多级投资组合优化：二次市场的对偶结果

对于任何A，B P GpCq，AdCBd~nADB.如[4]所示，对pGpCq，Eq是一个完整的格，这意味着E在GpCq上产生一个partialorder，并且GpCq的每个子集相对于GpCq中的E都有一个上下确界。给定H‰ADGpCq，GpCq中的最佳和最高元素为infpgpcq，EqA“cl convdAPAA，supppgpcq，EqA”cAPAA.（3）为了保持直觉，回顾一下这个框架是如何与扩展实数R Y t8u的完备格以d顺序联系起来的是很有用的。扩展实数通过使用排序锥C转换成上述集值框架“R`并用pGpR、R`q、Eq中的集合Zi`R`识别每个点ZP R。此外，在集值情况下，通常框架中的`8和`8分别被H和R替换。接下来，假设X，Y是两个局部凸空间，DDY是一个具有0Pd的凸锥。设f:X~nGpCq和g:X~nGpDq是两个集值函数。我们考虑了形式MinxPxFq的优化问题以0 P gpxq为准。其中最小值是指前面讨论的集值排序。换句话说，我们想找到setinfpGpCq，Eqtfpxq | x P x，0 P gpxqu“cl convdtfpxq | x P x，0 P gpxqu。这是我们的优化问题的最小值。将最小值的概念扩展到集值情况稍微微妙一些。给定：x~nGpCq和MDx，我们用frm s“tf pxq | x P Mu表示M上f的所有值的集合。f rMs的最小元素由min f rMs定义：“tfpxq | f pxq P frMs和@fpyq P frM s与f pyqEfpxq，f pyq”fpxqu。同样，如果f pxq P Min frM s，元素x是f对M的极小值。除了极小值条件，我们还期望一个解决方案能达到一个问题的极小值。

我们说，在一个集合xDx IFinfxppxq“infxffpxq”中，受x P Xis约束的问题的最小值f pxq。根据（3）中最小值的定义，这意味着“cl convdxPXfpxq。或者，我们说集合X是问题的一个解决方案。结合这两个要求，我们得出了集合优化问题解决方案的适当概念。定义2.10。给定f:X~nGpCq，集合XDX被称为问题的一个解决方案，服从X P Xif XDMin f rXs。同样，我们称集合XDX为完整解决方案关于ifX的问题“Min f rXs.在扩展实数的典型优化框架中，整数和极小值的概念是一致的，因为对整数的搜索可以简化为单一集。在集合优化设置中，情况并非如此，这就保证了上述定义。一般来说，问题的范围是函数值并集的闭合，这是不必要的函数本身就是一个值。关于这个问题的更多细节和更深入的回顾可以在[5]中找到。接下来我们将回顾集值函数的一些重要凸解析型性质。定义2.11。一个集值函数f:X~npGpCq，Eq被称为凸函数，如果对于每个向量X，xpx和每个tpp0，1qfptx`p1`tqxqEtf pxq`p1`tqfpxq。直接证明f的凸性等价于图的凸性，其中，图f：“tpx，zq P X^Z | Z P fpxquDX^Z。我们以[5]中的以下结果结束本节，这些结果使用凸性来简化in fim和Minkowski和的计算。命题2.12。如果f:X~nPpZq是凸的，并且fpxq“cl pf pxq`Cq，那么f pxq P GpCqProof。我们想表明，对于每个X，f pxq”cl conv pfpxq`Cq，假设f是凸的和fpxq“cl pf pxq`Cq。

必须证明fpxq`C是凸的，如果fpxq是凸的，则会出现这种情况，因为两个凸集的Minkowksi和是凸的[12]。但是fpxq对于每个x是凸的，因为对于任意z，zP fpxq，tp0，1q，我们有Pxq，其中最后一个包容来自于f的凸性。命题2.13。如果f:X~nGpCq和g:X~nGpDq是凸的，那么infppCq，Dqtfpxq | X P X，0 P gpxqu“cldtfpxq | x P x，0 P gpxqu，这样凸壳可以从最小证明的定义中移除。我们想证明dtfpxq | x P x，0 P gpxq是凸的。我们首先证明tx x | 0 P gpxqu是凸的。如果0包含在两个gppxq中，那么对于任何tp p0，1q，0 P tgpxq `p1 `tqgpxq `tqgpxq `p1 `tqxqxq`p1，因此tx x 1240gpxqu是凸的。下一步，假设为，0 P gpxqu。然后是x，xsuch thatzP fpxq和zP fpxq，0 P gpxq x gpxq。因此，对于任何t P p0，1qtz\'p1'tqzP tfpxq\'p1'tqfpxqDf ptx\'p1'tqxq。我们最初的声明给出了0p gptx`p1\'tqxq，因此Ttfpxq |x px，0p gpxq是凸的，我们得到了我们的结果。3问题公式在本节中，我们明确地公式化了多期效用最大化问题。我们考虑一个函数Upxq:Rd~nrdt，它在终端时间T对代理资产x的效用进行建模。我们对U.1做出以下假设。U是一个向量值分量函数upxq“pupxq，upxq，…，udpxdqq，x“px，x，…，xdq，rdp，其中每个ui:R~nR。注意，每个ui都是实值的，而不是扩展实值的。因此，即使在负财富的情况下，U也会被定义。2.每个ui都是严格凹的、严格递增的和可区分的。3.当财富趋于一致时，边际效用趋于零，因此limxi~n8uipxiq“0.4.用户界面满足了Inada条件，因此当用户界面领域达到极限时，边际效用趋于一致。

换句话说，limxi~n''8uipxq“8。这些假设在效用最大化问题[2]的背景下是标准的。让排序锥C“Rd”。我们定义目标函数F:LppFT，Rdq~nGpCq为随机投资组合在终端时间的预期效用。F pxq“Er'Upxqs`Rd`。期望是关于概率空间p的Ohm, FT，Pq。请注意，在定义F时，我们将效用最大化问题重新定义为最小化框架。这是为了与[3]、[4]和[5]中开发的集值优化工具建立更多的一致性，这些工具将其结果投射到凸分析的传统最小化框架中。当然，我们可以考虑问题的最大化形式，而不损失任何普遍性。然后，投资组合优化问题将formminimize F PxQ置于投资组合x是初始捐赠x的自融资投资组合的最终结果的约束之下。换句话说，在集合优化中，我们有一个问题，最小化F pxq（P）服从于x P ATpxq4对偶。在这一节中，我们回顾了集合值对偶[5]中的必要结果，我们将用这些结果来证明我们的主要结果。（P） 。集值拉格朗日对偶遵循与实值情形类似的主题。给定凸函数CDZ和DDY，以及凸函数f:XDGpCqDPpZq和g:XDGpDqDppyq，我们感兴趣的是在0 P gpxq下最小化f pxq的原始问题。（体育）即。

我们搜索一个集合“pDZ”，其中p:“infpGpCq，Eqtfpxq | x p x，0 p gpxqu“cl convdtfpxq | x P x，0 P gpxqu。第一步是定义一个恢复目标的集值拉格朗日函数，在这个意义上，函数f pxq是对偶变量集上的拉格朗日的上确界。对于yP y和zP z，其中y和z分别表示y和z的拓扑对偶空间，定义集值函数SpY，zq:y PpZq，zqpy我们使用这些函数来建立拉格朗日函数。定义4.1.我们定义拉格朗日函数l:X^y^C`zt0udGpCq的问题（Pe）bylpx，y，Zqdypgpxqpy，Zqpyq“fpxq”inftSpy，Zqpyq | y gpxqu。我们可以从原始拉格朗日定理中恢复目标。[2]如果f pxq‰Z代表每个x px，则供应，ZqPYC`zt0ulpx，y，另一方面，在定理4.2的条件下，我们可以把问题（Pe）描述成一个问题（Pe）的问题（Pe）是一个问题（Pe）是一个问题（Pe）是一个infxpxsupp，z（qPY）是一个问题（Pe）是一个问题（Pe）是一个infxpx供应的问题，z（qPY）qPY（qPY）是一个CZ0 0 0 0.ZT0.Z0.Z0.Z0，y，y，y，y是目标，y，z。q。我们解决了这个双重问题。我们解决了这个双重问题。我们解决了这个双重问题。我们解决了双重问题。我们的双重问题。我们提供了双重问题，我们的双问题，我们的双问题，我们的解决了两个双问题，两个问题，两个问题，两个问题，两个问题，两个问题，两个问题，两个问题，两个问题，两个问题，两个问题，我们是，，zq:“infxPXlpx，y，zq（4）定义为setd：“suppy，zqPYC`zt0uhpy，zq。对于问题（Pe）和（de），我们有以下弱对偶结果。命题4.3。[5，Prop 6.2]弱对偶总是适用于问题（Pe）和（de）。也就是说，d“suphpy，zq | yP y，zP C`zt0u（tf pxq | x，0 P gpxqu）“p.强对偶，另一方面，需要一个约束条件。问题（Pe）有助于满足Slater条件ifDx p dom f:gpxq X int p\'Dq‰H。Slater条件对于（Pe）和（De）之间的强对偶是有效的。定理4.4。[5，定理6.1]假设p‰Z。如果f:X~nGpCq和g:X~nGpDq是凸的，那么问题（Pe）的Slater条件是有效的。”满足，则（Pe）具有强烈的二元性。

就是，最后，我们介绍了集值芬切尔共轭的概念。定义4.5。函数f:X的（负）芬切尔共轭是由f:px，z定义的函数“fpxq`Spx，zqp`xq‰。这一定义的动机以及关于集值芬奇共轭性质的更多细节可在[4]中找到。5组合优化中的对偶在本节中，我们将上一节介绍的用于集值对偶优化问题的工具应用于组合优化问题（P）。我们首先展示（P）定义明确。引理5.1。函数F:LPpFT，Rdq~nGpRd，Rd`q，F pxq“Er\'U pxqs`Rd`和g:LPpFT，Rdq~nGpLppFT，Rdq，LPpFT，Rd`qq，gpxq”x\'ATpxq是很好的定义和凸的。证明。我们从函数F开始。F清楚地映射到GpRd，Rd`q，因为pxq`Rd`“Er\'Upxqs`Rd`是一个多面体凸锥，因此是一个闭凸锥。我们声称F也是一个凸映射。更精确地说，让x，xP Rd，t p0p，1q。然后是tfxq`“t`Er\'Upxqs`R`d`p1\'tqs`R`d”E rt p\'Upxqq`p1\'tqp\'Upxqqs`R`d.通过对我们的目标函数U的假设，对于每个1didd，\'uix是凸的，因此tp\'uipxpωqqq\'p1\'tqp\'uipxpωqqq\'uiptxpωqqq\'p1Ohm. 因此，rt p\'U pxqq\'p1\'tq p\'upxqs\'R\'dDE R\'Uptx\'p1\'tqxqs\'R\'d。我们通过定义2.11得出结论，F是凸的。接下来我们考虑函数gpxq。我们需要证明，在LppFT，Rdq，cl conv px\'ATpxq\'LppFT，Rd\'qq“x\'ATpxq.观察到，\'ATpxq和LppFT，Rd\'q是凸的，所以它们的和也是[12，第3章]，左侧的凸壳可以去掉。

此外，由于KT是一个偿付能力圆锥体，圆锥体LppFT，Rd`q包含在LppFT，KTq中，因此x\'ATpxq`LppFT，Rd`q“x\'ATpxq”。因此，根据假设（2.4），x\'ATpxq在LppFT，Rdq中闭合，Ohm 是有限的，每个元素Ohm ω，…，ωNhas为正概率。然后，D维随机变量的空间可以与D^N维的欧几里德空间和内积Exx，yy相关联。注意，如果“conepξ，…，ξmq是一个由m Ft可测随机变量生成的随机凸，那么LppG，Ftq是由ξiIΓj生成的多面体凸锥，其中tΓjujPJare是Ft的原子。我们已经确定，在LppFt中，Ktq是完全生成的，因此根据Farkas-Minkowski-Weyl定理，每个都是多面体的。由于多面体锥的有限和是一个多面体锥，我们得出结论thatx\'ATpxq是一个多面体圆锥体，因此是封闭的。注意，在上一节的注释中，我们已经建立了X“LppFT，Rdq，Y”LppFT，Rdq，Z“Rd，C”Rd`，和D“LppFT，Rd`q。我们现在准备陈述我们的主要结果，这是对组合优化问题（P）的对偶问题的一种表述。然后我们检验了原对偶问题之间的关系。也就是说，我们建立了强对偶性。定理5.2.对偶问题到（P）问题是，zqP\'ATpxq\'^Rd\'zt0uhpy，zq（D），其中h:LqpFT，Rdq^Rd\'zt0u~nGpRd\'q定义为ashpy，（5）当y（P）P（ATpxq）和z的任何组成部分都是零的时候，我们可以写函数hpy，我们可以写函数hpy，我们可以写函数hpy，我们可以写函数hpy，我们可以写函数hpy，z（z）QQQQ，z（z）QQQQ，z（z）QS（QS）QS（QS）QS（QQQQQQ）QQQQQQQQQQQ（PQ）z（PQ）PQ）z（PZZQ）z（PQ）z（PQ）z）z（PZZQ）如果y（PQQQ）如果y（PQQQQQQQQ）PQ，如果y（PQ）PQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ，如果y，如果y（P（P）PQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ）下面是lemmaLemma 5.3。

问题（P）的拉格朗日函数为l:LppFT，Rdq^LqpFT，Rdq^pRd`zt0uq~nGpRd，由px定义的Rd`q，y，zq“tz P Rd | zpEr\'Upxqsq`ypxqdzpzqu，如果yP\'ATpxq`rdother.（7）证明。请注意，LppFT、Rd`q和Rd`的正对偶锥分别是LqpFT、Rd`q和Rd`q。因此，根据定义4.1，拉格朗日函数l在LppFT、Rdq^LqpFT、Rdq^pRd`zt0uq上有域。同样从定义4.1中，我们可以看到，lpx、y`pxq、pyqzpxq、pyqz`右边的并集可以明确地写为dyPx\'ATpxqtz P Rd | ypyqdzpzqu“tz P Rd | infyPx\'ATpxqypyqdzpzqq”tz P Rd | infyP ATpxqypyqdpzqupzqu。请注意，ATpxq“x”LppF KdLppFT，Kq¨LppFT，KTq是一个圆锥体中的一个圆锥体，KTq。在右边的圆锥体内是一个圆锥体[12]上的函数，可以写为pyqpyqpzqpzqpzqpzqy]q是关于ATpxq的指标函数，等于0，如果y（y）属于A和8，则等于0。因此，身份（8）变成了Px，y（8）是y（8）是y（8）属于A和其他8。因此，身份（8）是8。因此，身份（8）是8。身份（8）变成了Px，y（8）是，y（8）是，y（8）是，z（8）是，z（8）q）是q（8）是（8）是，y（8）是，y，y（8）是，y（8）是）是，y，y（8）是，y，z（8）是，z（q）q）是q）是q）是，q，q，q，q）是“q”是“q”是“q”是“q”是”的“q”是”是“q”是”是“q”是”的“q”的是”的是”的是”的是”的是“tz P路| Adzpzqu’路`“tz P Rd | adzpzqu表示Ry t `8u中的任何常数a。它遵循lpx，Y，zq”tz P Rd | |ΔP | ATpxqq`pyq`zpEr Upxqsq`Ypxqdzpzqu推导恒等式（7）。回想一下，效用函数Upxq的坐标函数uipxq是每x P Rd的实值。结合以下事实：Ohm 是有限的（因此问题公式中的预期是有限的）产生了以下命题。提议5.4。（P）的目标函数可以从拉格朗日（7）中恢复。也就是说，suppy，zqPLqpFT，Rdq^Rd`zt0ulpx，y，zq“Er\'Upxqs`Rd`:0px\'ATpxqH:otherwiseProof。这紧跟在上述注释和定理4.2的应用之后。使用引理5.3，我们完成定理5.2的证明。

根据双目标（4）hpy的定义，zq“infxPLppFT，Rdqlpx，y，zq。如果yR\'ATpxq`，这是Rd。如果yP\'ATpxq`infxPLppFT，Rdqlpx，y，zq”infxPLppFT，Rdqtz P Rd | |ΔP\'ATpxqq`py q`z每upxq`ypqq`ypzqu\'cld“cl tz | infxPLppFT，RdqzpEr`Upxqsq`ypxqdzpzqu.上述表达式中的最大值是一个凸函数和的芬切尔共轭。由于一个真凸函数的芬切尔共轭是正确的，并且是下半连续的[13，定理11.1]，因此我们可以从表达式中去掉闭包。因此，“tz | infxPLppFT，RdqzpEr `Upxqsq`ypxqdzpzquand结果已被证明。定理的最后部分，我们用凹共轭形式重新表述对偶目标，如下所示，因为infxPLppFT，RdqzpEr `upxqq`ypxq”infxPLppFT，RdqErxz，upxqys`ypxqqinfxPLppFT，rdqerz，rdquxqypxqypxqypxi“infxPLppFT，Rdq"yωPOhmPrωs"yd"yi“1\'ziuipxipωqq`yipωqxipωq,利用总和上的可分离性给出了"yωPOhmPrωsd"yi“1infxipωqPR\'ziuipxipωqq`yipωqxipωq,”E<<d"yi“1infxiPLppF，Rqyipxiqziuipxiq ff，从中可以立即得到结果。更多细节可以在下一节中找到，在下一节中，我们用一个例子问题forcontext来更慢地执行这个计算的细节。在集值芬切尔共轭的语言中，我们有以下简单的推论。推论5.5.对偶问题的目标函数是py，zq”“`Fp `y，zq，如果yp `ATpxq`RDOthers.（9）其中F是F.证明的芬切尔共轭。我们计算F.证明的芬切尔共轭。

对于每一个yP LqpFT、Rdq、zP Rd`zt0u，根据定义4.5，其如下所示：，（7）自z（10）（11）自z（10）自z（10）自z（10）自z（10）自z（10）自z（10）自z（10）自z（10）自z（10）自p）自z（10）自z（10）自）自z（10）自）自z（10）自z（10）自）自z（10）自z（10）自z）自z（10）自z）自z（10）自z）自z（10）自z（10）自z）自z（10）自该（10）自该（10）自该（10）自）自该（10）自z）自z（10）自该（10）自该（10）自该公司以来，该（10）自）自该（10）自该（10）自该（10）自）自该（10）自该（10）自）自该（10）自该（10）自该（10）自）自该（10）自该公司ypxqdzpz\'Er\'Upxqsu“cl”z | infxPLppFT，Rdqypxq\'zpEr \'Upxqsqdzpzq*“”z | infxPLppFT，Rdqypxq`zpEr\"Upxqsqdzpzq*。这与第（5）条一致。定理5.6。问题（P）和（D）之间存在着强烈的对偶性。就是，根据定理4.4和引理5.1，可以证明“在第一部分中，我们使用弱对偶。通过命题4.3，pDd，可以证明d‰Rd引理2.9给出了‘ATpxq`X int pLPpFT，Rd`q是非空的，因此每个ωp都存在着<<yp>>ATpxq`和<<ypωqi 2590Ohm, 1didd.然后提供，zqP\'ATpxq\'^zPRd\'zt0uhpy，zqDtz | infxPLppFT，RdqdpEr\'Upxqsq\'ypxqddpzqu。最后一次围堵之后是y“~y和z“d，是由所有的1组成的d维向量。因此，它必须显示infxplppft，RdqdpEr\'Upxqsq''ypxqa8，这相当于upxplppft，Rdq'ypxq'dpEr\'Upxqsqa8。请注意，这个表达式的左侧只是函数dpEr\'Upxqsq的芬切尔共轭。我们有supxplppft，Rdq'y'pxqdper\'Upxqsq“supxPLppFT，RdqErxypωq，xpωqys\'Erx，\'U pxpωqys”supxPLppFT，Rdqωn"yω“ωPrωs<<d"yi>>1yipωqxipωq\'p uipxipωqq fff“d"yi”1ωn"yωPr s<<supxipωq>>y>>ipω12）遵循rdpft的第一个等式。