运输突变分析作为分形的替代方法

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英文标题：
《Transport catastrophe analysis as an alternative to a fractal
  description: theory and application to financial crisis time series》
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作者：
Sergey A. Kamenshchikov
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  The goal of this investigation was to overcome limitations of a persistency analysis, introduced by Benoit Mandelbrot for fractal Brownian processes: nondifferentiability, Brownian nature of process and a linear memory measure. We have extended a sense of a Hurst factor by consideration of a phase diffusion power law. It was shown that pre-catastrophic stabilization as an indicator of bifurcation leads to a new minimum of momentary phase diffusion, while bifurcation causes an increase of the momentary transport. Basic conclusions of a diffusive analysis have been compared to the Lyapunov stability model. An extended Reynolds parameter has been introduces as an indicator of phase transition. A combination of diffusive and Reynolds analysis has been applied for a description of a time series of Dow Jones Industrial weekly prices for a world financial crisis of 2007-2009. Diffusive and Reynolds parameters shown an extreme values in October 2008 when a mortgage crisis was fixed. A combined R/D description allowed distinguishing of short-memory and long memory shifts of a market evolution. It was stated that a systematic large scale failure of a financial system has begun in October 2008 and started fading in February 2009.
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中文摘要：
本研究的目的是克服Benoit Mandelbrot为分形布朗过程引入的持久性分析的局限性：不可微性、过程的布朗性质和线性记忆度量。通过考虑相扩散幂律，我们扩展了赫斯特因子的意义。结果表明，作为分岔指标的灾前稳定会导致瞬时相扩散出现一个新的最小值，而分岔会导致瞬时输运的增加。将扩散分析的基本结论与李雅普诺夫稳定性模型进行了比较。引入了一个扩展的雷诺参数作为相变的指标。结合扩散分析和雷诺分析，对2007-2009年世界金融危机期间道琼斯工业周价格的时间序列进行了描述。扩散参数和雷诺参数在2008年10月抵押贷款危机修复时显示出极值。结合R/D描述，可以区分市场演变的短期记忆和长期记忆变化。据称，一个金融体系的系统性大规模失败始于2008年10月，并于2009年2月开始消退。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Transport_catastrophe_analysis_as_an_alternative_to_a_fractal_description:_theor.pdf (1.71 MB)

2022-5-6 06:25:49 上传

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关键词：Applications Quantitative Econophysics Catastrophic Description

作为单分形描述替代方案的运输灾难分析：金融时间序列的理论和应用研究a.卡门什奇科夫*莫斯科国立M.V.洛蒙诺索夫大学，俄罗斯联邦物理学院，莫斯科，列宁斯基-戈里，莫斯科，119991IFC市场公司，分析部门，英国伦敦，EC1V圣约翰街145-157号4 Y相应电子邮件：kamphys@gmail.com__________________________________________________________________AbstractThe本研究的目的是克服Benoit Mandelbrot为单分形布朗过程引入的持久性分析的局限性：不可微性、过程的布朗性和线性记忆度量。通过考虑相扩散幂律，我们扩展了赫斯特因子的意义。结果表明，作为分岔指标的灾前稳定化导致瞬时相扩散出现新的最小值，而分岔导致瞬时输运增加。扩散分析的效率已通过实验与雷诺稳定性模型的应用进行了比较。引入了一个扩展的雷诺参数作为相变的指标。扩散分析和雷诺分析相结合，用于描述2007-2009年世界金融危机期间道琼斯工业周价格的时间序列。2008年10月，当抵押贷款危机得到解决时，扩散和雷诺参数显示出一个极值。结合R/D描述，可以区分市场演化的短记忆和长记忆变化。

据称，一个金融体系的系统性大规模失败已于2008年10月开始，并于2009年2月开始消退。关键词：扩散分析，分形布朗过程，分岔，突变理论，世界金融危机，时间序列_________________________________________________________________1简介1955年，美国研究员哈斯勒·惠特尼创立了现代突变理论的数学基础——映射奇点理论[1]。它包括对概率类的研究，这些类用于将一个二维曲面映射到另一个二维曲面。惠特尼发现了两种稳定的映射类型——在表面或其投影发生可忽略的变形后未被破坏的类型。例如，Whitney的追随者已经将这些类型的映射推广到了维数高达10的任意流形[2]。其中之一导致了系统特征状态的离散变化——“尖点”灾难。它在图1中表示为一维情况。在C-附近的不稳定区域，多重性或不确定性最大。根据[1]的说法，这是一场混乱表现为稳定和不稳定状态的融合，以卵形为特征。根据无分支理论，这种一维演化对应于Apase空间中的鞍结融合。另一种失稳类型是自振荡失稳，由H.Poincare（1879）在他的论文中提出。1939年，A.安德罗诺夫和E.莱昂托维钦证明了这一点*作者声明，发表本文不存在利益冲突。图1。

惠特尼“尖峰”的出现根据安德罗诺夫-列昂托维奇定理[3]一个新的有限循环在一个相空间中的诞生是通过一个稳定的平衡区的转变来实现的，即系统应该在新的分岔发生之前回到稳定状态。一个新的周期的诞生之前，是一个先前的准稳定政权的蜕变和死亡。M.M.Dubovikov和N.V.Starchenko在[4]中也注意到了“风暴前平静”或分岔前小尺度振荡抑制效应。他们利用赫斯特单分形稳定性参数研究了金融时间序列的行为。AnatolyNeishtadt已经证明，对于所有已知的分析非线性系统[5]，由于控制参数的绝热变化，动态分岔存在延迟。这意味着惯性特性会阻碍新的同步——系统需要时间进行重组，就像在磁畴伊辛模型中出现的那样。延迟取决于团簇相互作用和外部“场”的强度，即宏观尺度的影响。[6]根据湍流的雷诺参数，提出了宏观控制参数的合理选择：（）（）（TQTFTR（1） （tR是基本相位参数，t   是一组微观控制参数的参数向量。数量q+和q对应于每个系统单元的功率输入和输出。Ingiven描述分岔对应于平衡态的转变1R:1）（1）（1）(trtTqtrTqtr                    (2)1)()()(1)()()(1)(trtTqtrTqtr                 （3） 这里和显示相应参数forttt的有限增减 .

新旋回的出现和宏观激发之间的延迟是由系统域的惯性性质定义的。一个新的分支必须通过一个平衡准稳定态1R.2作为稳定性及其限制指标的单分形分析严格定义一组控制参数和全局励磁平衡的能力要求研究人员寻找系统稳定性的统计度量。Benoit Mandelbrot提出的经典方法之一是单分形分析。根据曼德布罗特和他的革命著作[7]，尺度不变性是分形的必要属性。然而，我们应该注意到，混沌自然系统具有尺度特征极限。例如，湍流具有内部微观尺度（由惯性粘性力定义）和外部宏观尺度（由外部流体动力影响定义）。Mandelbrot将这类系统称为准分形，因为它们只有在给定的尺度范围内才有令人满意的分形描述.  分形描述在时间序列中的应用（itf意味着在多个时间分辨率t的情况下调查统计特性.Mandelbrotis引入的经典单分形描述框架中的单一特征是赫斯特因子。它是通过分数布朗运动（FBM）的关系来诱导的[7]。FBM引入的一个想法是无法解释某些自然系统（例如金融市场）中的正态分布偏差。帕累托-列维分布被认为是这种异常行为的特例。让我们考虑一个标准布朗运动（SBM）时间序列（tB），它满足正态分布。

然后，FBM增量可以用以下方式表示：   )（）2/1（）（）2/1（）（）（2/12/1tHtHHHsdBtsHГsdBtsHГtBtB（4）给定的增量通过SBM的分形导数表示，并带有一个因子香港 5.0 , 10  H该系数定义了与标准马尔可夫布朗运动（5.0）的偏差H）。FBH允许获得具有“厚尾”的异常分布，以及对飞行的灵活解释。根据[8]，FBM偏差的预期是自仿射的：HHTVTBTBE）（）                                            （5a）    2/12/1）2/1（HdsssHГVHHH（5b）这意味着偏差的可能幅度取决于时间刻度和赫斯特系数系统的内存。如果5.0然后关系式（5a）对应于爱因斯坦的布朗行走定律：TVTBTBE5.0）（（6）如果5.0H我们实现了一种反常的运输，包括5.0年的征费航班和“厚尾”分配H尽管这种方法很有魅力，但它也有一些局限性，如下所述。a） FBM是通过加权平均布朗运动实现的。根据B.Mandelbrot[7]的原著，“指数H的FBM是（tdB）的移动平均值，其中（tB）的过去增量由核加权2/1Hst”。权重是根据当前时刻和之前状态之间的时间距离定义的jts .  历史影响的强度由记忆系数10决定 H然而，FBM算子假定SBM核用于加权平均。

这意味着FBM被认为是标准布朗过程的动态移动加权积分。如果我们校准FBM，使0）(t然后，绝对值可以用以下方式表示： tHHsdBtsHΓtB）2/1（）（2/1（7）如果我们只考虑在可忽略的时间范围内的运动（），tdst那么这个关系可以简化为：dBHΓdsdssbdhΓtdbhh)2/1（）。这样一来，FBM就消除了马尔可夫过程的局限性，对于小的时间偏差，它应该得到满足。b） FBM的增量具有无限精确能量。正如Mandelbrot[7]所述，FBM的一阶分形导数及其能量在10范围内发散 H为了克服这一障碍，他引入了一种平滑竞争策略，其中包括一系列平滑被人为定义为： )（），（\'stdsBtBHH（9） ,0,)(  tt 0,0（tttt，0）(然而，这并不是引入“物理”导数（我们也可以使用加权导数）的唯一步骤，这就是为什么动态描述的普遍性丢失的原因；c） 赫斯特系数表示记忆的线性度量，不适用于非线性情况。这句话需要澄清一下。根据[7]，一阶导数的线性自相关函数可以用以下方式表示：      2/1212,,),(hhhhh vttbtbeС（10）它是赫斯特因子的二次函数，同样取决于人工平滑参数. 5.0例H和5.0H分别对应于持续性和反持续性趋势[4,8]。如果是马尔可夫SBM 5.0H和0），（HС。

对于马尔可夫过程，概率联系由Chapman-Kolmogorov方程表示，该方程通常不是线性的：）、（）、（）、（txtxwtxwdxtxw）（11） 事实上，作为记忆度量的赫斯特因子可用于描述与函数（tBH）有关的线性趋势, 但根据标准的FBM模型，它通常不能用于第1节中考虑的灾前稳定的指示。d） 赫斯特因子是一个单一的宏观分形特征。这意味着非均匀相区的详细结构应使用附加参数进行研究。如果自仿射性质取决于时空尺度，那么其他模型可以用于更微妙的描述——例如多重分形去趋势波动分析[9]。上述限制可以通过引入扩展的Hurstan分析来部分克服。3 Hurst参数的扩展解释在本节中，我们将考虑一种扩散方法来描述灾前稳定效应（PS效应），如第1节所述。

该描述假设引入第二个传输因子，用于标准福克-普朗克方程（12）。该方程是在查普曼-科尔莫戈罗夫方程（11）的基础上推导出来的，因此适用于马尔可夫过程：xtxpxdtxp），（）（1），（minlim）（txtxxDt）（12） 这里，双括号表示初始坐标的平均值：），（）（），（xdxtxxWxxtxb（13） 文献[9]表明，相混合系统有一个具有明确时间依赖性的第二传输因子，通过特征向量的比能来表示：），（），（），（），（），（min00minMintXtdxTxxWttxD）（14） min），（），（lim）(ttxxttxxtxt（15）让我们引入一个可变的时间延迟 下面是运输因子的幂回归，表示为动态扩散：TtDTtD )（），（（16）那么随机位移的预期可以用以下方式表示：)()()(TTDTXTXE（17）将这种关系与方程式（5a）进行比较，可以通过不稳定性系数来表示赫斯特系数:H与FBM程序不同，我们没有对amicro标度概率分布函数进行任何假设。这就是为什么广义赫斯特参数在这个模型的框架中没有任何初步的限制H.它也不会产生人工能量散度，可以直接应用于自然系统，而无需平滑。然而，扩展的赫斯特分析仍然存在马尔可夫过程的局限性（13）。临界值为5。0CRH对应于常数扩散情况0并且有大量的扩散膨胀系数5.0H和扩散收缩5.0无特征区域的H。

因此，广义赫斯特因子是吸引子稳定性的度量。我们可以在扩散尺度的基础上引入一种潜在的吸引力：HDTtDx)（（18）那么扩散加速度可以用以下方式表示：xvthhtdfh21）（（19）此处Effv是给定相空间的有效体积吸引势。关于时间序列分析，它描述了所考虑的时间序列的波动性：effhvdxthtd21.（（20）它是多方面内部相互作用的一个整体特征。根据关系式（20），即使是5.0的“持续”情况，系统也可能会失去记忆H广义赫斯特因子的意义可以通过光谱描述来阐明。如果输入特征频率ft/1,  然后，根据关系式（18），可以表示动态扩散光谱的以下公式： 我们可以注意到，CRHH的情况 对应于大规模运输，而ifcrHH amicro规模的能量吸收更强烈。当出现相干运动和共振时，基本吸收带从微尺度范围移动到宏观尺度范围对应于灾难性行为。应该注意的是，在非均匀相位区域的一般情况下这一因素又可能取决于频率。然后可以引入扩散定律的另一种非线性形式。然而，关系式（21）仍然可以用作描述宏观扩散性质的初始方法。4扩散分析和R-分叉在第一节中，我们将灾前稳定效应（PS-效应）视为分叉的第一必要条件。