多级投资组合优化：二次市场的对偶结果

第二个和第三个原因是Ohm 以及表达式的可分性。由于每个ui都是连续的，其范围为p\'8，0q，以及每个yipωqa0，因此中值定理给出了每个ωpOhm, 1didd，存在xipωq，使得uipxipωqq“~yipωq.根据[12，定理23.5]，supxpωqiyipωqpxipωqqq在xipωq处达到其最高值。因此（12）下一步，我们证明Slater的条件是满足的。我们想找到一个x'ATpxq x int p'LppFT，Rd`qq‰H.回想问题公式中的dom F“LppFT，Rdq，因此Slater条件的第一部分不是一个限制。请注意，sinceATpxq“x\'K\'LppF，Kq'''LppFT，kqt，其中每个kt都是一个偿付能力锥，xP ATpxq。然后，选择x，使得xipωqapxq对于每个分量1didd和所有ωPOhm. 我们有x\'xP x\'ATpxq和alsox\'xP int p\'LppFT，Rd\'qq，所以Slater的条件是满足的。6在最后一节中，我们探索了一个例子，希望能帮助说明前面章节的理论结果。我们考虑一个具有2个资产和3个时间步的市场，因此时间步t的范围为0到3。概率空间Ohm “'Si”1t′1，0，1u，概率测度P在该集合上统一定义。换句话说，可能的结果ω被定义为一个元组ω“pω，ω，ωq，ω，ω，ωp t′1，0，1u。从决策者的角度来看，我们在每个时间图1：各种t和ω的偿付能力锥Ktpωq。步骤t取已知值ωt的随机变量。因此过滤ppFtqt“0q由Ft”σpωi|idtq定义，由这些随机变量生成的σ代数。

我们还将F“F”σpω，ω，ωq定义为完整信息的西格玛代数。买卖过程p∏tqTt“0定义如下：∏tpωq”1 18–2ridtωi.这显然是pFtqt“0适应的，而且人们也可以很容易地检查每个实现是否满足BidTask矩阵的属性。由该过程生成的偿付能力锥是kTPωq”conetp1，\'\'1q，p\'1，8–2ridtωiq“tpx，yq|x`yě0，8–2ridtωix`yě0u。图（1）说明了这些锥的不同时间和ω的实现。我们将向量值目标函数定义为upxq“p\'e\'x，\'e\'xqt，其中x”px，xqt是我们在终端时间拥有的物理资产的数量。我们要最小化的设定值目标函数是thenF pxq“e”`e\'x，e\'xTiR`。我们假设我们的初始捐赠是p0，0qT。自筹资金投资组合的集合是“\'K\'Lppσpωq；Kq\'Lppσpω，ωq，Kq\'Lppσpω，ω，ωq，Kq，其中Ktpωq如上所示。然后我们可以将原始投资组合优化问题表述为最小化E”`E\'x，E\'xTiR`（Pex），根据定理（5.2），对偶问题是thensuptz xplpprinflppr，fqpePex，首先，我们研究集合A的性质。从[12][Cor 16.4.2]开始，也就是说，yP LqpF，Rq在A中，当yωq P Ktpωq\'对于每个t“0，…，3.我们可以显式地计算锥Ktpωq`。我们有Ktpωq“cone^conv”1˙，18-2ridtωi˙˙因此双锥Ktp^1\'1˙，^8–2ridtωi\'1˙*˙。接下来我们取这些圆锥体的交集来形成一个`pωq。对于一个固定的ω，让spωq“minj”0,1,2,3rji”1ωi。然后`Apωq`“cone^^''1˙，^'8–2spωq'1'729;。图（2）说明了ω的各种时间和实现。现在我们用它来简化对偶问题（Dex）。

目标函数为，zq“z | infxPLppF，RqzpE”pE\'x，e\'xqT‰q`ypxqdzpzq*“z | infxPLppF，RqE”ze\'x`ypxqdzpzq*图2：各种t和ω的正极锥Ktp q`“ze\'x`ze\'x`yx`yxdzpzq*利用概率空间是有限的这一事实，我们扩展了期望#z | infxPLppF，Rq"yωPOhmze\'xpωq`ze\'xpωq`ypωqxpωq`ypωqxpωqdzpzq+这一结果在xipωq变量上是可分离的。因此，“#z |"yωPOhminfxpωqPRtze\'xpωq`ypωqxpωqu`infxpωqPRze\'xpωq`ypωqxpωqdzpzq+我们可以明确地计算每一个数值。请注意，在2008年的2008年的2008年的2008年的2008年的2008年的2008年的2008年的2008年的2008年的2008年的2008年的2007年的p年的pωQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ因此目标函数变成#z |"yωpOhmypωq\'ypωq ln^ypωqzypωq\'ypωq ln^ypωqzpzq+当ypωq，ypωq，z，z‰0时。因此，当ypωq，ypωq，z，z‰0时，我们得到对偶问题的以下公式：找到#pz，zqT"yωP的上确界Ohmypωq\'ypωq ln^ypωqzypωq\'ypωqz^ypωqzz`zzp RzpωOhm当其中一个zor-zequals为0时，我们在目标中只考虑xor x，因为其他项消失了。同样，由于上一页的共轭结果，ypωq“0”的情况消除了目标中带有ypωq的表达式。ypωq“0”的情况是对称的。参考文献[1]马克·哈·戴维斯和安德鲁·诺曼《带交易成本的投资组合选择》。《运筹学数学》15.4（1990），第676-713页。[2] F.德尔班和W.沙切迈耶。套利的数学。斯普林格金融公司。施普林格柏林海德堡，2006年。

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