单阈值和双阈值的显式决策时刻

然而，作为kx的行为→ -kzis更有趣，也更微妙，尤其是当kzalso变小的时候。为了研究这个双重极限，我们首先设定kx=βkz，其中β∈ (-1，1），并展开kz的泰勒级数中的双曲函数 1（例如[1，等式（4.5.65-66]）以获得Cv+=(β+ 2β + 5)(3 -2β - β） kz+O（kz）1/2(3 - 2β -β） kz+O（kz）=2（β+2β+5）+O（kz）5（3- 2β -β） +O（kz）1/2. （34）它紧随其后+→s2（β+2β+5）5（3- β- 2β）作为kz→ 0+. （35）在这些显著的极限中，CV+可以接近范围内的任何值（p2/5，∞). 对于β=0（kx=0），起点是无偏的（或a=0），我们得到了极限CV+=p2/3，对于无条件CV；参见Eqn。（15） 见下文第5.1条。对于β→ 1.-起点位于正确的阈值上，CV+如上所述发散。这种限制行为的各个方面如下图4所示。4.3条件三阶矩和决策时间的偏度以正确决策为条件的DT的第三中心矩是K+（α）的三阶导数，在α=0时计算。通过将第三个中心矩除以标准偏差的立方得到DT的偏度。因此，DT的第三中心矩isSkew+Var+=Var+×偏度[τ| x（τ）=z]=ddαK+（α）α=0=12σzacsch2azσ+16zacoth2azσcsch2azσ+6σzacoth2azσ-3σ（z+x）acscha（z+x）σ-2（z+x）acotha（z+x）σcscha（z+x）σ-3σ（z+x）acotha（z+x）σ=σa12kzcsch（2kz）+16kzcoth（2kz）csch（2kz）+6kzcoth（2kz）- 3（kz+kx）csch（kz+kx）-2（kz+kx）coth（kz+kx）csch（kz+kx）- 3（kz+kx）科思（kz+kx）. （36）通过除以Eqn，得到了Skew+的表达式。（36）通过等式n的3/2幂。(31). 在有限的范围内→ 0+Eqn。（36）变斜+Var+=1024z- 16（z+x）945σ和偏斜+=r“8（64z- （z+x）21（16z- （z+x）#。（37）与CV+类似，Skew+随着kx发散→ kz。对于kx=βkzandβ∈ (-1，1），歪斜+→√(β+ 3)(β+ 4β + 7)(β+ 2β + 5)3/2(3 - 2β -β） 1/2，作为kz→ 0+.

（38）在这些显著的极限中，Skew+可以接近范围（4）中的任何值√10/7, ∞).无花果。在a=0.2、σ=0.1和x=-0.01. 选择这些参数值作为人类数据（例如[26]）的代表，并说明函数的一般形式。这种情况下的漂移值可能在-0.4到0.4之间（例如[22]）。除其他外，还可参见[3,2,5,8]，了解类似的参数值范围。方程n的蒙特卡罗模拟结果。（1） 使用步长为10的Euler Maruyama方法[16]-图中还显示了4个示例，以供比较。注意，即使有10000条样本路径，第三矩和偏度的数值估计也没有很好地收敛。5 CV的行为首先考虑无偏起点x=kx=0的无条件CV，我们可以证明以下结果。提议5.1。CVs的行为决定了DDM的决策时间。kx=0的双阈值DDM的CV，等式n。（14） ，以单阈值DDM的CV为界，即Eqn。（4） ：qkz（1）- E-4kz- 4kze-2kz）1- E-2kzdef=F（kz）<rkz。

（39）阈值z0。02 0.04 0.06 0.08 0.1E[DT]00.10.20.30.40.50.60.7（a）预期的DTZ0阈值。02 0.04 0.06 0.08 0.1E[DT]+00.10.20.30.40.50.60.7（b）预期DT取决于正确的决策阈值z0。02 0.04 0.06 0.08 0.1E[DT]-00.10.20.30.40.50.60.7（c）预期DT以错误阈值z0为条件。02 0.04 0.06 0.08 0.1Var00。050.10.15（d）DTZ0阈值的差异。02 0.04 0.06 0.08 0.1Var+00.050.10.15（e）以正确决策为条件的DT方差阈值z0。02 0.04 0.06 0.08 0.1Var-00.050.10.15（f）以误差阈值z0为条件的DT方差。02 0.04 0.06 0.08 0.1CV0。511.5（g）DTZ0的CV。02 0.04 0.06 0.08 0.1CV+0.511.5（h）根据校正决策阈值z0调节的DT CV。02 0.04 0.06 0.08 0.1CV-0.511.5（i）以误差为条件的DT CV图1：a=0.2、σ=0.1和x=-0.01，表示对阈值z的依赖性。实心曲线表示§3和§4中给出的函数；虚线段连接由10000个方程式的蒙特卡罗模拟得到的点值。(1). 注意面板h中明显的非单调性。此外，F（0）=p2/3和F（kz）随着kz的增加单调衰减。关于上述命题的证明，参见附录D。图3通过在0范围内绘制两个CV函数来说明该命题≤ kz≤ 10.对于等式的一般CV表达式，似乎很难证明类似于命题5.1的结果。（10） （31）由于其复杂性。

然而，无条件的和有条件的Threshold z0。02 0.04 0.06 0.08 0.1Skew×Var3/200.010.020.030.040.050.060.07（a）DTZ0的第三中心力矩阈值。02 0.04 0.06 0.08 0.1Skew+×Var3/2+00.010.020.030.040.050.060.07（b）以正确决策阈值z0为条件的DT第三中心力矩。02 0.04 0.06 0.08 0.1倾斜-×Var3/2-00.010.020.030.040.050.060.07（c）基于错误判定的DT第三中心力矩阈值z0。02 0.04 0.06 0.08 0.1Skew11。522.533.5（d）DTZ0的偏斜度。02 0.04 0.06 0.08 0.1Skew+11.522.533.5（e）DT的偏度条件正确决策阈值z0。02 0.04 0.06 0.08 0.1倾斜-11.522.533.5（f）以错误决策为条件的DT偏度图2：a=0.2、σ=0.1和x=-0.01，显示对阈值z的依赖性。实心曲线表示§3和§4中导出的函数；虚线段连接通过10000 Monte Carlo模拟Eqn获得的点值。(1).kz0 2 4 6 8 10CV00。20.40.60.81图3：单阈值DDM（虚线）和双阈值DDM以及kx=0（实线）的KZ函数变化系数。1.5.5.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 0 0 0 0 0 0 1.5 5 2.5 2.2（b）无条件的cvv v v.kzz=0.4kz=0.4kz=0.4kz=0.4kz=0.4.4（b）无条件的cvv v v v.kkzzzzzzzz=0.4kz=0.4kz=0.4kz=0.4kz=0.4kz=0.4kz=0.4kz=0.4kz=0.4kz=0.4kz=0=0.4kz=0=0.4kz=0.4kz=0=0.4kz=0.4kz=0=0.4kz=0.4kz=0=0.4kz=0.4kz=0=0.4kz X=1kx=1.5kx=-0.01kx=-0.5kx=-1kx=-1.5kz0 0.5 1 1.5 2CV+012345（d）CV取决于正确的决策，而kzkz=0.4kz=0.8kz=1.2kz=1.6kz=2kx-2-1.5-1-0.50 0.51 2CV-012345（e）条件误差对kxkx=-0.01kx=0.01kx=0.5kx=-0.5kx=-1.5kx=1.5kx=1kx=-1kz0 0.5 1 1.5 2CV-012345（f）CV以错误和。

kz图4：几个kz（左列）和几个kx（右列）的决策时间变化系数分别为kx=ax/σ和kz=az/σ。非条件CV显示在顶行，条件CV显示在中间行和底行。观察kx7的对称性→ -KX与后者有关，如§4开头所述。图4所示的作为归一化阈值和起点kz=az/σ和kx=ax/σ函数的CV说明了它们在（kz，kx）-平面上的行为。这里，如命题5.1和等式所示。（34-35），对于kx=0，条件和非条件CV都会从下方收敛到顶部2/3，即kz→ 0+（见右栏）。然而，kx6=0时，行为有显著差异。具体而言，如§3中的等式所示。（25-26），无条件CV以kx的形式发散→ ±kz（见左栏）。对称起始点±kx的CV长不同曲线为| kx |→ kz；然而，这些曲线在kz时彼此收敛→ 0+（参见左栏）。同样，以正确的反应和错误为条件的CV会随着kx而发散→ kzandkx→ -KZR分别是。有趣的是，以正确响应和错误为条件的CV会收敛到小于kx时p2/3的有限极限→ -kz<0和kx→ kz>0。在图4（d）中，如§4所示，CV+收敛到前2/5为kx→ -克赞德·克兹→ 0+. 有趣的是，这种收敛不是单调的。图4底部的四个面板显示了力矩的对称性，这些力矩取决于kx7的正确响应和误差→ -kx，注于§4开头。与命题5.1所示的kx=0的情况不同，对于kz，CV是单调的，条件CV不是z或kzin-general的单调函数。一些非单调性的例子出现在图中。

1（h）、4（d）和4（f）以上。6通过描述Ratcliff[20]引入的扩展DDM的一些结果，特别是拉拔漂移率和Eqn起点的影响，扩展DDMWe端的力矩行为。（1） 从高斯分布和均匀分布N（a，σa）和U（x-分别为sx，x+sx），其中x±sx∈ [-z、 z]和标准偏差σa和范围sx表征漂移率和起点的试验间可变性。对于这个扩展模型，关于力矩的完整分析结果尚不清楚，因此我们进行了数值研究。特别是，我们研究了当分布N和U的方差/范围从零增加时，与上述分析结果的偏差。我们还考虑了非决策时间的影响。6.1分析和半分析表达式我们首先讨论如何利用纯DDM的决策时间和错误率矩表达式来高效计算扩展DDM的类似显式表达式。为清楚起见，我们用给定漂移率a和起始点xbyτ（a，x）表示纯DDM的判定时间，用ER（a，x）表示错误率。以下扩展DDM的表达式如图5所示。扩展DDM的错误率是纯DDM的错误率在漂移率和起始点分布上的预期值：ER=EA前任呃（A，X）, （40）式中，EY[·]表示通过随机变量Y的分布计算的期望值。对随机起始点Xin（40）的期望可以明确地计算为X[ER（a，X）]=e-2Kx英寸（2kδ）- E-2kze2kz- E-2kz，（41），其中kδ=aδ/σ和sinch（·）：=sinh（·）/（·）。注意，这个表达式简化为Eqn。（6） 对于δ=0，使用sinch（0）=1。决策时间的非中心矩可以类似地计算。

特别是，如果n（a，x）是纯DDM决策时间的非中心n阶矩，则扩展DDM的非中心n阶矩为‘Tn=EA前任总氮（A，X）. （42）使用等式n获得的非中心力矩。（42）可与eqn一起使用。（10） 以及（21）计算扩展DDM的决策时间的方差和偏度。Eqn。（42）适用于Bothun条件矩和条件矩。关于扩展DDM的错误率和预期判断时间的上述表达式，请参见[4，附录，第761–763页]。对于无条件矩，Xin（42）上的期望值可以在前两个矩的封闭式中计算，可以写成X[T（a，X）]=σakzcoth（2kz）- kze-2Kx英寸（2kδ）csch（2kz）- kx; （43）EX[T（a，X）]=σakz+4kzcsch（2kz）+kzcoth（2kz）- 4kze-2Kx英寸（2kδ）立方厘米（2kz）立方厘米（2kz）- kze-2Kx英寸（2kδ）csch（2kz）- kx+kx+kδ- 2KZKcoth（2kz）- 2kzkxe-2kxsinch（2kδ）+sinch（2kδ）- cosh（2kd）2kxcsch（2kz）. （44）等式中的预期值。（42）涉及高斯分布上的积分，这些积分在闭合形式下是不可处理的，可以很容易地用数值计算，例如，使用辛普森规则。图5示出了如上所述计算的扩展DDM的无条件矩的行为。在起始点引入可变性会导致错误率增加、预期决策时间减少、CV增加以及偏度与CV比率降低。漂移率的可变性也会导致错误率的增加、预期判断时间的减少和CV的增加，但偏度与CV的比率会增加（比较底部面板）。有趣的是，对于漂移率变异性的高值，CV是kz的单调递增函数，与§5中讨论的纯DDM的CV行为相反。

当初始条件和漂移率变化都存在时，漂移率变化的影响似乎占主导地位。6.2非决定时间的影响在回到延长的DDM之前，我们研究了反应时间的非决定部分，即感觉运动潜伏期对其CV和偏度的作用。回想一下RT=DT+Tnd，其中Tnd是非决策时间。我们定义了以下系数来描述DT和Tnd的依赖关系：ρ=E[（DT- E[DT]）（Tnd- E[Tnd]）]pVar[DT]Var[Tnd]，（45）ρ=E[（DT- E[DT]）（Tnd- E[Tnd]）]pVar[DT]E[（Tnd]- E[Tnd]），（46）ρ=E[（DT- E[DT]）（Tnd- E[Tnd]）]pE[（DT- E[DT]）Var[Tnd]。（47）00.20.20.20.40.40.60.60.8（8）b）ERkz0.5 1 1.1 1.1 1 1.5 1.5 200.20.20.40.40.60.8.8.8 c）0.20.20.40.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.60.8.8（c）c）0.5 1 1 1.1 1 1 1 1.1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.5 1 1 1.5 1.5 1.5 1 1.5 1 1.5 1.5 1.5.5 20.5 20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.40.40.40.40.40.40.40.40.40.0.20.40.60.8 c）00.20.40.60.8 a）00.10.200.20.40.60.8 b）E[DT]kz0 0.5 1 1.5 200.20.40.60.8c） 20.20.20.40.60.8.8.8.8（b）b）b）E[DT[kz0 0.5 1 1 1.1 1 1.1 1 1.5 1.5 200.20.20.40.60.8 8 c）c）0.6.10.10.10.20.20.20.20.20.20.10.10.60.8.8.8 c）c）0.1 1 1 1 1.1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.5 1 1 1 1 1 1.5 1.5.5.5 1.5.5.5.5 20.5 20.5 20.5 20.5 20.5 20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20.20 5.1 1.5 20123 c）0123 a）00.10.20123 b）倾斜/CVkz0 0.5 1 1.5 20123 c）0123 a）00.10.20123b） 斜交/CVkz0 0.5 1 1.5 20123 c）图5：扩展DDM的力矩特性。在所有面板中，a=0.2，σ=0.1。每个面板中的三个子面板对应于x=-z/2、0和z/2，分别从上到下。左面板对应于σa=0和绿色实线，带有点、红色虚线和黑色实线曲线tosx=0,0.45 min{z-x、 x+z}和0.9 min{z-x、 分别是x+z}。

中间面板分别对应于sx=0和带点的绿色实线、红色虚线和黑色实线，分别对应于σa=0、0.1和0.2。右侧面板类似于中间面板，对应于tosx=0.45 min{z-x、 x+z}。注意，ρ是DT和Tnd之间的标准相关系数，ρ，ρ可以解释为高阶相关系数。如果DT和Tndare是独立的，那么所有这些相关系数都为零。在这种情况下，根据RT的定义，即E[RT]=E[DT]+E[Tnd]Var[RT]=Var[DT]+Var[Tnd]+2ρpVar[DT]Var[Tnd]E[（RT]）- E[RT]）]=Skew[DT]Var[DT]3/2+Skew[Tnd]Var[Tnd]3/2+3ρpKur[Tnd]Var[DT]Var[Tnd]+3ρpKur[DT]Var[Tnd]Var[DT]，其中Kur[·]是峰度。通过引入相关系数的条件等价物（45-47），可以类似地定义条件平均决策时间和方差。然而，为了解释的含蓄性，在下面我们假设非决策时间和决策时间是独立的；因此，上述相关系数为零。CV和Skewrt的公式紧随上述表达式。为了在下文中使用，我们假设Tnd与平均值E[Tnd]和范围st.6.3试验间变量的影响一致分布。为了提供更完整的情况，我们对扩展模型和pureDD模型进行了模拟。为了获得以下模拟结果，我们使用基于图形处理单元（GPU）的DDM模拟RTdist包[31]来模拟跨越合理参数值范围的参数空间的一大个子集。我们在特斯拉NVIDIA GPU上大约5.5小时内模拟了1518750个参数组合，时间步长为1毫秒，最大RT为5秒，每个参数组合模拟了10次试验。在图6中，噪声水平固定在σ=0.1，我们分别在[0.1,1.0]和[0.05,0.3]范围内改变平均漂移a和阈值z。无花果

6显示了准确度、平均RT、CV、偏度与CV比（SCV）以及5秒内未能通过阈值的试验百分比。（后一个数量很小，但低漂移和高阈值除外，后者上升到15。）-20%.) 请注意，图6的左栏显示了Tnd=0的纯DDM的结果，因此提供了与其他情况进行比较的标准。更多模拟结果见附录E。如图6所示，对RT分布的高阶矩影响最大的是非分辨潜伏期Tnd的变化。具体而言，请注意RTSA TND的CV急剧下降，从0秒增加到0.28秒，偏度与CV比率相应增加（红色箭头，第3行）。图7使用extendedDDM的行为合理值最清楚地显示了这种现象。当从RTs中减去正确的预期非决策延迟0.45秒时，CV（中间图）接近SP2/3≈ 漂移接近0时为0.8165。因此，研究人员可以通过逐步从RT中减去，直到CV从下方接近SP2/3（参见命题5.1和图3），在行为不偏向任何一种选择时，估计Tndat的低准确度水平。相比之下，随着漂移的增加，SCV比率大幅增加，因此精确度也随之增加（图6，红色箭头，第4行）。因此，研究人员可以通过从RT中减去假定的非决定时间来估计Tndat的高漂移水平，直到SCV比率降至3。我们认为峰度是第四中心矩与方差平方的比值。