赫斯顿模型及其相关模型的波动性推断

第三，从定理3.4可以看出，stock过程Snτ→ 随着τ的增加，S（n+1）τ几乎是马尔可夫的。最后，信息流I（S（n+1）τ：σnτ| Snτ）对τ产生瞬时跳变→ n=0时的跳跃高度与图（3）中的互信息I（xτ：vτ）相同。0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12个月0。00.10.2bitn=0n=1n=2n=4n=6n=10n=15图4：n=0、1、2、4、6、10和15的信息流I（S（n+1）τ：σnτ| Snτ）。最后，我们在本小节中研究了参数ρ对互信息I（σt，St）的影响。回想一下，ρ是两个布朗运动sw（1）和W（2）t之间的瞬时相关性，这两个布朗运动分别驱动过程站vt。ρ为负值以反映杠杆效应[6]，即负回报往往会增加波动性。图（6）很好地反映了对关节概率的影响。如果波动性增加，则第一个图形的联合分布偏向负回报，而第二个图形呈现出几乎对称的分布，即负回报对波动性的影响不超过正回报。图（7）显示了瞬时相关性ρ的不同选择的互信息I（σt:St）。有两个事实值得注意。信息w.r.t.到ρ的增长，以及如果我们选择ρ=0.0，剩下的可忽略的量。在这种情况下，股票和波动过程是准独立的，几乎无法从股票数据中获得关于瞬时波动性的信息。4.2拟合随机波动率模型互信息I（St：σt）量化了股票价格和内在波动率之间的平均依赖性，我们已针对上述赫斯顿模型对其进行了评估。当从实际股价数据推断波动性时，我们通常对价格过程可能实现的平均行为不太感兴趣→ 圣。

相反，我们想要估计在时间0 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12个月0%10%20%30%n=1n=2n=4n=6n=10n=15时观察到的实际价格序列S=（St，…，Stn）的波动性。图5:n=1、2、4、6、10和15的比率I（S（n+1）τ：σnτ| Sn）/I（S（n+1）τ：Snτ）。不幸的是，在赫斯顿模型中，计算完全条件分布p（σt|S）或evenp（{σt}t>0:S）是不可行的。因此，在本节中，我们将讨论基于高斯过程的不同类别的模型。虽然精确推理在这些模型中也是不可行的，但高斯过程在机器学习中被大量使用，并且各种近似算法都是现成的。如上所述，我们考虑指数Ornstein-Uhlenbeck模型的推广。与之前一样，价格过程由dst=uStdt+σtStdW（1）t给出，但现在，方差的对数yt=logσt来自高斯过程。为了建立一个模型，我们可以用多变量高斯分布精确地表示y=（yt，…，ytn）的分布。此外，我们需要给定y的观测价格S的可能性，即p（S | y）。这里，为了简单起见，我们对St[37]：St的随机微分方程使用Euler近似+T- St=uStt+σtSt√T这里T~ N（0，1）。因此，我们假设观测到的日收益率rt=St+1-标准差为σt的正态分布，即rt~ N（u，σt）。由于与波动性相比，价格过程的漂移通常很小，为了简单起见，我们将假设u=0。杠杆效应包括不包括的杠杆效应-0.6-0.20.20.6x0。00.040.080.120.160.2v0102030-0.6-0.20.20.6x0。00.040.080.120.160.2V0102300图6：赫斯顿过程的联合分布p（xτ，vτ），τ=252个交易日的参数如式（4.1）所示。

如果ρ=-倾角为0.767，表明调整后的对数收益率x和方差v之间存在负相关性。如果ρ=0.0，则分布在调整后的对数收益率x中几乎是对称的。在这个公式中，我们的随机波动率模型是一个高斯过程yt和一个非高斯似然模型p（rt | yt）。类似的模型在高斯过程分类中广为人知并被广泛使用（见[38]第3章）。在这种情况下，已经开发了几种近似后验p（y | r）的算法。这里，我们采用拉普拉斯近似，其中后验概率由以后验概率模式为中心的多元高斯近似，即yLaplace=argmaxyp（y | r）=argmaxyψ（y），其中ψ（y）=log p（r | y）p（y）。近似后验概率的协方差由模的局部曲率导出，即∑-1空间=-日志p（位置| r）。使用拉普拉斯近似，也可以计算出对边缘概率p（r）=Zp（r | y）p（y）dy的近似≈ eψ（yla）Ze-（y）-T∑-1空间（y）-yLaplace）dy=p（r | yLaplace）p（yLaplace）Ze-（y）-T∑-1空间（y）-与最大似然解相比，p（r）不仅仅取决于f的优度，正如似然p（r | yLaplace）所捕获的那样。它还考虑了先验概率（yLaplace）以及关于推断波动过程y的不确定性。因此，边际可能性自动包含了模型fit和模型复杂性之间的权衡（详情参见[30]第28章）。因此，在贝叶斯统计中，边际似然是用于模型选择的。在这里，我们使用边际可能性来比较关于潜在波动过程的不同结构假设。在标准指数随机波动率模型中，我们将其建模为具有协方差函数kOUt的Ornstein-Uhlenbeck过程，t=β2αe-α| t-t |。

这里，α可以被视为一个长度标度，因为它给出了过程的相关时间。OrnsteinUhlenbeck过程有连续的，但没有不同的样本路径。在机器学习中，通常首选具有不同样本路径的平滑高斯过程。表10 2 4 6 8 10 12 16 18 20 22 24个月0。00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.1其ρ=0.0ρ=-0.25ρ = -0.50ρ = -0.767ρ = -1.0图7：瞬时相关性ρ不同值的互信息I（σt:St）的演变。给出了一些流行的高斯过程及其协方差函数的例子。更复杂的过程，结合不同过程的特性，可以通过添加相应的协方差函数来获得。在下面的所有实验中，我们添加了一个偏差协方差函数，以增加绘制偏离零的采样路径的概率。这使得我们的模型能够轻松地用非零均值表示过程。总的来说，我们基于以下协方差结构对过程进行了拟合和比较：OU偏倚+Ornstein Uhlenbeck RBF偏倚+平方指数RatQuad偏倚+有理平方RBF偏倚+平方指数+平方指数OU偏倚+Ornstein Uhlenbeck+Ornstein Uhlenbeck模型OU只是标准指数Ornstein Uhlenbeck模型[31]，而OUOU表示该模型的双因素版本，包含两个独立的波动性因素，具有不同的时间尺度。同样，RBF模型是RBF模型的两因素扩展。为了验证不同的模型，我们优化了核心参数，例如Ornstein-Uhlenbeck过程的长度，以最大化观测到的回溯的边际可能性。

使用高斯过程工具箱GPy[3]进行优化，并使用Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno（BFGS）算法从100个不同的初始条件进行梯度下降。使用一系列不同的股票市场数据（全部从雅虎金融下载），我们得到的结果如表2所示。我们的数据集涵盖了非常不同的时间段和行业，无法确定一致的最佳模型。然而，我们认为，由于RBF RBF或OU OU表现最佳，因此我们更倾向于使用包括两个不同时间尺度的模型，紧随其后的是RatQuadkernel。后一个模型展示了波动相关性的幂律衰减，这被认为是股市数据的一个典型事实。为什么我们不能证实这一发现还有待调查。然而，最好的双因素模型也有很长的时间尺度，这意味着波动率在几周内是相关的。在这方面，我们的发现与之前的计量经济学研究结果一致，这些研究强烈建议使用双因素模型，根据需要“打破尾部厚度和波动持续性之间的联系”[10]来拟合经验数据。例如，图（8）显示了标准普尔500指数数据上基于Ornstein-Uhlenbeck（OU）和最佳模型（RBF）的隐含波动率。阴影区域显示了后验概率的95%区域（与平均值的±2个标准偏差），并显示了波动率仍然存在的较大不确定性。当预测未来100天的波动率（红色曲线）时，不确定性更加明显，并迅速增加到平稳波动率分布的先验不确定性。请注意，这种不确定性不是由于参数不确定性造成的，这些不确定性是在拟合后确定的。

这种情况与赫斯顿模型中的情况相同，前提是我们还假设参数已知，并且高度不确定性是由于潜在波动过程的随机性。因此，这似乎是随机波动率模型的一个本质属性，尤其是在波动率过程变化很快的情况下，如现实参数。4.2.1信息增益以前，我们可以使用信息论来量化获得的有关波动性的信息量。虽然互信息量化了平均不确定性，但我们感兴趣的是从实际观察价格中获得的关于σ的信息。在[13]中，建议将前p（σ）和后验p（σ| S）之间的熵差异视为从实际价格S中获得的信息。因此，与条件熵h（σ| S）中对所有可能的价格实现进行平均不同，我们根据实际观察到的价格计算后验分布的熵，即：。-Rp（σ| S）logp（σ| S）dσ。在我们的例子中，可以评估这些熵，因为后验分布p（y | S）近似于高斯分布，而之前的p（y）首先被假定为高斯分布。对于协方差矩阵为∑的d维多元高斯函数，微分熵由log（2πe）d | det∑给出。为了与Hestonmodel获得的结果进行公平比较，我们注意到波动过程平均水平的不确定性对信息增益没有贡献。因此，与赫斯顿模型一样，我们假设指定波动过程平稳平均值的参数是已知的。在形式上，我们通过在计算信息增益之前去除协方差函数的偏差分量来实现这一点。

请注意，高斯分布的熵不依赖于分布的平均值，因此在计算信息增益时，无需将先验分布的平均值调整为其平稳值。在图（8）所示的示例中，根据4年（1006个交易日）的数据，获得了关于波动率σ的总计64.5（OU）和251位（RBF）。这种巨大的差异反映了一个事实，即OU模型不那么灵活，因此其先验不确定性已经小得多。此外，结果与Hestonmodel的低信息增益一致，因为上述数字分别对应于0.06（OU）和0.25（RBF-RBF）比特率观测值。虽然这与赫斯顿模型中的低值相当，尤其是在假设ρ=0时，但由于波动过程的自相关性，关于每个观测值的信息可能会更大。为了说明这种影响，图（9）显示了在观察之前的每日收益率时，与数据集中最后一个交易日相对应的瞬时波动率σ的信息。我们可以清楚地看到，观察连续收益确实会减少波动性的不确定性，但仅在大约20天后，信息增益就会饱和。因此，即使观察数年的数据也不会改善波动性估计，而且只能获得大约1位信息。我们再次看到，在随机波动率模型中，推断波动率是出了名的困难，而且由于非常基本的信息理论原因，波动率预测将相当不精确。名称协方差属性偏差1常数样本路径平方指数e-（t）-t） 线性可微样本路径1+（t-t） 2αl-在机器学习中流行的α-有限长度混合稳定1：高斯过程。描述日期模型日志。

边际可能性苹果公司2000年1月1日至2003年1月1日RBF RBF 1423.22RatQuad 1421.33OU 1412.74OU 1412.23RBF 1403.32DAX 1992年1月1日至1995年1月1日OU 2509.23RBF RBF 2505.98RatQuad 2498.64RBF 2493.47OU 2486.51Exxon Mobile 1986年1月1日至1990年1月1日RBF RBF 2923.20OU 2921.43RatQuad 2906.43OU 2897.08RBF 2881.11S&P 500 2006年1月1日2010年1月1日RBF RBF 3129.78OU OU 3129.58RatQuad 3093.42OU3083.78RBF 3072.75表2：不同股市数据集的模型比较结果。5结论在本文中，我们从信息论的角度分析了随机波动率模型。特别是，我们询问了通过观察股票价格可以获得多少关于隐藏波动性的信息。首先，数值结果相当令人惊讶，至少对作者来说是如此。在赫斯顿模型和相关的随机波动率模型中，我们对股票的波动率驱动信息内容有一些怀疑，但我们没想到标准普尔500指数的实际参数会有这么小的残值，最多为0.5位。第二，从长远来看，互信息I（σt，St）似乎消失了，至少变得微不足道。因此，即使调整了日志返回过程，这些过程似乎也几乎是独立的→ Xt完全由其方差vt驱动，见等式（2.1）。第三，从股票数据中推断瞬时波动率不仅困难，而且基本上是无用的：图（4）和图（5）表明，对于瞬时波动率σnτ的了解只是略微改善了对给定Snτ的S（n+1）τ的预测。关于我们在第三部分中的结果，库存过程→ S（n+1）τ本身几乎是一个马尔可夫过程。

第四，互信息对瞬时相关性ρ的强烈依赖性也令人惊讶：同样，如果没有相关性，股票和波动过程几乎是独立的。我们在相关随机波动率模型中发现了类似的行为，并将其与实际股价数据进行了拟合。同样，当从市场价格推断波动性时，我们观察到很大的不确定性。这对波动率预测有着严重的影响，并使人们对基于预测误差比较模型的标准实践产生了怀疑[20]。在这种情况下，由于模型参数的不确定性，预测的准确度甚至应该低于完全指定的模型。一种可能的补救措施可能是纳入期权价格。波动性通常是从期权而非股票中推断出来的。如果赫斯顿的模型成立，期权价格和标的股票波动性之间的信息是什么。此外，如果增加所考虑的选项数量，该值会发生怎样的变化？虽然我们还不知道这些问题的答案，但很可能仍然存在实质性的证据，至少从随机波动率模型来看，波动率估计应该被认为是不可靠的，这是基于非常基本的信息论原因。6资助这项工作得到了欧洲研究理事会根据欧盟第七个框架计划（FP7/2007-2013）/ERC第318723号赠款协议的支持。NilsBertschinger感谢h.c.Maucher博士为他的职位提供资金。参考文献[1]P.S.A.郑。拉普拉斯变换的近似反演。《数学杂志》，4（2），1994年。[2] Y.Ait-Sahalia和R.Kimmel。随机波动模型的最大似然估计。《金融经济学杂志》，83（2）：413-4522007。[3] T.G.作者。GPy：python中的高斯过程框架。

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