在线和离线环境中的社会互动生态

根据进化博弈论中的一个著名结果（例如，见Weibull，1995），如果纯种群状态、、、和是纳什均衡，那么它们在策略的每个支付单调采用动态下也是（局部）有吸引力的稳态。因此，在不是唯一的现有纳什均衡的情况下，采用动态是路径依赖的，因为从不同的策略初始分布开始，可能会达到不同的稳态。安托奇等人（2007）认为，静止状态可以解释为一种社会贫困陷阱；也就是说，作为一个有吸引力的静止状态，总社会参与和（1,0,0,0（），（^4321==xxxxxxn）0,0,0,1（），（^4321==xxxxxxoηα>）0,0,1,0（），（^4321==xxxxPηε，>N^O^H^N^Oη≤),最大（γβη）≥δβ-≤εγ≤ηε≤δβ-≥εγ≥N^O^H^P^N^）0（），0（（0），（0），（4321xxxxN^福利（以回报衡量）相对于其他平稳状态降至最低水平。为了将我们的分析重点放在更相关的案例上，我们将在没有其他策略主导的假设下研究采纳动态（见上文第7点）。这种假设要求对参数值进行以下限制：，（1）或（2）注意，在条件（见（1））下，所有个体都采用O策略的状态始终是纳什均衡，因此是一个局部吸引的稳态。因此，在每个收益单调采纳动态下，至少存在两个局部有吸引力的稳态——以及社会贫困陷阱。

此外：a）在and hold（见（2））的上下文中，所有个体使用P策略的状态也是纳什均衡和局部吸引稳态，而所有个体使用H策略的状态可能是纳什均衡（只有在以下情况下才是这种情况）。b） 在and保持的情况下（见（2）），状态和永远不是纳什均衡（因此，它们永远不会有吸引力）。正如我们将看到的，这样的背景有利于H和P战略的共存。重要的是，这一背景捕捉到了一组有趣的社会场景：第一个条件，要求H玩家与另一个H玩家互动时受到的负面影响比P玩家受到的负面影响更大，这表明（i）仇恨者彼此不相处，可能是因为他们在没有合适的“受害者”的情况下得不到满足感和/或被迫尝一尝自己的药，而（ii）有礼貌的人在与仇恨者互动时只会有轻微的恼怒。另一方面，第二个条件意味着与P玩家的互动对于H玩家来说比另一个P玩家更令人满意。综上所述，这些条件描述了一种背景，在这种背景下，仇恨者比礼貌的参与者有更强的“在线激情”，也就是说，伴侣选择对仇恨者比礼貌的用户更为重要——这似乎是许多现实生活互动场景的合理表征。ηα>ηε>ηγβ>），ma x（Δβ->εγ<δβ-<εγ>ηα>）0,0,0,1（），（^4321==xxxxOO^N^Δβ->εγ<）0,1,0,0（），（^4321==xxxxxxp）0,0,1,0（），（^4321==xxxxHηβ>Δβ-<εγ>P^H^Δβ-<εγ>6.

进化动力学继Taylor和Yonker（1978）之后，我们假设这四种策略的扩散由复制因子方程描述：（3）其中dttdxxii/）（=o代表，i=1，…，4的时间导数，和：是整个种群的平均回报。根据复制因子方程（3），个人倾向于模仿采用相对更有回报策略的玩家。因此，这样的策略在人群中传播，代价是回报较低的策略。复制子动力学（3）在三维单纯形中定义：在空间中如图1所示。9在动力学（3）下，所有纯布居态、、和都是稳态。此外，在动态（3）下，没有人采用一个或多个策略的S的边是不变的；也就是说，从属于其中一条边的一个点开始的每条轨迹每次都保持在该边上。9的值由方程给出，空间的原点对应于S的点。（），（），（），（），（），（），（），（），（），（）（432144432132334321322224321111XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXNPHO∏-Π=Π-Π=Π-Π=Π-π=ooooIXNPHOXXXXXXXXXXXX∏·+Π·+Π·+Π·=Π4323322114321) ,() ,() (),,, (( )!\"#$%&=≥∈=∑1，全部0:，44321iiixrxxxxs（）321，xxxN^O^H^P^+∞-∞∈t4x32141 xxxx---=（）0，0，0（）321，xxx14=XT为了分析复制子动力学（3），考虑复制子方程和Lotka-Volterra系统之间众所周知的对应关系是有用的（Hoffauer，1981）。

特别是，在这种情况下，我们有一个转变：=→ ),,,(),,（：4321xxxxwzyT！！“#$$%&+zywzywzywzywzywzywzywzywzy 1,1,11将Lotka-Volterra方程（4）下的轨迹映射到复制子方程（3）生成的轨迹上.T的逆变换：做的正好相反。变量y、z和w分别测量采用H、P和N策略的个体的份额、与采用O策略的个体的份额之间的比率。根据系统（4），路径后面跟着比率，而不取决于比率。这意味着策略O、H和P在未采用N策略的个体子群体中的扩散过程不依赖于比率，并且完全由（4）子系统生成的轨迹描述：（）（）（）[]WZYWWZYYY++++-=+--=++-=···1ηαεδαγβα!!\"#$$%&=→-14131243211，，，，，，，，，，，，，，（：xxxxxx wzyxxxxt2x3x4x1x12/xxy=13/xxz=14/xxw=14/xxw=（5）显然，系统研究（5）给出了变量之间的比率信息，但它不允许我们获得关于比率的信息，因此，关于选择不参与（即玩N策略）的个体亚群体规模与选择参与（即选择O、H、P策略之一）的个体亚群体规模之间的比率。6.1.社会参与策略的动态：O、H和P在本节中，我们分析了系统（5）。Hoffauer（1981）提出的坐标变换：将Lotka-Volterra系统（5）生成的轨迹映射到复制器方程（6）生成的轨迹，复制器方程通过在系统（3）中摆姿势获得。

T的逆变换：则相反。系统（6）用图1所示的三维单纯形S描述了系统（3）在二维边上的动力学（没有人使用N策略）。然而，由于系统（6）的轨迹与两个（）的轨迹相关联，因此zyzzyyεδαγβα+--=++-=··2x3x14/xxw=！！\"#$$%&++++++=→zyzzyyzyxxxzyT1,1,11），（），（：321[][]]，（），（），（），（），（），（），（），（），（）（321323332132221111xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx）-Π=Π-Π=Π-π=ooo04=x！！\"#$$%&=→-13123211，（），（），（：xxxxzyxxxT04=xdimensional Lotka-Volterra系统（5）通过坐标变化T，从（6）的分析中获得的一些见解可以转移到（3），如下所示。系统（6）的分析基于Bomze（1983）中的分类结果，并在数学附录中报告。它允许我们对系统（6）下可能观察到的所有可能的动态状态进行完整分类。这些制度如图2a-2f所示。在这些和下面的图中，一个完整的点！表示一个局部吸引的静止状态，一个空点○  表示排斥的静止状态，而鞍点通过绘制其插入和输出（分别为稳定流形和不稳定流形）来表示。只绘制了一些具有代表性的轨迹。在边缘观察到的动态状态如下：1）情况（因此）和。在这种情况下，所有的定态、和都是局部吸引的。10不存在其他有吸引力的稳态。图2a和2b分别说明了条件（7）成立的子案例和条件（7）相反成立的子案例。

它们分别对应于Bomze分类中的相图编号7和35（从现在起，我们将用符号PP#表示Bomze分类中的相图编号）。11为了便于解释，条件（7）也可以表示为Δεβγ/->.  这种不平等比较了当遇到一个有礼貌的人或一个憎恨者的人与礼貌者（滥用术语，作为一种仇恨者与礼貌者的边际替代率）时的边际回报率。如果（7）保持不变，那么在边际上，仇恨者愿意放弃与一个仇恨者会面以满足一个礼貌的人的比率大于与礼貌者会面的比率。2） 案例和（因此，根据条件（2））。在这种情况下，只有定态和局部吸引。图2c和2d分别说明了条件（7）和条件（7）的对立面所适用的子情况（它们分别对应于toPP9和PP37）。10对于属于单纯形S的所有轨迹，平稳状态可能不具有吸引力，尽管它对于属于S边的所有轨迹具有吸引力。11为了简单起见，在本分类和后续分类中，我们忽略了非鲁棒动态区域的考虑，即，只有当参数值的相等条件成立时，才能观察到这些区域。NS0>βδβ->εγ<O^H^P^0>+γδβε0<βεγ<δβ->在这种情况下，顶点总是局部吸引的。图2：在单纯形S的边缘可能观察到的动态状态，其中不使用N策略。在静止状态下，所有个体分别使用策略O，H，P。

在这些图和下图中，一个完整的点表示一个局部吸引的静止状态，一个空点○  表示一种排斥的静止状态，而鞍点则通过绘制其嵌入和导出来表示。只绘制了一些具有代表性的轨迹。12该情况被排除在条件（2）之外。0<βεγ>Δβ-<O^0>βεγ>此外，如果条件（7）的对立面成立，则在单纯形的边缘也存在另一个局部吸引的稳态，其中仅使用H和P策略（参见图2e，对应于PP11），而如果条件（7）成立，那么就不存在其他有吸引力的稳态（参见图2f，对应于PP36）。注意，在纯种群稳态下，个体的收益分别由和给出；因此，关于这些国家的稳定条件（记住，总是有吸引力的，如果有吸引力的，如果有吸引力的）不允许我们在福利方面有序、有序和有序。此外，请注意，在仅使用策略H和P的静止状态下，我们有041==xx，123xx-=)/()(:*22γεδβγε-++-== xx，个人的收益由以下公式给出：（8）如果静止状态是有吸引力的，那么：保持：静止状态下的个人福利低于（非吸引）静止状态下的福利，高于（非吸引）静止状态下的福利。最后，当静态和静态都有吸引力时，它们不能按福利排序（见图2e）。如上所述，图2a-2f中所示的动态状态是那些可以在单纯形S的边缘观察到的状态（因此，对应于单纯形S）。

然而，它们也说明了在单纯形S内部，由采用社会参与策略（O、H、P）的个体组成的亚群体的份额、和所遵循的所有可能的进化路径。因此，可以从图2a-2f所示的动态状态中了解到以下见解：O^H^P^α=π）1（Oβ=π）0,1（Hε=π）1,0（PO^H^0>βP^εγ<O^H^P^γεΔγε-+++=-Π=-π）1，（）1，（*2*2*2*2xxxxPH）0,1,0（），（*2*24321xxxxxx）-=βε=Π>-Π=-π>π=）0,1（）1，（）1，（）1,0（*2*2*2*2 HPxxxx）0,1,0（*2*2xx-P^H^）0,1,0（），（*2*24321xxxxxx）-=O^1321=++xxx04=x1x2x3xa）在动力学（3）下，份额、和总是趋向于平稳值（因此，份额也会这样做）；这意味着系统（3）的所有轨迹都趋向于渐近稳定状态。b） 当所有的社会参与策略O、H和P都被采用时，就不可能存在有吸引力的稳态。这意味着，在系统（3）的吸引稳态中，最多有三种策略可以共存（在可用策略O、H、P和N之间），因此，每个吸引稳态都属于单纯形S的一个边（其中至少有一种策略未被采用）。即使一些轨迹可能趋向于四种策略共存的（非吸引）平稳状态，13“几乎所有”轨迹趋向于属于单纯形S的一条边的平稳状态。因为，根据上述考虑，几乎系统（3）的所有轨迹都渐近地趋向于属于单纯形S的一个边的平稳状态，分析单纯形S边上的动力学（3）是有用的。我们将在下一节中进行这项工作。6.2.

单纯形S边上的动力学，其中使用了N策略。为了避免冗长地展示我们的数学结果，我们省略了对可能在剩余边、和三维单纯形S边上观察到的动力学区域进行分类的计算，其中分别没有采用策略O、P和H。允许我们将Bomze分类应用于此类情况的程序与数学附录中分析边缘动态的程序非常相似。6.2.1.EDGEOS中的动态在edge中可能观察到的动态状态（在不使用O策略的情况下）如下所示（见图3a-3f）：13请注意，系统（4）最多允许一个静态。目前，所有四种可用的策略都并存。在处计算的系统（4）的雅可比矩阵有一个严格正特征值等于，而其他两个特征值与在处计算的系统（5）的雅可比矩阵一致。由于在图2e所示的动态范围内，系统（5）的雅可比矩阵有两个符号相反的特征值，因此在这种情况下，系统（4）的雅可比矩阵在计算时有一个负值和两个正值。因此，存在一个一维稳定流形，因此，存在趋向于（不稳定）稳态的轨迹。1x2x3x4xOSPSHSNSOS），（wxy0，，>wxy），（wxy），，（wxywη），（xy），（wxy），，，（wxy），，，，（wxy1）情况（因此，根据假设（2），）。我们有两个子案例：1。a） 如果，那么所有的定态、、和都是局部吸引的。不存在其他有吸引力的稳态。

图3a和3b说明了相应的动力学状态（分别为PP7和PP35）。图3：单纯形边缘可能观察到的动态区域，其中不使用O策略。在静止状态下，所有个体分别使用策略H、P、N。εγ<Δβ->ηβ>H^P^N^如果条件（即：（9）保持不变，则观察到图3a中的状态。如果条件（9）相反，则观察图3b中的状态。1.b）如果，那么定态和是局部吸引的，而是鞍点。图3c（分别为3d）说明了如果条件（9）（分别为条件（9）的相反）成立时发生的动态状态。图3c和3d分别对应于toPP9和PP37。2） 案例（因此，根据假设（2），）。在这种情况下，保持不变，因此。根据这些参数条件，定态是局部吸引、排斥和鞍点。如果条件（9）成立，则在单纯形的边缘存在另一个局部吸引的稳态，其中只使用策略H和P（图3f，对应于PP11）。如果与条件（9）相反的情况成立，则是唯一有吸引力的稳态，动态状态如图3g所示（对应于PP36）。请注意，条件（9）成立的当且仅当（见（8））：这意味着当静止状态（其中仅使用策略H和P）具有吸引力时（见图3e），那么个人在社会贫困陷阱中的福利高于在社会贫困陷阱中的福利。