论保险风险的大数定律

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英文标题：
《On a law of large numbers for insurance risks》
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作者：
Yumiharu Nakano
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  This note presents a kind of the strong law of large numbers for an insurance risk caused by a single catastrophic event rather than by an accumulation of independent and identically distributed risks. We derive this result by a large diversification effect resulting from optimal allocation of the risk to many reinsurers or investors.
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中文摘要：
本注释提供了一种强大的大数定律，适用于由单个灾难性事件而不是由独立且分布相同的风险累积引起的保险风险。我们通过将风险最优分配给许多再保险人或投资者而产生的巨大多元化效应得出了这一结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> On_a_law_of_large_numbers_for_insurance_risks.pdf (38.02 KB)

2022-5-10 14:52:19 上传

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关键词：大数定律 Catastrophic Quantitative Applications accumulation

关于保险风险的大数定律中野秀春*创新管理研究生院东京理工学院2-12-1 W9-117 Ookayama 152-8552，东京，日本2016年1月14日摘要本说明提供了一种强大的大数定律，适用于由单一灾难性事件而不是由独立且相同分布的风险累积引起的保险风险。我们通过将风险最优分配给许多再保险人或投资者而产生的巨大分散效应得出了这一结果。关键词：大数定律，风险分担，优化设计。众所周知，预期价值溢价原则是由大股东法调整的。也就是说，如果一家保险公司有一系列风险，。。。，它是独立同分布的，然后根据概率论中的强大数定律，我们得到了limn→∞nn∑i=1Wi=E[W]，概率为1。因此，平均风险大约等于个人风险预期给出的资本。这意味着，一般来说，通过收集独立风险和增加预期价值溢价，我们最终可以将风险的不确定性降至零。本说明的目的是询问风险由单一灾难性事件而不是大量独立事件的累积引起的情况。当然，在这种情况下，我们不能应用概率论中的强大数定律。相反，我们通过考虑将单一风险分散给大量再保险人或投资者来解决这个问题。为了从数学上描述这个问题，假设一家初始资本为Wha的保险公司是一个损失为随机变量X的风险。这里我们假设X是有界的。然后，公司在终端时间的最终位置变为w- 十、

此外，假设该公司希望将该风险部分分散给另外n个再保险人或投资者，每个再保险人或投资者都有一个初始资本wi，i=1，。。。，n、 作为再保险或证券化。让我们用*这项研究得到了JSPS KAKENHI授权号26800079的部分支持。X发起人承担的风险，以及分配给第i个再保险人或投资者的风险，i=1，n、 如果由此产生的预期效用大于或等于初始资本的效用，每个参与者都愿意接受这种风险。因此，分配问题被定义为最大E[u（w- 十） ，s.t.E[ui（wi）- Xi）]≥ ui（wi），i=1，。。。，n、 （1）在所有有界随机变量上，X+···+Xn=X。在这里，Ude注意到被保险人的效用函数，以及第i个再保险人之一，i=1，。。。，n、 注意，为了使问题（1）可行，分配的随机变量Xi，i=1，n、 必须采用负值，其中包括交易对参与者的好处。问题（1）被归类为保险单的优化设计，或者更一般地被归类为风险分担问题。参见Borch[1]、[2]、Raviv[7]、Br–uhlmann[3]、Gerber[5]及其参考文献。值得注意的是，据我们所知，文献中没有研究关于代理人数量的极限分析，但福田等人[4]研究了一些动态保险定价。让我们用^Xi表示≡^X（n）i，i=0,1，n、 （1）的解。然后我们将宣称^X（n）收敛到E[X]为n→ ∞ 概率一。

这意味着发起者的最佳风险覆盖率约为风险预期，因此，如果风险被出售给大量投资者，则预期价值溢价原则是合理的。为了解决（1），我们首先假设每个玩家都有一个指数效用函数：ui（x）=ai（1）- E-aix），x∈ R、 i=0，。。。，n、 当ai>0时，i=0，n、 然后，对于给定的λi>0，i=1，。。。，n、 我们考虑（2）maxn∑i=0λiE[ui（wi- Xi）]，在所有有界随机变量Xi上，i=0，。。。，这样X=X+··+Xn，这里我们设置λ=1。假设{Xi}ni=0是问题（2）的解，对于某些{λi}ni=1，例如（3）E[ui（wi-^Xi）=ui（wi），i=1，。。。，n、 那么对于{Xi}X=∑ni=0xi和（1）中的约束，我们有[u（w- 十） ]≤ E[u（w）- 十） ]+n∑i=1λi（E[ui（wi- Xi）]- ui（wi）]）=n∑i=0λiE[ui（wi- Xi）]-N∑i=1λiui（wi）≤N∑i=0λiE[ui（wi-^Xi）]-N∑i=1λiui（wi）=E[u（w）-^X）]。因此{Xi}ni=0是（1）的解。因此，我们的任务是为任何{λ}ni=1求解（2），然后选择{λ}ni=1来满足（3）。现在，根据Borch的风险交换定理（参见Gerber和Pafumi[6]中类似于我们的注释的综述），最优{^Xi}ni=0存在，并且必然满足λiu′i（wi-^Xi）=λju′j（wj）-^Xj），i，j=0,1，。。。，n、 几乎可以肯定。因此，随机变量∧=λie-aiwieai^xido不依赖于i=0，n、 so（4）^Xi=ai（log∧- 对数λi）+wi，i=0，。。。，n、 将i的两边相加，然后使用X=∑我们有x=alog∧-N∑i=1logλiai+w，其中a由1/a定义=∑ni=0（1/ai）和w=∑ni=0wi。由此可知，log∧=a（X- w） +an∑i=1logλiai。将其代入（4），我们得到^Xi=aai（X）- w）-对数λiai+wi+aain∑j=1logλjaj，i=0，。。。，n、 现在考虑任意n的a=·····=An和w=·····=Wn的情况。然后我们可以期望^X=·····=^Xnand，所以假设λ=····=λn是自然的。

在这种情况下，上面的等式变成^X=aa（X- w） +w+naaalogλ，（5）^X=aa（X- w） +w-对数λa+naalogλ。（6） 此外，条件（3）暗示ai（1）- E-ai（wi）-^Xi）=ai（1）- E-aiwi），i=1，。。。，n、 通过（6）我们得到了E[ea^X]=E[E-aX]e-aw+awλ-(1-不适用）。所以，对于i=1，（3）等于（7）-1.-naa对数λ+logE[e-[斧头]- aw+aw=0。这个等式决定了我们寻找的λ。（6） （7）产率^X=aa（X- w） +w+a哦-1.-naa对数λ=aa（X）- w） +a-对数E[eaX]+aw=aaX-芦荟[eaX]。此外，^X=aa（X- w） +w-naaa1-naalogE[eaX]- 啊.这里，a/（na）=（na+a）/（na）。因此，1- na/a=a/（na+a）。从这里我们可以看到-naa=naaa1+naa=naa·a=a-a、 因此，（5）和（7）产量^X=aaX+A.-A.logE[eaX]-awa+w-纳瓦+nw=aaX+A.-A.logE[eaX]。现在，自从→ 0作为n→ ∞ 安德林→0slogE[esX]=E[X]，我们最终得出以下结果：定理。在上述假设和符号下，最佳分散风险^X≡^X（n）和^X≡^X（n）满意→∞^X（n）=E[X]，limn→∞^X（n）=0，几乎可以肯定。该定理意味着，在假设每个代理人都具有指数效用，且多元化的投资者是同质的情况下，通过分散多个再保险人或投资者的风险，并增加预期价值保费，我们最终可以将风险的不确定性降至零。此外，多元化的参与者在有限的时间内没有任何损失。参考文献[1]K.博尔奇。再保险保费的安全负担。斯坎迪纳维斯克-阿库亚里蒂茨克裂谷，43:163–184，1960年。[2] K.博奇。再保险市场的均衡。《计量经济学》，1962年30:424-444。[3] H.B–乌尔曼。风险理论中的数学方法。柏林斯普林格，1970年。[4] 福田康夫、井上春树和中野英彦。动态风险分散和保险费原则。2009年[5]H.U.Gerber。数学风险理论导论。S.S.Huebner保险教育基金会，费城，1979年。[6] H.U.Gerber和G.Pafumi。

效用函数：从风险理论到金融。上午好。精算师。J.，2:74-1001998。[7] A.拉维夫。最优保险单的设计。艾默尔。经济部。牧师。，69:84–96, 1979.