单阈值和双阈值的显式决策时刻

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英文标题：
《Explicit moments of decision times for single- and double-threshold
  drift-diffusion processes》
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作者：
Vaibhav Srivastava and Philip Holmes and Patrick Simen
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We derive expressions for the first three moments of the decision time (DT) distribution produced via first threshold crossings by sample paths of a drift-diffusion equation. The \"pure\" and \"extended\" diffusion processes are widely used to model two-alternative forced choice decisions, and, while simple formulae for accuracy, mean DT and coefficient of variation are readily available, third and higher moments and conditioned moments are not generally available. We provide explicit formulae for these, describe their behaviors as drift rates and starting points approach interesting limits, and, with the support of numerical simulations, discuss how trial-to-trial variability of drift rates, starting points, and non-decision times affect these behaviors in the extended diffusion model. Both unconditioned moments and those conditioned on correct and erroneous responses are treated. We argue that the results will assist in exploring mechanisms of evidence accumulation and in fitting parameters to experimental data.
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中文摘要：
我们推导了漂移扩散方程的样本路径通过第一阈值交叉产生的决策时间（DT）分布的前三个矩的表达式。“纯”扩散过程和“扩展”扩散过程被广泛用于模拟两种替代的强迫选择决策，虽然精度、平均DT和变异系数的简单公式很容易获得，但三阶矩和更高阶矩以及条件矩通常不可用。我们提供了明确的公式，描述了它们在漂移率和起始点接近有趣极限时的行为，并在数值模拟的支持下，讨论了漂移率、起始点和非决定时间的试验间变化如何影响扩展扩散模型中的这些行为。无论是无条件的时刻，还是以正确和错误的反应为条件的时刻，都会得到处理。我们认为，这些结果将有助于探索证据积累的机制，并将参数与实验数据进行拟合。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Biology        数量生物学
二级分类：Neurons and Cognition        神经元与认知
分类描述：Synapse, cortex, neuronal dynamics, neural network, sensorimotor control, behavior, attention
突触，皮层，神经元动力学，神经网络，感觉运动控制，行为，注意
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Explicit_moments_of_decision_times_for_single-_and_double-threshold_drift-diffus.pdf (5.17 MB)

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关键词：决策时刻 Mathematical Quantitative distribution Differential

单阈值和双阈值漂移扩散过程的明确决策时刻SV。Srivastava，P.Holmes1,2和P.Simende机械和航空航天工程系，应用和计算数学项目和普林斯顿神经科学研究所普林斯顿大学，新泽西州08544。俄亥俄州奥伯林学院神经科学系，邮编44704。2018年9月19日摘要我们推导了通过漂移扩散方程样本路径的第一阈值交叉产生的决策时间（DT）分布的前三个矩的表达式。“纯”和“扩展”的差异过程被广泛用于模拟两种替代的强迫选择决策，虽然精度、平均DT和变异系数的简单公式是现成的，但三阶矩和更高阶矩以及条件矩通常不可用。我们提供了明确的公式，将其行为描述为漂移率和起始点，探索有趣的极限，并在数值模拟的支持下，讨论漂移率、起始点和非决策时间的三次试验变异性如何影响扩展扩散模型中的这些行为。无论是无条件的时刻，还是以正确和错误的反应为条件的时刻，都会得到处理。我们认为，研究结果将有助于探索证据积累的机制，并将参数与实验数据相匹配。关键词：决策时间、扩散模型、条件和非条件时刻分类：决策理论运行标题：扩散过程的显式时刻1简介本文推导了随机微分方程（SDE）dx=a dt+σdW，x（0）=x，（1）对两个交替强迫选择任务中证据流之间差异x（t）的累积进行建模。

这种感知决策任务的一个例子是，参与者确定屏幕上的图像是否有更多的白色或黑色像素（例如，[23]），其中速率a和标准偏差σ是常数，dW表示独立的随机（维纳）增量，dx是时间间隔（t，t+dt）内的明显变化。决策时间（DTs）由通过上下阈值x=+z和-z分别对应于正确的回答和错误，假设起点在这两者之间。因此，在不丧失一般性的情况下，我们可以将a设置为>0，尽管我们也将考虑限制a→ 0.通过在DTs中加入非决策潜伏期Tnd，可以预测与行为数据进行比较的反应时间（RTs），以说明感觉和运动过程。SDE就像Eqn。（1） 分别称为扩散或漂移扩散模型（DDM）；在[4]式中。（1） 将其命名为纯DDM，以区别于Ratcliff的扩展差异模型[20]，后者降低了漂移率和起点x的试验间变异性。有关差异模型的背景，请参见[20,24,4]，并注意，在参数化DDM时使用了几种不同的变量命名约定，例如[20,24,32]v和s替换a和σ，阈值设置为x=0，x=a，x为∈ [0，a]；在[4]中，a和σ被命名为a和c。以下许多结果出现在随机过程文献中，或隐含在其中，有些结果出现在心理学文献中（例如[20,32,13]）。然而，它们对关键参数的依赖性，如阈值和起点，以及在低漂移率和高漂移率极限下的行为，尚未得到充分的探索（参见[32]中的一些情况）→ 0). 我们也不知道三阶矩的显式推导。

在这里，我们提供了这些，也证明了一个命题，该命题描述了由Eqn预测的DTs的变异系数（CV）的结构。（1） ，将其与单个阈值DDM的CV相关联。我们在表1中总结了决策时间的表达式。这些表达式的MatLab和R代码可从以下网址获得：https://github.com/PrincetonUniversity/higher_moments_ddm.最后，我们考虑了[20]中介绍的扩展DDM，展示了漂移率和起始点的试验间可变性如何影响纯DDM的结果，并检查了非决策延迟对响应时间的影响。符号和单位我们首先回顾定义和尺寸单位，并建立符号。对于随机变量ξ，我们用E[ξn]定义第n个非中心矩，用E[（ξ）定义第n个中心矩-E[ξ][n]。第一个中心矩为零，第二个中心矩为方差。ξ的变异系数（CV）定义为标准偏差与ξ平均值的比率，即CV=pE[（ξ- E[ξ]]/E[ξ]。类似地，ξ的偏度定义为第三个中心动量与ξ的标准偏差立方之比：偏度=E[（ξ- E[ξ]]E[（ξ）- E[ξ]]3/2。等式n中的变量x（t）和阈值±z。（1） 是无量纲的，而参数a和σ有量纲[时间]-1和[时间]-分别地当提供数值例子时，我们将以秒为单位。对于a>0，我们定义标准化阈值kzan和起点kx:kz=azσ≥ 0和kx=axσ∈ (-kz，kz）；（2） 这些无量纲参数将允许我们给出相对紧凑的表达式。2.单阈值DDMEqn。（1） 对于单个上阈值，z>0必然只在决策任务中产生正确的响应，但它很有趣，因为当精度达到上限时，它提供了两个阈值DDM的简单近似值，并且通过下阈值产生的错误很少。

具体而言，对于a>0，该模型的DTs（起点X）由Wald（逆高斯）分布[6，等式（2.0.2）]，[33，18]描述。p（t）=z- xσr2πtexp-（z）- 十、- at）2σt（3） 平均DT、其方差和CV为：E[DT]=σa（kz- kx），Var[DT]=σa（kz- kx）和CV=pVar[DT]E[DT]=√kz- kx，（4）且偏度为√kz- kx（=3 CV）。（5） 在极限a→ 0+，分布（3）收敛于L’evy分布，在这个极限下不存在任何矩。然而，如下所示，双阈值DDM的力矩存在于该极限内。单阈值过程被提议作为间隔计时的模型[25,19,2,28]。时间间隔是指在与环境中的某个事件相关的特定时间做出响应或判断的能力，或者只是估计事件间持续时间的能力。分类任务包括“生产性”任务，如固定间隔（FI）任务，其中参与者在收到最后一次奖励[9]后的一段时间延迟后产生的任何反应获得奖励，以及歧视任务，比较两种不同的刺激持续时间，看哪一种更长（早期人类计时研究的历史回顾见[7]和[29]）。生产任务可以类似于决策任务，通过差异模型进行建模：时间差异模型不是积累关于知觉选择的证据，而是向响应阈值积累稳定的“时钟信号”[7,12,17,29]。由此产生的产生时间，相对于刺激开始，可与知觉决策响应时间相比较，通常产生一个略微正偏的高斯密度[11]。Simen等人。

[27]表明，当起始点设置为0，漂移设置为持续时间内的阈值（a=z/t，t=targetduration），标准化阈值kzare设置为高值，通常为20阶时，单阈值DDM可以从各种间隔计时实验中输入数据（见[25]）。相反，在典型的两选择决策数据中，KZI通常要低得多，通常为1阶。在文献[30]中，噪声σ通常固定在0.1，而设定的阈值通常在0到0之间。05至0.15；参见例[3,5,8,22]。尽管存在这种差异，但DDM可以适用于人类的两个选择决策RTs和定时生产RTs，具有适当更大的定时阈值[28]，这表明这两项任务可以通过类似的累积过程完成。3双阈值DDM：无条件决策时刻我们现在转向双阈值DDM，并推导出无条件决策时刻。双阈值DDM的T分布可以表示为收敛序列[20，附录]，无条件DT的连续矩（即正确响应和误差的平均值）可以通过求解一系列线性有序微分方程（ODE）的边值问题来获得。这些方程（ODE）是从向后的福克-普朗克或科尔莫戈罗夫方程[10，第5章]推导而来的。3.1错误率和预期决策时间错误率和平均决策时间的表达式是众所周知的，尽管以下公式比[4]中给出的更紧凑，例如：ER=e-2kx- E-2kze2kz- E-2kz，（6）E[DT]=σahkzcoth（2kz）- kze-2kxcsch（2kz）- kxi。（7） 在附录A中，我们表明这些表达式与[4]中的类似表达式一致。对于无偏起点kx=0，平均决策时间变为[DT]=σkzatanh（kz），（8）且在极限a内→ 0（kz→ 0，kx→ 0）我们拥有=kz- kx2kz=z- x2zand E[DT]=σ（kz- kx）a=z- xσ。

（9） 错误率和决策时间的无条件矩的表达式如图所示。1和2。3.2决策时间变化的方差和系数我们推导出附录B中决策时间无条件方差的以下表达式：Var=σah3kzcsch（2kz）- 2kze-2kxcsch（2kz）科思（2kz）- 4kzkxe-2kxcsch（2kz）-kze-4kxcsch（2kz）+kzcoth（2kz）- kze-2kxcsch（2kz）- kxi。（10） 对于无偏起点kx=0 Eqn。（10） 减至Var=σa2kz（csch（2kz）- csch（2kz）coth（2kz））+kz（coth（2kz）- csch（2kz））=σakztanh（kz）- kzsech（kz）=σakz（1）- 4kze-2kz- E-4kz）（1+e-2kz）（11） （参见[32，等式（10-12）]），在极限a=0时，我们得到Var=2σ（kz）- kx）3a=2（z- x） 3σ。（12） 变异系数可通过等式确定。（10） 和（7）：CV=[Var]E[DT]=3kzcsch（2kz）- 2kze-2kxcsch（2kz）科思（2kz）- . . . - kxkzcoth（2kz）- kze-2kxcsch（2kz）- kx；（13） 完整的分子出现在等式n的括号中。(10). 对于kx=0 Eqn。（13） 降低toCV=s1- 2kzcsch（2kz）kz[coth（2kz）- csch（2kz）]=s1- 4kze-2kz- E-4kzkz（1）- E-2kz），（14），如果a=0，则根据等式计算。（12） （9）我们有Cv=s2（z+x）3（z- 十）→拉斯兹→ ∞ 或者x→ 0.（15）注意乘法因子σ/acancel和CV仅取决于无量纲阈值和起点kz、kx（或a=0时的x/z）。如果a>0，随着阈值z的增加，E[DT]和Var都会增加，但CV会减少，在极限z内有以下行为→ ∞ （kz）→ ∞) 对于kx固定值：E[DT]kz→σa，Varkz→σA和CV→ K-Z（16） 这些行为源于KMZCSHN（2kz）~ kmze-2nkzand coth（2kz）~ 1.对于a=0，E[DT]和Var也会随着z的增加而增加，正如我们从等式中看到的那样。（9） 和（12），但CV接近极限2/3（等式（15））。在§5中，我们描述了在整个kz范围内，无偏起点kx=0的CV的行为∈ (0, ∞), 并表明，单阈值DDM的CV为方程提供了一个上界。

（14） .3.3第三矩和决策时间的偏度我们通过计算偏度表达式来结束本节。决策时间的第三个时刻可以通过解一个类似于附录B的边值问题来计算。然而，这种计算非常繁琐。相反，我们从DTs的非中心第三力矩中获得偏度，条件是正确的响应和下文§4中推导的错误（这也说明了非条件力矩和条件力矩之间的关系）。引入符号τforDT，非中心三阶矩可以写成asE[τ| x（τ）=z]=Skew+Var3/2++3Var+E[DT]++E[DT]+，和（17）E[τ| x（τ）=-z] =歪斜-Var3/2-+ 3Var-E[DT]-+ E[DT]-, （18） 其中E[DT]±，Var±，Skew±分别表示正确响应和错误条件下DT的预期值、方差和偏度。将这些条件动量的适当分数相加，得到无条件第三动量[τ]=（1）- ER）×E[τ| x（τ）=z]+ER×E[τ| x（τ）=-z] ，（19）从中可以得出如下偏度：偏斜=E“τ - E[DT]Var#=E[τ]- 3Var E[DT]- E[DT]变量（20）将表达式（6）替换为ER，并将表达式（29）、（31）和（36）替换为从§4到等式的条件矩。（17-19），并使用表达式（7）和（10）表示DT，weobtainE[τ]- 3Var E[DT]- E[DT]=σa（24kxkz+6kz- 12kz）e-2kz-4kx+（24kxkz+24kxkz- 16kz+6kz）e-2kx- （12kxkz+12kxkz+12kxkz+4kz+6kz+3kz）e4kz-2kx- （24kxkz+6kz+12kz）e2kz-4kx- 8kze-6kx- 3kzcosh（2kz）+3kzcosh（6kz）+9kxsinh（2kz）- 3kxsinh（6kz）+56kzcosh（2kz）+36kzsinh（2kz）- （3kz）- 6kz+4kz+12kxkz- 12kxkz+12kxkz）e-4kz-2kxcsch（2kz）. （21）最后，可通过替换等式获得偏度。（10） 和（21）转化为等式n。(20). 替代后，σ/afactors相互抵消，因此，与CV一样，偏度仅取决于kzand和kx。对于无偏起点x=kx=0，方程n。

（21）可以简化为[τ]- 3Var E[DT]- E[DT]=σah3kztanh（kz）- 3KZ技术（kz）- 2kztanh（kz）sech（kz）i.（22）我们还注意到，双阈值矩的极限接近于单阈值矩的极限→ ∞ kx固定。具体而言：E[DT]kz→σa，Varkz→σa，CV→ K-zand Skew→ 3k-z=3 CV。（23）在极限a=0时，我们得到[τ]- 3Var E[DT]- E[DT]=16（z）- x） σ，和偏斜=r（z- x） （z）- x） 3/2，（24）且偏度与CV之比为12/5（z）→ ∞ 或者x→ 0.还有两个值得关注的限制，即起点接近任一阈值的限制：kx→ ±kz，kz固定且固定。在这种情况下→ 0或1，E[DT]→ 0，CV→ ∞, 歪斜→ ∞. 假设kx=±kz（1- ) 并为小型企业扩张 ≥ 0，我们有[DT]=σahkzcoth（2kz）- kze2kz（1-)csch（2kz） kz（1）- )i=σa±1 -4kze±4kz- 1.（kz） kx）+O（| kz） kx |）→ 0+. （25）同样，对于方差和第三中心矩，我们有Var=σa8kz（1+3e±4kz）（e±4kz）- 1） +4kze±4kz- 1± 1（kz） kx）+O（| kz kx |）→ 0+，（26）E[（τ）- E[τ]]=σah18 sinh（2kz）- 6sinh（6kz）+e±2kz（112kz- 12kz）+24kzekz-12kze-6kz+256kze2kz+16kze6kzi（kz kx）+O（| kz） kx |）→ 0+，（27），这样CV和偏度都会像| kz一样发散 kx|-1/2. 然而，偏度与Cv之比仍为kx→ ±kz。函数E[DT]、Var、CV、偏度和DT的第三中心矩的示例与阈值z在图的左栏中绘制。1和2。4双门限DDM：条件决策时刻我们现在转向以正确和错误响应为条件的DTs时刻，使用附录C中详述的方法从累积量和矩生成函数中推导出它们，该方法只需要连续的微分（见[15，第4章，§6]和[10，§2.6]）。

只需考虑正确的决策，因为可以通过替换xby获得以错误为条件的矩-x、 或者相当于kxby-kxin以下表达式，如附录C中的动量生成函数（58）和（59）所示。以下关于决策时间条件动量的表达式如图所示。1和2.4.1条件累积量生成函数和预期决策时间，如从等式n中导出。（58），条件为isK+（α）=C（a，σ，z，x）+log sinh的DTs累积量生成函数（z+x）√A.- 2ασσ- 原木信条2z√A.- 2ασσ, （28）其中C（a，σ，z，x）是一个独立于α的函数，当通过K+（α）相对于α的连续微分计算累积量时，该函数将消失。以正确决策为条件的预期DT是在α=0时计算的K+（α）的一阶导数：E[DT]+=E[τ| x（τ）=z]=ddαK+（α）α=0=2zacoth2azσ-z+xacotha（z+x）σ=σa2kzcoth（2kz）- （kx+kz）科思（kx+kz）, （29）可以证明，在a→ 0+E[DT]+=4z- （z+x）3σ。（30）4.2决策时间的条件方差和变异系数以正确决策为条件的DT方差是K+（α）在α=0时的二阶导数：Var+=Var[τ| x（τ）=z]=ddαK+（α）α=0=4zacsch2zaσ+2σzacoth2zaσ-（z+x）acscha（z+x）σ-σ（z+x）acotha（z+x）σ=σa4kzcsch（2kz）+2kzcoth（2kz）- （kx+kz）csch（kx+kz）- （kx+kz）科思（kx+kz）;（31）在限制a中→ 0+：Var+=32z- 2（z+x）45σ。（32）以正确决策为条件的DT的CV为V+=Var+E[DT]+=4kzcsch（2kz）+2kzcoth（2kz）- （kx+kz）csch（kx+kz）- （kx+kz）科思（kx+kz）1/22kzcoth（2kz）- （kx+kz）科思（kx+kz）；（33）同样，因子σ/acancel和条件CV仅取决于kzand kx。如§3等式所示。（25-26），可以看出CV+随着kx而发散→ kz（因此，由KX<-> -KX对称性-作为kx发散→ -kz）。