消费群体内不等式的定量化不变特征

基本目标是说明两个观察结果，即：。，大部分分布服从对数正态分布，存在帕累托尾。为了简化表达式，有几个假设是必要的。时间是离散的，一直持续到最后。e、 T=1，2。。有几个朝代在生产和消费。有点滥用符号，我们也将使用相同的N来表示代理集，在没有出现混淆的情况下。在目前的情况下，每个朝代都可以被视为一个观察单位。我们不试图为他们的消费决策提供任何微观基础，并根据[15]和[25]中最近介绍的方法构建我们的模型。他们考虑了大量企业之间的互联所产生的企业增长过程。动力学性质是从所提出的一组互连中发展出来的。在这种情况下，我们遵循类似的路线，并假设单位水平的消费支出增长率（单位可以是个人、家庭或住户，具体取决于具体情况）允许不同消费态度的代理人之间存在相互联系。同时，我们保持模型的通用性，以纳入长期增长等可能影响不平等（正面或负面）的聚合效应。

因此，消费支出增长率是当前支出水平、家庭特定因素和宏观经济状况的函数。特别是，我们提出了在任何一般时间点t^xi（t）的第i个单位支出增长率的以下行为形式=xi（t）xi（t）- 1） ，=λi（t）（xi（t）- 1） αi（t）+ηi（t）。mi（t）+r（t）bi（t）（PNjwj（t））+χi（t）xi（t）- 1)- 1（11）式中，αiis试剂特异性休克，ηi（t）。mi（t）是所有可能影响消费支出水平的单位特定行为因素（如宗教、性别、地理位置等）的总贡献，χj（t）是一个具有均值u和方差σ的噪声项。中间的术语需要详细说明。我们假设消费支出受到商业周期频率的影响。我们对参与同一过程的代理人的偏好不可知，并引入了一个参数bi（t）来捕捉对第i王朝的影响。回报率由r（t）给出，总财富（资本）由wj（t）dj给出。有一些关于消费增长率的研究。特别是，[19]提供了一个框架来研究以下形式的消费支出增长率：^xi（t）=χi（t）xi（t）- 1). （12） 应用程序内。VI B我们提供了产生这种增长率的基本框架。然而，实证研究否定了这种模型。[24]提供了证据，证明在使用美国数据进行测试时，该理论被拒绝。[20] 表明差异可能来自时间聚集偏差（见lso[28]）。在另一个单独的研究领域中，用类似的功能形式描述了生物生长产物。特别是，[15]开始描述一种颗粒经济，其中每个企业的增长率为^xi（t）=χi（t）（13），这是已知的对数正态分布（见下文）。

这种规范被称为吉布拉特定律（[17]）。然而，经验估计表明，这样的增长方程是不正确的（[18]，[12]，[7]）。[25]扩展这个简单的公式，将增长率之间的关系结合起来，如下所示，^xi（t）=f（{^xj（t）}j，Wi，j∈N（t），χ（t））（14）式中f（.）捕捉尺寸x和尺寸W之间增长率的线性演化，捕捉相互作用矩阵。我们结合上述机制提出了方程。11.假设生产函数由以下简单等式（t）=s（t）K（t）（15）给出，该等式表示产出是资本（K）和生产率冲击s的线性函数。人们可以将劳动纳入其中。但为了简单起见，我们忽略了房屋所有者（或个人）提供劳动力的非弹性。竞争市场中的直接支付耗尽了总产出。注意到财富充当资本，我们看到在没有工资收入的情况下，收入由Y（t）=r（t）Rwj（t）dj给出。请注意，这也通过资本市场在代理之间引入了耦合。这是唯一的直接相互作用的代理。这种因素对动态过程的影响会导致一个总体冲击（速率或收益率r是总体冲击s的函数）。[32]中也可以看到这种将多个代理的动态过程联系起来的方法，尽管广义Lotka-Volterra模型中的链接是为了缩放（而不是为了表示任何Aggre门冲击）。我们可以将收入分解为趋势成分（YT（t））和暂时成分（YC（t））之和：Y（t）=YT（t）+YC（t）。（16） 过渡成分抓住了纯粹的易弯曲部分。注意，通过构造（YC（t））=0。

（17） 由于我们已经证明，一旦数据与家庭特定的微观经济因素进行标准化，支出分布就会保持不变性，因此我们在建模核心不平等过程时忽略了它们的共同贡献。此外，趋势部分也可以忽略，因为它会导致长期不平等。通过考虑以上所有因素，我们得出以下等式，^xi（t）=λi（t）（xi（t- 1） ）αi（t）+bi（t）YC（t）+χi（t）xi（t）- 1)- 1（18）因此，我们可以使用增长率的定义，将上述方程改写为xi（t）=λi（t）（xi（t- 1） 1+αi（t）+bi（t）YC（t）+χi（t）。（19） 商业周期因素导致了机制的扭曲。没有人认为这是所有代理人的共同因素。因此，如果在一个持续的时期（几个季度），经济要么受到非常高的冲击，要么受到非常低的冲击，那么再增长率就会受到影响，加剧不平等。另一方面，当经济回到“零冲击”状态时，增长率就会降低，从而减少不平等。商业周期可以被视为一种外生因素，通常它会影响不平等，反之则不太可能。因此，由于商业周期的不平等性可能会消长（[21]）。Eqn。19构成了后续分析的基础。下面我们展示了上述动态方程的已知极限解。案例一：对于等式n.19中的所有t，假设暂时性成分和代理人对支出的特殊冲击等于e qualto零，即YC（t）=0，αI（t）=0和λI（t）=1。然后方程归结为以下形式log（xi（t））=log（xi（t- 1） ）+χi（t）。（20） 已知这种随机漫步对数产生对数正态分布，f（x，t）=x（t）p2πσ（t+1）exp-（对数x（t）- （t+1）u）2σ（t+1）. （21）由于明确的时间依赖性，该过程不存在稳态分布。

随着时间的推移，标准偏差以√t+1（参见示例[9]）。案例二。假设瞬变分量和噪声项为零，且特质项m在[αmin，αmax]上有分布，其中0<1+α<1表示所有α∈ [αmin，αmax]所有的力矩都存在。然后wehavelog（xi（t））=（1+αi（t））log（xi（t- 1） ）+logλi（t）。（22）通过递归地对其进行运算并使用滞后算子L，我们可以将其重写为xi（t）=exp（[1+（1+αi）L+（1+αi）L+…]）。λi（t））。（23）为了说明的简单性，我们假设αi（t）=αi，可以在不改变基本结果的情况下放松。因此，括号内的项成为n个有限系列噪声项的总和，其标准偏差在极限范围内变为零。因此，该过程达到对数正态分布描述的稳态。这一过程由卡莱基在1945年制定并提出，作为收入演变的模型（详情见[9]）。案例三：考虑Eqn。特殊项分布在[αmin，αmax]上，其中E（α）=0和∑α→ 0.我们做了两个额外的假设，（a）E（logλi（t））<0和（b）ηt=bi（t）YC（t）+χi（t），分布在R+上。[34]表明，在这种假设下，稳态分布是幂律的。这种动力学称为Kesten过程x（t）=λ（t）x（t）- 1） +ξ（t），（24），已知其在极限（[26]）内产生幂律。[13] 利用这种机制在城市规模分布中产生一种力量。参见[33]了解tex tbook的处理方法。A.代理的异质性我们引入了代理之间沿一维的异质性，即。，乘法因子的上限（λmax）。让我们假设在不损失推广的情况下，0<λi，max≤ λj，对于所有i≤ j存在一个1<k<N的试剂，其λk，max=0。对于所有特工来说，-1<αmin≤ αmax≤ 0.实际上有两种类型的药剂。

试剂总数的分数f为0<λi，所有i的最大值均<1∈ NF是所有这些元素的集合。支出的演变由等式给出。19，我们可以重写为log（xi（t））=（1+αi（t））log（xi（t- 1） ）+λi（t）（25）忽略噪声因素和商业周期变化。因此，我们回到案例二。第二种类型由λi，max>1描述，条件是E（log（λi）<0），如案例III所述。为了获得关于为什么这个过程会收敛到幂律的直觉，假设E（α）→ 0和σα→ 我们假设bi（t）是高度顺周期的，即e（bi.YC）>0。第一个假设允许我们维持K esten过程的精确参数要求。即使变量通过αi受到连续的不良冲击，消费份额的周期性也会有效地降低支出的门槛。因此，这成为一个反映性的障碍，我们可以应用文献中设计的方法来确定稳态分布。[14] 提供了一个非常简单的证明，证明该机制生成幂律。假设存在贯穿商业周期效应的较低（反映性）边界，我们知道变量永远不会小于该边界。因此，我们考虑了另一个极端，并研究了当变量远离边界时的右尾，使得加法器相对不重要。假设乘法因子λiis按f（λ）分布。然后我们可以写出支出变量X的演化方程。（Xi（t）<x）=P rob。Xi（t）<xλi（t）（26）图6：模拟结果。面板（a）：我们绘制了在γ范围内乘法冲击λ（具有不同平均值）的3个蒙特卡罗实现的曲线E（λγ）。在与水平线相交的点上，可以从方程n中找到幂律指数γ的理论预测。28

面板（b）：在（α，E（λ））参数空间上模拟的估计帕累托指数u。色条显示了γ的大小，其截止值为2.5，这表明印度消费分布的经验估算效率。让左手边表示为Mt（e），我们有一个递归方程Mt+1（x）=ZR+Mtxλf（λ）dλ。（27）诀窍是应用这样的标准：当系统收敛时，方程将与时间无关，并且一个人可以猜测和验证函数形式。特别是，[14]表明∞（十）∝ 1/Xγ解方程，该条件减少了toE（λγ）=1。（28）也可以使用[34]开发的技术来展示。Eqn。28描述了乘法因子的分布和分布指数之间的关系。在图6中，我们给出了帕累托指数在更一般的上下文中演化的数值模拟结果（等式19）。Eqn。28只给出了一个极限（α）的解→ 0). 左面板显示了下列等式的指数测定。限制在28。我们使用蒙特卡罗模拟法在一般情况下找到帕累托指数ntγ。右面板显示了参数平面上（α，E（λ））对的估计指数。为了模拟的目的，α被认为是常数。对于α和E（λ）的每一个组合，我们都模拟了Eqn。19和估计指数。为了得到稳定的数值，在O（10）个实现上对估计的指数进行平均。surfa c e表示不同的α和e（λ）对的指数。集合分布的形状我们在上面的模型中描述过，基本上有两种类型的主体。第一类g生成一个正态体积，而第二类g生成尾部的幂律分布。

这里我们想证明，对于ag-grega-te分布，尾部确实是由幂律描述的。为此，我们使用两个变量之和的结果（参见[14]进行综述），其分布符合幂律，指数可能不同。让变量为vand v.我们假设xi~ C.x-（1+γi）i（29），γ6=γ。然后这两个变量（x=x+x）之和将被分配为x~\'C.x-（1+min（γ，γ））。（30）直觉很简单：较胖的尾巴主导分布。请注意，对数正态分布的尾部可以用高指数幂律很好地近似。因此，总分布的尾部可以建模为两个指数不同的幂律之和。由于近似于正态分布的分布的指数通常相当大，所以另一个分布占主导地位（见等式30）。五、讨论与总结在本文中，我们描述了跨时间和跨国家的消费不平等的两个显著特征。第一，如果使用适当的比例因子对消费数据进行规范化，那么所有数据都会在单个聚合分布上崩溃。第二，与收入和财富相比，该分布具有对数正态分布和高指数极限处的幂律。最后，我们提供了一个随机模型来计算基本的分布特征。在目前的工作中，我们区分了长期和短期的不平等。我们专门关注后者，以研究不平等的横截面特性。在整个分析过程中，我们考虑了名义数据。这有两个原因。第一，可用的数据不是最基本的。第二，在我们的cros截面分析中，我们根据比例因子对数据进行标准化。只要在区域内，价格水平的分散程度不是很高，这样的标准化就可以考虑价格因素。

所有后续分析，包括跨时间和跨国家比较，均基于各自比例因子的归一化。因此，由于基因ral价格水平在区域之间或每个iods的时间之间的变化，这种比较不存在偏差。按照我们描述消费增长过程的方式，我们可以提出一些额外的含义。首先，幂律是由于商业周期的影响而产生的，这意味着横截面的不均匀性可能会受到商业周期频率的影响。[21]文件表明，在美国，平均财富与宏观经济波动呈负相关。人们可以说，平均财富的变化也伴随着购买力的再分配，从而导致不平等，从而证实了这一影响。[35]指出宏观经济基本面波动与不平等之间存在关系。其次，在生成机制方面，我们的方法与[6]所用的方法类似，该方法也在世代重叠的框架下对收入进行幂律评分。然而，他们为消费储蓄决策提供了一个微观基础框架，尽管其基本机制类似。早期的实证研究表明，商业周期的波动性与该国的总收入呈负相关（[8]）。根据上述模型，这种联系将有助于降低消费波动。在一个完全特定的效用最大化框架中，这意味着更高的福利。最后，所有其他非经济因素都会影响支出分布的平均值。由此推论，核心不平等过程的蔓延与社会、政治和地理因素无关。[2] [3]也通过考虑美国。

特定社会群体和特定条件（如种族或教育）因素的数据。这是对我们的方法的补充，在我们的方法中，我们只关注发行版的核心特征。六、 附录在本节中，我们提供了额外的图表和表格。本文还对消费中的随机游走模型进行了简单推导。A.数据汇总在图7中，我们展示了三波数据收集（200405、2009-10和2011-12）中印度所有州的可用横断面数据。在正文中，我们分析了2011-12年的数据。[10]给出了2009-10年数据集的一些补充结果。图7显示了消费密度的总体变化，显示了通货膨胀和消费力的上升。无花果