赫斯顿模型及其相关模型的波动性推断

（2.3）对于初始条件，等式（2.7）给出了已知初始方差v.0 1 2 3 4 5v/θ0481216π的所有解的加权平均值*（v） 图1：平稳概率分布π*（v） α=2.011时的方差v。垂直线表示v.2.2解福克-普朗克方程的平均值。福克-普朗克方程方程（2.3）的解析解以Fourier和逆拉普拉斯变换的形式存在，我们将在下文[15]中推导。首先，我们采用Fourier变换。p（xt，vt | v）=Z∞-∞dpx2πexp（ipxxt）`ppx（vt|v），即`ppx（vt|v）是p（xt，vt|v）w.r.t.xt的傅里叶变换。第二，拉普拉斯变换pt，px（pv | v）=Z∞dv exp(-pvv）`ppx（vt=v|v）。（2.8）求解一阶偏微分方程t+Γpv+κpv-二甲苯- ipxpv~p=-γθpv这里我们引入了符号Γ=γ+iρκpx。这个偏微分方程必须在初始条件pt=0，px（pv | v）=exp下求解(-pvv）。这个初始问题的解是通过特征线法pt，px（pv | v）=exp给出的-~pv（0）v- γθZtdτpv（τ）式中，函数pv（τ）是特征（普通）微分方程pv（τ）dτ=Γpv（τ）+κpv（τ）的解-二甲苯- 在τ=t处规定的边界条件为pv（t）=pv的IPX。微分方程为具有常数系数的theRiccati型，其解为pv（τ）=2OhmκζeOhm（t）-τ)- 1.-1.-Γ - Ohmκ、 我们介绍了频率Ohm =pΓ+κ（px- ipx）和系数ζ=1+2Ohmκpv+（Γ- Ohm).代入产量pt，px（pv | v）=exp-~pv（0）v+α（Γ）- Ohm)T- αlogζ- E-Ohmtζ- 1.（2.9）式（2.6）中定义了α。因为我们对福克-普朗克方程的解感兴趣。r、 t.对于方程（2.7）的初始条件，我们取方程（2.9）的所有解的平均值，权重为π*（v） 并得到∧pt，px（pv）=Z∞dvpt，px（pv | v）π（v）=1+θ∧pv（0）ααζ - E-Ohmtζ- 1.αexpα(Γ - Ohm)T. （2.10）方程的解p（xt，vt）。

（2.3）在初始条件下，公式（2.7）可以从公式（2.10）中有效地计算出来，应用阶数为12的Stehfest方法——见[1]——计算拉普拉斯变换公式（2.8）的逆。这一过程比用数值方法求解福克-普朗克方程本身要快得多，我们测试这种方法也是为了用两种不相关的计算方法验证我们的数值结果。除了联合分布p（xt，vt），我们还需要条件分布p（xt | v）=Z∞dvtp（xt，vt | v）是节理密度p（xt，vt | v）的边缘分布，也就是福克-普朗克方程（2.3）的解，即初始条件（2.4）的解。条件密度[15]p（xt | v）=Z有一个fourier变换表示∞-∞dpx2πexpipxx-二甲苯- ipxΓ+Ohm 科思(Ohmt/2）×exp-2γθκ对数科什Ohmt+ΓOhm信义OhmT+γΓθtκ（2.11）和收益边际分布的密度[15]p（xt）=Z∞-∞dpx2πexpipxx+γθκt-2γθκ对数科什Ohmt+Ohm- Γ+ 2γΓ2γOhm信义OhmT. （2.12）p（xt | v）和p（xt）的知识允许对信息流进行数值计算。（3.2）通过引理3.2和互信息I（S（n+1）τ：Snτ）。所有的模拟都是用Python使用Numpy[43]完成的。3信息理论3。1互信息密度为f（X）的连续随机实变量X的微分熵h（X）定义为[11]h（X）=-Zf（x）log f（x）dx如果存在，也就是说，前面的积分不会发散。因为我们在字节中测量信息，所以我们使用对数w.r.t.基数2。与离散情况相比，没有标准定义，因为人们必须选择一个参考测量值dx w.r.t.，其密度是积分的。在续集中，我们假设积分的存在，但没有提到它。此外，我们假设选择Lebesgue度量作为参考。与离散随机变量的熵相比，微分熵可能为负。

一个例子提供了一个正态分布的随机变量X~ (1/√2πσ）exp(-x/2σ），其微分熵为1/2 log（2πeσ）[11]，对于非常小的方差σ，其可以为负。尽管它可能变为负值，但作为离散随机变量熵的微分熵可以解释为随机变量平均不确定性的度量。微分熵在微分坐标变化φ：SX下表现良好→ 支持SX={x:f（x）>0} 随机变量Xh（φ（X））=h（X）+Zf（X）log |φ（X）| dx的R集合X，X，节理密度为f（x，x，…，xn）的随机变量为定义灰（x，x，…，xn）=-Zf（x，x，…，xn）logf（x，x，…，xn）dxdx··dxn。对于每一个不同的同质性φ：SX→ r在随机变量x=（x，x，…，xn）的支持向量SX={x=（x，x，…，xn）>0}上，我们得到h（φ（x））=h（x）+Zf（x）log | det Jφ（x）| dx，其中Jφ（x）是φ的雅可比矩阵。如果随机变量X，Y分别具有联合密度函数f（X，Y）和条件密度函数f（X | Y），我们可以定义条件熵h（X | Y）ash（X | Y）=-Zf（x，y）logf（x | y）dxdy。因为在一般情况下，f（x | y）=f（x，y）/f（y），我们也可以写eh（x | y）=h（x，y）- h（Y）。但是，如果任何不同的熵是有限的，我们必须小心。h（X | Y）是一个随机变量X的平均不确定度的度量，条件是另一个随机变量Y的知识。两种密度f和g之间的相对熵（或库尔贝克-莱布勒散度）D（f | | g）由D（f | | g）=Zf（x）logf（x）g（x）dx定义。注意，只有当f的支持集{x:f（x）>0}包含在g的支持中时，D（f | | g）才是有限的（基于连续性，我们设置0 log（0/0）=0）。虽然D（f | | g）通常是非对称的，但它通常被认为是f和g之间的一种距离。

这主要是由于它的性质D（f | | g）≥ 当且仅当f=g时等于0。两个随机变量X和Y之间的互信息I（X:Y）与联合密度f（X，Y）以及各自的边缘密度g（X）和k（Y）定义为I（X:Y）=h（X）- h（X | Y）=h（Y）- h（Y | X）=h（X）+h（Y）- h（X，Y）=Zf（X，Y）logf（X，Y）g（X）k（Y）dxdy=D（f（X，Y）| g（X）k（Y））。同样，如果任何不同的熵是有限的，并且在这种情况下，互信息可能会或可能不会出现分歧，我们必须小心。从定义来看，很明显，互信息是对称的，即i（X:Y）=i（Y:X）。此外，I（X:Y）≥ 当且仅当X和Y是独立的时，等于0。因此，相互信息可以被视为统计依赖性的一般度量，因为它可以检测出独立性的任何偏差。请注意，在独立的情况下，对X的了解并不能减少我们对Y的不确定性，即X不提供关于Y的信息，反之亦然。与互信息一样，三个随机变量X、Y和Z之间的条件互信息I（X:Y | Z）可以用条件熵asI（X:Y | Z）=h（X | Z）表示- h（X | Y，Z）假设存在差异熵。这可以重写以显示其与交互信息I（X:Y | Z）=I（X:Y，Z）的关系- I（X:Z）通常被重新排列为互信息链规则[11]I（X:Y，Z）=I（X:Y | Z）+I（X:Z）。（3.1）与微分熵相比，互信息和条件互信息是标度不变的，也就是说，对于三个微分映射φX，φY，φZ:R→ 我们有[26]I（φX（X）：φY（Y））=I（X:Y）I（φX（X）：φY（Y）|φZ（Z））=I（X:Y |Z）。在最后一节中，我们定义了text=log（St/S）- utvt=σt。这两种变换在各自随机变量的支持下是不同的。互信息yieldsLemma 3.1的标度不变性。

股票和波动率之间的互信息与调整后的对数收益率和方差之间的互信息相同。I（σt:St）=I（vt:xt）3.2多级动力系统我们考虑过程t→ （St，σt）具有固定的初始值S、今天的股票价格和稳态分布波动率σ。由于波动率是一个隐藏参数，唯一可观测的是股票St。然后，我们用分辨率τ离散连续过程。这是合理的，因为可观察数据，即股票数据，通常只在离散时间点报价，最常见的是在每个交易日结束时，即τ=1天。由此我们得到了离散时间n中的马尔可夫过程→ （Snτ，σnτ）。由于只有股票价格可以观察到，我们可以用φ作为观察图，简单地投影到它的第一个组成部分，来说明如图（2）所示的情况。我们研究了观察到的过程n的扩展→ Snτ本身就是一个随机过程SnτS（n+1）τ（Snτ，σnτ）（S（n+1）τ，σ（n+1）τ）φ图2：可以通过观测图φ观察到的低层过程的基本设置。正当上层的虚线表示上层过程不是自包含的，因为S（n+1）τ通常不能仅从Snτ推导而来，而下层的实线表示Snτ和σnτ的随机微分的马尔可夫动力学，或者通过等式（2.2）等效地表示xnτ和vnτ。[36]对此类多级动力系统进行了广泛研究，我们引入了各种信息理论度量，以使“自包含”的概念变得精确，并使过程偏离自包含的量化。其中两个特别有趣。信息关闭：如果没有信息从低层流向高层，我们将更高的流程称为信息关闭。

当已知Snτ时，对节理状态（Snτ，σnτ）的了解不会改善在时间n+1时对股票S（n+1）τ的预测，即对于S（n+1）τ=φ（S（n+1）τ，σ（n+1）τ，我们有i（S（n+1）τ：（Snτ，σnτ）|Snτ）=0。（3.2）马尔可夫性：上过程n的马尔可夫性→ Snτ是另一个属性，它允许我们将其本身视为一个自包含的过程。在这种情况下，S（n+1）τ与整个过去轨迹τn无关-1=（S（n）-1)τ, . . . , Sτ，S）给定Snτ，可以用条件互信息asI（S（n+1）τ：Sτn再次表示-1 | Snτ）=0。（3.3）在我们的设置中，即，根据Heston模型推导的标准σt，初始条件为等式（2.4），然后根据图（2）进行离散，我们得到以下结果：引理3.2。对于所有τ>0和n，信息流可计算为asI（S（n+1）τ：（Snτ，σnτ）|Snτ）=I（x（n+1）τ：vnτ| xnτ）∈ N.证据。引理3.1表示I（S（n+1）τ：（Snτ，σnτ）|Snτ）=I（x（n+1）τ：（xnτ，vnτ）| xnτ），然后根据互信息链规则等式（3.1），这可以扩展为I（x（n+1）τ：（xnτ，vnτ）|xnτ）=I（x（n+1）τ：vnτ。然后由I（x（n+1）τ：xnτ| xnτ，vnτ）=0得出结果。作为推论，对于第一步，即n=0，我们得到推论3.3。引理3.2中的I（Sτ：（S，σ）|S）=I（xτ：v），并通过删除隐式条件x=0。类似地，我们可以推导出股票过程n偏离马尔可夫性的一个界→ Snτ基于信息流。定理3.4。在图（2）的设置中，I（S（n+1）τ：Sτn-1 | Snτ）≤ I（x（n+1）τ：vnτ| xnτ）。对于所有τ>0和n∈ N.证据。

尺度不变性与互信息量的分解si（S（n+1）τ：Sτn-1 | Snτ）=I（x（n+1）τ：xτn-1 | xnτ）≤I（x（n+1）τ：（xτn）-1，vnτ）|xnτ）=I（x（n+1）τ：vnτ|xnτ）+I（x（n+1）τ：xτn-1 | xnτ，vnτ）过程n的马氏性→ （xnτ，vnτ）产生I（x（n+1）τ：xτn-1 | xnτ，vnτ）=0.4从股票数据推断波动性4。1 Heston模型中的信息作为我们数值研究的一个例子，我们采用[2]中的现实参数，其中Heston的模型直接安装在标准普尔500指数及其波动率指数上。他们得到了γ=5.07，θ=0.0457，κ=0.48，ρ=-0.767（4.1）波动率指数以百分比表示，并大致换算为标准普尔500指数在未来30天内的预期变动（假设68%的可能性，即一个标准差），然后进行年度化。因此，在t=2.0之前，具有这些参数和初始条件等式（2.7）的PDE等式（2.9）的解对应于两年，即554个交易日。02 4 6 8 10 12 16 18 20 22 24个月。00.10.20.30.40.5比特图3：联合分布p（xt，vt）的互信息I（σt:St）的演化，用初始条件等式（2.7）求解PDE等式（2.3）。最大交易日约为55个交易日。最初，我们计算了互信息I（vt:xt），但由于引理3.1，我们得到了I（σt:St）=I（vt:xt）。人们可以从图（3）中看出三个显著的事实。首先，在τ=55个交易日时，最大值（στ：Sτ）=0.48位。第二，共同信息在更长时间内减少。第三，也是最重要的，股票中关于其潜在波动性的少量信息。我们最多得到大约半个位，这使得至少25个独立的测量值需要导出10个位，也就是波动率的三位数。我们可以通过观察多个连续的股票价格St，St来获得更多信息-1.

，但由于波动过程的随机性，信息仍然相当有限。下面，我们将在基于高斯过程的随机波动率模型中说明这种影响。第三，互信息I（vt:xt）的瞬时跳跃→ 0.由于调整后的对数回报率XT和方差VT的分布在t=0时是独立的，见等式（2.7），互信息I（x:v）=0。但数值模拟表明，这是一个极限→0I（xt:vt）≈ 0.166位。接下来，我们计算信息流。I（S（n+1）τ：（Snτ，σnτ）|Snτ）=I（S（n+1）τ：σnτ| Snτ）引理3.2 yieldsI（S（n+1）τ：σnτ| Snτ）=I（x（n+1）τ：vnτ| xnτ）=h（x（n+1）τ|xnτ）- h（x（n+1）τ| xnτ，vnτ）=h（x（n+1）τ，xnτ）- h（xnτ）- h（xτ| x，v）（4.2），其中最后一个等式来自p（x（n+1）τ| xnτ，vnτ）=p（xτ| x，v），即福克-普朗克方程方程（2.3）解的时间齐性。条件分布p（xτ| x，v）通常不等于（2.11），只要x=0代替xis上的条件。如果x=x，那么h（xτ| x，v）=-Zp（xτ=y | x=x，v）log p（xτ=y | x=x，v）dy如果我们改变坐标y=y- x和x=x，这个坐标变换的雅可比矩阵是1，我们得到h（xτ| x，v）=-Zp（xτ=y+x | x=x，v）logp（xτ=y+x | x=x，v）不一致解（xt，vt，x，v）7→ 偏微分方程（2.3）的p（xt，vt | x，v）仅取决于（xt）-x、 vt，0，v），我们得到p（xτ=y+x | x=x，v）=p（xτ=y | x=0，v）。这意味着h（xτ| x，v）=h（xτ| v）采用了我们放弃隐式条件x=0的规则。因此，熵h（xτ| x，v）是条件密度公式中的一个。

(2.11).计算节理密度p（x（n+1）τ，xnτ）yieldsp（x（n+1）τ，xnτ）=Zp（x（n+1）τ，xnτ，vnτ=v）dv=Zp（x（n+1）τ| xnτ，vnτ=v）p（xnτ，vnτ=v）dv=Zp（xτ| x，v=v）p（xnτ，vnτ=v）dv。其熵readsh（x（n+1）τ，xnτ）=-Zp（x（n+1）τ=y，xnτ=x）logp（x（n+1）τ=y，xnτ=x）dxdy=-ZZp（xτ=y | x=x，v=v）p（xnτ=x，vnτ=v）dv×原木Zp（xτ=y | x=x，v=v）p（xnτ=x，vnτ=v）dvdxdy。此外，改变坐标y=y- x和x=x yieldsh（x（n+1）τ，xnτ）=-ZZp（xτ=y+x | x=x，v=v）p（xnτ=x，vnτ=v）dv×原木Zp（xτ=y+x | x=x，v=v）p（xnτ=x，vnτ=v）dvdxdy。我们将p（xτ=y+x | x=x，v=v）=p（xτ=y | x=0，v=v）代入公式（4.2），并将公式（4.2）简化为可通过公式（2.11）和公式（2.9）计算的表达式，至少在数值上是如此。我们模拟了n的几种选择的信息流公式（3.2）。除了信息流，我们还对股票两次后续观察之间的互信息I（S（n+1）τ：Snτ）=I（x（n+1）τ：xnτ）感兴趣。条件互信息产量的定义si（x（n+1）τ：vnτ| xnτ）=I（x（n+1）τ：vnτ，xnτ）- I（x（n+1）τ：xnτ）=h（x（n+1）τ）- h（x（n+1）τ| vnτ，xnτ）- I（x（n+1）τ：xnτ）=h（x（n+1）τ）- h（xτ| v，x）- I（x（n+1）τ：xnτ）=h（x（n+1）τ）- h（xτ| v）- I（x（n+1）τ：xnτ），其中最后一个等式来自之前证明的恒等式h（xτ| v，x）=h（xτ| v），其中最后一个熵是条件分布等式（2.11）中的一个。熵h（x（n+1）τ）可通过公式（2.12）计算xt的密度。因此，I（S（n+1）τ：Snτ）=I（x（n+1）τ：xnτ）=h（x（n+1）τ）- h（xτ| v）- I（x（n+1）τ：vnτ| xnτ）。（4.3）特别是，如果我们设置n=0，我们得到I（Sτ：S）=0。对于n的其他值，我们绘制了图。

（5） 比率（S（n+1）τ：σnτ| Snτ）I（S（n+1）τ：Snτ）（4.4），表示我们通过了解瞬时波动率而获得的信息增益，与在nτ时间读取有效股票数据Snτ的信息相比。从图（4）和图（5）可以看出几个事实。首先，对于所有n，信息流I（Sτ：σ| S）=I（xτ：v）是一般流I（S（n+1）τ：σnτ| Snτ）=I（x（n+1）τ：vnτ| xnτ）的上界∈ N.其次，这种流动的数量之少令人难以置信：在已知τifSnτ时，对节理状态（Snτ，σNτ）的了解不会显著改善对股票S（N+1）τ的预测。信息增益I（S（n+1）τ：σnτ| Snτ）与信息I（S（n+1）τ：Snτ）相比，如果我们读取到的Snτ最多为27%，如果τ或n增加，信息增益I（S（n+1）τ：Snτ）将消失。从公式（4.3）可以直接得出，如果n增长，则通过了解瞬时波动率vnτ，未来收益的信息收益会减少：从图（4）中我们已经知道，I（S（n+1）τ：σnτ| Snτ）的上界是I（Sτ：σS）=h（xτ）- h（xτ| v）独立于n，而h（x（n+1）τ）在n中是广泛的，因为x（n+1）τ的边缘分布是粗糙高斯分布，方差与（n+1）τ成正比。因此，h（x（n+1）τ）≈ O（对数（（n+1）τ））。同样的参数产生h（xτ| v）≈ O（对数（τ））因此（S（n+1）τ：Snτ）=I（x（n+1）τ：xnτ）≈ 对数（（n+1）τ）- logτ=log（n+1），也就是说，等式（4.4）中的分母在n中以对数增长。总的来说，知道瞬时波动率σnτ并不能提供比知道平稳分布π更好的未来股票收益估计*波动率的（σn），我们已经从模型中知道了。因此，根据Heston模型从金融市场的市场数据推断已实现的波动性不仅困难，而且在预测价格时价值有限。