多级投资组合优化：二次市场的对偶结果

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英文标题：
《Multistage Portfolio Optimization: A Duality Result in Conic Market
  Models》
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作者：
Robert Bassett and Khoa Le
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We prove a general duality result for multi-stage portfolio optimization problems in markets with proportional transaction costs. The financial market is described by Kabanov\'s model of foreign exchange markets over a finite probability space and finite-horizon discrete time steps. This framework allows us to compare vector-valued portfolios under a partial ordering, so that our model does not require liquidation into some numeraire at terminal time.   We embed the vector-valued portfolio problem into the set-optimization framework, and generate a problem dual to portfolio optimization. Using recent results in the development of set optimization, we then show that a strong duality relationship holds between the problems.
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中文摘要：
我们证明了具有比例交易成本的市场中多阶段投资组合优化问题的一般对偶结果。金融市场由卡巴诺夫的外汇市场模型在有限概率空间和有限时域离散时间步上描述。这个框架允许我们在偏序下比较向量值的投资组合，这样我们的模型就不需要在最后时刻清算成一些数字。我们将向量值投资组合问题嵌入到集合优化框架中，并生成一个与投资组合优化对偶的问题。利用集合优化发展的最新结果，我们证明了问题之间存在着强大的对偶关系。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
--> Multistage_Portfolio_Optimization:_A_Duality_Result_in_Conic_Market_Models.pdf (405.22 KB)

2022-5-10 13:51:11 上传

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关键词：投资组合优化 投资组合 Optimization proportional Quantitative

多阶段投资组合优化：ICC市场模型中的对偶结果加州大学大卫分校Lobert Bassett and Khoa L^eUniversity of Calgaryober 9，2018AbstractWe证明了具有比例交易成本的市场中多阶段投资组合优化问题的一般对偶结果。金融市场由卡巴诺夫的外汇市场模型在有限概率空间和有限水平离散时间步上描述。这个框架允许我们在偏序下比较向量值Portfolios，这样我们的模型就不需要在终端时间清算到某个数字。我们将向量值投资组合问题嵌入到集合优化框架中，并生成一个与投资组合优化对偶的问题。利用集合优化发展中的最新结果，我们证明了问题之间存在强大的对偶关系。1简介投资组合优化问题有着悠久而丰富的历史。传统上，投资组合优化是在没有交易成本的模型中进行的，如[11]所示。金融市场模型中包含比例交易成本的投资组合优化问题首次出现在Magill和Constantinides[10]的工作中。双资产模型得到了极大的改进[1][15]。自那以后，随着研究人员试图得出类似于经典案例的结果，人们更多地关注在有交易成本的市场中得出结果。在本文中，我们考虑卡巴诺夫[7]最初开发的锥形市场模型，该模型用于模拟外汇交易市场。二次曲线市场模型以实物资产的数量而不是价值来表达投资组合。这允许在不明确使用随机积分的情况下计算财富过程。

虽然这种品质可能会让投资组合优化的老手们感到惊讶，但它的简单性和直观性很吸引人。为了比较投资组合，我们将它们视为偏序下向量的资产，并调用集合优化理论来描述投资组合问题。集合优化主要是出于对非totalorder关系进行优化的愿望。向量值优化直接进入这个框架，并进行组件式比较。然而，我们更喜欢在一个集合优化框架中工作，而不是一般的向量优化，因为它的理论简洁[3]。在[4]的工作之后，我们引入了一种生成完整格的集合排序。这使我们能够定义集合的内模和上模的相应概念，这是组合优化问题计算的基本步骤。然后，我们使用[5]中的工具来公式化投资组合优化问题的集值对偶。由于我们考虑了多阶段问题，我们的结果推广了[16]中的结果。构造集值投资组合优化问题的原对偶对，揭示了传统投资组合优化理论与比例交易成本情形之间的关系。但我们也希望，这里包含的结果不仅仅是理论意义上的。最近的工作[9][6]一直在研究解决集值优化问题的计算技术。特别是，[9]使用了集优化问题的原始和对偶公式来计算解决方案。从这个意义上说，本文的结果提供了一个有价值的关系，这将有助于使投资组合优化问题更贴近实践者，以及计算技术的进步。本文的其余部分组织如下。

在第一部分中，我们介绍了我们用来描述集值投资组合优化问题的材料。这包括对二次曲线市场模型的概述，以及我们将在问题公式中使用的集合优化工具和技术的总结。下一节将明确地模拟多期效用最大化问题。在第三部分中，我们讨论了集合优化框架中的对偶性。第四部分是我们的主要结果，一个对偶问题的公式，以及一个强对偶关系成立的证明。最后一节将主要结果应用于一个效用最大化问题的例子。致谢：本论文是在作者参加2015年雪鸟数学研究社区研讨会时发表的。作者感谢Birgit Rudlo Off和Zach Feinstein对该主题的鼓励和指导。第二作者在伯克利数学科学研究所（Mathematic Sciences Research Institute in Berkeley）居住期间完成了部分论文，期间他获得了美国国家科学基金会（National Science Foundation）的资助，资助号为DMS-1440140.2 Preiminaries。1锥形市场模型在本节中，我们回顾了[7]中介绍的交易成本锥形市场模型的框架，尽管我们主要遵循[14]中的发展。考虑一个由d交易资产组成的金融市场。在经典模型中，我们假设在某个终端时间T，所有资产都被清算，即转换为一些计价单位。在某些应用中，这是不现实的。例如，拥有由美国和欧洲市场的资产组成的投资组合的代理不需要在清算到欧元或美元之间进行选择，以确定其相对价值。出于这个原因，我们通过考虑向量值投资组合，使用无数字的方法。

特别是，我们用每项资产的实物单位数量来表示投资组合，而不是这些资产相对于一个货币的价值。当清算成具有相关交易成本的计价单位时，这种方法尤其有趣。在这种情况下，转换为单一货币是不可逆的，不同的计价方式可能会导致不同的投资组合相对价值。我们考虑一个交易成本与交易单位数量成正比的市场。为了对这些成本进行建模，我们引入了买卖矩阵的概念。定义2.1。一个买卖矩阵是一个d^d矩阵∏，其条目πij满足1。πija0，对于1di，jdd2。πⅡ“1，对于1didd.3.πijdπikπkj，对于idi，j，kdd.市场交易条件由买卖矩阵给出，即entryπij给出了可交换为一个单位资产j的资产i的单位数。因此，tπji，πiju对表示资产i中资产j的买入价和卖出价。对第一和第二支柱的财务解释买卖矩阵的有效性是向前的，第三个条件是确保代理人不能通过一系列交易获得比直接交易更好的交易率。接下来，我们考虑偿付能力和可用投资组合的概念。回想一下，考虑到setCDRd，由C生成的凸锥是setconepCq“tn"yi”“1λiyi:yiP C，λiě0，1didn，n P Nu.定义2.2.对于给定的买卖矩阵∏，偿付能力锥Kp∏q是由单位向量ei和πijei′ej，1di，jdd生成的凸锥。向量值投资组合中的偿付能力头寸是可以交易到零投资组合的头寸。向量πijei′ej由资产i中的πijlong头寸和一个短期资产j组成，是有偿付能力的，因为∏给出的贸易条件允许交换∏ijeit到ej。

因此，πijei′eje的任何非负线性组合也是溶剂。我们还允许代理人放弃资产的非负数量，以便交易到零投资组合，这就需要在偿付能力锥定义中包括EIVector。根据∏所规定的交易条件，从零投资组合中可以获得的投资组合是什么？与偿付能力锥的定义类似，它由向量ej′πijei组成，对应于以∏给出的汇率进行的交易。在允许代理人放弃资源的交易中，我们看到价格为零的可用投资组合集是锥Kp∏q。给定锥KDRd，我们用K表示K的正极锥，即。，K`“tw P Rd:xv，wyě0表示v P Kp∏qu.回想一下，K的内部是设定的K”tw:xw，xya0，@x P K，x‰0u.定义2.3.如果w在Kp∏q的正极锥中，则非零元素w P rdi是买卖矩阵∏的一致价格体系，因此w P K`P∏q“tw P Rd:xv，wyě0表示v P Kp∏qu。一个买卖矩阵的所有一致价格系统的集合就是K`P∏qzt0u。一致价格系统的概念有一个重要的财务解释。价格系统w给出了每个资产i的非负价格wi。一致定价系统定义的一种解释是，如果我们定义了一些计价资产i，那么w满足假设资产j的无摩擦汇率wjwi小于πij。允许任意选择基准i和资产j，这相当于1di，jddu的w P Rd`zt0u:wjwjěπij。我们可以很容易地证明，这个集合实际上等于K`p∏qzt0u，即与∏有关的所有价格系统的集合。固定过滤概率空间pOhm, pFqTt“0，Pq，我们通过p∏tqTt”0对金融市场进行建模，并在一组买卖矩阵中取值。

这样一个过程将被称为“招投标”过程。我们做出以下简化假设。假设2.4。POhm, pFqTt“0，Pq满足度oF”tH，Ohm你是微不足道的该模型为离散时间模型，概率空间为t“0，…，totOhm 是有限的，有|Ohm| “No每个元素Ohm 具有非零概率，即Prωns“pna0，其中Ohm “tω，ω，…，ωNuand n”1，…，n.假设Ohm 有限意味着我们可以用Rd^和内积Exx，yy识别所有d维随机变量的空间，其中x和y是随机向量。因此，不同的拓扑结构Ohm, F、 Pq，LpOhm, F、 Pq，LpOhm, F、 所有Rd值随机变量X集合上的Pq等：Ohm 它们是同构的。我们将此拓扑简单地称为LppOhm, F、 Pq对于一些p1，8q，为了弄清楚什么时候我们指的是双空间LqpOhm, F、 Pq其中P`q“1.为了便于记法，我们将表示这些空间LppF；Rdq和LqpF；Rdq.为了记法，我们将用xipωq表示ωP的向量x P Rd^nb的分量Ohm, 1didN.再次利用Ohm, 我们知道，LppFt中的任何锥，由一组有限的随机向量TxUmi“1生成的Rdq，都是由Rd^N中的txiΓjujPJis生成的，其中tΓjujPJis是Ft的原子集。设p∏tqTt“0是一个买卖过程。这会生成一个锥值过程pktqttt”0，其中每一个都是一个相关的偿付能力锥。我们用LppFt，Ktq表示settX p LppFt；Rdq:Xtpωqp Ktp qtωquOhm.我们现在可以定义自我融资投资组合的概念。定义2.5。如果增量ξtpωq:“θtpωq\'θt\'1pωq属于以零价格提供的投资组合的锥θKtpωq，对于所有时间t“0，…，t，我们也按惯例将θ1”0放入，则Rd值适应过程θ“pθtqTt”0称为自融资投资组合过程。

，T，我们用LppFt中的凸锥表示；由随机变量θt形成的Rdq，其中，“pθiqTi”0贯穿于自融资投资组合过程。我们通常认为初始投资组合是确定性的。然后，at可以被解释为初始捐赠0 p Rd在时间T可用的头寸集。更准确地说，如果wedenote byP LppF，Rdq是假定值1的常数随机变量，我们得到以下结果：命题2.6。对于每个T“1，…，T，At”\'\'K\'LppF；Kq'¨¨LppFt；Ktq.证明。假设x P At.那么x是随机变量x“n"yj”1λjθjt的凸组合，其中对于每个j，PθjiqTi“0是一个自我融资的投资组合，λjě0。我们重写x asx“n"yj”1λj''''jt'jt'jt'jt'1'''jt'jt''''''1'jt''''''''其中，p977j“0是一个自融资组合，扩展了这个和“1λjpθjiθjiθiq PθKp∏iq，因为Kp∏iq是一个圆锥体，每个j的iqθjiθjiθ1PθKp∏iq。我们已经建立了atDK'LppF；Kq'¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨LppFt；Ktq。反向包含后面是一个对称参数，并且被省略。同样，如果一个初始赋Rd开始“x`AT.明确地说，我们有atpxq”x`K`LppF；Kq'¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨LppFT；kt我们将假设我们的市场模型满足无套利属性。在经典金融市场模型中，无套利与等价鞅测度的存在密切相关。圆锥市场模型中相应的概念是一致的定价过程。定义2.7。

如果Z是鞅且Ztpωq位于每个0，…，T的Ktpωq`zt0u中，则一个改进的Rd`-值过程pZtqTt“0被称为买卖过程p∏tqTt”的一致定价过程。由于Kabanovand Stricker[8]，下面对资产定价基本定理的扩展建立了无套利和一致定价过程之间的联系。定理2.8Ohm 晚安。当且仅当p∏TQT存在一致的定价系统Z“PZTQT”时，买卖过程p∏TQT“0满足无套利条件“0.这个定理是证明我们主要对偶结果Theorem5.2的一个基本组成部分。我们将以以下Lemma 2.9的形式利用这个结果。买卖过程满足无套利条件，当且仅当ifp`a`Tqcint pLqpFT，Rd`qq‰H.证明。对于正向，假设买卖过程满足无套利条件。然后，假设“t0u.自从Ohm 是有限的，ATis是有限生成的闭凸锥之和，因此它是有限生成的凸锥，因此是闭的。设C:“conv ptepωqi，1didd，ωPOhmuq，其中每个tepωqi是Rd^N中的单位向量。因为C是ppft，Rd`q中有限点集的凸包，所以它是紧的。显然是0Rc。根据分离定理（在一个集合是封闭的，另一个是紧致的情况下），有一个非零的z RNP严格地分离C和。也就是说，supxPATxz，xyainfyPCxz，yy。C是紧凑的，因此不等式右侧的表达式是有限的。由于ATis是一个圆锥体，不等式的左侧必须为零，因此zp\'a`T。此外，对于每个y P C，xz，yya0，因此对于所有y P C，xz，λyya0和λ‰0。由于C生成lppftq，我们得到了xz，λyya0，对于所有的y P LppFT，Rd`q和y‰0。

下面是z P int `pLppFT，Rd`qq`“int`LqpFT，Rd`q。对于相反的方向，假设P`ATq X int pLqpFT，Rd`qq‰H。然后有一个z，这样xz，xyd0代表X P Ata和xz，yya0代表y P Kzt0u。这显然意味着Ata和Kzt0u是不相交的。2.2集优化在这一节中，我们回顾了集值优化的组成部分，这将是引入投资组合优化问题所必需的详细阐述了集值优化框架和相应的对偶理论，见[3,4,5]。我们首先为集合构造一个合适的“顺序”概念。设Z是一个非平凡实线性空间。给定一个0 Pc的凸锥CLZ，我们有一个Z的预序，用dC表示，它被定义为ZdCzd~nZèzP Cf或任何Z，zP Z。以下两个表达式等价于ZdCz，ZdCzdZdzP ZdzP Z`CdzP Z`C。最后两个表达式可用于将dcf从Z扩展到PpZq，即Z的幂集。给定a，B ppq，我们定义了两个可能的扩展。AdCBd~nBDA`CA"uCBd~nADB`C.我们用`表示集合的Minkowski加法，根据集合约定，A`H“H`A”hf表示所有P PpZq。在下文中，我们将专门讨论适用于集值极小化的关系式dC。我们包含的每一个结果都有一个对应于最大化上下文中的"ucin的结果，我们省略了该结果。有关更多详细信息，请参见[3]此外，我们假设Z具有Hausdor ff局部凸拓扑。我们考虑空间GpZ，Cq“tADZ:A”cl conv pA`cqu这里cl conv是凸包的闭包。我们将GpZ，Cq缩写为GpCq，从上下文中可以清楚地看到。我们定义了一个关联和可交换的二元运算：GpCq^GpCqDGpCq通过A\'B“cl pA`bq观察到，在GpCq中，关系是包含的。