大型金融市场的渐近定价

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英文标题：
《Asymptotic pricing in large financial markets》
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作者：
Micha{\\l} Barski
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  The problem of hedging and pricing sequences of contingent claims in large financial markets is studied. Connection between asymptotic arbitrage and behavior of the $\\alpha$~-~quantile price is shown. The large Black-Scholes model is carefully examined.
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中文摘要：
研究了大型金融市场中未定权益的套期保值和定价序列问题。渐近套利和$\\alpha$~-~分位数价格行为之间的联系如图所示。对大布莱克-斯科尔斯模型进行了仔细研究。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Asymptotic_pricing_in_large_financial_markets.pdf (202.88 KB)

2022-5-10 12:51:49 上传

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关键词：金融市场 Mathematical Quantitative Differential Applications

大型金融市场中的渐进定价莱比锡大学数学与计算机科学学院、德国数学学院、波兰米查尔华沙红衣主教斯特凡·怀兹基大学。Barski@math.uni-莱比锡。2018年9月6日摘要研究了大型金融市场中未定权益的套期保值和定价序列问题。证明了渐近套利和α-量化价格行为之间的联系。对大布莱克-斯科尔斯模型进行了仔细研究。关键词：大型金融市场，定价，分位数对冲，风险度量。AMS科目分类：60G42、91B28、91B24、91B30。凝胶分类编号：G11，G131简介大型金融市场是一系列小型无套利市场。序列中的每个元素都没有套利机会，这并不保证“极限”内没有套利。[7]和[8]中引入了渐近套利的不同概念，并讨论了它们与测度族的一些性质的联系：连续性和渐近分离。有关该领域的其他类似结果，请参见[9]、[10]。有关渐近自由午餐的其他概念及其与整个市场鞅测度存在性的关系，请参见[9]，[12]。另一个问题是渐进套利理论的自然结果：如何计算未定权益的价格，以及价格与市场无套利性质之间的关系。我们不是针对单个随机变量，而是针对随机变量序列来制定定价问题。第3节介绍了此类问题陈述的动机。对于这种序列，我们定义了不同类型的边缘策略序列。它们中的第一个对序列中的每一个元素都进行了对冲，因此它完全没有风险。

基于这一特性，我们确定了一个强劲的价格，这与经典金融市场理论中已知的价格密切相关。另一种类型是通过不超过固定水平的风险对序列进行套期保值。对于这种情况，我们引入了α-分位数价格。特别是，风险可以在一个单位内消失，表示1分位数价格，这被称为弱价格。这些定义见第3节。在第4节中，我们提供了上述一般大型金融市场价格的特征定理。本一般描述仅使用每个小型市场的无套利属性。问题在于，在不同类型的渐进套利下，价格如何相互关联，尤其是强势和弱势价格。例4.6表明，渐近套利实际上会影响这种关系。我们研究了这个问题，给出了完全市场序列的一个相关定理。不完全市场的类似定理仍然是一个悬而未决的问题。本文的一个重要部分是第5节，专门讨论具有恒定系数的大型布莱克-斯科尔斯市场。在这些特殊情况下，我们改进了以前的结果，建立了更精确的特征化定理，其中包括广泛使用的衍生工具，如看涨期权和看跌期权。在这一节中，我们还提供了另一个定理证明，该定理描述了[8]中不同类型的渐近套利。证明的方法不如[8]中的一般方法，但使用Neyman-Pearson引理可以更间接地洞察相关集合的构造。此外，基于非随机试验的类似方法也成功地应用于本节的其他证明中。论文的结构如下。在第2节中，我们给出了测度族的一些性质的定义，以及关于渐近套利的已知事实。

有关更全面的解释，请参见[5]中的统计部分，以及[7]、[8]、[9]、[10]中的财务部分。在第三节中，我们精确地阐述了定价问题。第4节提供了描述大型Black-Scholes模型的第5节中使用和推广的特征化理论。一般来说，α-分位数价格特征化定理的主要思想起源于分位数套期保值[4]一文。因此，本文给出的结果可以被视为该领域的延伸或进一步发展。2基本定义和结果大型金融市场指的是一系列小型市场。让(Ohmn、 Fn，（Fnt），Pn），其中t∈ [0，Tn]或t∈ {0，1，…，Tn}是一系列过滤概率空间和（Sin（t）），i=1，2。。。，描述股票价格演化的半鞅的dna序列。如果Sin+1（t）=sini=1，2，…，则大型金融市场将被称为静止市场。。。，dn。这意味着每个后续的小市场都包含前一个。为了缩短符号，假设所有市场都有相同的时间范围，即n=1，2。。。。作为第n个小型市场的交易策略，我们承认一对（xn，~nn），其中xn≥ 关于（Sn（t））0和φnis是一个可积的可预测过程。xnis是初始捐赠，而аin（t）是在时间t时在投资组合中持有的第i个股票的若干单位。与定义为Vxn，аnt=Pdni=1аin（t）Sin（t）的策略（xn，аn）对应的财富过程被假定为满足一个自融资条件，即：对于连续时间模型Svn，аnt=xn+TX=1dnXi=1аin（s）（Sin（s）- 罪- 1） ）用于离散时间模型。定义2.1一对（0，~nn）是第n个小市场上的套利策略，如果V0，~nnt≥ 0a。s

对于每个t和Pn（V0，~nnT>0）>0。对于第n个小市场，我们回顾了所有鞅测度集合Qnof的定义。定义2.2 Q∈ Qn<==> （Sin（t））是[0，t]上关于Q的局部鞅，对于i=1，2。。。，DN2.3如果Qn6= 第n个小市场没有套利策略。在[5]中可以找到离散时间的证明，在[1]中可以找到连续时间设置的证明。结果表明，逆命题在离散情况下仍然成立，但在连续时间内却成立。在所有的论文中，我们假设：Qn6= 对于所有n=1，2。在每个小市场上都没有套利的事实并不保证没有合意套利机会。

对于大型金融市场，我们有以下来自[8]的渐进套利概念。定义2.4一系列策略（xn，~nn）实现了第一类（AA 1）的渐进套利，如果：Vxn，~nnt≥ 0代表所有t∈ [0，T]limnxn=0，limnPn（Vxn，νnT≥ 1) > 0.定义2.5一系列策略（xn，~nn）实现第二类（AA 2）的渐进套利，如果：Vxn，~nnt≤ 1为所有t∈ [0，T]limnxn>0，limnPn（Vxn，νnT≥ ε） 对于任何ε>0的情况，=0。定义2.6一系列策略（xn，~nn）实现了第一类强渐近套利（SAA1），如果：Vxn，~nnt≥ 0代表所有t∈ [0，T]limnxn=0，limnPn（Vxn，νnT≥ 1) = 1.定义2.7一系列策略（xn，~nn）实现了第二类（SAA2）的强渐近套利，如果：Vxn，~nnt≤ 1为所有t∈ [0，T]limnxn=1，Pn（Vxn，~nnT≥ ε） 对于任何ε>0的情况，=0。我们说，大型金融市场不允许第一类的渐近套利（第二类，第一类的强渐近套利，第二类的强渐近套利），如果任何序列（nk）都没有实现相应类型的渐近套利的交易策略（xnk，~nnk），则用NAA1（NAA2，NSAA1，NSAA2）来表示这一性质。为了描述渐近套利，以及以后的目的，我们引入了一些数理统计的定义。定义2.8(Ohmn、 Fn），n=1，2。。。

是一系列可测空间和Gn，Hn:Fn-→ R+一系列集合函数。1） （Gn）与respec t to（Hn）相邻（表示法：（Gn） （Hn））如果对于每个sequenceAn∈ Fnwe haveHn（安）-→ 0 ==> Gn（安）-→ 02）（Gn）与（Hn）（表示法：（Gn）渐近可分△ （Hn））如果存在一个序列∈ fn例如，n（An）-→ 0和Gn（An）-→ 1对于QnW族，我们考虑以下集合函数：\'\'Qn（A）=supQ∈QnQ（A），A∈ Fn——QnQn（A）的上包络=infQ∈QnQ（A），A∈ Fn——Qn的下包络。下面的结果提供了关于集合序列的渐近套利的特征。有关证明，请参见[7]、[8]、[10]。定理2.9下列条件成立。（NAA1）i off（Pn） （`Qn）2。（NAA2）i ff（Qn） （请注意）3。（SAA1）i ff（SAA2）i ff（Pn）△ （Qn）i off（Qn）△ （请注意）。下面我们将介绍一个来自数理统计的标准工具，用于搜索最佳测试。解决以下问题很有用。设Qand是可测空间上密度为dqdqo的两个概率测度(Ohm, F） 。我们感兴趣的是找到集合A，这是问题的解决方案∈ F:（Q（A）-→ maxQ（A）≤ γ和γ∈ [0, 1]. 然后由下面的引理给出显式解。引理2.10（Neyman-Pearson）如果存在常数β使得Q{dQdQ≥ β} =γ然后Q{dQdQ≥ β} ≥ Q（B）对于满足Q（B）的任何挫折≤ γ.我们还记得定价定理，它起源于上鞅的可选分解定理。有关更多详细信息，请参见[11]和后续扩展[2]，[3]。定理2.11（价格特征化）设Q是描述股票价格演化的半鞅（St）的一组鞅测度。设H为非负目标。

然后，存在一种交易策略（~x，~~n），其中~x=supQ∈QEQ[H]s.t.~x+Zt)≥ ess supQ∈QEQ[H | Ft]。因此，这对（~x，~~n）是一种对冲策略，~x是H.3问题公式的价格定义3.1一个大型财务标记上的未定权益H是一系列随机变量H，H。。。满足以下条件1）对于每个n=1，2。。。Hn:OhmN-→ R+是一个可测量的非负随机变量。2） 对于每个n=1，2。。。supQ∈QnEQ[Hn]<∞ 持有。在经典的市场模型中，我们总是要对一个随机变量进行定价和对冲。问题在于，考虑一系列随机变量是否合理。我们提出了这一事实的两个动机。1） 假设我们有一个随机变量G，它相对于σ-场σ（F，F，…）是可测量的。然后Hn可以定义为G在空间上的投影(Ohmn、 Fn，Pn），即Hn=EPn[G | Fn]。因此，我们希望对一种衍生工具进行定价，该衍生工具的定价取决于具体的多个集合，但要考虑到少数最先出现的集合所提供的信息。2） 设G为随机变量，仅取决于第一项资产（或部分第一项资产）的价格。然后，我们可以为每个n定义Hn=G，并考虑可交易资产数量增加带来的机会。我们研究了投资可能性的增加如何影响G的价格。下面我们介绍了渐近套期保值和H的价格定义的两个概念。定义3.2 a序列（xn，~nn）是一系列套期保值策略ifVxn，~nnT≥ 嗯 n=1，2。。。。我们用H来表示这类序列。H的强价格定义为asv（H）=inf（xn，~nn）∈赫利姆→∞xn。在整篇文章中，我们假设α是区间[0，1]中的任意数。定义3.3序列（xn，~nn）是一系列α-对冲策略iflimn→∞Pn（Vxn，~nnT≥ Hn）≥ α.这类序列我们用Hα表示。

H的α-分位数价格定义为：α（H）=inf（xn，~nn）∈Hαlimn→∞xn。H的弱价格是1-分位数价格，即∧v（H）：=v（H）。根据上述定义，我们考虑了当n趋于一致时，不允许超出固定风险水平的策略序列。如果α=1，则风险在单位内消失。与定义3.2中提出的经典定价概念相比，这种特殊情况是有区别的，在定义3.2中，任何n=1，2，…，都没有风险。。。。在这个阶段，vα（H）显然≤ vβ（H）≤ ~v（H）≤ v（H）表示α<β，因为以下夹杂物保持：Hα Hβ H H.本文的主要目的是提供价格的特征，并解决强弱价格之间的平等问题。4价格特征使用价格特征定理2.11在经典市场上，很容易证明以下内容。命题4.1强价格由v（H）=limnusepq给出∈QnEQ[Hn]。证明：设g:=limnuspq∈QnEQ[Hn]。根据定理2.11，对于任何（xn，~nn）∈ Hwe getxn≥ supQ∈QnEQ[Hn]和v（H）≥ g、 取xn:=supQ∈QnEQ[Hn]，从定理2.11我们知道存在一系列的策略（ā~nn）s.t.（āxn，ā~nn）∈ 手v（H）≤ G为了描述疲软的价格，我们首先介绍了一些定义。定义4.2（A类α）如果∈ n=1，2。。。还有limn→∞Pn（An）≥ α.特别地，（An）属于Aif Pn（An）类-→n1。下面的注释说明了α-模糊限制序列Hα类和Aα集类之间的对应关系。备注4.3（AHα） Aα）Hα中的每个元素表示Aα中的一个元素。事实上，对于（xn，~nn）∈ Hα让我们定义n，~nnn:={Vxn，~nnT≥ 嗯。通过定义Hα，我们得到（Axn，~nnn）∈ Aα。

因此，如果我们用AHα表示上述集合的序列，则以下包含成立：AHα A.备注4.4（HAα） Hα）表示序列（An）∈ Aα让我们考虑一系列策略s.t.对于固定数量的策略（xAn，~nAn）满意度：xAn=supQ∈QnEQ[HnAn]和anhnan（在指数为n的小型市场上）是或有索赔。接下来是（xAn，~nAn）∈ Hα自（An）∈ Aα。如果我们用HAα表示上述形式的策略序列，则以下包含适用：HAα Hα。定理4.5α-分位数价格由vα（H）=inf（An）给出∈αlimnsupQ∈QnEQ[HnAn]。证明：我们依次证明了两个不等式：(≥) 及(≤).(≥) 让我们考虑一下（xn，~nn）∈ Hα。然后使用备注4.3的符号，我们得到：xn≥ supQ∈QnEQ[HnAxn，~nnn]及其相应的limnxn≥ limnsupQ∈QnEQ[HnAxn，~nnn]。根据α-分位数价格的定义和备注4.3，我们得到了vα（H）=inf（xn，~nn）∈Hαlimnxn≥ inf（xn，νn）∈HαlimnsupQ∈QnEQ[HnAxn，~nnn]=inf（An）∈啊αlimnsupQ∈QnEQ[HnAn]≥ inf（An）∈αlimnsupQ∈QnEQ[HnAn](≤) 考虑一个任意元素（an）∈ Aα和Remark4中描述的相应策略。4.按照备注4.4的注释，我们有SUPQ∈QnEQ[HnAn]=X和由此产生的限制∈QnEQ[HnAn]=Limnxan通过备注4.4我们获得了inf（An）∈αlimnsupQ∈QnEQ[HnAn]=inf（An）∈AαlimnxAn=inf（xn，~nn）∈HAαlimnxn≥ inf（xn，νn）∈Hαlimnxn=vα（H）我们通过下面的例子来研究渐近定价问题。例4.6让我们考虑具有以下设置的固定大型金融市场：Ohm = [0,1]，Sin（1）=Sin（0）（1+ξi），i=1,2。。。，n、 n=1，2。。。其中（ξi）是由ξi给出的随机变量序列=(-[0,1]上的1-i] ：=Eiδ（2i）-1） 我-δ（2i）-1） 关于（1）-i、 1]：=Fi，δ∈ (0, 1).假设西格玛场由序列（ξi）生成，即Fn=σ（ξ，ξ，…，ξn），然后目标概率测度Pn是勒贝格测度P对西格玛场Fn的限制，即Pn=P | Fn。