单阈值和双阈值的显式决策时刻

这与从上述比率中减去3的惯例形成对比，从而使标准正态随机变量的峰度为零。Tnd=0秒准确度aaa aaa aaa AaaA ZZ zzz ZZZZZZZZ准确度平均RTMean RTCVCVCVSkew/CVSkew/CVSkew%Fail to Cross%Fail to Cross%Fail to Cross Tnd=0.28秒Tnd=0.45秒图6：扩展DDM中确定性非决策时间Tnd的影响。左列：Tnd=0秒。中柱：Tnd=0.28秒。右栏：Tnd=0.45秒。绘制在顶行漂移阈值平面上的曲线表示精度曲面的等距轮廓；红色箭头显示Tndon CV和SCV增加的效果。在低漂移水平和高漂移水平下独立估计TND的两种启发式方法可能会提供可靠且易于计算的健全性检查，用于在使用fittingalgorithms时约束TND的值。7结论我们详细分析了纯DDMs和扩展DDMs的前三个决策时刻。我们推导了无条件矩和条件矩的显式表达式，并使用这些表达式从两个有用的参数：无量纲阈值和无量纲初始条件（kzandkx，Eqn.（2））。表1总结了这些表达式。这些漂移00的MatLab和R代码。2 0.40.6 0.810.40.60.810.40.60.81RT秒SCVSCV比率%CorrectMeanRTAccuracy 00。2 0.40.6 0.8100.51CVs的决策时间和响应时间00。2 0.40.6 0.8101020决策与响应时间的偏差与变异系数（SCV）CV（DT）DT=RT-0.450秒SCV（DT）DT=RT-0.450秒。81653SCV（RT）CV（RT）图7：根据原始RTs（点虚线）和DTs（实线）计算得出的CV和SCV的比较，作为漂移的函数。

DTs的真实平均非决策延迟为减去0.45秒。使用了扩展DDM参数值的代表性水平（z=0.06，x=0，δ=0.5·z，σa=0.25·a，E[Tnd]=0.45秒，st=0.112秒）表达式可从以下网址获得：https://github.com/PrincetonUniversity/higher_moments_ddm.In特别是，我们计算了纯DDM的几个兴趣极限。我们确定，对于无偏起点（x=0），决策时间的CV是kzan的单调递减函数，它接近于kz的sp2/3→ 0（命题5.1和图3）。在小漂移率和无偏起点的限制下，我们发现偏斜度与CV之比接近12/5。此外，对于非零漂移率，在大阈值（高精度）的限制下，我们发现偏斜度与CV之比接近3。我们发现，当起点接近任一阈值时，决策时间的CV和偏度都会发生变化；然而，偏度比toCV是无量纲阈值的有界函数。

我们还表明，在大阈值的限制下，这些时刻与单阈值漂移差异过程的第一次通过时间相匹配，并且我们建立了条件CV和决策时间偏度的类似结果。我们确定，对于大阈值，双阈值DDM的决策时间分布收敛于单阈值DDM的决策时间分布（附录C）。然后，我们推导了扩展DDM决策时间矩的解析和半解析表达式，并用数值研究了启动1阈值2阈值错误率评定器NAe中试验间变异性的影响-2kx-E-2kze2kz-E-2kzMeanE[DT]σa（kz- kx）σakzcoth（2kz）- kze-2kxcsch（2kz）- kxE[DT]+NAσa（2kzcoth（2kz）- （kx+kz）coth（kx+kz））方差varσa（kz- kx）见等式（10）Var+NA见等式（31）变异系数Cv√kz-kxsee方程（13）CV+NA参见方程（33）歪斜度歪斜×Var3/23σa（kz- kx）见等式（21）Skew+×Var3/2+NA见等式（36）表1：错误率和决策时间矩表达式总结。积分和漂移率对DDM性能的影响。我们观察到，与起点变化相比，漂移率的变化似乎主导了这些影响。最后，我们调查了非决策时间（感觉运动潜伏期，Tnd）对决策绩效的影响。我们观察到，随着平均Tnd的增加，反应时间（DT+Tnd）的CV减小，其偏度与CV比增加（图6）。我们提出，CV的减少和偏度与CV比率的增加可分别用于在低精度和高精度区域估计非决策时间（见图7）。

使用这些指标来估计非决策时间的严格方法的开发是未来研究的一个潜在途径。值得注意的是，文献[18,21]强调了估算经验RT数据高阶矩的困难。然而，至少在间隔计时任务的情况下，关于CV和偏度的预测被证明有助于区分不同的模型[25,28]。此外，未来可能会发现两种可供选择的知觉决策任务设计，它们将产生适合于高阶矩估计的数据，在这种情况下，我们在这里推导的表达式可能会有帮助。更一般地说，本文推导的显式表达式可用于快速识别与特定行为数据集相关的参数范围，从而减少需要运行参数集的多维空间的体积。原则上，附录A中概述的累积生成函数法可用于生成四阶矩和更高阶矩的公式，尽管结果会很复杂，但它们及其限制行为也可为参数设置提供指导。致谢这项工作得到了NIH大脑倡议基金1-U01-NS090514-01（PH）、NSFCRCNS基金DMS-1430077和Insley Blair Pyne基金（VS）以及OKUM奖学金（PS）的联合支持。作者感谢乔纳森·科恩和迈克尔·施瓦茨曼提出的有益建议。参考文献[1]M.Abramowitz和I.A.Stegun，编辑：《数学函数手册》及其公式、图表和数学表格。威利-跨科学，纽约，1984年。[2] F.巴尔奇和P.西门。时间歧视中的决策过程。心理学报，149:157–168，2014。[3] F.巴尔奇、P.西蒙、R.尼约吉、A.萨克斯、P.福尔摩斯和J.D.科恩。获得决策标准：奖励率最终超过准确性。

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类似地，E[DT]=σahkzcoth（2kz）- kze-2kxcsch（2kz）- kxi=σakz科思（2kz）- csch（2kz）+（1- E-2kx）csch（2kz）-kxkz=zae2kz+e-2kz- 2e2kz- E-2kz+（1）- E-2kx）csch（2kz）-xz=扎坦（kz）+2za（1）- E-2kx）e2kz- E-2kz-xa=~z tanh（~z~a）+2~z（1）- E-2)a)x）e2)a)z- E-2~z~a- 与[4]中的预期决策时间表达式相同。B决策时间的无条件方差决策时间的二阶矩是下列线性方程的解：adTdx+σdTdx=-2E[DT]，（50），边界条件T（±z）=0（例如[10，§5.5.1；一般n\'thmoment ODE见等式（5.5.19））。解方程。（50）我们首先重写E[DT]使其依赖于起始点xexplicit:E[DT]=α- αe-2kx-xa。这里α=zacoth（2kz），α=zacsch（2kz），与上面定义的kz不同，kxde，k=aσ独立于z和x。对于（50）isTp=xa的一个特殊解- αx-2α斧头-2kx，其中α=a（α+2ka），通解的形式为t（x）=c+ce-2kx+xa- αx-2α斧头-2kx。代入边界条件T（±z）=0，并求解c，得到c=2zacoth（2kz）+zkacoth（2kz）-za+2zacsch（2kz）=za+4zacsch（2kz）+zkacoth（2kz），andc=-4zacsch（2kz）coth（2kz）-zkacsch（2kz），因此我们发现t=za+4zacsch（2kz）+σzacoth（2kz）-4ze-2kxacsch（2kz）coth（2kz）-σze-2kxacsch（2kz）+xa-2zxacoth（2kz）-σxa-2zxe-2kxacsch（2kz）。（51）我们现在可以得到决策时间方差的表达式：Var=T- E[DT]=3zacsch（2kz）+σzacoth（2kz）-σxa-2ze-2kxacsch（2kz）coth（2kz）-σze-2kxacsch（2kz）-4zxe-2kxacsch（2kz）-泽-4kxacsch（2kz）。（52）等价地，我们可以写evar=σah3kzcsch（2kz）- 2kze-2kxcsch（2kz）科思（2kz）- 4kzkxe-2kxcsch（2kz）-kze-4kxcsch（2kz）+kzcoth（2kz）- kze-2kxcsch（2kz）- kxi。

（53）C计算条件矩的方法矩母函数MX:H→ R> 随机变量X的0由mx（α）：=E[EαX]定义，前提是在0的某个邻域中存在每个α的期望，即每个α∈ H、 在哪 R是一个包含零的区间。矩母函数是定义在复平面上的特征函数（见[14，§5.7，定理12]）的一种特例，并由此得到求和母函数KX:H→ X的R可以通过取自然对数得到：KX（α）=logmx（α）。（54）第n个累积量κnof X定义为κn=dnKX（α）dαnα=0，或相当于KX（α）=P∞n=1κnαnn！。然后可以显示出κ=u、κ=ucen、κ=ucen和κ=ucen- 3κ，其中un=E[Xn]和ucenn=E[（X- E[X]）n]表示第n个非中心矩和中心矩。因此，可以从MX（α）生成绘制X的连续分布矩。有关力矩生成函数的更多详细信息和推导，请参见[15，第4章，§6]和[10，§2.6]。我们现在导出DDM（1）的DTs的矩母函数。我们定义了MDT:A→ R> 0，M+：A→ R> 0和M-: A.→ R> 0byMDT（α）=E[Eατ]、M+（α）=E[Eατ| x（τ）=z]和M-（α） =E[Eατ| x（τ）=-z] ，（55）如果 R是一个包含零的区间，其中存在上述期望。MDT（α）、M+（α）和M-（α） 分别是无条件决策时间（所有响应）和以正确响应和错误为条件的决策时间的矩母函数。这些函数的表达式在文献中是众所周知的（例如[6]）。在这里，为了完整性，我们从第一原则中推导出它们。我们首先推导M+（α）的表达式。我们注意到，对于给定的一组参数a，σ，z和α，M+（α）仅取决于x。让τ（x）表示从初始条件x开始的决策时间（DT）。

定义g:R→ R> 0作为初始条件xto M+（α）P（x（τ）=z）的映射，即g（x）=e[eατ（x）1（x（τ（x））=z]，（56），其中1（·）是指示函数。考虑DDM（1）在最小持续时间内从xat t=0开始的演变∈ R> 0。设Xh:=x（h）=x+ah+σW（h）。因此，g（x）=EXhEτ（Xh）[eα（h+τ（Xh））]=eαhEXh[g（Xh）]=eαhg（x）+dgdxah+dgdxσh+ O（h），其中O（h）代表订单条款。重新排列术语并设置h→ 0+，在边界条件g（z）=1和g的情况下，我们得到了gσdgdx+adgdx+αg=0，（57）的以下常微分方程(-z） =0。（57）的解的形式为g（x）=ζeλx+ζeλx，其中λ和λ是方程σλ/2+aλ+α=0的根，即λ=-A.-√A.- 2ασ和λ=-a+√A.- 2ασσ.代入边界条件，我们得到两个联立方程ζeλz+ζeλz=1和ζe-λz+ζe-λz=0，其解为ζ=eλze2λz- e2λz，ζ=-eλze2λz- e2λz，因此g（x）=eλ（z+x）- eλ（z+x）e2λz- e2λz=e-a（z+x）/σe-2az/σsinh（（z+x）√A.-2ασsinh（2z）√A.-2ασ=ea（z）-x） σsinh（（z+x）√A.-2ασ）sinh（2z√A.-2ασσ).因此，回顾g（x）的定义（56），以正确决策isM+（α）=E[Eατ| x（τ）=z]=ea（z）为条件的矩母函数-x） σP（x（τ）=z）sinh（（z+x）√A.-2ασ）sinh（2z√A.-2ασ），（58）并将其代入定义（54）中，得到§4中使用的累积量生成函数（28）。同样，我们也可以得到错误决策的类似表达式-（α） =E[Eατ| x（τ）=-z] =e-a（z+x）σP（x（τ）=-z） sinh（（z）-十）√A.-2ασ）sinh（2z√A.-2ασ），（59）对于所有决定，正确和错误：MDT（α）=E[Eατ]=E-a（z+x）σsinh（（z）-十）√A.-2ασ）sinh（2z√A.-2ασ+ea（z）-x） σsinh（（z+x）√A.-2ασ）sinh（2z√A.-2ασσ). （60）应注意，在极限z→ ∞MDT（α）=表达式σ1-r1-2ασa！！，这是瓦尔德分布的矩母函数[6，等式2.0.1]，即单阈值DDM的决策时间分布。