。在这一节中，我们还表明，定理4.10和备注4.9对于满足某些可积条件的随机变量仍然成立，这对于广泛使用的竞争性条件是满足的。在本节中，让我们介绍一类序列（εn），它们取区间[0,1]中的值并收敛到0。这样的类将用E表示。定理5.1对于ε>0，让ε表示问题的解∈ Fn:（Pn（A）-→ maxQn（A）≤ ε.那么以下条件是等效的1）NAA12）（Pn） （Qn）3）对于任何序列（εn）∈ E、 Pn（Anεn）-→ 0持有。4） P∞i=1（双σi）<∞证明：文献[8]证明了（1）和（2）的等价性。(2) ==> （3） 设（εn）为E的任意元素。然后Qn（Anεn）≤ εn-→ 因此由（2），Pn（Anεn）-→0持有。(3) ==> （2） 让我们∈ Fnbe s.t.Qn（安）-→ 0

那么εn:=Qn（An）属于E类，由（3），Pn（An）≤ Pn（Anεn）-→ 0持有。(3) <==> （4） 统计方法提供了ε集的显式形式。根据内曼皮尔逊引理2.10，它的形式是Anε={dPndQn≥ γ} 式中，γ是常数s.t.Qn（Anε）=ε。这种结构提供了ε=ne（θn，WnT）+kθnkT≥ γo=（θn，WnT）≥ lnγ-kθnkT=（θn，（W）*新界- θT）≥ lnγ-kθnkT=（θn，W）*（新界）≥ lnγ+kθnkT.求解以下方程：Qn（Anε）=Qn（θn，W）*（新界）≥ lnγ+kθnkT= 1.- Φlnγ+kθnkTkθnk√T！=ε我们得到γ=ekθnk√TΦ-1(1-ε)-kθnkT。我们计算Pn（Anε）的值。Pn（Anε）=Pn（θn，WnT）≥ lnγ-kθnkT= 1.- Φlnγ-kθnkTkθnk√T=1.- Φkθnk√TΦ-1(1 - ε)- kθnkTkθnk√T！=1.- ΦΦ-1(1 - ε)- kθnk√T现在请注意ifP∞i=1（双σi）<∞ 然后对于任何（εn）∈ E1- ΦΦ-1(1 - εn）- kθnk√T-→ 0.IfP∞i=1（双σi）=∞ 那么εn:=1- Φ（1+kθnk）√（T）-→ 0和1- ΦΦ-1(1 - εn）- kθnk√T= 1.- Φ(1) 9 0.接下来的两个定理给出了N AA2、SAA1和SAA2的特征。这些证明是相似的，因此我们只画了其中的一些部分。定理5.2对于ε>0，设ε表示问题的解∈ Fn:（Qn（A）-→ maxPn（A）≤ ε.那么以下条件是等价的1）NAA22）（Qn） （Pn）3）对于任何序列（εn）∈ E、 Qn（Anεn）-→ 0持有。4） P∞i=1（双σi）<∞证据：（3）<==> （4） 集合Anε的形式为Anε=dQndPn≥ γ式中，γ是s.t.Pn（Anε）=ε。这个过程的yieldsAnε=（（θn，WnT）≤ Φlnγ-kθnkTkθnk√（T！）γ=e-[Φ-1（ε）kθnk√T+kθnkT]和Qn（Anε）=ΦΦ-1（ε）+kθnk√T.IfP∞i=1（双σi）<∞ 然后对于任何（εn）∈ EΦΦ-1（εn）+kθnk√T-→ 0.IfP∞i=1（双σi）=∞ 取εn:=Φ（1）- kθnk√（T）-→ 我们得到ΦΦ-1（εn）+kθnk√T= Φ(1) 9 0.定理5.3对于ε>0，设ε表示问题的解∈ Fn:（Pn（A）-→ maxQn（A）≤ ε.那么以下条件相当于1）SAA12）SAA23）Pn△ Qn4）Qn△ Pn5）存在一个序列（εn）∈ E s.t。

Pn（Anεn）-→ 16） P∞i=1（双σi）=∞.请注意，集合Anε的条件基于属性Pn△ Qn。人们可以根据Qn的属性来确定屋顶△ 请注意。这需要替换ε条件中的Pn和Qn。前四个条件在[8]中得到了证明，并包含在上述公式中，仅用于阐明。（3）和（5）的等价性很容易证明。证据：（5）<==> （6） 我们使用在Th证明中发现的ε的构造。5.1Anε=（θn，W）*（新界）≥ lnγ+kθnkTγ=ekθnk√TΦ-1(1-ε)-kθnkTPn（Anε）=1- ΦΦ-1(1 - ε)- kθnk√TIfP∞i=1（双σi）<∞ 然后对于任何（εn）∈ E、 一,- ΦΦ-1(1 - εn）- kθnk√T-→ 0持有。IfP∞i=1（双σi）=∞ 那么εn:=1-Φ（kθnk）√（T）-→ 0和1-ΦΦ-1(1 - εn）- kθnk√T-→1.在后半部分中，我们将刻画满足某些可积条件的H的弱价格。如果H=H，其中H是相对于F可测量的一个固定随机变量，那么很明显，EQn[H]不依赖于n，因此表明价格强劲。这意味着，由于市场规模越来越大，而且他可以使用更多、更多的策略，投资者没有任何利润。事实证明，除非他使用1-分位数对冲策略，否则他无法获得任何利润。在这种情况下，但是ifP∞i=1（双σi）=∞, 初始禀赋可以减少到0，即弱价格等于0。条件∞i=1（双σi）<∞保证投资者无论采取何种策略都无法获得任何利益，因为v（H）=v（H）。定理5.4设H是一个具有常数系数的大型Black-Scholes市场上的未定权益。然后1）ifP∞i=1（双σi）<∞ andlimnE[H1+δn]<∞ 对于某些δ>0的情况，则v（H）=v（H）。2）ifP∞i=1（双σi）=∞ andlimnE[H4+δn]<∞ 对于某些δ>0，则＠v（H）=0。证明：（1）对于任意序列（An）∈ 定义xn:=EQn[Hn]，yn:=EQn[HnAn]。设p，q，p′，q′>1为实数，s.t.p+q=1，p′+q′=1。

用H¨older不等式两次求差xn- 我们获得：xn- yn=EQn[HnAcn]=E[ZnHnAcn]≤E（ZnHn）pPP（Acn）Q≤E（Zpp′n）p′E（Hpq′n）q′PP（Acn）q=E（Zpp′n）pp′E（Hpq′n）pq′P（Acn）q、 简单的计算结果E（Zpp′n）pp′=ekθnkT（pp′）-1） （5.4.1）因此N AA2保证→∞E（Zpp′n）pp′<∞. 取p，p′s.t.pq′=1+δ，使用limn→∞P（Acn）q=0我们得出结论limn→∞（xn）- yn=0。Thuslimxn=林依南全面吸收（An）∈ Awe getv（H）=v（H）。（2） 任何（一个）∈ A、 p，p′>1和q，q′s.t.p+q=1，p′+q′=1使用我们得到的H¨older不等式：EQn[HnAn]≤EQn（Hpn）PQn（安）q=E（ZnHpn）PQn（安）Q≤EZp\'np′EHpq\'nq′PQn（安）q=EZp\'npp′EHpq\'npq′Qn（安）qNow，与之前使用的方法类似，让我们解决一个辅助问题，即找到setAnεs.t.A∈ Fn:（Qn（A）-→ minPn（A）≥ 1.- ε.类似的计算提供：ε=dQndPn≤ γ=（θn，Wn）≥ -lnγkθnkTγ=e-[Φ-1（ε）kθnk√T+kθnkT]Qn（Anε）=Φ-Φ-1(ε)- kθnk√T.取p=2+δ，p′=2，εn=Φ- ln（kθnk）√（T）（AA2保证εn→ 0）我们得到lime[Hpq′n]=lime[H4+δn]<∞和EZp\'npp′Qn（Anεn）Qq=ep′-1p-1kθnkTΦ- Φ-1（εn）- kθnk√T= e2+δkθnkTΦln（kθnk）√（T）- kθnk√T（5.4.2）替换kθnk√为了方便起见，我们使用D’Hospital公式计算以下极限。利克斯→∞e2+δxΦ（lnx- x） =limx→∞√2πe-（ln x）-x） （十）- 1） e-2+δx(-2+δ）2x=limx→∞-2 + δ√2π“ex（2+δ）-)-lnx+x Lnxx-ex（2+δ）-)-lnx+x ln xx#=0极限等于0，因为：lim x（2+δ-) -lnx+x lnx=-∞.总之，我们已经证明了limn→∞EZp\'npp′EHpq′pq′Qn（Anεn）对于适当的参数，q=0，因此≈v（H）=0。注5.5定理5.4第二项中施加在H上的可积条件可以稍微减弱。根据5.4.2，我们必须找到参数p，p′>1 s.t.p′-1p-1=2+δ. 我们可以附加要求：pq′→ 敏。

然后可以检查，解是：p=1+q2+δ，p′=2+2q2+δ+δ2+δ和pq′=√+(4 + δ) +√√2 + δ. 如果δ→ 0当pq′任意接近√+ 2 + 1 < 4. 因此，我们可以假设limne[H√+(4+δ)+√√2+δn]<∞ 对于某些δ>0的情况。下一个定理提供了α-分位数价格的更精确表征。但首先，让我们对随机变量HnZn施加一个正则性假设。假设5.6随机变量Hnzn具有关于测量Pn的连续分布函数。我们用qn（α）表示HnZn的α分位数，即qn（α）={inf x:Pn（HnZz）≤ 十）≥ α}.用Bα表示一组满足limn的序列-→∞βn≥ α.定理5.7假设H是一个具有常数系数的大型Black-Scholes模型上的未定权益。1） 在假设5.6下，α-qu价格由公式vα（H）=inf（βn）给出∈Bαlimn→∞EhHnZn{HnZn≤qn（βn）}i.2）让假设5.6得到满足∞ 对于某些δ>0和p∞i=1（双σi）<∞n nVα（H）=limn→∞EhHnZn{HnZn≤qn（α）}i.此外，vα（H）是一个Lipschitz函数，α的递增函数取区间[0，v（H）]中的值。3）IflimnE[H4+δn]<∞ 对于某些δ>0和p∞i=1（双σi）=∞ 对于每个α，vα（H）=0∈ [0, 1].证明：（1）根据定理4.5，α分位数价格由以下公式给出：vα（H）=inf（An）∈αlimnsupQ∈QnEQ[HnAn]。让我们考虑一下∈ Aα和定义βn:=Pn（An）。用以下问题的解来表示：~An:（EQn[HnAn]-→ minPn（安）≥ βn.如果我们通过密度dQndQn:=HnEQn[Hn]引入度量Qn，那么上述问题可以写成等价形式：~An:（~Qn（An）-→ minPn（安）≥ 因此，通过引理2.10，我们得出结论：{HnZn≤ γ} 式中，γ是常数s.t.Pn（HnZn≤ γ） =βn。通过假设5.6，我们知道存在这样的γ，它等于qn（βn）。因此▽An={HnZn≤ qn（βn）}andqn[HnAn]≥ EQn[Hn{HnZn≤qn（βn）}]。让n→ ∞ 以及全面了解（An）∈ 我们得到的Aα：vα（H）≥ inf（βn）∈Bαlimn→∞EhHnZn{HnZn≤qn（βn）}i。

（5.7.3）然而，Pn（HnZn≤ qn（βn））=βn，so{HnZn≤ qn（βn）}∈ α，这意味着5中的等式。7.3.（2） 设α，β∈ [0,1]是两个实数s.t.β<α。对于p，q，p′，q′>1s.t.p+q=1，p′+q′=1，我们有以下不等式：E[HnZn{HnZn≤qn（α）}]- E[HnZn{HnZn≤qn（β）}]=E[HnZn{qn（β）≤HnZn≤qn（α）}]≤E（Zpp′n）pp′E（Hpq′n）pq′P（qn（β）≤ HnZn≤ qn（α））q=E（Zpp′n）pp′E（Hpq′n）pq′（α）- β） 然而，到5.4.1，我们已经E（Zpp′n）pp′≤ 画→∞E（Zpp′n）pp′<∞. 取p，q′s.t.pq′=1+δ，表示K:=limn→∞E（Zpp′n）pp′和K：=E（Hpq′n）pq′，我们得到[HnZn{HnZn≤qn（α）}]- E[HnZn{HnZn≤qn（β）}]≤ KK（α）- β).交换α和β的作用，我们得到| E[HnZn{HnZn≤qn（α）}]- E[HnZn{HnZn≤qn（β）}]|≤ KK |α- β | . （5.7.4）现在考虑（βn）∈ Bα。如果林-→∞βn>α然后E[HnZn{HnZn≤qn（βn）}]>E[HnZn{HnZn≤qn（α）}]和石灰[HnZn{HnZn]≤qn（βn）}]≥ lime[HnZn{HnZn≤qn（α）}]。如果林-→∞βn=α，然后乘以5.7.4我们有| E[HnZn{HnZn≤qn（α）}]-E[HnZn{HnZn≤qn（βn）}]|≤ KK |α-βn |和→ ∞我们得到石灰[HnZn{HnZn≤qn（βn）}]=lime[HnZn{HnZn≤qn（α）}]。这两个案例的结论是vα（H）≥ 石灰[HnZn{HnZn≤qn（α）}]。然而，{HnZn≤ qn（α）}∈ Aα和fα（H）=limn→∞EhHnZn{HnZn≤qn（α）}i.（5.7.5）n→ ∞ 在5.7.4和5.7.5中，我们得到：|vα（H）- vβ（H）|≤ KK |α- β|，证明vα（H）是Lipschitz。5.7.5清楚地表明，vα（H）在增加，v（H）=0。根据定理5.4 v（H）=v（H）。（3） 这是定理5.4（2）的直接结果，因为vα（H）≤ v（H）。备注5.8考虑看涨期权的价格，即H≡ （圣- K） +。（ST）的分布-K） +zn在0中是不连续的。设α：=Pn（（ST-K） +=0）。很明显，对于α≤ α、 vα（H）=0保持不变。在区间（0，∞) 分布函数是连续的，因此对于α>α，可以应用定理5.7。结论本文引入并刻画了两类渐近价格。

它们基于对冲风险的不同处理，而对冲风险在实体中消失。它们之间的关系严格依赖于市场上的渐近套利。对于具有常数系数的大型Black-Scholes模型，可以找到更间接的α-量子化价格公式，并说明其一些性质。在这个市场上有两种可能的情况：1）没有任何形式的渐近套利——那么强价格和弱价格相等2）存在所有形式的渐近套利——那么弱价格等于零，而强价格则不等于零。这篇论文是作者博士论文的一部分。作者想对卢卡斯·斯特特纳教授在撰写本文时给予的帮助和支持表示感谢。参考文献[1]Delbaen F.，Schachermayer W.u型边界随机过程的资产定价基本定理，Mathematische Annalen 312215-250，（1998）[2]F¨ollmer H.，Kabanov Yu。M.可选分解和拉格朗日乘数FinanceStoch.-2，69-81（1998）[3]F¨ollmer H.，Kramkov D.O.约束Probab下的可选分解。理论关系。Fields 109，1-25（1997）[4]F¨ollmer H.，Leucert P.分位数对冲，金融与随机3，251-273，（1999）[5]Jacod J.，Shiryaev A.N.随机过程的极限定理，柏林海德堡纽约：Springer（1987）[6]Jacod J.，Shiryaev A.N.离散时间情况下的局部鞅和基本资产定价定理，金融与随机2，259-273，（1998）[7]Kabanov Yu。M.，Kramkov D.O.大型金融市场：渐进套利和连续性，Prob。理论应用。39（1），182-187（1994）[8]卡巴诺夫·余。M.，Kramkov D.O.《大型金融市场中的渐进套利》，FinanceStoch。

2（2），143-172（1998）[9]克莱恩I.，大型金融市场资产定价的基本定理，数学金融10（4），443-458（2000）[10]克莱恩I.，Schachermayer W.非完全大型金融市场中的渐进套利，Probab。理论应用。41（4），780-788（1996）[11]Kramkov D.O.不完全证券市场中的超级鞅和对冲或有权益的可选分解，Probab。理论关系。Fields 105459-479（1996）[12]R\'asonyi M.关于离散时间金融市场模型中套利理论的某些问题，博士论文（2002）